第03讲 全等三角形的判定（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材苏科版

第03讲 全等三角形的判定（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+7个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 全等三角形的判定 一块三角形玻璃打碎成三片，拿一块碎片就能配出一模一样的玻璃.只靠部分边角，就能确定三角形完全相同吗？今天我们一起探究三角形全等的判定条件. 【知识点1 基本事实“边角边”（SAS）】 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【知识点2 基本事实“角边角”（ASA）】 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS）】 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【知识点4 基本事实“边边边”（SSS）】 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【知识点5 三角形的稳定性】 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 【知识点6 斜边、直角边定理（HL）】 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【知识点7 判定两个三角形全等的常用思路】 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【题型1 “边角边”判定三角形全等】 【例1】（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，和相交于点，．若用“”证明还需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一排除即可，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】、在和中， ， ∴，故本选项符合题意； 、，不能证两三角形全等，故本选项不符合题； 、在和中， ， ∴，故本选项不符合题意； 、根据和，不能证两三角形全等，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式1-1】（25-26八年级上·重庆石柱·阶段检测）下列两个三角形全等的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 对于①②两个三角形利用即可证明． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴①②两个三角形全等，其余均不能判断， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，点在的平分线上，若能用判定，则需添加的一个条件是 _______________ 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据全等三角形的判定定理（在两个三角形中，如果两边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等）即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是公共边，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】如图，在和中，相交于点F，则（   ）    A．35° B．55° C．145° D．155° 【答案】C 【分析】由“”可证，可得，再利用三角形的外角性质计算即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ，    ． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键． 【题型2 “角边角”判定三角形全等】 【例2】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点，，，在同一条直线上，且，，，根据以上条件判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴判定的依据是“”， 故选：． 【变式2-1】（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，与交于点，请添加一个条件_______，使．（只填一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，，再利用即可证明，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：添加，理由如下： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-2】如图，点B、E、C、F在一条直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先利用平行线的性质得，再利用得出，进而得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴ 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 【变式2-3】如图，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E． （1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由； （2）试说明△AOD≌△EOC． 【答案】（1）AD//BE，理由见解析；（2）见解析． 【分析】（1）由AB//CD可得∠B＝∠DCE，进而可得∠DCE＝∠D，问题得证； （2）由O是CD的中点，可得DO＝CO，结合（1）中∠DCE＝∠D，再结合对顶角，可根据ASA判定全等． 【详解】（1）AD//BE， 理由：∵AB//CD， ∴∠B＝∠DCE， ∵∠B＝∠D， ∴∠DCE＝∠D， ∴AD//BE； （2）∵O是CD的中点， ∴DO＝CO， 在△ADO和△ECO中， ∴△AOD≌△EOC（ASA）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【题型3 “角边角”判定三角形全等的应用】 【例3】如图是嘉淇测量水池宽度的方案，下列说法不正确的是（    ）    ①先确定直线，过点作； ②在上取，两点，使得△； ③过点作； ④作射线口，交于点； ⑤测量☆的长度，即的长 A．△代表 B．□代表 C．☆代表 D．该方案的依据是 【答案】D 【分析】先根据方案补全作图步骤，再说明作图理由即可判断每一个选项的对错． 【详解】①先确定直线，过点作； ②在上取两点，使得； 故选项A正确； ③过点作； ④作射线，交于点； 故选项B正确； ⑤测量的长度，即的长； 故选项C正确； ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴该方案的依据是； 故选项D错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定的实际应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式3-1】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第______块去，这利用了三角形全等中的原理． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定方法解答． 【详解】解：由图可知，带第2块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：2． 【变式3-2】如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知，，，那么与相等．小飞直接证明，他的证明依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键．根据已知，证出即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-3】（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故选C． 【题型4 “角角边”判定三角形全等】 【例4】如图，已知．若添加一个条件后，可得，则在下列条件中，不能添加的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：选项A：添加不能判定，故本选项符合题意； 选项B：添加可用进行判定，故本选项不符合题意； 选项C：添加可用进行判定，故本选项不符合题意； 选项D：添加，可得，可用进行判定，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式4-1】已知的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中与全等的是（ ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】根据全等三角形的四个判定定理（SAS,ASA,AAS,SSS）逐个进行判断即可. 