第04讲 线段垂直平分线与角平分线（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学新教材苏科版

第04讲 线段垂直平分线与角平分线（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 线段垂直平分线的性质 公路旁有两个村庄A、B，要在公路边上建一个快递驿站，使驿站到两个村子距离相等，驿站该选在哪？带着这个问题，我们学习线段垂直平分线的性质. 【知识点1 线段垂直平分线的性质】 1. 线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴． 2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 3. 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 4. 用集合定义线段的垂直平分线：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合． 【题型1 利用线段垂直平分线的性质定理求线段长度】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，    是的垂直平分线，， ∴． 【变式1-1】如图，在中，为边上的中垂线，，，则的周长为___________ 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，进行线段的等量代换，将的周长转化为是正确解答本题的关键． 【详解】解：为边上的中垂线 的周长 的周长 ． 【变式1-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知．的垂直平分线交于点E交于点F．连结，若，的周长为18，求的周长． 【答案】的周长为12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握此性质是关键； 由线段垂直平分线的性质得，，进而得；由的周长可得，即为的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 由题可知， ， ， 即的周长为12． 【变式1-3】（2026·天津南开·二模）如图，在中，，，．是的角平分线．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点Q； ②分别以点D和点Q为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③连接并延长交边于点E，连接．则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】由题可知，设交于，可证，得到，则是的垂直平分线，进而得到，再根据边的关系计算周长即可． 【详解】解：由题可知，设交于， ， 是的角平分线， ，又， ， ， 是的垂直平分线， ， 又，，， , 则的周长． 【题型2 利用线段垂直平分线的性质定理求角度】 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，的中垂线交于，的中垂线交于，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的中垂线可得，再根据的中垂线可得，再结合即可计算出，再由即可得到答案． 【详解】解：∵的中垂线交于，的中垂线交于， ∴ ∴，， ， ， ， 又 ， ． 【变式2-1】（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，得到两弧的交点，过这两个交点的直线分别交，于点D，E，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得出垂直平分，则，再得出，则可得的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的度数为_____． 【答案】/25度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质及作图、三角形外角的性质．关键是根据作图确定且垂直平分，利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再通过等边对等角和三角形外角性质，最终得到的度数． 【详解】解：设， 由作图可知，，垂直平分， ∴，，即； ∵， ∴； 在中，， ∴，解得； ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，D为中点，连接，垂直平分交于点E，交于点O，交于点F，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)； (2)见详解． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，从而可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可求解； （2）利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得，即可求证； 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，D为中点，， ∴平分， ∴， ∴； （2）证明∵，D为中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴是等腰三角形 【题型3 线段垂直平分线的判定】 【例3】如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（      ）    A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中点 D．的垂直平分线上 【答案】A 【分析】因为，，所以，点在的垂直平分线上，据此作答． 【详解】解：∵，， ， ∴点在的垂直平分线上， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，解题的关键是正确理解线段垂直平分线的判定定理． 【变式3-1】如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（  ） A． B．平分 C． D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定 ，角平分线的性质和定义，先由角平分线的性质可得，再证明得到，根据现有条件，无法证明垂直平分，即可解答． 【详解】解：平分，，， ，故A结论正确，不符合题意； 在和中， ， ， ，故C结论正确，不符合题意； ∴平分，故B结论正确，不符合题意 根据现有条件，无法证明垂直平分，即该结论不一定成立，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】如图，中，，平分交于点E，过点E作的垂线交于点D，连接．求证：垂直平分． 【答案】证明见详解 【分析】根据已知条件证明，然后根据垂直平分线的判定即可得证． 【详解】解： ，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定与性质与垂直平分线的判定，熟练掌握这些判定与性质是解此题的关键． 【变式3-3】在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC， 求证：E点在线段AC的垂直平分线上． 【答案】证明见解析 【详解】此题考查三角形中垂直平分线 证明：∵AD是高， ∴  AD⊥BC, 又 BD=DE ∴ AD所在的直线是线段BE的垂直平分线 ∴AB=AE 于是  AB+BD=AE+DE 又 AB+BD=DC ∴ DC=AE+DE  即  DE+EC=AE+DE ∴ EC=AE ∴ 点E在线段AC的垂直平分线上 点评：垂直平分线上的点到线段两段的距离相等． 【题型4 线段垂直平分线的应用】 【例4】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，则可求，然后结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵区域的围栏总长度为10米， ∴， ∴， 即的长度为4米． 