精品解析：2026年重庆市字水中学中考适应性考试二模数学卷

2026届重庆市字水中学中考适应性考试数学卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 在一些中国新能源汽车品牌的标志中，有的标志是轴对称图形．下面4个标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 要调查下列问题，适合采取全面调查的是（ ） A. 调查黄河的水质情况 B. 《河南新闻联播》的收视率 C. 国产航空母舰入役前的零部件检查 D. 调查一批新郑小枣的甜度情况 4. 如图，为的外接圆，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5朵太阳花，第②个图中有9朵太阳花，第③个图中有13朵太阳花，第④个图中有17朵太阳花…按照这一规律，则第⑧个图中太阳花的个数是（ ） A. 21 B. 25 C. 29 D. 33 6. 下列各点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是________． 12. 如图，直线，，交于一点，直线，若，，则______． 13. 若为正整数，且满足，则__________． 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 15. 如图，线段为的直径，于点，点，均在上，以为边作平行四边形，，连接交于点，连接．若，则________． 16. 如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之和为8，那么称这个四位数M为“能源数”．将一个三位数记作，M的十位数字作为三位数的百位数字，三位数的十位数字是0，的个位数字与M的个位数字相同，记，例如：四位数1634，，不是“能源数”．又如：四位数5349，，是“能源数”，．若A是最小的“能源数”，则是________；若对于“能源数”M，能被11整除，记，则当为整数时，“能源数”M的最大值是_______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解的和． 18. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，交于点F．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，若，求证：四边形为矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵，， ∴，， ∴①______， 在和中， ， ∴， ∴③______， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴④______， ∴四边形是矩形； 19. 重庆万州三峡科技馆于2026年元旦正式对外开放，其造型独特的“双鱼”设计吸引了大批市民打卡参观，并且它是重庆首座“近零能耗”公共建筑．周末，小明和小华相约去三峡科技馆参观．如图：、、、、四个参观点在同一平面内，点在点的正北方向米处，点在点的东北方向，点在点的正东方向，点在点的正南方向，且在点的北偏东方向米处，点在点南偏东方向．（参考数据：，，） （1）求、两参观点之间的距离（结果保留根号）； （2）小明沿的路线进行参观，小华沿的路线进行参观．两人同时出发，已知小明与小华的速度比是．求小明离出发地多少米时，两人之间的直线距离第一次达到米．（结果保留小数点后一位）？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式： （2）过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接．当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 21. 如图，已知在中，，点E在直线上，连接，过点C作于点D，交于点F． （1）如图1，若点E在线段上，平分，，，求的长度； （2）如图2，若点E在线段上，，延长至点G，连接，满足，请用等式表示线段，和的数量关系并证明． （3）如图3，若，将沿翻折至所在平面得到，连接，点P为的中点，连接，在E点运动过程中，当取最大值时，直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 命组卷网 2026届重庆市字水中学中考适应性考试数学卷 (全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1,试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2,作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. (b Aac-b2 参考公式：抛物线y=ar2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a’4a 对称轴为* 2a. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代 号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号正确答案所对应 的方框涂黑。 1.2026的倒数是( 1 1 A.2026 B.2026 C.2026 D.-2026 【答案】A 【解析】 【分析】乘积为1的两个数互为倒数 .2026× 11 【详解】解： 2026, 第1页/共38页 学科网 命组卷网 1 ∴.2026的倒数是2026 2.在一些中国新能源汽车品牌的标志中，有的标志是轴对称图形.下面4个标志中，可以看作是轴对称图 形的是() 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键.如果一个图形沿着一条直线 对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此得到答案， 【详解】解：A符合轴对称图形的定义，是轴对称图形： B、C、D都不符合轴对称图形的定义，不是轴对称图形. 3.要调查下列问题，适合采取全面调查的是() A.调查黄河的水质情况 B.《河南新闻联播》的收视率 C.国产航空母舰入役前的零部件检查 D.调查一批新郑小枣的甜度情况 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查是否具有破坏性，对结果精确度的要求判断即可： 【详解】解：A、调查黄河水质情况，范围广，适合抽样调查： B、调查电视收视率，工作量大，适合抽样调查； C、国产航空母舰入役前零部件检查关乎航行安全，要求每个零件都合格，必须进行全面调查； D、调查小枣甜度，调查具有消耗性，适合抽样调查； ∴.适合全面调查的是C ⊙O,△ABC ∠C=50°∠AOB 4.如图， 为 的外接圆， ,则 的度数为() 第2页/共38页 6学科网组卷网 120° 50° A. B1000 900 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：… ⊙O,△ABC ∠C=50° 为 的外接圆， ,根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍， ∠AOB=2∠C=2×50°=100° 5.按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5朵太阳花，第②个图中有9朵太阳花，第③个图中有13 朵太阳花，第④个图中有17朵太阳花…按照这一规律，则第⑧个图中太阳花的个数是() *###* #### 汝汝 *## * * * * ※ #※汝 * 汝 * 汝* * *## ##米# # * *汝汝汝* ① ② ③ ④ A.21 B.25 C.29 D.33 【答案】D 【解析】 【分析】观察图形得出第n个图中太阳花的个数是4n+1,再代入n=8,计算即可得出结果， 【详解】解：由所给图形可知： 第①个图中太阳花的个数是：1×4+1=5； 第②个图中太阳花的个数是：2×4+1=9； 第③个图中太阳花的个数是：3×4+1=13： 第3页/共38页 命学科网命组卷网 ∴.第n个图中太阳花的个数是：4n+1, ∴.第⑧个图中太阳花的个数是4×8+1=33」 6.下列各点，在反比例函数 、2 x的图象上的是() A.(3,4) B.(-2,-6) c(-3,4) D.(-6,-6) 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征解题，若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数 解析式，验证各选项的横纵坐标乘积是否符合要求即可得到答案. 12 y=- 【详解】解：，反比例函数为x, y=-12 -12 .等式变形可得 ,即反比例函数图象上任意点的横纵坐标乘积为 A、3×4=12≠-12，点不在图象上，故此选项不符合题意； B.（-2)小x(6)=12≠-12，点不在图象上，故此选项不符合题意： c（-3)×4=-12 满足条件，点在图象上，故此选项符合题意： D、（-6)×(6)=36≠-12 点不在图象上，故此选项不符合题意。 7.下列四个数中，最小的是（) A.7.12×106 B.7.32x106 c7.12x108 D.7.32x108 【答案】A 【解析】 【分析】先根据10的指数判断数的量级，再比较同量级数的系数即可得到结果. 