【详解】解：已知在△ABC中，∠B=50°，∠C=58°，∠A=72°，BC=a,AB=c,AC=b，∠C=58°； 图甲：只有AB有对应边相等，没有其它条件，不符合判定定理，故△ABC与图甲不全等； 图乙：只有两个角对应相等相等，还有一条边对应相等，符合三角形全等的判定定理（AAS）；图丙：两边即夹角相等，符合三角形全等的判定定理（SAS）；， 故答案为B. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，牢记并灵活应用全等三角形的判定定理三角形的解答本题的关键. 【变式4-2】已知：如图，，相交于点O，，． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）根据AAS，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得OB=OC，进而即可得到结论． 【详解】证明：（1）在与中， ∵， ∴（AAS）； （2）∵， ∴OB=OC， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质，掌握AAS判定三角形全等，是解题的关键． 【变式4-3】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ， ． 【题型5 “角角边”判定三角形全等的应用】 【例5】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，龙龙用长方体积木垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一块三角板（，），点在上，点、恰好与木墙的顶端重合，，，则两堵木墙之间的距离的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质及线段的和差关系即可求出的长． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 【变式5-1】小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 【变式5-2】如图，小明与小敏玩跷跷板游戏。如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）距地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明这时离地面的高度是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：在与中， ∵， ∴， ∴， ∴小明离地面的高度是， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线性质得到，再结合题中所给条件，，即可通过“角边角”证明全等； （2）根据全等三角形的性质得，再推得，即可由得解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ，， ． 【题型6 “边边边”判定三角形全等】 【例6】“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据，不用度量就知道，则她判定两个三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法， 根据已知的两条对应边相等，再加上中间的公共边即可证明． 【详解】解：在和中 ， ， 故选：A． 【变式6-1】如图，在△ABC和△FED，A、F、C、D在同一直线上，AC=FD，AB=DE，当添加条件__________时，就可得到△ABC≌△DEF；（只需填写一个你认为正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据AC=FD，AB=DE，可知有两边相等，再添一个条件可以是第三边相等或这两边的夹角相等或可推出这两边的夹角相等的条件即可． 【详解】解：根据SSS判定方法可添BC=EF， 在△ABC和△DEF中 ∴（SSS）， 根据SAS判定方法可添∠BAC=∠EDF， 在△ABC和△DEF中 ∴（SAS）， 根据SAS判定方法可添AB∥DE， ∵AB∥DE， ∴∠BAC=∠EDF 在△ABC和△DEF中 ∴（SAS）， 故答案为：BC=EF（或∠BAC=∠EDF，或AB∥DE答案不唯一）． 【点睛】本题考查添加一个条件证明三角形全等．需要注意的是全等三角形的证明过程中，必须有边的参与，AAA和SSA不能作为判定三角形全等的依据． 【变式6-2】（24-25八年级上·吉林·阶段检测）如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键． 【详解】证明：， 则，即， 在和中， ， ． 【变式6-3】（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，点在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)连接和，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质： （1）先证明，得到后，得到对应补角相等后即可证平行； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 平行于． （2）解：． ， ， ． 【题型7 三角形的稳定性】 【例7】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 【变式7-1】下列图形不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得B、C、D都具有稳定性，不具有稳定性的是A选项． 【变式7-2】要使五边形木框不变形，应至少钉上_____根木条，这样做的依据是_____． 【答案】 2； 三角形具有稳定性． 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】因为三角形具有稳定性，再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形，故至少要再钉两根木条. 故答案为2；三角形具有稳定性. 【点睛】本题考查的知识点是三角形的稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形的稳定性. 【变式7-3】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 【题型8 “边边边”判定三角形全等的应用】 【例8】如图所示，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，，为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿的平分线航行，航行途中，某时测得船所在的位置C与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？并说明你的理由． 【答案】没有偏离航线，理由见解析 【分析】只要证明轮船与O点的连线平分就说明轮船没有偏离航线，也就是证明，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等． 【详解】解：此时轮船没有偏离航线，理由如下： 连接，如图所示： ∵在与中， ∴， ∴， ∴此时轮船没有偏离航线． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是：根据条件设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找对应角相等．要学会把实际问题转化为数学问题来解决． 【变式8-1】在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB＝AC，BO＝CO，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下∠B和∠C是否相等，小麦走过来说：“不用量了，肯定相等”，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是（　　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】根据SSS判定即可得出答案． 【详解】在和中， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定的方法是解题的关键． 【变式8-2】（2024·云南昆明·模拟预测）如图是陈老师在黑板上演示的“作一个角等于已知角”尺规作图及其步骤：作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；（4）作射线，则 以下是四名同学对作图过程做出的判断，四名同学说法错误的是（  ） A．小楠 B．小雅 C．小彤 D．小华 【答案】D 【分析】本题考查作图作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 【详解】解：由作图得，， 在和中 ， ∴， ∴． 故小华的说法错误， 故选：D． 【变式8-3】如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．    (1)小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图，在筝形中，，． 求证：___________． 证明：___________ (2)小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是___________．（写出一条即可） 【答案】(1)，见解析 (2)（或垂直平分线段） 【分析】（1），连接，证明，即可得结论； （2）根据全等三角形的性质即可得筝形的两条对角线互相垂直． 