【变式4-1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在______线的交点． 【答案】 三边垂直平分 【详解】解：∵ 到距离相等的点在的垂直平分线上，到距离相等的点在的垂直平分线上， ∴两条垂直平分线的交点，就是到三个顶点距离都相等的点， ∴应该蹲守在三边垂直平分线的交点． 【变式4-2】如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积）_______cm2．             【答案】3360 【分析】先证明是的垂直平分线，再利用对角线互相垂直的四边形的面积是对角线乘积的一半即可求解． 【详解】∵， cm ∴是的垂直平分线． ∴ ∴ cm2 故答案是3360． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定和对角线互相垂直的四边形的面积公式，证明对角线垂直和记忆公式是解题的关键． 【变式4-3】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，仓库内有一块缺了一个角的三角形木板，木工师傅在上边的作图痕迹（，，）依旧清晰可见，嘉嘉测量后发现，点D和点E恰好在和的垂直平分线上，由此可知和所在直线相交形成的锐角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由已知条件可得出，，再由线段垂直平分线的性质得出，，进而求出，再利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D和点E恰好在和的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 即和所在直线相交形成的锐角度数为， 故选C． 模块三 角平分线的性质 同学们，想象一下，在两条笔直的小河交汇形成的夹角处，有一块非常肥沃的农田.为了方便灌溉，农民伯伯想在农田里找一个最合适的位置打一口水井（我们把这个位置叫做点 P）.从这口井分别向两条小河修两条笔直的水渠（也就是引水的小路），而且为了节省成本，希望这两条水渠的长度完全相等. 大家开动脑筋想一想，这口井到底应该打在什么位置，才能保证到两条小河的距离一样呢？今天，就让我们带着这个问题，一起走进“角平分线的性质”，去寻找这个神奇的位置！ 【知识点2 角平分线的性质】 1. 角的轴对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 2. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 3. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【知识点3 线段垂直平分线与角平分线的作法】 类别 作法 图形 线段垂直平分线 ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于C，D． ②过C，D两点作直线 ，直线CD就是线段AB的垂直平分线． 角 平 分 线 ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点D，E两点． ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． ③作射线OC，射线OC就是的平分线． 【题型5 利用角平分线的性质定理求线段长度】 【例5】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，点P在的平分线上（不与点O重合），于点C，，若D是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到的距离为3，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点P在的平分线上，，， ∴点P到边的距离等于3， ∴点P到的距离为3， ∵点D是边上的任意一点， ∴的最小值为3，即． 故选：D． 【变式5-1】如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，，垂足为点E，，，，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】过点D作于点F，根据角平分线的性质，得出，根据三角形面积公式求出，根据，求出，根据三角形面积公式即可得出． 【详解】解：过点D作于点F，如图所示： ∵AD平分∠BAC，， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，作出辅助线，求出，是解题的关键． 【变式5-2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，． (1)基本尺规作图：作的角平分线交于，过点作于．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)若，求的周长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）由尺规作图-作角平分线的方法步骤求解即可； （2）先由角平分线性质得到，再由两个直角三角形全等的判定与性质得出，求出，数形结合即可求得到的周长． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【题型6 利用角平分线的性质定理求面积】 【例6】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，是平分线上的一点，点分别在射线上，满足．若的面积是1，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解本题的关键． 如图，过作于 作于 ，再证明，再结合三角形的面积可得答案． 【详解】解：如图，过作于 作于   ∵平分， ∴， ∵，， ∵ ∴ ∵的面积是1， ∴ 故选C． 【变式6-1】如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大1，则的面积是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积、角平分线的性质定理、三角形的中线等知识，作于，于，由角平分线的性质定理可得，首先证明，设的面积为，则的面积为，的面积为，再构建方程，解方程即可得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，于， 平分，于，于， ， ， ， 设的面积为，则的面积为， 为的中点， 的面积为， 的面积比的面积大1，, 的面积比的面积大1， ， ， 的面积是10 故选：C． 【变式6-2】（25-26八年级上·北京·期末）如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是18．，则的面积是_____． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点D作于F，过D作于G，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式可得， 从而可得，求得，最后利用三角形的中线性质可得，进行计算即可解答． 【详解】解：如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， 的面积是18， ， ∵是边上的中线， ， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，已知的周长是21，，分别平分和，于点D，且，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将三角形面积转化为三个小三角形面积之和求解． 明确角平分线上的点到角两边距离相等，可知点到另外两边的距离也为3；将的面积分解为、、的面积之和，利用三角形面积公式和周长条件计算总面积． 【详解】解：∵，分别平分和， ∴点O到三边的距离相等， ∵且 ∴点O到、的距离也均为3． 连接则的面积可分为、、的面积之和： 根据三角形面积公式底高，可得： ∵的周长 ． 