第4页/共38页 命学科网 命组卷网 【详解】解： .106<108 ∴A、B对应的数都小于C和D对应的数 .12<7.32 指数相同时，系数 .7.12×10<7.32×106 “最小的数是 .12×10 8.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识 和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比为x,根 据“两天不练丢一半”，可列方程() A.(1-x)2=50% B.(1+x)2=50% C.1-2x=50% D.(1-x)(1+x)=50% 【答案】A 【解析】 (1-x) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为： ,两天后记得的知识 为：0-)2 即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：1-)，两天后记得的知识为：-， 0-2-50% 故选：A 9.如图，正方形ABCD中，点F是对角线BD上一点，连接CF,将△BCF沿直线CF翻折到正方形 ABCD AB'CF B' 所在平面内，得到 落在正方形内部， CB交BD于点G,延长FB交MB于点E. CG 连接DE,若∠DEF=90°，则DE为() 第5页/共38页 6学科网命组卷网 D B' G C √2 1 A.2 B.2 c.2-1 D.2-V2 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过正方形性质、翻折变换的性质，结合角度推导与三角形相似来求解.先利用正方形对 角线性质证明AG=CG及相关角相等，再通过角度计算得到角的等量关系，最后证明三角形相似，结 CG 合边长比例求出DE的值. 【详解】解：连接AG、AC, A E B :四边形ABCD是正方形， :AB=BC=AD∠ABG=∠CBG=45°BD 垂直平分AC.∠BAD=900 AG=CG BD2=AD2+AB2 =2AB2 第6页/共38页 6学科网列组卷网 :BD=V2AB BG=BG. :.△BAG≌ABCG(SSS) .∠BAG=∠BCG :△BCF CF △B'CF 沿 翻折得到 :∠BCF=∠B'CFCB'=CB=AB∠CB'F=∠CBF=450 设∠BAG=∠BCG=2x, 则∠BCF=∠B'CF=x, .∠CFB=∠BFC=180°-45°-x=135°-x, ·∠DFC=180°-(135°-x)=45°+x :∠DFE=(135°-x-(45°+x)=90°-2x 又∠DEF=90°. :∠EDF=90°-(90°-2x)=2x :∠BAG=∠BDE ∠ABG=∠DBE △ABGABDE CG AG AB .DE DE BD. 第7页/共38页 学科网命组卷网 ·BD=V2AB AB2 ∴.BD2· CG√2 .DE2· 10已知整式M:a+01++4+a,其中%a1…,4为自然数，0为正整数，且 n+an+anm-1+…+a1+a=5 .下列说法： ①满足条件的整式M中有5个单项式： ②不存在任何一个n,使得满足条件的整式M有且只有3个： ③满足条件的整式M共有16个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得0≤≤4，再分类讨论得到答 案即可 【详解】解：m41,4为自然数，a为正整数，且 n+an+am-l+…+a1+a=5 .0≤n≤4， 当n=4时，则 4+a4+a3+a2+a+a=5 .a=14=4=a=a,=0 满足条件的整式有， 当n=3时，则3 m3+a3+a2+41+a=5 第8页/共38页 命学科网命组卷网 .(a,4,a,a）=(2,0,0,0）.（11,0,0）.(1,0,1,0）.（1,0,0,1) 2x3x3+x2x3+xx3+1 满足条件的整式有： 当n=2时，则 +42+a1+a=5 (a,4,a)=(3,0,0).(2,1,0)(2,0,1.(1,2,0）.(1,0,2）.(11,) 满足条件的整式有：3x,2x+x,22+1.2+2x,2+2.+x+1 当n=l时，则1+4+4=5 (4,4)=(4,0).(3,1).(1,3)(2,2) 满足条件的整式有：4x,3x+1,x+3,2x+2: 当”=0时，0+4，=5 满足条件的整式有：5： 满是条件的单项式有：尤，2x,3,4,5,故0符合题意， 不存在任何一个”，使得满足条件的整式M有且只有3个；故②符合题意： 满足条件的整式M共有1+4+6+4+1=16个.故③符合题意： 故选D 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上. 11.李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近 窗户的概率是 第9页/共38页 命学科网命组卷网 囚回回回回应 2 【答案】5 【解析】 【分析】根据选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种，列式计算，即可作答. 【详解】解：依题意，选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种， 2 则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是5. 12如图，直线，，5交于-点，直线4∥%，若1=124°，∠2=88°，则23= 【答案】36° 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠4=56°，然后通过角度和差，平角定义即可求解. 【详解】解：如图， 3 .∠1+∠4=180°. .∠4=180°-124°=56°， 第10页/共38页 6学科网 命组卷网 .∠2+∠3+∠4=180°. .∠3=180°-88°-56°=36° 13.若”为正整数，且满足n<V37<n+1, 则hs 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，通过平方法估算V37 的范围即可. 62=3672=49 【详解】解：计算 .36<37<49 :6<V37<7 .n=6. 故答案为6. 14若实数X,'同时满足 x-y31x-y=4,则y的值为 7 【答案】4 【解析】 【分析】根据思盒，可得×=+3≥3，再分y20、y<0两种情况，再解二元一次方程组即可。 【详解】解：“x-y卡3.y≥0 .x=y+323x=x ⑦当≥0 时， 第11页/共38页 命学科网命组卷网 x-y=x-y=3 -y=x-y=4,方程组无解： ②当y0 时， 7 X= 2 x-y=x+y=3, 解得 (x-y=x-y=4 xy= 2 7 综上， y=一 4. 15如图，线段4B为O0的直径，CD1B于点F,点C,D均在O0上 CD 均在上，以 为边作平行四边形 ACDE∠CDE=120° ,连续OE交O0于点G,注接FG.若4B=8,则FG ,则 E D 【答案】2V分 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质和已知角度求出∠ACD,进而在Rt△ACF中，求出∠CAF；利用圆 周角定理或三角函数求出OF的长，然后根据平行四边形的性质求出AE的长，在Rt△OAE中，求出 ∠AOB FG ,最后通过构造直角三角形，利用勾股定理求出 的长. 【详解】解：，四边形ACDE为平行四边形， .AC∥DE, 第12页/共38页 6学科网 组卷网 .∠ACD+∠CDE=180° .∠CDE=120°. .∠ACD=60°， CD⊥AB, .∠AFC=90°， 在Rt△ACF中，∠CAF=90°-∠ACD=30°， 如图，连接OC, :AB为直径，AB=8, .0A=0C=4, .∠COB=2∠CAB=2×30°=60° 在Rt△0CF中，0F=0Cc0s∠C0B=4xcos60=2 中， CF=OC.sin∠COB=4xsin60°=23 CD⊥AB :CD=2CF=43 ,四边形ACDE为平行四边形， :.AE∥CD,AE=CD=4V5 第13页/共38页 6学科网列组卷网 .CD⊥AB .AE⊥AB,即∠OAE=90°， 在RAOB中，an ZAOE-月 .∠AOE=60° ,点G在 ⊙0 上， .0G=4. 过点G作GH⊥AB于点H, 在Rt△OGH中，∠GOH=∠AOE=60°， :0H1=0G-os60r=4x号26M=0csm60r=4x5-25 2 .HF=HO+OF=2+2=4, 在RtaFHG中，FG=VHF2+GH=V4+(23=2V万 16.如果一个四位数M=abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之和为 M,M的十位数字作为三位数M的百位数字， M 8,那么称这个四位数M为“能源数”.将一个三位数记 立数M1的十位数字是0，M的个位数字与M的个位数字相同，记2(M)=/ 10，例如：四位数 1634,1+6≠8，.1634不是“能源数”.又如：四位数5349,5+3=8，.5349是“能源数”， Q(5349)=5349409=494 10 若A是最小的“能源数”，则(4是一：若对于“能源 第14页/共38页 6学科网6组卷网 数”MQ(M)能被1整除，记G(M)=bc-a+4 c-b一，则当G(M)为整数时，“能源数”M的最大值是 【答案】 ①.152②.6298 【解析】 【分析】根据题意可得a+b=8,各数位非0且互不相等，要使A最小，取a=1则b=7,C最小取2， d最小取3，得A值，由定义可得4=100c+d,进而求出(M)=100a+106-9c,将其代入求解即 可；由a+b=8得b=8-a,进而可得2(M)=88a+7+2a+3-9c,要使其被1整除，则 2a+3-9c需被11整除，列举得出有效的a,c组合：再计算G(M)=bc-a+4 c-b，筛选得整数解，进而 即可得解. 