【详解】（1）解：证明：连接，    在和中， ， ， ； （2）证明：如图，连接，交于点，    由（1）知， ， 在与中， ，， ， ， ， 两条对角线互相垂直． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 【题型9 “HL”判定直角三角形全等】 【例9】（25-26八年级上·云南曲靖·阶段检测）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（    ） A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定．根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、根据斜边直角边定理判定两个三角形全等，故本选项不合题意； B、两个锐角对应相等不能判定两三角形全等，故本选项符合题意； C、一锐角和斜边对应相等，可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不合题意； D、两条直角边对应相等，可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不合题意； 故选：B． 【变式9-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是______． 【答案】8cm 【分析】连接，证明进而可得，进而即可求得△ADE的周长． 【详解】连接， ， △ADE的周长是cm 故答案为： 【点睛】本题考查了HL证明三角形全等以全等三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 【变式9-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，， 垂足分别为B 、C．，与交于点F．连接，则图中共有 _______对全等三角形． 【答案】5/五 【分析】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．证明则，，再证明，则，得到，即可证明， 则；证明，，即可得到答案． 【详解】∵，， ∴ 在与中 ∴ ∴，， 在与中 ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴； ∵ ∴， ∵， ∴， ∴全等三角形有，，，，，共5对全等三角形． 故答案为：5． 【变式9-3】已知：如图，，点、在线段上，与交于点，且，．求证：．    【答案】见解析 【分析】先证明，再利用证明即可证明． 【详解】证明：， ，即， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【题型10 “HL”判定直角三角形全等的应用】 【例10】（24-25八年级上·吉林·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度相等，当，，时，求的长度． 【答案】的长度为8． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质．先根据定理判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， ∴， ∴， 答：的长度为8． 【变式10-1】图1是，图2是嘉琪在已有的情况下，所画的的部分过程，则依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂作图的步骤及作图原理可得到答案． 【详解】解：根据作图过程和步骤可知依据是， 故选：D 【变式10-2】（25-26八年级上·山西长治·期末）活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据得到，证明，得到，，即，证明，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式10-3】（24-25八年级上·山西大同·阶段检测）嘉淇为了测量建筑物墙壁的高度，采用了如图所示的方法： ①把一根足够长的竹竿的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处； ②把竹竿顶端沿下滑至点D，使______，此时竹竿末端落在地面E处； ③测得的长度，就是的高度 (1)请补全上述方法： (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）根据题意可得是需要通过证明得到，那么需要条件的条件即为； （2）利用证明，即可证明． 【详解】（1）解：由题意得，可知， 故答案为：； （2）证明：由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴． 模块三 课后作业 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用证明三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ，，， ， 故选：A． 2．（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意； B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等， ∴可以根据证明全等，符合题意； C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意； D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意． 3．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本事实：进行分析判断即可． 【详解】解：在Rt≌Rt中，， A．添加，无法证明，故此选项不符合题意； B．添加，无法证明，故此选项不符合题意； C．添加，可以用“”证明，故此选项符合题意；     D．添加，无法证明，故此选项不符合题意. 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 5．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，证明，推出，根据网格特点，可知，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 由图可知，， ∴. 6．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出即可． 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，于点，于点．若，则的度数为______． 【答案】/15度 【分析】证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25八年级上·吉林·阶段检测）如图，和关于直线对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上，则图中有______对全等三角形． 【答案】2 【分析】本题考查对称的性质，三角形全等的判定，设直线l交于点G，交于点H，根据题对称的性质结合三角形判定定理判定即可得出结论． 【详解】解：如图，设直线l交于点G，交于点H， 和关于直线对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C， ， 点B、C、D、E在同一条直线上， ， ， ， 图中有2对全等三角形． 故答案为：2． 9．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时，， 则， ∴， 故答案为：2． 10．（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，，根据垂直的定义及同角的余角相等可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ． 在和中，， ， ． ， ． 11．（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)若，， 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明角相等． （1）根据可得，再加上条件，．可利用定理证明； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质得到对应角相等，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）解：， ，即． 在和中， ， ． （2）解：由（1）知， ． ，， ． 12．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，，，． (1)求证：； (2)若点A、B、E在同一条直线上，且，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后证明出即可； （2）首先由全等得到，然后求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ． 13．（24-25八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差关系即可证明结论； （2）利用即可证明． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴； （2）证明：由（1）得， 又∵，， ∴． 14．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·青海西宁·二模）如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质和，即可得证； （2）证明，得到，即可. 【详解】（1）证明：矩形， ，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）证明：， ， 矩形， ， ， 在和中， ， ， 平分． 16．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起探究吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形__________________； 【理解与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，求x的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，若，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由，， ，可得； （2）延长至点Q，使，连接，证明（），得．在中，由三边关系可得； （3）如图3，延长到点M，使，连接，证明（），得，，证明．可得（），即得． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， ∵， ， ∴； ； （2）如图2，延长至点Q，使，连接， 证明（）， ∴． 在中， 即， ∴x的取值范围是； 故答案为：； （3）如图3，延长到点M，使，连接， ∴． ∵是的中线， ∴． 在与中， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ， ∵，， ∴． ∵， ∴． 在与中， ∴（）， ∴． 【点睛】本题考查了倍长中线证明三角形全等．熟练掌握中线性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解题的关键． 17．有公共顶点A的△ABD，△ACE都是的等边三角形． （1）如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E，C，B共线时，求∠BCD的度数； （2）如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD=90°时，延长EC角BD于F， ①求证：∠DCF=∠BEF； ②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）60°；（2）①见解析；②DF=BF，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件以及等边三角形的性质，证明△DAC≌△BAE，可得∠ACD=∠E=60°，根据E，C，B共线，即可求得∠BCD的度数； （2）①证明△DAC≌△BAE，可得∠AEB=∠ACD=90°，根据角度的换算可得∠DCF=∠BEF； ②在EF上取一点G，使BG=BF，由（1）知，△DAC≌△BAE，CD=EB，进而证明△DCF≌△BGE，可得DF=BG，即可证明BF=DF． 【详解】解：∵△ABD，ACE都是等边三角形， ∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE ∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中 ， ∴△DAC≌△BAE， ∴∠ACD=∠E=60°， ∵E，C，B共线， ∴∠BCD=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=60°； （2）①∵△ABD，ACE都是等边三角形， ∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE ∵∠DAC=∠DAB﹣∠BAC，∠BAE=∠CAE﹣∠BAC， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中 ， ∴△DAC≌△BAE， ∴∠AEB=∠ACD=90°， ∴∠BEC=∠AEB﹣∠AEC=90°﹣60°=30°， ∵∠DCF=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=30°， ∴∠DCF=∠BEF； ②DF=BF， 理由：如图， 在EF上取一点G，使BG=BF， ∴∠GFB=∠FGB， ∴∠DFC=∠BGE， 由（1）知，△DAC≌△BAE，CD=EB， ∠DCF=∠BEC， ∴△DCF≌△BGE， ∴DF=BG， ∴DF=BF． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 全等三角形的判定（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+7个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 全等三角形的判定 一块三角形玻璃打碎成三片，拿一块碎片就能配出一模一样的玻璃.只靠部分边角，就能确定三角形完全相同吗？今天我们一起探究三角形全等的判定条件. 【知识点1 基本事实“边角边”（SAS）】 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【知识点2 基本事实“角边角”（ASA）】 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS）】 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【知识点4 基本事实“边边边”（SSS）】 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【知识点5 三角形的稳定性】 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 【知识点6 斜边、直角边定理（HL）】 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【知识点7 判定两个三角形全等的常用思路】 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【题型1 “边角边”判定三角形全等】 【例1】（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，和相交于点，．若用“”证明还需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·重庆石柱·阶段检测）下列两个三角形全等的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式1-2】（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，点在的平分线上，若能用判定，则需添加的一个条件是 _______________ 【变式1-3】如图，在和中，相交于点F，则（   ）    A．35° B．55° C．145° D．155° 【题型2 “角边角”判定三角形全等】 【例2】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点，，，在同一条直线上，且，，，根据以上条件判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，与交于点，请添加一个条件_______，使．（只填一种情况即可） 【变式2-2】如图，点B、E、C、F在一条直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【变式2-3】如图，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E． （1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由； （2）试说明△AOD≌△EOC． 【题型3 “角边角”判定三角形全等的应用】 【例3】如图是嘉淇测量水池宽度的方案，下列说法不正确的是（    ）    ①先确定直线，过点作； ②在上取，两点，使得△； ③过点作； ④作射线口，交于点； ⑤测量☆的长度，即的长 A．△代表 B．□代表 C．☆代表 D．该方案的依据是 【变式3-1】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第______块去，这利用了三角形全等中的原理． 【变式3-2】如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知，，，那么与相等．小飞直接证明，他的证明依据是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【题型4 “角角边”判定三角形全等】 【例4】如图，已知．若添加一个条件后，可得，则在下列条件中，不能添加的是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】已知的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中与全等的是（ ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．只有乙 D．只有丙 【变式4-2】已知：如图，，相交于点O，，． 求证：（1）； （2）． 【变式4-3】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 【题型5 “角角边”判定三角形全等的应用】 【例5】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，龙龙用长方体积木垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一块三角板（，），点在上，点、恰好与木墙的顶端重合，，，则两堵木墙之间的距离的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）      A． B． C． D． 【变式5-2】如图，小明与小敏玩跷跷板游戏。如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）距地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明这时离地面的高度是______ ． 【变式5-3】（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【题型6 “边边边”判定三角形全等】 【例6】“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据，不用度量就知道，则她判定两个三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在△ABC和△FED，A、F、C、D在同一直线上，AC=FD，AB=DE，当添加条件__________时，就可得到△ABC≌△DEF；（只需填写一个你认为正确的条件即可） 【变式6-2】（24-25八年级上·吉林·阶段检测）如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【变式6-3】（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，点在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)连接和，直接写出和之间的数量关系． 【题型7 三角形的稳定性】 【例7】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【变式7-1】下列图形不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】要使五边形木框不变形，应至少钉上_____根木条，这样做的依据是_____． 【变式7-3】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【题型8 “边边边”判定三角形全等的应用】 【例8】如图所示，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，，为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿的平分线航行，航行途中，某时测得船所在的位置C与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？并说明你的理由． 【变式8-1】在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB＝AC，BO＝CO，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下∠B和∠C是否相等，小麦走过来说：“不用量了，肯定相等”，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是（　　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【变式8-2】（2024·云南昆明·模拟预测）如图是陈老师在黑板上演示的“作一个角等于已知角”尺规作图及其步骤：作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；（4）作射线，则 以下是四名同学对作图过程做出的判断，四名同学说法错误的是（  ） A．小楠 B．小雅 C．小彤 D．小华 【变式8-3】如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．    (1)小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图，在筝形中，，． 求证：___________． 证明：___________ (2)小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是___________．（写出一条即可） 【题型9 “HL”判定直角三角形全等】 【例9】（25-26八年级上·云南曲靖·阶段检测）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（    ） A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 【变式9-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是______． 【变式9-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，， 垂足分别为B 、C．，与交于点F．连接，则图中共有 _______对全等三角形． 【变式9-3】已知：如图，，点、在线段上，与交于点，且，．求证：．    【题型10 “HL”判定直角三角形全等的应用】 【例10】（24-25八年级上·吉林·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度相等，当，，时，求的长度． 【变式10-1】图1是，图2是嘉琪在已有的情况下，所画的的部分过程，则依据是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26八年级上·山西长治·期末）活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25八年级上·山西大同·阶段检测）嘉淇为了测量建筑物墙壁的高度，采用了如图所示的方法： ①把一根足够长的竹竿的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处； ②把竹竿顶端沿下滑至点D，使______，此时竹竿末端落在地面E处； ③测得的长度，就是的高度 (1)请补全上述方法： (2)求证：． 模块三 课后作业 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 3．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 5．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是___________． 7．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，于点，于点．若，则的度数为______． 8．（24-25八年级上·吉林·阶段检测）如图，和关于直线对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上，则图中有______对全等三角形． 9．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 10．（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 11．（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)若，， 求的度数． 12．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，，，． (1)求证：； (2)若点A、B、E在同一条直线上，且，，求的度数． 13．（24-25八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 14．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 15．（2026·青海西宁·二模）如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 16．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起探究吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形__________________； 【理解与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，求x的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，若，求的长度． 17．有公共顶点A的△ABD，△ACE都是的等边三角形． （1）如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E，C，B共线时，求∠BCD的度数； （2）如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD=90°时，延长EC角BD于F， ①求证：∠DCF=∠BEF； ②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $