4.3.1正比例函数的图象与性质（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦正比例函数的定义、图象与性质，通过辨析一次函数与正比例函数实例回顾旧知，结合函数表示方式引出图象概念，搭建从代数表达式到几何图形的学习支架。 其亮点在于以数形结合为主线，通过几何画板演示直观呈现k对图象的影响，体现几何直观与推理意识。典型例题与易错点解析培养严谨思维，万能口诀和表格化小结强化数学语言表达，助力学生提升抽象能力，教师可依托分层练习高效教学。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 4.3.1正比例函数的图象与性质 第四章 一次函数 4.3.1 正比例函数的图象与性质 精讲复习（北师大版八年级上册） 一、正比例函数基础回顾 正比例函数解析式：$$\boldsymbol{y=kx\ (k eq0)}$$ 必备条件：自变量次数为1、无常数项、系数$$k eq0$$。 本质：初始值为0的均匀变化，图象是过原点的直线。 二、正比例函数图象画法（两点作图法） 1. 作图原理 正比例函数图象是一条经过原点的直线，两点确定一条直线，只需找两个特殊点即可快速画图。 2. 标准取点（万能取点） 固定两点：$$(0,0)$$$$(1,k)$$原点 、点 步骤：列表→描点$$(0,0),(1,k)$$→连线（双向延长直线） 3. 举例 画 $$y=2x$$ 图象：取 $$(0,0)、(1,2)$$ 两点连线即可。 三、正比例函数图象与性质（本节核心、必考） 根据系数 $$k$$ 的正负，分为两种情况，性质完全不同。 1. 当 $$\boldsymbol{k>0}$$ 时 ① 图象经过：一、三象限、原点； ② 增减性：y随x的增大而增大（均匀递增）； ③ 图象趋势：从左向右上升； ④ 变化特点：x越大，y越大，匀速增长。 2. 当 $$\boldsymbol{k&lt;0}$$ 时 ① 图象经过：二、四象限、原点； ② 增减性：y随x的增大而减小（均匀递减）； ③ 图象趋势：从左向右下降； ④ 变化特点：x越大，y越小，匀速减小。 四、k的绝对值大小意义（坡度陡缓） $$|k|$$ 决定直线的倾斜程度（坡度陡缓） 1. $$|k|$$ 越大 → 直线越陡，y变化速度越快； 2. $$|k|$$越小 → 直线越平缓，y变化速度越慢。 示例：$$y=5x$$ 比 $$y=2x$$ 更陡；$$y=-6x$$ 比 $$y=-3x$$ 更陡。 五、正比例函数三大固定特征 1. 必过原点：无论k取何值，图象一定经过 $$(0,0)$$； 2. 无平移：没有常数项，图象不会上下平移； 3. 单调变化：全程递增或全程递减，无增减交替。 六、典型例题精讲 例1 图象象限判断 正比例函数 $$y=-4x$$ 经过哪些象限？y随x如何变化？ 解：$$k=-4<0$$，图象过二、四象限，y随x增大而减小。 例2 参数取值范围题型 若正比例函数 $$y=(m-3)x$$ 的图象经过一、三象限，求m的取值范围。 解：过一、三象限说明 $$k>0$$ $$m-3>0$$，解得$$m>3$$。 例3 陡缓比较 比较 $$y=4x$$ 与 $$y=-5x$$ 的倾斜程度。 解：$$|-5|>|4|$$，所以 $$y=-5x$$ 图象更陡。 七、高频易错点 1. 忘记正比例函数必过原点，画图遗漏原点； 2. 记反k的正负规律：k正二四、k负一三（最常见错误）； 3. 比较陡缓看k本身，不看绝对值； 4. 忽略 $$k eq0$$，参数取值范围不严谨； 5. 混淆正比例函数与一次函数图象，误以为有上下平移。 八、本节万能口诀（必背） 正比直线过原点，k正一三递增添； k负二四依次减，绝对值大线条尖； 两点作图最简便，零点一一稳过关。 通过观察正比例函数图象，研究正比例函数的共同特征抽象出正比例函数的基本模型 归纳得出正比例函数的概念和性质，体会数形结合思想，提高学生分析函数图象信息能力. 通过运用正比例函数解决实际问题和数学问题，提高数据意识和决策能力 1.下列各式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ 一次函数的表达式： y = kx +b (k，b为常数，k ≠ 0) 正比例函数的表达式： y = kx (k为常数，k ≠ 0) 复习导入 2.函数有哪些表示方式？ 它们之间有什么关系？ 表格、关系式、图象 三种方式可以相互转化 3.你能将关系式转化成图象吗？ 什么是函数的图象？ 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象. 画函数图象的一般步骤： ①列表 ②描点 ③连线 (摩天轮上某一点离地面的高度 h 与旋转时间 t 之间的函数图象) 探索新知 解：（1）列表； （2）描点； （3）连线. 画正比例函数 y=2x 的图象. x … -2 -1 0 1 2 … y 0 2 4 -4 -2 ··· ··· y=2x 操作·思考 y =2x （0.5 ，1） （1.5 ，3） 由函数表达式到图象，你体会到了什么样的数学思想？ 其他满足 y=2x 的点（x，y）也在右边画出的直线上吗？ 数形结合 （1）画正比例函数 y＝ -3x 的图象. 解：①列表； ②描点； ③连线. x … -2 -1 0 1 2 … y 0 -3 -6 6 3 ··· ··· y= -3x （2）在所画的图象上任意取几个点， 找出它们的横坐标和纵坐标，它 们满足关系式吗？ 满足 思考·交流 y= -3x 满足关系式 y= -3x的 x，y 所对应的点（x，y）都在正比例函数y= -3x 的图象上吗？ （3） 正比例函数 y= -3x 的图象上的点（x，y）都满足关系式 y= -3x 吗？ （4） 观察比较，两个函数的图象 有什么相同点，有什么不同点？ y=2x y= -3x ① y =2x 经过一、三象限， ② y = -3x 经过二、四象限. ①函数图象都经过原点（0,0）， ②函数图象都是一条直线. 第一象限 第三象限 第二象限 第四象限 不同点 相同点 正比例函数 y＝kx 的图象有何特点？ （5） y=2x y= -3x 第一象限 第三象限 第二象限 第四象限 正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条经过_____________的______. 原点（0,0） 直线 正比例函数图象的特点 几何画板演示：正比例函数的图象 知道了正比例函数图象的特点，有没有更简便的正比例函数图象的绘制方法？ 正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了. 两点作图法 （1）在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 y = x，y = 3x，y = - x 和 y = -4x 的图象. y= -4x y=x y=3x y=﹣ x 两点作图法 尝试·思考 （2）随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化？ 思考：相应图象上的 点的变化趋势如何？ 尝试·思考 （3）k值与图象所在象限有何关系？ 当k＞0时，经过第一、三象限。 当k＜0时，经过第二、四象限。 尝试·思考 当k＞0时，从左向右呈_______趋势， y的值随着x值的增大而________； 在正比例函数 y＝kx 中， 当k＜0时，从左向右呈_______趋势， y的值随着x值的增大而________。 上升 增大 下降 减小 y=2x y=x y=3x (1) 正比例函数 y=x 和 y=3x 中，随着 x 值的增大，y 的值都增大了，其中哪一个增大得更快？ k >0， 当 k 越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴，相应的函数值上升得越快。 取同一个x值时，对应的y值变化。 思考·交流 y=-3x y=-4x y=﹣ x (2) 类似地，正比例函数 y＝ - x 和 y＝ -4x 中，随着 x 值的增大， y 的值都减小了，其中哪一个减 小得更快？你是如何判断的？ k ＜0， 当 | k | 越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴，相应的函数值下降得越快。 取同一个x值时，对应的y值变化。 正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0）的图象和性质 k的正负 函数图象 图象的形状 经过的象限 增减性 变化的快慢 k＞0 k＜0 过原点，从左向右是上升的直线（↗） 过原点，从左向右是下降的直线（↘） 第一、三象限 第二、四象限 y 的值随 x 值的增大而增大 y 的值随 x 值的增大而减小 |k|越大，直线越陡，上升的越快 |k|越大，直线越陡，下降的越快 1. 正比例函数y＝－x的图象大致是(　B　) B 2. P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y＝－x图象 上的两点，则下列判断正确的是(　B　) A. y1＞y2 B. 当x1＜x2时，y1＞y2 C. y1＜y2 D. 当x1＜x2时，y1＜y2 B 随堂练习 3. 关于函数y＝2x，下列结论中正确的是(　C　) A. 函数图象经过点(2，1) B. 函数图象经过第二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 不论x取何值，总有y＞0 C 4. 正比例函数y＝kx的图象如图所示， 则k的值为 ⁠。 　 随堂练习 5. 已知正比例函数y＝(m＋2)x.求： (1)当m为何值时，函数图象经过第一、三象限； 解：(1)由题可知m＋2＞0，解得m＞－2. (2)当m为何值时，y随x的增大而减小； 解：(2)由题可知m＋2＜0，解得m＜－2. (3)当m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上. 解：(3)∵点(1，3)在直线y＝(m＋2)x上， ∴m＋2＝3.解得m＝1. 解：(1)由题可知m＋2＞0，解得m＞－2. 解：(2)由题可知m＋2＜0，解得m＜－2. 解：(3)∵点(1，3)在直线y＝(m＋2)x上， ∴m＋2＝3.解得m＝1. 随堂练习 知识点1 正比例函数的图象 1.下列图象中，表示正比例函数图象的是(　　) 返回 A　　 B　　 C　　 D B 基础提优题 2. 如果正比例函数y＝的图象经过第二、四象限，那么k的值可以是　 　　　. 返回 1(答案不唯一) 基础提优题 3.如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A. (1)求该正比例函数的表达式； 返回 【解】由题图可知点A的坐标为(－1，2)，将其代入y＝kx，得－k＝2，所以k＝－2，则该正比例函数的表达式为y＝－2x. 基础提优题 (2)若这个函数的图象还经过点B(m，m＋3)，求m的值； 返回 【解】将点B(m，m＋3)的坐标代入y＝－2x，得－2m＝m＋3，解得m＝－1. 基础提优题 (3)判断点P是否在这个函数的图象上，并说明理由. 返回 【解】点P不在这个函数的图象上. 理由：当x＝－时，y＝(－2)×＝3≠1， 所以点P不在这个函数的图象上. 基础提优题 知识点2 正比例函数的性质 4.下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是(　　) A.当x＝3时，y＝1 B.它的图象是一条过原点的直线 C.y随x的增大而减小 D.它的图象经过第二、四象限 返回 B 基础提优题 返回 【点拨】A.当x＝3时，y＝9，故本选项错误；B.因为y＝3x是正比例函数，所以它的图象是一条过原点的直线，故本选项正确；C.因为3＞0，所以y随x的增大而增大，故本选项错误；D.因为y＝3x是正比例函数，且3＞0，所以此函数的图象经过第一、三象限，故本选项错误. 基础提优题 5.在平面直角坐标系中，点A(3，y1)，B(4，y2)均在直线y＝kx(k≠0)上，若y1＜y2，则该直线经过的点的坐标还可以是(　　) A.(1，0)　　　 B.(－1，－3) C.(1，－2)　　 D.(－1，2) 返回 B 基础提优题 正 比 例 函 数 图象 形状：是一条经过原点（0,0）的直线 画法：两点作图法（一般步骤为列表、描点、连线） 性质 性质1 当k>0时，经过第一、三象限； 当k<0时，经过第二、四象限。 性质2 当k>0时，y的值随x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x值的增大而减小。 性质3 |k|越大，直线越陡，越靠近y轴。 课堂小结 $