【详解】解：由思意得，a+b=8,且a≠0，b≠0，c≠0，d≠0a≠b≠c≠d ,且 和 A是最小的“能源数”， .千位a最小取1， .a+b=8, .b=7, ∴.十位C最小取2，个位d最小取3， ∴最小能源数A=1723, 由题意得，M=1000a+100b+10c+dM,=100c+d M-M 第15页/供38页 命学科网命组卷网 =(1000a+100b+10c+d)-(100c+d) =1000a+100b-90c a0(w)=M4=10u+106-e 10 ,(A)=100×1+10×7-9x2 =100+70-18 =152 .a+b=8, .b=8-a, :2(M)=100a+10(8-a)-9c =90a+80-9c =88a+77+2a+3-9c :要让(M)能被11整除， .2a+3-9c必须也能被11整除， .b=8-a≥1， ∴.a的范围是1≤a≤7，c是1-9的非零数字， .当a=1,c=9时，2a+3-9c =2×1+3-9×9 =-76 第16页/供38页 6学科网命组卷网 当a=7,c=1时，2a+3-9c =2×7+3-9×1 =8 .-76≤2a+3-9c≤8， .在-76到8之间，能被11整除的数有0、-11、-22、-33、44、-55、-66， .当2a+3-9c=0时，则2a=9c-3, a=3,c=1; 当2a+3-9c=-11时，则2a=9c-14, .a=c=2(舍去)，c=4时a=11>7(舍去)： 当2a+3-9c=-22时，则2a=9c-25, ∴.c=3时a=1, 当2a+3-9c=-33时，则2a=9c-36, c=4时a=0<1(舍去)，c=6时a=9>7(舍去)， 当2a+3-9c=-44时，则2a=9c-47, .c=5时a=-1(舍去)，c=7时a=8>7(舍去)， 当2a+3-9c=-55时，则2a=9c-58, .c=6时a=-2(舍去)，c=8时a=7, 当2a+3-9c=66时，则2a=9c-69, 第17页/共38页 6学科网列组卷网 ∴.c=9时a=6, ∴.当a=3,c=1时，b=8-3=5, G(M)=bc-a2+4 c-b 5×1-32+4 1-5 =0 ∴“能源数”M为351d: 当a=1,c=3时，b=8-1=7, G(M)=bc-d'+4 c-b =7×3-12+4 3-7 =-6 .“能源数”M为173d: 当a=7,c=8时，b=8-7=1, G(M)=bc-a2+4 c-b =1×8-72+4 8-1 37 7(不是整数，舍去)： 第18页供38页 学科网 命组卷网 当a=6,c=9时，b=8-6=2, G(M)-bc-a2+4 c-b 2×9-62+4 9-2 =-2, ∴.“能源数”M为629d, .173d<351d<629d, 最大的“能源数”M为629d时， .M=6298 【点睛】本题以“能源数”新定义为载体，结合数的整除性、代数式化简与整数性质，通过列举筛选与最 值分析推导结果，体现了代数建模、分类讨论与逻辑推理的核心数学思想. 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算 过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位 置上. 3(x+1)>2x-1① 17.求不等式组 2x+5之x+②的所有整数解的和. 3 【答案】0 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，找出所有整数解后求和即可. 【详解】解：解不等式①，得：x>-4: 第19页/共38页 6学科网 命组卷网 7 x≤ 解不等式②，得： 2: 7 -4<x 原不等式组的解集为： 2； -3,-2,-1,0,1,2,3 ∴.所有整数解有： “原不等式组所有整数解的和为：-3+(-2)+()+0+1+2+3=0 18如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E. 0 B (I)用尺规完成以下基本作图：过点D作AC的垂线DF,交AC于点F.(只保留作图痕迹) (2)在(1)问所作的图形中，若AE=DF,求证：四边形ABCD为矩形.（请完成下面的填空） 证明：：AE⊥BD,DF⊥AC, .∠AE0=90°，∠DF0=90°， ① 在△AEO和△DFO中， ② ∠AEO=∠DFO AE=DF :.△AEO≌aDFO(AAS) ③- 第20页/共38页 学科网 组卷网 ,四边形ABCD是平行四边形， .AC=2A0,BD=2DO. ④ 四边形ABCD是矩形： 【答案】(1) 如图所示，垂线DF即为所求： F (2) E 证明：：AE⊥BD,DF⊥AC, .∠AE0=90°，∠DF0=90°， .∠AE0=∠DFO=90°， 在△AEO和△DFO中， ∠AOE=∠DOF ∠AEO=∠DFO AE=DF :△AEO≌aDFO(AAS) .A0=D0, :四边形ABCD是平行四边形， .AC=2A0.BD=2D0 .AC=BD. 第21页/供38页 6学科网 命组卷网 ∴四边形ABCD是矩形. 【解析】 【分析】(1)以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AC于两点，分别以该两点为圆心，大于该两点距 离的一半为半径在AC下方画弧，两弧交于一点，最后连接点D和该点，与AC交点F,则点F为 AC⊥DF 的垂足； (2)利用已知条件证明△MBO2aDFO(AMS),得到A0=D0,再结合平行四边形的性质证得 AC=BD ,从而得证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19.重庆万州三峡科技馆于2026年元旦正式对外开放，其造型独特的“双鱼”设计吸引了大批市民打卡参 观，并且它是重庆首座“近零能耗”公共建筑.周末，小明和小华相约去三峡科技馆参观.如图：A、B、 C D E A 300 E 四个参观点在同一平面内，点在点B的正北方向300米处，点在点的东北方向，点 在点B的正东方向，点D在点E的正南方向，且在点C的北偏东30°方向100米处，点E在点A南偏东 75°方向.（参考数据：V2≈1.41，V5≈1.73，V6≈2.45） 第22页/供38页 命学科网命组卷网 (1)求B、C两参观点之间的距离（结果保留根号）； (2)小明沿A→B→C的路线进行参观，小华沿B→E→D→C的路线进行参观.两人同时出发， 已知小明与小华的速度比是V2:2 求小明离出发地4多少米时，两人之间的直线距离第一次达到 100W5米。（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(4)100+50√5)米 (2)71.0米 【解析】 【分析】)过点A作AR⊥BE于R,延长BC,ED交于点N解直角三角形求得 BR,RE,BN ,根据 BC=BN-CN,即可求解； (2)设小明到达AB上M处、小华到达BE上N处时，即MN=100√5，作NH上AB于H,设 AM=V2m,BN=2m,在Rt△MNH中，勾股定理建立一元二次方程，解方程，即可求解. 【小问1详解】 解：过点A作AR⊥BE于R,延长BC,ED交于点N, 在RtAABR中，AB=300,∠ABR=45° .BR=AR=1502 第23页/共38页 6学科网命组卷网 根据题意得：∠BAE=75°， 在Rt△AER中，∠AER=180°-45°-75°=60°， .RE=50W6 :.BE=BR+RE=150N2+50W6 在Rt△BEN中，∠EBN=45° .BN=150+50W3 由CW=2CD=50 ÷BC=150+503-50=(100+50V3)米 答：B,C两参观点之间的距离是100+50W5)米 【小问2详解】 设小明到达AB上M处、小华到达BE上N处时，即MW=1O0√5 作NH⊥AB于H, 设AM=V2m,BN=2m,则： 在Rt△BWH中，BN=2m,∠ABN=45°， ∴.BH=NH=√2m .MH AB-BH-AM =300-22m 在Rt△MNH中，(300-22m+(V2m'=(1003 解得：m=60√2+205（合），%=60V2-205 第24页/供38页 学科网组卷网 .AM=√2m=120-20V6≈71.0 答：小明离出发地471.0米时两人之间的直线距离第一次达到100、5米 20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+hx+2与x轴交于点A,B,0)两点，与y轴交于点 s、3 C,抛物线的对称轴是直线 2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)过点B作BD∥AC交抛物线于点D,点P是射线AC上方抛物线上的一动点，连接DP与射线AC 交于点E,连接BE,BP,点M,N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且MN=1,连接 PM,AN .当△PBE PM+MN+AN 面积最大时，求点P的坐标及 的最小值： (3在（②）中△PBE面积取得最大值时，将糙物线'=+bx+2沿射线4C方向平移5 个单位长度 得到新抛物线'，点P'为点P的对应点，点O为新抛物线上的一个动点，当∠OBA=∠OP-∠B1C 时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程. 223 【答案)1)y= 2t+2 (2)1+V3 第25页/供38页 6学科网列组卷网 3)(-1,3)或1-25，-3-33 【解析】 3 【分析】(1)B(1,0)代入抛物线y=2+bx+2,结合抛物线的对称轴是直线=一2，建立方程组求 X三 解即可； (2)过P PF∥'轴交BD于R,过点B作BG∥MN,使BG=MN,连接BN,PG,GM则四边 形BGMN是平行四边形，BN=GM,求出A(-4,0叭，CQ,2),求出直线AC解析式'2x+2,直 =-1x2_3x y=- x+2 22 线的解析式为11，联立 11 ,解得 y= BD Γ22 2x-2 D(-5,-3) n-2 则r2-.r=-方式-2x+3.a8mPrw）=+2+ (1.1 ,得当 x=-2时，S,m最大，由S0是定值，，m=S,m+S,0,得S最大，存P-2),当点M在 直线PG上时，PB+GM=PG,最小，由点A与点B关于对称轴对称，得AN=BN,得 AN+PM=PG,最小，由Gl,1),得PG=Vi3,即得PM+MW+AN的最小值是l+VI3 )8Op与4C交于台，可张发=-+2=++空，月千移1个水 第26页/共38页 6学科网列组卷网 1 度，用向有平移2个聚线y,为子2+4p儿4C园 VOPP=∠OLC,由三角形外角性质得LQBA=∠AOP,得BQ∥OP,求出OP解y=、3 得BQ解析式为y=-3x+3 x=-1 一2x+2,当y=y时，解得y=3,得0(1,3)：设0，关于x轴对称点为 3x3,联立解得 x=-1-2W3 Q(-1,-3)求出直线Bg解析式y=2-之 y=-3-35,得0(-1-25，-3-33 【小问1详解】 解：：抛物线y=r2+br+2与x轴交于点A, B(1,0)两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线 3 2 a+b+2=0 2a 2 1 Q=- 2 解得： 3, b=- ∴抛物线为：y= x2-3 +2 2 【小问2详解】 解：如图，过P PF∥'铺，交BD于R,过点B作BG∥MW,使BG=MW,连接BN,PG,GM 则四边形BGMN是平行四边形， 第27页共38页 6学科网命组卷网 .BN=GM, x-3x+2. 1 对y=- 22 y=0.则-+2-0 解得=-4戈=1 令t=0 y=2 ,则 :A(4,0),C(0,2) 设直线4C解折式为 =+2 把A(-4,0)代入，得4k+2=0, 解得。 2 1 y=)x+2 21 BDIAC ∴设直线BD的解析式为y=2x+6, 把B10)代入，得2+b=0, 第28页/共38页 6学科网6组卷网 1 b=- 解得2， 11 y= ∴直线BD的解析式为22， y=-123 +2 2 联立 11 y=2x-2 [x=-5〔x=1 解得y=3或y=0: .D(-5,-3), -+2 则（分. R=-+2-6引-2x+. mPr,)-2x+1-(5刃=+2+7. -1<0 “当x=-2时， SPBD最大， Sm是定值，Sm=Sm+Sm， SAPBE最大， 第29页/共38页 6学科网列组卷网 P(-2,3) 当点M在直线PG上时，PB+GM=PG,最小， ,点A与点B关于对称轴对称， ..AN=BN ∴.AN+PM=PG ,最小， .G1,) .PG=V1-(-2)+(3-1)2=13, :.PM+MN+AN的最小值是+i3 【小问3详解】 解：设OP与AC交于点L, A(-4,0),C(0,2) :4C=V0P+0C2=25 :将抛物线=+x+2沿射线4C方向平移V5个单位长度得到新抛物线广。 8,向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得 y 到新抛物线， rj1 33 第30页/共38页 6学科网6组卷网 :点P为点P的对应点， PPlAC :∠OPP'=∠OLC :∠A0P=∠OLC-∠BMC且0BA=20rr-∠BMC :∠OBA=∠4oP BQ∥OP 设OP解析式为y=mx, 把P(-2,3)代入，得-2m=3, :h、3 2, 3 ·OP解析式为y=一 3 y= x+n 设BQ解析式为 2 3 把B(1,0)代入，得2 +n=0 3 ..n= 2 3.3 2 “B0解析式为y= 2, 第31页/共38页 6学科网 组卷网 1x2+2x+4 y'= 2 当 时，联立 33 y=y y= 2t+ 2 x=-1x=5 解得y=3或y=6(舍去)， :2(1,3) 设2关于x轴对称点为C(-,-3),直线B吧解析式为y=+d, a+d=0 把B(1,0),g(-1,-3)代入，得-a+d=-3, (3 a-2 解得 3, d=- 2 我暖5-子。 y=-1 1 2+ 、x+4 33 y=- 一X一 22 x=-1+2V3 x=-1-2V5 解得 y=-3+33（舍去)或y=-3-35 0-1-25,-3-33) 故点0的坐标为(-1,3)或-1-2V3,-3-3V3 第32页/供38页 6学科网列组卷网 ∠QBA=∠AOP 【点睛】第(2)小问添加辅助线构造将军饮马模型，第(3)小问 ,点Q在点B的左面， 不合要求的点Q(在点B右面)舍去 Rt△ABC,∠ACB=90 BC 21.如图，已知在 中， ,点B在直线BC上，连接AE,过点C作 DLAB于点 D,AE交CD于点F. D D 图1 图2 图3 (I)如图1，若点E在线段BC上，AE平分∠CAB,CB=10,BE=6,求CF的长度： (2)如图2，若点E在线段BC上，∠CEA=45°，延长BC至点G,连接FG,满足∠AFD=∠AFG, 请用等式表示线段CG,AC和BC的数量关系并证明. (3)如图3， tan∠ABC=4 ,将△ACE沿AE翻折至△ABC所在平面得到△ACE,连接BC”,点 DP P为BC'的中点，连接DP,在E点运动过程中，当DP取最大值时，直接写出此时BE的值. 第33页/共38页 6学科网命组卷网 【答案】(1)4： (2) 解：CG=BC-AC,证明如下： 由(1)得：∠ACD=∠B. ∠CEA=45°，∠ACB=90°， .∠CEA=∠CAE=45°，CA=CE, .∠AFD=∠AFG, :.∠ACD+∠CAE=∠CEA+∠G=∠G+∠CAE, .∠G=∠ACD, .∠B=∠G=∠ACD, 过点E作HE⊥BC交CD的延长线于点H,如图， H D B 图2 则∠H=90°-∠BCD=∠B=∠G,∠GEF=∠HEF=45°， 在△MCB与△CEH 中， ∠H=∠B ∠ACB=∠CEH=90 CA=CE ∴.△ACB≌ACEH(AAS) 第34页/供38页 6学科网6组卷网 :EH=BC, 在△GEF与△HEF中， ∠G=∠H ∠GEF=∠HEF EF=EF ∴.△GEF≌△HEF(AAS) ∴.EG=EH ∴.BC=EG ∴.CG=EG-CE=BC-AC 即CG=BC-AC: 9 (3)50 【解析】 【分析】(1)利用同角的余角相等得到∠ACD=90°-∠BAC=∠ACD=∠B,利用角平分线的定义和 三角形的外角的性质得到∠CFE=∠CAE+∠ACD=∠BAE+∠B=∠CEF,从而得到 CF=CE=CB-BE ,从而得解： (2)根据题意可知是△CEA等腰三角形，∠CEA=∠CAE=45°，CA=CE,再利用三角形的外角的性质 证明∠B=∠G,过点B作HE⊥BC交CD的延长线于点H,从而证明△ACB≌aCEH(M4S) △GEF≌△HEF(AMS),得到EG=EH=BC,继而得证： 第35页/供38页 6学科网6组卷网 (3)设DC=12a,继而求得DB,BC,AC和BA,结合翻折的性质得到AC=AC',过点P作 PO‖AC'交BA于点O,则点O为BA的中点，且 B-0A-24B ,那么，点E在直线BC上运动过程 中，始终有AC=AC=20a,则点C”的运动轨迹为以点A为圆心AC'为半径的圆上运动，那么点P的运 动轨迹为以点O为图心0P=)4C为半径的圆上运动.当DP取最大值时，则点卫、点0和点D共线时。 求得此时OD,DP和BC',连接EC,则∠EC"B=90°，进一步求得Cos∠ABC,求得即可BE, 【小问1详解】 解：CD⊥AB,∠ACB=90°， .∠ACD=90°-∠BAC=∠B. 又：AE平分∠CAB,CB=10,BE=6. ∠CAE=∠BAE, ∴.∠CFE=∠CAE+∠ACD=∠BAE+∠B=∠CEF, .CF=CE=CB-BE=10-6=4: 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设DC=12a, :tan∠ABC=4 3, 第36页/共38页 6学科网6组卷网 tan∠ABC= DC 4 BD 3, 解得DB=9a, .BC=DB2+DC2=(9a)2+(12a)2 =15a :tan∠ABC=AC4 BC 3, 解得AC=20a, BA=VCB2+AC2=V15a)2+(20a}=25a, :将△ACE沿AE翻折至△ABC所在平面得到△ACE, .AC=AC=20a. 过点P POI‖AC交AB于点O,如图： .△BOPP△BAC', :点P为BC的中点， OP BO BP 1 :AC"AB BC2, 第37页/共38页 6学科网6组卷网 0B=0A=4B=25a 2 2a,0p=)4c=100 :点E在直线BC上运动过程中，始终有AC=AC', ∴点C的运动轨迹为以点A为圆心，AC”=20a为半径的圆上运动， ∴点P的运动轨迹为以点O为圆心，OP=10a为半径的圆上运动， 当DP取最大值时，则点P、点O和点D共线时，如图， B E OD=OB-BD= 5aDP=0D+0P=2a+10a=27 a 此时， 2 2 BC=AB+AC'=25a+20a=45a 连接EC,则∠ECB=90°， :cos∠ABC=BC=3BC' BA 5 BE, BE= BC _45a=75a COSLABC 3 :209 27 ·BE=75a50 第38页/共38页