故答案为：． 【题型7 角平分线性质定理的逆定理】 【例7】一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等， ∴该点应是三角形三条角平分线的交点， 故选：B． 【变式7-1】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是（    ）． A．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上 D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，理解角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 过两把直尺的交点P作，根据题意可得，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图：过两把直尺的交点P作， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）． 故选C． 【变式7-2】（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【答案】证明：过点P分别作，，， 是的角平分线， （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． 同理，． ． 点P在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即的平分线经过点P． 【分析】过点P分别作，，，根据角平分线的性质得出，然后根据角平分线的判定即可得证． 【详解】略 【变式7-3】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，边上的点到、边的距离相等，连接，，，，点、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，根据题意，易得平分，在上截取，连接，证明，得到，进而得到，再根据垂线段最短，得到时，最短，利用面积公式求出的长即可. 【详解】解：在上截取，连接， ∵边上的点到、边的距离相等， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时的值最小为的长， 又∵垂线段最短， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∵平分， ∴为的中线， ∴， ∴当时，， ∴, ∴的最小值为； 故答案为：. 【题型8 三角形的角平分线】 【例8】（24-25八年级上·全国·期中）如图，中，和的角平分线交于点P，若，则的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，等高三角形，能够熟练运用角平分线的性质是解决本题的关键． 过P点作于D，于E，于F，根据角平分线的性质可知三个三角形的高相等，故底之比等于面积之比，由此可得答案． 【详解】解：过P点作于D，于E，于F，如图， ∵和的角平分线交于点P， ∴， ∴，设， ∵． ∵， ∴． 故选：B． 【变式8-1】随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有_______处. 【答案】4 【分析】分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解． 【详解】如图所示， 加油站站的地址有四处． 故选D． 【点睛】考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的边，，O是三条角平分线的交点，若的面积为15，则的面积为______． 【答案】18 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得，点到的距离相等，设点到的距离为，根据，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵点是三条角平分线的交点， ∴点到的距离相等， 设点到的距离为， 则， 解得：， ∴， ∴的面积为 18 ． 故答案为：18． 【变式8-3】如图，在中，，为三条角平分线的交点，，，，点，，分别是垂足，且，，则点到边的距离为 ________． 【答案】/2厘米 【分析】本题考查勾股定理，角平分线，一元一次方程的知识，解题的关键是根据勾股定理，求出，再根据角平分线的性质，则，根据，，，则，设，即可． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∵为三条角平分线的交点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴点到的距离为：． 故答案为：． 【题型9 线段垂直平分线与角平分线的综合应用】 【例9】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在锐角三角形中，直线为的中垂线，射线为的角平分线，且直线与射线相交于点．若，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查了中垂线，角平分线，三角形的内角和，解题的关键是掌握这些知识点．根据直线l为的中垂线得，即，根据射线为的角平分线得，即可得，根据三角形内角和定理和进行计算即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵直线l为的中垂线， ∴， ∴， ∵射线为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【变式9-1】如图，在等边三角形中，是角平分线，P为线段上一动点，M为的中点，连接，若的最小值为15cm，则______cm． 【答案】15 【分析】如图所示，连接，先证明在线段的垂直平分线上，则，进而推出当三点共线时，的值最小，即的值最小，再由等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵是等边三角形，是角平分线， ∴在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即的值最小， ∴， 又∵M是的中点，是等边三角形， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，确定当三点共线时，的值最小，即的值最小是解题的关键． 【变式9-2】在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点，将沿折叠，点与点恰好重合，则的度数为__________．    【答案】 【分析】本题考查翻折变化、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线，连接，根据和的角平分线与的垂直平分线交于点，得到，即可得到，再由翻折得到，求出，最后利用三角形内角和求得的度数，本题得以解决． 【详解】解：如图，连接、，    ，为的平分线， ， 是的垂直平分线， ， 为的平分线，， ∴垂直平分， ， ∴， ∴， ∵沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【变式9-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点，是线段的垂直平分线上两点，延长，交的延长线于点，连接，若点在线段上，且．求证：是的角平分线． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 首先由垂直平分线的性质得到，然后得到，然后结合平行线的性质求解即可． 【详解】证明：点是的垂直平分线上的点， ． ． ， ． ． 是的角平分线． 【题型10 利用线段垂直平分线与角平分线的性质作图】 【例10】（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知，． (1)用尺规作图法作出的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)作的中垂线（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了尺规作图，解决本题的关键是掌握用尺规作图作已知角的平分线、用尺规作图作线段的垂直平分线． 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，线段即为所求； 分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接作直线，直线即为所求． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点， 连接并延长交于点， 线段即为所求； （2）解：如下图所示，分别以点、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接作直线， 直线即为所求． 【变式10-1】（2025·陕西宝鸡·一模）某校七年级（1）班和（2）班的学生在点M，N处参加劳动实践活动，现要在道路所夹的区域内内部）设一个茶水供应站P．若要使点P到两条道路的距离相等，且使，请你用尺规作图法找到点P． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质及其作法，掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键． 用尺规作图作出的平分线和线段的中垂线的交点即可． 【详解】解：如图：点P即为所求． 【变式10-2】（25-26七年级下·全国·单元复习）利用尺规作图，作出一个等于的角． 【答案】如图，即为所求． 【分析】先画一条直线，再作，然后作平分线，即可． 【变式10-3】（2026·山东青岛·模拟预测）如图所示，已知及边上两点和，求作点，使得点到、的距离相等且是以为腰的等腰三角形（找到所有的点，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如下图，点、、即为所作： 【分析】先作的平分线，接着以点为圆心，为半径画弧交角平分线于点、，然后以点为圆心，为半径画弧交角平分线于点． 【详解】略 模块四 课后作业 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案． 【详解】解：如图，过F点作于H点， ，， ， 由作图知，平分， ， ， ， 点到的距离为2． 2．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”即可解答． 【详解】解：要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三边垂直平分线的交点处． 3．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是（    ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定，根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上进行判断即可． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， 两把完全相同的长方形直尺， ， 平分角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上， 故选：B． 4．（2026·北京门头沟·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】连接，由作图可得，由即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知是的垂直平分线， ， 的周长为． 5．（25-26八年级上·全国·期中）王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：∵充电点到三条路的距离相等， ∴充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 6．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______． 【答案】8 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 7．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的判定和三角形内角和定理，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的判定定理得到平分，平分，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：在中，， ∵点O在内，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在中，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点，，作直线分别交，于点，，连接，．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，再求出，，可得结论． 【详解】解：， ． 由作图可得：垂直平分， ， ． ， ， ， ，， ， ． 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，中，，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点．点为边上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据基本作图得到平分，过点作于，如图，则根据角平分线的性质得到，再利用面积法求出，然后根据垂线段最短解决问题； 【详解】解：由作法得平分， 过点作于，如图， ，即， ， ， ，，，， ， ， ， ， 点为边上的一动点， 当时，点到的距离最短，即最小，即为， 的最小值为． 10．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，中，平分，平分． （1）和的数量关系________； （2）若，连接，则________度． 【答案】 50 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，则，由此即可得； （2）连接，过点作的垂线，垂足分别为点，先求出，再根据角平分线的性质定理可得，，则，根据角平分线的判定可得是的角平分线，由此即可得． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）如图，连接，过点作的垂线，垂足分别为点， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， 又∵点在的内部， ∴是的角平分线， ∴， 故答案为：50． 11．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据的周长为，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，平分，于点E，于点F，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】利用角平分线的性质求得，再利用证明，可得，进而可得垂直平分． 【详解】证明：∵平分，于点E，于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分． 13．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，，根据垂直平分线的性质得到，再证得，从而得出结论； （2）易证得，根据全等三角形的性质得到，再利用（1）的结论，根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图： 点D在的垂直平分线上， ， 点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 、、、， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置． 如图，要在一个四边形的公园中建造一个标志性的雕像． 1．到点和点的距离相等； 2．到和边的距离相等．    请按要求将图纸绘制，标注出点的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作边的垂直平分线和的平分线，两直线交于点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 15．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线、等边对等角、三线合一等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）连接，得，进而得，根据三线合一即可求证； （2）求出，推得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，垂直平分，于点D，E；垂直平分，于点M，N． (1)如图1，若，， ； (2)如图2，若，则 ； (3)通过以上的探索过程，直接写出与，的关系 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）因为是的垂直平分线，所以可得，进而推出；同理，可推出，利用三角形内角和定理，先计算的度数，结合和的度数，推导的度数； （2）根据的度数，可得的度数，进而得到的度数，即可求得的度数； （3）对前两小问的计算结果进行归纳，整理出与、的通用关系式． 【详解】（1）在中，，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）①当时，，理由如下， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴； ②当时，，理由如下， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，它们的关系为或． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 线段垂直平分线与角平分线（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 线段垂直平分线的性质 公路旁有两个村庄A、B，要在公路边上建一个快递驿站，使驿站到两个村子距离相等，驿站该选在哪？带着这个问题，我们学习线段垂直平分线的性质. 【知识点1 线段垂直平分线的性质】 1. 线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴． 2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 3. 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 4. 用集合定义线段的垂直平分线：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合． 【题型1 利用线段垂直平分线的性质定理求线段长度】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，为边上的中垂线，，，则的周长为___________ 【变式1-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知．的垂直平分线交于点E交于点F．连结，若，的周长为18，求的周长． 【变式1-3】（2026·天津南开·二模）如图，在中，，，．是的角平分线．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点Q； ②分别以点D和点Q为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③连接并延长交边于点E，连接．则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【题型2 利用线段垂直平分线的性质定理求角度】 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，的中垂线交于，的中垂线交于，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，得到两弧的交点，过这两个交点的直线分别交，于点D，E，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的度数为_____． 【变式2-3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，D为中点，连接，垂直平分交于点E，交于点O，交于点F，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【题型3 线段垂直平分线的判定】 【例3】如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（      ）    A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中点 D．的垂直平分线上 【变式3-1】如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（  ） A． B．平分 C． D．垂直平分 【变式3-2】如图，中，，平分交于点E，过点E作的垂线交于点D，连接．求证：垂直平分． 【变式3-3】在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC， 求证：E点在线段AC的垂直平分线上． 【题型4 线段垂直平分线的应用】 【例4】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 【变式4-1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在______线的交点． 【变式4-2】如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积）_______cm2．             【变式4-3】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，仓库内有一块缺了一个角的三角形木板，木工师傅在上边的作图痕迹（，，）依旧清晰可见，嘉嘉测量后发现，点D和点E恰好在和的垂直平分线上，由此可知和所在直线相交形成的锐角度数为（    ） A． B． C． D． 模块三 角平分线的性质 同学们，想象一下，在两条笔直的小河交汇形成的夹角处，有一块非常肥沃的农田.为了方便灌溉，农民伯伯想在农田里找一个最合适的位置打一口水井（我们把这个位置叫做点 P）.从这口井分别向两条小河修两条笔直的水渠（也就是引水的小路），而且为了节省成本，希望这两条水渠的长度完全相等. 大家开动脑筋想一想，这口井到底应该打在什么位置，才能保证到两条小河的距离一样呢？今天，就让我们带着这个问题，一起走进“角平分线的性质”，去寻找这个神奇的位置！ 【知识点2 角平分线的性质】 1. 角的轴对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 2. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 3. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【知识点3 线段垂直平分线与角平分线的作法】 类别 作法 图形 线段垂直平分线 ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于C，D． ②过C，D两点作直线 ，直线CD就是线段AB的垂直平分线． 角 平 分 线 ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点D，E两点． ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． ③作射线OC，射线OC就是的平分线． 