4.4.3 两个一次函数图象的应用（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦两个一次函数图象的应用，核心涵盖交点意义、大小对比、斜率实际意义及双行程、收费方案等经典模型。课堂导入通过回顾单个函数应用，衔接一次函数与方程关系，搭建从单一到双函数分析的学习支架。 其亮点在于以标准解题四步模板（读图释义、定点求式、联立求交、分区比较）为主线，结合典型例题（如收费方案对比）和高频易错点总结，培养学生数学思维（运算能力、推理意识）与数学语言（模型意识、应用意识）。学生能系统掌握解题方法，教师可直接应用结构化内容提升教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 4.4.3两个一次函数图象的应用 第四章 一次函数 4.4.3 两个一次函数图象的应用 精讲复习（北师大版八年级上册） 一、本节核心概述 在同一个平面直角坐标系中，出现两条不同的一次函数直线，对应两个变化过程、两个变量关系。 相较于单个函数应用，本节重点：对比两个函数的大小、快慢、交点意义、位置关系，是期末大题、压轴读图题高频考点。 常见模型：两个行程、两种收费方案、注水放水、两个物体运动对比。 二、双一次函数核心知识点（必背） 1. 两直线交点的实际意义（本节重中之重） 设两条直线 $$y_1=k_1x+b_1$$、$$y_2=k_2x+b_2$$ 交点坐标为 $$(x_0,y_0)$$。 数学意义： 1. $$x=x_0$$ 时，$$y_1=y_2$$，两个函数值相等； 2. $$(x_0,y_0)$$ 是方程组 $$\begin{cases}y=k_1x+b_1\\y=k_2x+b_2\end{cases}$$ 的解。 实际意义（考试必考话术）： 当自变量为 $$x_0$$ 时，两个量大小相等、状态相同、位置相遇、费用相同、距离相同。 2. 图象上下位置与函数大小关系 以交点为分界点，左右分别比较大小： ① 直线在上 ⇒ 函数值更大； ② 直线在下 ⇒ 函数值更小； 口诀：上大下小，交点相等。 3. 斜率k的实际意义 $$|k|$$ 越大，直线越陡，变化速度越快； 双图对比时：更陡的直线，变化、运动、消耗、增长速度更快。 三、三大必考经典模型 模型1：双行程相遇、追及问题（最热考） 两条直线代表两个物体的路程—时间关系。 交点含义：相遇/追及时刻，此时两人路程相等、位置相同。 陡度对比：更陡的线速度更快。 模型2：两种收费方案对比 如：套餐A、套餐B；会员卡、普通收费。 交点含义：两种方案费用相等的用量。 交点左右决策： 用量小于交点x：选下方直线方案更省钱； 用量大于交点x：换另一种方案更省钱。 模型3：双容器注水、库存增减对比 两条线分别代表甲、乙容器水量/存量。 交点：两容器水量、存量第一次相等的时刻。 四、标准解题四步模板（大题满分） 1. 读图释义：分清两条直线分别对应哪一个对象、哪一种方案； 2. 定点求式：分别用待定系数法求出两条一次函数解析式； 3. 联立求交：联立方程组，求出交点坐标，解释实际意义； 4. 分区比较：根据图象上下位置，分区间判断大小、优劣、快慢。 五、典型例题精讲（考试原题题型） 例题：两种上网收费方案 方案A：$$y_1=2x$$（无月租，每小时2元） 方案B：$$y_2=x+10$$（月租10元，每小时1元） （1）求两方案费用相等的上网时长；（2）何时选A省钱？何时选B省钱？ 解： （1）联立方程：$$2x=x+10$$ 解得 $$x=10$$，此时 $$y=20$$。 答：上网10小时，两种方案费用相同，均为20元。 （2）图象分析： 当 $$\boldsymbol{x<10}$$ 时，A图象在下，$$y_1<y_2$$，选A省钱； 当 $$\boldsymbol{x>10}$$ 时，B图象在下，$$y_2<y_1$$，选B省钱。 六、高频易错点（扣分重灾区） 1. 分不清两条直线对应的对象，分析完全相反； 2. 只会算交点，不会用规范话术解释交点实际意义（大题核心得分点）； 3. 比较大小不分区间，直接笼统判断； 4. 误以为线越高速度越快，忽略y轴不一定是速度； 5. 双函数求解时，只求一条解析式，漏掉一条。 七、本节万能答题口诀 两线同图比高低，上大下小不交齐； 交点等值状态同，相遇相等是题意； 陡缓区分快慢速，区间对比定优劣； 联立求解看图象，双函应用稳解题。 八、4.4整节总结（一次函数图象应用） 1. 单个函数：侧重读数、求值、归零、初始值； 2. 两个函数：侧重交点意义、大小对比、方案选择、快慢对比； 3. 所有函数应用：本质都是数形结合，看图代数互化。 能根据问题及条件找出能反映实际问题的函数，培养的合理决策和创新能力 能利用一次函数图象解决简单的实际问题，发展运算能力和推理应用意识，体会数形结合思想. 能够将实际问题转化为一次函数的问题，培养举一反三的发散性思维，锻炼抽象能力和应用能力 上节课我们学习了应用一个一次函数去解决实际问题. 一次函数与一元一次方程有什么关系？ 如果问题中涉及两个或两个以上的一次函数， 我们该怎么去分析并解决问题？ 新课导入 如图，l1 表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2 表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系. 根据图象填空: 探索新知 （2）当销售量为 6 t 时， 销售收入为_____元， 销售成本为_____元. （1）当销售量为 2 t 时， 销售收入为______元， 销售成本为______元. 2000 3000 6000 5000 销售收入 销售成本 （3）当销售量________时， 销售收入等于销售成本. 等于4 t （4）当销售量_________时， 销售收入大于销售成本， 该公司赢利； 当销售量__________时， 销售收入小于销售成本， 该公司亏损. 大于4 t 小于4 t 销售收入 销售成本 （5）当销售量为______t时， 该公司赢利 1000 元. 6 销售收入 销售成本 l1对应的函数表达式 是 ， （6） l2对应的函数表达式 是 . y＝1000x y＝500x＋2000 销售收入 销售成本 y＝1000x y＝500x＋2000 解：由（5）题意，得 1000x－(500x＋2000)=1000. 解这个方程得，x=6. 所以当销售量为 6 t时， 该公司赢利 1000 元. （7）你能借助（6）的结论求解（5）吗？ 设l1对应的一次函数为 y＝k1x ＋b1，k1和b1的实际意义各是什么？ 销售收入 y＝1000x k1表示每销售1吨产品，可收入1000元； b1表示未销售时，销售收入为0元. 思考·交流 设l2对应的一次函数为 y＝k2x ＋b2，k2和b2的实际意义各是什么？ 销售成本 y＝500x＋2000 k2表示每销售1 吨产品的成本为500元； b2表示未销售时，为销售所花的成本为2000元. 【例3】下图是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙. 图中 l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. (1) 哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ 当t = 0时，甲到观景台1的路程为0m，即s=0，故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 解 甲 乙 （2）甲和乙哪个人的速度快？ t 从 0 增加到 20 时，l1 上点的纵坐标增加了1000， l2 上点的纵坐标增加了 600，即 20 min内，甲行走了1000m，乙行走了600m，所以甲的速度快. 解 甲 乙 （3）30 min 内甲能否追上乙？ 延长 l1，l2，可以看出， 当t＝30时，l1 上的对应点在 l2 上对应点的下方，这表明，30 min时甲尚未追上乙. 解 P 甲 乙 （4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ 如图，l1 与 l2 的交点 P 的纵坐标 小于800＋1300=2100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙. P 甲 乙 2000 （5）设l1与l2对应的两个一次函数分别为s＝k1t＋b1与s＝k2t＋b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 甲的速度是50 m/min， 乙的速度是30 m/min. k1 表示甲的速度， k2 表示乙的速度。 解 甲 乙 思考：你能用其他方法解决例3（1）~（4）吗？ 依据“速度＝路程÷时间”，求出甲的速度是 50 m/min， 乙的速度是 30 m/min. 问题即可依据行程问题解决. 方法2 求出l1和l2对应的函数表达式，y＝50x，y＝30x＋800，再依据实际意义解决. 方法3 回顾·反思 回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？ 知识点 两个一次函数图象的实际应用 1. 如图，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶路程y(km)随时间x(h)变化的图象，则下列结论错误的是(　　) A.轮船的速度为20 km/h B.快艇的速度为40 km/h C.轮船比快艇先出发2 h D.快艇到达乙港用了6 h 返回 (第1题) D 基础提优题 2.［2025济南］A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s(km)与骑车时间t(h)的关系如图所 示，则他们相遇时距离A地　　　　km. 返回 (第2题) 基础提优题 3. 春节临近，某网商紧急备货，但目前缺少大量礼品盒，该网商通过调研，发现这种礼品盒的来源有两种方案： 方案一：从纸箱厂订购，购买所需费用y1(单位：元)与礼品盒的数量x(单位：盒)满足如图所示的函数关系. 方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这 种礼品盒，所需费用(包括租赁机器的费用和生 产礼品盒的费用)y2(单位：元)与礼品盒的数量x (单位：盒)满足如图所示的函数关系. 返回 基础提优题 请回答下列问题： (1)方案一中，礼品盒的单价为　　　　元. 返回 3 基础提优题 (2)求出y1，y2关于x的函数表达式. 返回 【解】设y1关于x的函数表达式为y1＝k1x. 因为该函数图象经过点(500，1 500)，所 以1 500＝500k1，解得k1＝3.所以y1关于x的函数表达式为y1＝3x.设y2关于x的函数表达式为y2＝k2x＋b.因为该函数图象经过点(0，1 000)和(1 500，4 000)，所以1 500k2＋b＝4 000，b＝1 000，解得k2＝2.所以y2关于x的函数表达式为y2＝2x＋1 000. 基础提优题 (3)如何选择方案，才能够更省钱？请说明理由. 返回 【解】令3x＝2x＋1 000，解得x＝1 000， 所以当x＝1 000时，两种方案同样省钱； 当x＜1 000时，选择方案一更省钱； 当x＞1 000时，选择方案二更省钱. 基础提优题 4. 甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系如图所示，以下信息一定正确的有(　　) ①甲队挖掘20 m，用了2 h； ②开挖6 h后，甲队比乙队多挖掘10 m； ③乙队从开挖2 h后到6 h之间，每小时挖掘5 m； ④开挖4 h后，甲、乙两队所挖河渠长度相等. A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 (第4题) D 综合应用题 01获取 02解决 两个一次函数的应用 观察图象 获取关键信息 建立 一次函数模型 解决实际问题 课堂小结 $