【题型5 利用角平分线的性质定理求线段长度】 【例5】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，点P在的平分线上（不与点O重合），于点C，，若D是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，，垂足为点E，，，，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，． (1)基本尺规作图：作的角平分线交于，过点作于．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)若，求的周长． 【题型6 利用角平分线的性质定理求面积】 【例6】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，是平分线上的一点，点分别在射线上，满足．若的面积是1，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大1，则的面积是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式6-2】（25-26八年级上·北京·期末）如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是18．，则的面积是_____． 【变式6-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，已知的周长是21，，分别平分和，于点D，且，则的面积是______． 【题型7 角平分线性质定理的逆定理】 【例7】一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 【变式7-1】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是（    ）． A．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上 D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 【变式7-2】（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【变式7-3】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，边上的点到、边的距离相等，连接，，，，点、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为_____． 【题型8 三角形的角平分线】 【例8】（24-25八年级上·全国·期中）如图，中，和的角平分线交于点P，若，则的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有_______处. 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的边，，O是三条角平分线的交点，若的面积为15，则的面积为______． 【变式8-3】如图，在中，，为三条角平分线的交点，，，，点，，分别是垂足，且，，则点到边的距离为 ________． 【题型9 线段垂直平分线与角平分线的综合应用】 【例9】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在锐角三角形中，直线为的中垂线，射线为的角平分线，且直线与射线相交于点．若，，则的度数为__________． 【变式9-1】如图，在等边三角形中，是角平分线，P为线段上一动点，M为的中点，连接，若的最小值为15cm，则______cm． 【变式9-2】在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点，将沿折叠，点与点恰好重合，则的度数为__________．    【变式9-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点，是线段的垂直平分线上两点，延长，交的延长线于点，连接，若点在线段上，且．求证：是的角平分线． 【题型10 利用线段垂直平分线与角平分线的性质作图】 【例10】（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知，． (1)用尺规作图法作出的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)作的中垂线（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式10-1】（2025·陕西宝鸡·一模）某校七年级（1）班和（2）班的学生在点M，N处参加劳动实践活动，现要在道路所夹的区域内内部）设一个茶水供应站P．若要使点P到两条道路的距离相等，且使，请你用尺规作图法找到点P． 【变式10-2】（25-26七年级下·全国·单元复习）利用尺规作图，作出一个等于的角． 【变式10-3】（2026·山东青岛·模拟预测）如图所示，已知及边上两点和，求作点，使得点到、的距离相等且是以为腰的等腰三角形（找到所有的点，不写作法，保留作图痕迹） 模块四 课后作业 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 2．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 3．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是（    ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 4．（2026·北京门头沟·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（25-26八年级上·全国·期中）王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 6．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______． 7．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则______． 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在中，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点，，作直线分别交，于点，，连接，．若，则的度数为________． 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，中，，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点．点为边上的一动点，则的最小值为______． 10．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，中，平分，平分． （1）和的数量关系________； （2）若，连接，则________度． 11．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长． 12．如图，平分，于点E，于点F，求证：垂直平分． 13．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 14．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置． 如图，要在一个四边形的公园中建造一个标志性的雕像． 1．到点和点的距离相等； 2．到和边的距离相等．    请按要求将图纸绘制，标注出点的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 15．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 17．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，垂直平分，于点D，E；垂直平分，于点M，N． (1)如图1，若，， ； (2)如图2，若，则 ； (3)通过以上的探索过程，直接写出与，的关系 ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $