（期末拔高复习）专题07 长方体和正方体的体积解决问题（能力清单+实战演练）（讲义）-2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测（北师大版）

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为北师大版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 （期末拔高复习）专题07 长方体和正方体的体积解决问题 （能力清单+实战演练） 1、能清晰说出体积、容积的定义，明确体积与容积的联系和区别，掌握体积单位、容积单位的核心特征，牢记体积、容积单位换算公式，理解体积单位与容积单位的对应关系。 2、能熟练根据长、宽、高（棱长）计算长方体和正方体的体积，并说明“体积单位填充推导”的计算逻辑，理解长方体体积是长、宽、高所容纳单位体积的数量，正方体体积是棱长所容纳单位体积的数量。 3、能根据不同题目要求，灵活选用“公式套用法”“排水法”“等积转化法”解决长方体和正方体体积相关问题，比如计算不规则物体体积、解决容器装物问题。 4、解题前，会习惯性确定“立体图形类型”与“长、宽、高（棱长）的对应关系”，明确问题所求（体积/容积/单位换算），理清已知量对应关系，避免单位错用、公式混用。 5、能分辨“体积计算”“容积计算”“体积单位换算”“等积变形”类问题，并抓住“体积不变、单位对应”这一关键。 6、做题时，能圈出题目中的“体积”“容积”“立方米”“立方分米”“升”“毫升”“排水法”“熔铸”等关键词，快速定位解题方向。 7、能熟练根据已知体积反推长方体或正方体的长、宽、高（棱长），说明“公式逆推+分步计算”的推导逻辑，理解体积与长、宽、高（棱长）的对应关系。 8、能熟练根据已知体积和长、宽（棱长），反推长方体的高（正方体棱长），掌握公式逆推的计算逻辑。 9、能熟练解决长方体和正方体体积在实际生活中的应用问题，如容器装货量、材料熔铸等，理解实际问题与理论计算的联系和转化，掌握根据实际情况调整计算的方法。 一、解答题 1．一个正方体油箱，棱长6分米，里面装满油。如果把这些油倒入一个长8分米、宽6分米的长方体油箱中，油深多少分米？（油箱厚度忽略不计） 【答案】4.5分米 【分析】已知正方体油箱的棱长6分米，根据正方体的容积公式V＝a3，求出油的体积；再把这些油倒入一个长方体油箱中，油的体积不变，根据长方体的高h＝V÷a÷b，求出长方体油箱中油的深度。 【解答】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 216÷8÷6 ＝27÷6 ＝4.5（分米） 答：油深4.5分米。 2．有一个长方体玻璃鱼缸（如下图）。现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面会不断发生变化。当第二次出现相对的面是正方形时，鱼缸内有多少升水？ 【答案】18升 【分析】确定鱼缸尺寸：从图可知，鱼缸长30厘米、宽20厘米、总高40厘米。 分析出现正方形面的过程： 第一次出现相对正方形面：当水面高度等于最短边宽（20厘米）时，侧面是20厘米×20厘米的正方形，这是第一次。 第二次出现相对正方形面：水面继续上升，当高度等于长（30厘米）时，正面变为30厘米×30厘米的正方形，符合题目要求。 【解答】计算水的体积并转换单位：水的体积＝长×宽×水面高度 水的体积：30×20×30＝18000（立方厘米） 18000立方厘米＝18立方分米＝18升。 3．一块长35厘米、宽30厘米的长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为6厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？它的容积是多少立方厘米？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】906平方厘米；2484立方厘米 【分析】（1）用原长方形面积减去4个切掉的小正方形面积，即可求出铁皮用量； （2）长方体盒子的长和宽分别为原长和原宽减去2个切掉的正方形边长，高为切掉的正方形边长，再利用长方体体积＝长×宽×高计算即可。 【解答】（1）铁皮的面积： （平方厘米） （2）盒子的长： （厘米） 盒子的宽： （厘米） 盒子的高：6厘米 盒子的容积： （立方厘米） 答：这个盒子用了906平方厘米的铁皮，它的容积是2484立方厘米。 4．如图，一块长32厘米的长方形铁皮，如果在它的四个角各剪去一个边长是4厘米的正方形后，正好可以焊成一个容积是768毫升的无盖长方体铁皮水箱。原来这块铁皮的宽是多少？ 【答案】16厘米 【分析】1立方厘米＝1毫升，看图可知，长方体的长＝长方形的长－正方形的边长×2，长方体的高＝正方形的边长，长方体的宽＝体积÷长÷高，长方形的宽＝长方体的宽＋正方形的边长×2。 【解答】768毫升＝768立方厘米 32－4×2 ＝32－8 ＝24（厘米） 768÷24÷4＝8（厘米） 8＋4×2 ＝8＋8 ＝16（厘米） 答：原来这块铁皮的宽是16厘米。 5．一根木料长1.2米，将它按图中所示锯成三段后表面积增加了24平方分米，这根木料的体积是多少立方米？ 【答案】0.072立方米 【分析】把木料锯成3段需要锯2次，每锯1次都会新增2个横截面，2次一共新增4个横截面，用增加的表面积除以4求出横截面积，换算单位后，根据体积等于横截面乘长度求出体积。 【解答】2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 24÷4＝6（平方分米） 6平方分米＝0.06平方米 1.2×0.06＝0.072（立方米） 答：这根木料的体积是0.072立方米。 6．长方体容器的长是12厘米，宽是12厘米，高是20厘米。把土豆和胡萝卜先后放进容器里（如下图），请问土豆和胡萝卜的体积各是多少立方厘米？ 【答案】土豆的体积是360立方厘米； 胡萝卜的体积是360立方厘米。 【分析】根据排水法原理，当物体完全浸入水中后，上升的那部分水的体积就是物体的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，用图（二）水面高度的体积减去图（一）水的体积就是土豆的体积。用图（三）水面高度的体积减去图（二）水面高度的体积就是胡萝卜的体积。 【解答】土豆的体积：12×12×10.5－12×12×8 ＝1512－1152 ＝360（立方厘米） 胡萝卜的体积：12×12×13－12×12×10.5 ＝1872－1512 ＝360（立方厘米） 答：土豆的体积是360立方厘米，胡萝卜的体积是360立方厘米。 7．一个长方体水箱，从里面量长是40厘米，宽是35厘米，水箱中浸没一个钢球（水未溢出），水深15厘米。取出钢球后，水深12厘米。如果每立方厘米的钢重7.8克，这个钢球重多少千克？ 【答案】32.76千克 【分析】根据题意，取出钢球后水面下降，水面下降部分的体积就等于钢球的体积。首先根据长方体体积公式求出水面下降部分的体积，即钢球的体积；然后用钢球的体积乘 7.8 求出钢球的重量（单位为克）；最后根据进率“1 千克＝1000 克”将单位换算成千克即可。 【解答】水面下降的高度：15－12＝3（厘米） 钢球的体积：40×35×3 ＝1400×3 ＝4200（立方厘米） 钢球的重量（克）：4200×7.8＝32760（克） 换算单位：32760克＝32.76千克 答：这个钢球重32.76千克。 8．晓丽从信阳旅游回来，买了如图所示的两盒茶叶，如果用包装纸包在一起变成一个大长方体，表面积最少是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 【答案】20平方分米；6立方分米 【分析】两个长方体拼接成大长方体时，重合的面的面积越大，拼接后减少的表面积越多，最终得到的大长方体表面积就越小；拼接前后总体积不变，等于两个小长方体的体积之和。注意统一单位；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出结果。 【解答】15厘米＝1.5分米，要使拼接后表面积最小，需将两个小长方体面积最大的面重合拼接，拼接后大长方体的长为2分米，宽为1.5 分米，高为：1＋1＝2（分米） 大长方体的表面积： （2×1.5＋2×2＋1.5×2）×2 ＝（3＋4＋3）×2 ＝10×2 ＝20（平方分米） 大长方体的体积： 2×1.5×2 ＝3×2 ＝6（立方分米） 答：表面积最少是20平方分米，体积是6立方分米。 9．一个长方体饮料盒，长8厘米、宽6厘米、高1.5分米。 (1)如果围着它的侧面贴满一圈商标纸（上、下面不贴），至少需要多少平方厘米的商标纸？ (2)这个饮料盒最多能装饮料多少毫升？（饮料盒厚度忽略不计） 【答案】(1)平方厘米 (2)毫升 【分析】（1）围着它的侧面贴满一圈商标纸（上、下面不贴），也就是求这个长方体的侧面积，根据公式解答即可； （2）这个饮料盒能装多少毫升饮料就是求这个长方体饮料盒的容积，根据公式计算即可。 【解答】（1）1.5分米＝15厘米 （15×6＋8×15）×2 ＝（90＋120）×2 ＝210×2 ＝420（平方厘米） 答：至少需要420平方厘米的商标纸。 （2）8×6×15 ＝48×15 ＝720（立方厘米） 720立方厘米＝720毫升 答：这个饮料盒最多能装饮料720毫升。 10．张叔叔是一位“手工达人”，他准备制作一个无盖的长方体玻璃鱼缸用来养观赏鱼（如图所示）。 (1)每平方分米玻璃需要3元，张叔叔制作这个鱼缸至少需要多少钱？ (2)鱼缸中的水面高度是5分米，张叔叔将一块景观石完全浸入水中，水面升高了2分米，请你计算这块景观石的体积。 【答案】(1)1488元 (2)192立方分米 【分析】（1）无盖鱼缸只需要计算1个底面＋4个侧面的总面积，再乘每平方分米玻璃的价格即可；无盖鱼缸表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2； （2）排水法测物体体积：完全浸入水中的物体体积＝水面上升部分的水的体积＝容器长×宽×水上升的高度。 【解答】（1）无盖鱼缸表面积： 12×8＋2×12×10＋2×8×10 ＝96＋240＋160 ＝496（平方分米） 总费用：496×3＝1488（元） 答：张叔叔制作这个鱼缸至少需要1488元。 （2）12×8×2＝192（立方分米） 答：这块景观石的体积为192立方分米。 11．一个长方体水箱，从里面量长10分米、宽9分米，高8分米。先倒入4分米深的水，再放入一块棱长为6分米的正方体铁块，这时水面上升了多少分米？ 【答案】2.4分米 【分析】根据排水法原理，水面上升部分的体积等于浸入水中铁块的体积。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体铁块的体积，再除以水箱的底面积得到水面上升的高度。计算出上升高度后，应结合水箱高度和铁块棱长进行验证，确认水未溢出且铁块完全浸没，以保证结果符合实际情况。 【解答】（立方分米） （平方分米） （分米） 放入铁块后的水深：（分米） 因为 ，所以水未溢出。 因为 ，所以铁块完全浸没，计算成立。 答：这时水面上升了2.4分米。 12．“短板理论”又称“木桶原理”。盛水的木桶是由许多块木板箍成的，木桶最大的容量不是取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板。如图所示的木桶，其中最短的一块木板处深1.5米，这个木桶最多能盛水多少立方米？（木板厚度忽略不计） 【答案】1.44立方米 【分析】这个木桶是一个长方体，盛水多少立方米说明我们要计算木桶容积，也就是用长×宽×高进行计算，但是木桶最大的容量不是取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板。因此我们的高要使用1.5米。 【解答】木桶最大盛水容积：0.8×1.2×1.5＝1.44（立方米） 答：这个木桶最多能盛水1.44立方米。 13．为弘扬传统文化，培养学生体验美、创造美的能力，学校组织学生到吴川市文化馆学习制作吴川泥塑。如图，小芳将一个长方体泥块沿着一个斜面切去一块，你能求出剩下部分的体积是多少吗？ 【答案】108000立方分米 【分析】组合图形体积等于原长方体的体积减去切去部分的体积。原长方体体积＝长×宽×高；切去部分是一个三棱柱，其体积等于底面积乘高，底面为直角三角形，两直角边分别为长方体的长和切去部分的高度，高为长方体的宽。 【解答】60×40×50－60×10÷2×40 ＝2400×50－600÷2×40 ＝120000－300×40 ＝120000－12000 ＝108000（立方分米） 答：剩下部分的体积是108000立方分米。 14．把一个长方体铁块完全浸入一个长为8分米，宽为3分米的长方体玻璃缸中，水面从15厘米上升到17厘米（水没有溢出）。 (1)这个铁块的体积是多少？ (2)如果这个铁块的长是4分米，宽是2分米，那么这个铁块的高是多少？ 【答案】(1)4.8立方分米 (2)0.6分米 【分析】（1）根据排水法原理，铁块完全浸入水中，水面上升部分的体积即为铁块的体积。根据1分米＝10厘米，计算前需统一单位。 （2）根据长方体体积公式“体积 ＝ 长×宽×高”，“高 ＝ 体积÷（长×宽）”。 【解答】（1）17 － 15 ＝ 2（厘米） 2厘米＝ 0.2分米 8 × 3 × 0.2 ＝ 4.8（立方分米） 答：这个铁块的体积是4.8立方分米。 （2）4.8 ÷ （4 × 2） ＝ 4.8 ÷ 8 ＝ 0.6（分米） 答：这个铁块的高是0.6分米。 15．为了庆祝六一儿童节，礼品店准备推出一款新的长方体礼品盒，用来包装玩具。礼品盒的长是30厘米，宽是20厘米，高是15厘米。礼品盒的表面需要用彩色纸包装，接头处忽略不计。同时，为了确定内部空间是否足够容纳玩具，需要计算礼品盒的容积。礼品店老板还计划在礼品盒的每个面上印上卡通图案，每个面的印刷费用是每平方厘米0.01元。 (1)包装一个这样的礼品盒至少需要多少平方厘米的彩色纸？ (2)这个礼品盒的容积是多少立方厘米？ 【答案】(1)2700平方厘米 (2)9000立方厘米 【分析】（1）包装礼品盒所需的彩色纸面积，就是求长方体的表面积。已知长方体的长、宽、高，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。题干中提到的印刷费用为多余条件，无需使用。 （2）忽略礼品盒的厚度，长方体礼品盒的容积就是它的体积，长方体的体积＝长×宽×高。 【解答】（1）（30×20＋30×15＋20×15）×2 ＝（600＋450＋300）×2 ＝1350×2 ＝2700（平方厘米） 答：包装一个这样的礼品盒至少需要2700平方厘米的彩色纸。 （2）30×20×15 ＝600×15 ＝9000（立方厘米） 答：这个礼品盒的容积是9000立方厘米。 16．一件质量是840克的艺术品完全浸没在底面积是40平方厘米的长方体容器里，水面从20厘米上升到22厘米。请判断这件艺术品是由什么材料制作而成的。（请用计算说明） 材料 白金 白银 锡 白铜 1cm3的质量 21.4g 10.5g 7.3g 8.6g 【答案】白银 【分析】艺术品完全浸没在水中，上升部分水的体积等于艺术品的体积。根据长方体的体积＝底面积×高，算出艺术品的体积。用总质量除以艺术品的体积，算出艺术品1立方厘米的质量。对比材料参数选择即可。 【解答】40×22－40×20 ＝880－800 ＝80（立方厘米） 840÷80＝10.5（克/立方厘米） 答：艺术品是由白银制作而成。 17．一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽6分米，高5分米，现在水面高度是1分米。 (1)如果把这些水全部倒入棱长4分米的正方体水箱中，这时水面高度是多少分米？ (2)如果在长方体水箱中放入一块铁块（被水完全浸没），这时水面上升到45厘米，这块铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】(1)3分米 (2)168立方分米 【分析】（1）水的体积不变，先根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，再用水的体积除以正方体水箱的底面积，即可求出倒入正方体水箱后的水面高度。 （2）铁块完全浸没在水中，铁块的体积等于水面上升部分的水的体积。先统一单位，将厘米换算成分米，求出水面上升的高度，再乘长方体水箱的底面积即可求出铁块体积。 【解答】（1）（1）8×6×1＝48（立方分米）      48÷（4×4） ＝48÷16 ＝3（分米） 答：这时水面高度是3分米。 （2）（2）45厘米＝4.5分米 8×6×（4.5－1） ＝48×3.5 ＝168（立方分米） 答：这块铁块的体积是168立方分米。 18．小兵为了测量一个土豆的体积，设计了下面的实验步骤，但被打乱了顺序。 ①列式计算出土豆的体积。 ②找一个长方体无盖透明容器，从里面量得底面长12厘米，宽10厘米，高20厘米。 ③将土豆完全浸没在水中，量出水面高度11.5厘米。 ④倒入适量的水，量出水面高度10厘米。 (1)你认为实验的正确顺序应该是：（填序号）( )→( )→( )→( )。 (2)这个土豆的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1) ② ④ ③ ① (2)180立方厘米 【分析】（1）实验顺序需符合测量原理：先准备容器并获取尺寸（②），再倒入水并记录初始水面高度（④），然后将土豆浸没后记录新水面高度（③），最后计算体积（①）。 （2）土豆体积等于容器底面积乘水面上升高度，水面上升高度为（11.5－10）厘米，根据长方体体＝长×宽×高，代入计算即可解答。 【解答】（1）正确顺序应该是：②→④→③→① （2）12×10×（11.5－10） ＝12×10×1.5 ＝120×1.5 ＝180（立方厘米） 答：这个土豆的体积是180立方厘米。 19．做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽4分米，高5分米。 (1)做这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？ (2)鱼缸内装有3分米深的水，现在放入一个石头后（石头被完全浸没），水深3.5分米，这个石头的体积是多少立方分米？ 【答案】(1)152平方分米 (2)16立方分米 【分析】（1）鱼缸无盖，因此计算表面积时只需计算5个面的面积和，即底面面积加上四个侧面的面积。 （2）石头完全浸没后，水面上升的体积就是石头的体积。我们可以用鱼缸的底面积乘以上升的水的高度来计算。 【解答】（1）8×4＝32（平方分米） （8×5＋4×5）×2 ＝（40＋20）×2 ＝60×2 ＝120（平方分米） 32＋120＝152（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要152平方分米玻璃。 （2）3.5－3＝0.5（分米） 8×4×0.5 ＝32×0.5 ＝16（立方分米） 答：这个石头的体积是16立方分米。 20．水上乐园要修建一个长方体游泳池，这个游泳池长50米，宽40米，深1.5米。 (1)要在这个游泳池的底面和四壁刷一层防水材料，刷防水材料的面积是多少平方米？ (2)为了儿童安全，游泳池的水深不能超过1.2米，现在要往游泳池里注入2500立方米的水，请问现在的水深符合规定吗？ 【答案】(1)2270平方米 (2)不符合规定 【分析】（1）求刷防水材料的面积，就是求这个长方体游泳池5个面的面积和，根据5个面的长方体表面积=长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可解答。 （2）根据长方体体积＝长×宽×高，可得高＝体积÷（长×宽），用水池里注水的体积除以游泳池的底面积，即可求出水的深度，再与1.2米比较，即可解答。 【解答】（1）50×40＋（50×1.5＋40×1.5）×2 ＝50×40＋（75＋60）×2 ＝50×40＋135×2 ＝2000＋270 ＝2270（平方米） 答：刷防水材料的面积是2270平方米。 （2）2500÷（50×40） ＝2500÷2000 ＝1.25（米） 1.25米＞1.2米 答：现在的水深不符合规定。 21．琪琪的爸爸用玻璃制作了一个如右图所示的无盖长方体鱼缸。 （1）做这个鱼缸至少用了多少平方厘米玻璃？ （2）琪琪将72升水倒入这个鱼缸中，又往鱼缸中放入了几条金鱼，此时测得鱼缸内水深33厘米。这几条金鱼的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）12400平方厘米 （2）7200立方厘米 【点睛】（1）鱼缸无盖，是一个长60厘米、宽40厘米、高50厘米的长方体去掉上面一面。因为鱼缸无盖，所以求用多少平方厘米玻璃就是求这个长方体5个面的面积之和。根据长方体表面积公式S＝2（ac＋bc）＋ab计算即可； （2）首先进行单位换算，因为1升＝1立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，所以72＝72×1000＝72000立方厘米。放入金鱼后水和金鱼总体积为60×40×33，那么金鱼的体积＝水和金鱼总体积－水的体积即可解答。 【解答】（1）60×40＋（60×50＋40×50）×2 ＝2400＋（3000＋2000）×2 ＝2400＋5000×2 ＝2400＋10000 ＝12400（平方厘米） 答：做这个鱼缸至少用了12400平方厘米玻璃。 （2）72升＝72000立方厘米 60×40×33－72000 ＝2400×33－72000 ＝79200－72000 ＝7200（立方厘米） 答：这几条金鱼的体积是7200立方厘米。 22．张军家有一个长方体无盖鱼缸，长6分米，宽5分米，高4分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入2.5分米深的水，鱼缸里的水是多少立方分米？（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】（1）118平方分米 （2）75立方分米 【分析】（1）求做这个鱼缸需要玻璃的面积，就是求这个长方体无盖鱼缸的表面积，根据长方表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）求鱼缸里注入2.5分米深的水，求鱼缸里的水的体积，就是求长是6分米，宽是5分米，高是2.5分米的长方体体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】（1）6×5＋（6×4＋5×4）×2 ＝30＋（24＋20）×2 ＝30＋44×2 ＝30＋88 ＝118（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃118平方分米。 （2）6×5×2.5 ＝30×2.5 ＝75（立方分米） 答：鱼缸里的水是75立方分米。 23．一个长方体的游泳池，长、宽、高分别是50米，12米，2米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）把这个游泳池的底面和四壁都贴上瓷砖，需要瓷砖多少平方米？ （3）这个游泳池的容积是多少立方米？ 【答案】（1）600平方米 （2）848平方米 （3）1200立方米 【分析】（1）游泳池的占地面积即长方体的下面的面积，用长×宽即可。 （2）贴瓷砖面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此代入数据计算即可。 （3）根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，据此代入数据计算即可。 【解答】（1）50×12＝600（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是600平方米。 （2）50×12＋50×2×2＋12×2×2 ＝600＋200＋48 ＝848（平方米） 答：需要瓷砖848平方米。 （3）50×12×2＝1200（立方米） 答：这个游泳池的容积是1200立方米。 24．李叔叔准备做一批无盖的长方体鱼缸。 （1）下面是这个无盖的长方体鱼缸的展开图中的四个面，把缺少的一个面在下图中画出来，并标出相应的数据。 （2）根据算式提出问题。 _________________________________？ （平方分米） （3）做10个这样的鱼缸，至少需要玻璃多少平方米？ （4）如果要把一个鱼缸注满水，需要多少升的水？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】（1）见详解； （2）这个鱼缸的底面积是多少平方分米； （3）43.2平方米； （4）720升 【分析】（1）观察无盖长方体鱼缸展开图，已知的面可判断出长方体的长、宽、高。长方体相对的面完全相同，现有展开图中，12分米和6分米可作为长和宽，10分米是高。缺少的面是与长为12分米、宽为6分米相对应的底面，其长为12分米，宽为6分米。 （2）12×6，结合长方体鱼缸，12分米和6分米可看作底面的长和宽，长方形面积公式是长×宽，所以可从底面面积角度提问题。 （3）无盖长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2。由前面分析已知长为12分米，宽6分米，高10分米。把数据代入公式先算出一个鱼缸的表面积，再乘10得到总面积，最后换算单位为平方米。 （4）注满水的体积就是长方体鱼缸的容积，长方体体积＝长×宽×高，由前面分析已知长为12分米，宽6分米，高10分米。把数据代入公式即可解答。 【解答】（1）如图： （2）12×6，结合长方体鱼缸，12分米和6分米可看作底面的长和宽，所以可以提出问题：这个鱼缸的底面积是多少平方分米？ （3）12×6＋（12×10＋6×10）×2 ＝72＋（120＋60）×2 ＝72＋180×2 ＝72＋360 ＝432（平方分米） 432×10＝4320（平方分米） 1平方米＝100平方分米 4320÷100＝43.2（平方米） 答：做10个这样的鱼缸，至少需要玻璃43.2平方米。 （4）12×6×10＝720（立方分米） 1立方分米＝1升 720立方分米＝720升 答：如果要把一个鱼缸注满水，需要720升的水。 25．五年级（1）班的同学们正在积极筹备“爱心义卖”活动。他们收集了许多二手书籍、文具和手工艺品，准备在校园里摆摊售卖，所得款项将捐给山区儿童。为了高效搬运和摆放物品，班长小华和数学课代表小明开始设计运输和摊位布局方案。 他们发现，用来装运物品的纸箱是一个长方体，长60厘米，宽40厘米，高3分米。义卖摊位的区域长2.4米，宽1.2米，纸箱必须整齐摆放，不能堆叠。此外，全班共有48人，老师决定将同学们分成每组6人或8人，这样既能保证搬运效率，又方便管理。 现在，请你运用所学的数学知识，帮助小华和小明解决以下问题吧！ （1）每个纸箱的容积是多少升？ （2）如果全班同学分成每组6人，需要搬运36个纸箱，平均每组要搬运多少个纸箱？如果分成每组8人，平均每组要搬运多少个纸箱？ （3）摊位最多能摆放多少个这样的纸箱？请考虑纸箱的不同摆放方式，写出最优方案。 【答案】（1）72升 （2）4.5个；6个 （3）24个；最优方案见解析 【分析】（1）长方体的容积＝长×宽×高，据此代入数据计算。最后把以立方厘米为单位的数换算成以升为单位的数。 （2）全班共有48人，每组6人，根据除法的意义，可以分成48÷6＝8（组）。需要搬运36个纸箱，用36除以8即可求出平均每组要搬运多少个纸箱；同理，如果每组8人，用48除以8可以求出分成的组数，再用36除以组数，即可求出平均每组要搬运多少个纸箱。 （3）先把2.4米和1.2米分别换算成240厘米和120厘米。要使摆放的纸箱最多，根据长方体纸箱和摊位的大小，可以将纸箱宽40厘米对应摊位长240厘米，纸箱高30厘米对应摊位宽120厘米，用240除以40一排摆几个，用120除以30可以求出摆几排，最后把每排的个数乘排数，即可求出一共可以摆几个纸箱；或者将纸箱宽40厘米对应摊位宽120厘米，纸箱高30厘米对应摊位长240厘米，同样用120除以40、用240除以30，再把它们的商相乘即可解答。 【解答】（1）60×40×30＝72000（立方厘米）＝72（升） 答：每个纸箱的容积是72升。 （2）48÷6＝8（组） 36÷8＝4.5（个） 48÷8＝6（组） 36÷6＝6（个） 答：如果分成每组6人，平均每组要搬运4.5个纸箱；如果分成每组8人，平均每组要搬运6个纸箱。 （3）2.4米＝240厘米 1.2米＝120厘米 方案一： 240÷40＝6（个） 120÷30＝4（排） 6×4＝24（个） 方案二： 120÷40＝3（个） 240÷30＝8（排） 3×8＝24（个） 答：摊位最多能摆放24个这样的纸箱。最优方案是将纸箱宽40厘米对应摊位长240厘米，纸箱高30厘米对应摊位宽120厘米，或者将纸箱宽40厘米对应摊位宽120厘米，纸箱高30厘米对应摊位长240厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $开启智慧之门,迎接数学挑战 亲爱的同学: 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为北师大版五年级下册教材设计,旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴,助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累,单元为基 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】,帮助你及时巩固新知,将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效,让你在章节学习后就能进行实战演练,做到“段段清”。 二、阶段诊断,查漏补缺 针对学校常规的【月考】或阶段性测验,本书设有专项训练模块。同时,我们精心提炼了【易错点梳理】,集中呈现高频错误和思维误区,让你在复习时能有的放矢,有效避免“重复踩坑”。 三、冲刺备考,决胜关键 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化,突出重难点,提升你的综合运用能力。最后,我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】,帮助你熟悉考试节奏,进行最终冲刺。 我们坚信,优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系,将备考融入日常,做到心中有数,脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中,不断进步,在每一次考验中都能自信登场,取得理想的成绩! 编者 乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 (期末拔高复习)专题07 长方体和正方体的体积解决问题 (能力清单+实战演练) 1、能清晰说出体积、容积的定义,明确体积与容积的联系和区别,掌握体积单位、容积单位的核心特征,牢记体积、容积单位换算公式,理解体积单位与容积单位的对应关系。 2、能熟练根据长、宽、高(棱长)计算长方体和正方体的体积,并说明“体积单位填充推导”的计算逻辑,理解长方体体积是长、宽、高所容纳单位体积的数量,正方体体积是棱长所容纳单位体积的数量。 3、能根据不同题目要求,灵活选用“公式套用法”“排水法”“等积转化法”解决长方体和正方体体积相关问题,比如计算不规则物体体积、解决容器装物问题。 4、解题前,会习惯性确定“立体图形类型”与“长、宽、高(棱长)的对应关系”,明确问题所求(体积/容积/单位换算),理清已知量对应关系,避免单位错用、公式混用。 5、能分辨“体积计算”“容积计算”“体积单位换算”“等积变形”类问题,并抓住“体积不变、单位对应”这一关键。 6、做题时,能圈出题目中的“体积”“容积”“立方米”“立方分米”“升”“毫升”“排水法”“熔铸”等关键词,快速定位解题方向。 7、能熟练根据已知体积反推长方体或正方体的长、宽、高(棱长),说明“公式逆推+分步计算”的推导逻辑,理解体积与长、宽、高(棱长)的对应关系。 8、能熟练根据已知体积和长、宽(棱长),反推长方体的高(正方体棱长),掌握公式逆推的计算逻辑。 9、能熟练解决长方体和正方体体积在实际生活中的应用问题,如容器装货量、材料熔铸等,理解实际问题与理论计算的联系和转化,掌握根据实际情况调整计算的方法。 一、解答题 1.一个正方体油箱,棱长6分米,里面装满油。如果把这些油倒入一个长8分米、宽6分米的长方体油箱中,油深多少分米?(油箱厚度忽略不计) 2.有一个长方体玻璃鱼缸(如下图)。现在向鱼缸内注水,随着水面的上升,水与玻璃接触的面会不断发生变化。当第二次出现相对的面是正方形时,鱼缸内有多少升水? 3.一块长35厘米、宽30厘米的长方形铁皮,从四个角各切掉一个边长为6厘米的正方形,然后做成一个无盖长方体盒子,这个盒子用了多少平方厘米的铁皮?它的容积是多少立方厘米?(铁皮的厚度忽略不计) 4.如图,一块长32厘米的长方形铁皮,如果在它的四个角各剪去一个边长是4厘米的正方形后,正好可以焊成一个容积是768毫升的无盖长方体铁皮水箱。原来这块铁皮的宽是多少? 5.一根木料长1.2米,将它按图中所示锯成三段后表面积增加了24平方分米,这根木料的体积是多少立方米? 6.长方体容器的长是12厘米,宽是12厘米,高是20厘米。把土豆和胡萝卜先后放进容器里(如下图),请问土豆和胡萝卜的体积各是多少立方厘米? 7.一个长方体水箱,从里面量长是40厘米,宽是35厘米,水箱中浸没一个钢球(水未溢出),水深15厘米。取出钢球后,水深12厘米。如果每立方厘米的钢重7.8克,这个钢球重多少千克? 8.晓丽从信阳旅游回来,买了如图所示的两盒茶叶,如果用包装纸包在一起变成一个大长方体,表面积最少是多少平方分米?体积是多少立方分米? 9.一个长方体饮料盒,长8厘米、宽6厘米、高1.5分米。 (1)如果围着它的侧面贴满一圈商标纸(上、下面不贴),至少需要多少平方厘米的商标纸? (2)这个饮料盒最多能装饮料多少毫升?(饮料盒厚度忽略不计) 10.张叔叔是一位“手工达人”,他准备制作一个无盖的长方体玻璃鱼缸用来养观赏鱼(如图所示)。 (1)每平方分米玻璃需要3元,张叔叔制作这个鱼缸至少需要多少钱? (2)鱼缸中的水面高度是5分米,张叔叔将一块景观石完全浸入水中,水面升高了2分米,请你计算这块景观石的体积。 11.一个长方体水箱,从里面量长10分米、宽9分米,高8分米。先倒入4分米深的水,再放入一块棱长为6分米的正方体铁块,这时水面上升了多少分米? 12.“短板理论”又称“木桶原理”。盛水的木桶是由许多块木板箍成的,木桶最大的容量不是取决于最长的那块木板,而是取决于最短的那块木板。如图所示的木桶,其中最短的一块木板处深1.5米,这个木桶最多能盛水多少立方米?(木板厚度忽略不计) 13.为弘扬传统文化,培养学生体验美、创造美的能力,学校组织学生到吴川市文化馆学习制作吴川泥塑。如图,小芳将一个长方体泥块沿着一个斜面切去一块,你能求出剩下部分的体积是多少吗? 14.把一个长方体铁块完全浸入一个长为8分米,宽为3分米的长方体玻璃缸中,水面从15厘米上升到17厘米(水没有溢出)。 (1)这个铁块的体积是多少? (2)如果这个铁块的长是4分米,宽是2分米,那么这个铁块的高是多少? 15.为了庆祝六一儿童节,礼品店准备推出一款新的长方体礼品盒,用来包装玩具。礼品盒的长是30厘米,宽是20厘米,高是15厘米。礼品盒的表面需要用彩色纸包装,接头处忽略不计。同时,为了确定内部空间是否足够容纳玩具,需要计算礼品盒的容积。礼品店老板还计划在礼品盒的每个面上印上卡通图案,每个面的印刷费用是每平方厘米0.01元。 (1)包装一个这样的礼品盒至少需要多少平方厘米的彩色纸? (2)这个礼品盒的容积是多少立方厘米? 16.一件质量是840克的艺术品完全浸没在底面积是40平方厘米的长方体容器里,水面从20厘米上升到22厘米。请判断这件艺术品是由什么材料制作而成的。(请用计算说明) 材料 白金 白银 锡 白铜 1cm3的质量 21.4g 10.5g 7.3g 8.6g 17.一个长方体水箱,从里面量长8分米,宽6分米,高5分米,现在水面高度是1分米。 (1)如果把这些水全部倒入棱长4分米的正方体水箱中,这时水面高度是多少分米? (2)如果在长方体水箱中放入一块铁块(被水完全浸没),这时水面上升到45厘米,这块铁块的体积是多少立方分米? 18.小兵为了测量一个土豆的体积,设计了下面的实验步骤,但被打乱了顺序。 ①列式计算出土豆的体积。 ②找一个长方体无盖透明容器,从里面量得底面长12厘米,宽10厘米,高20厘米。 ③将土豆完全浸没在水中,量出水面高度11.5厘米。 ④倒入适量的水,量出水面高度10厘米。 (1)你认为实验的正确顺序应该是:(填序号)( ) ( ) ( ) ( )。 (2)这个土豆的体积是多少立方厘米? 19.做一个无盖的长方体玻璃鱼缸,长8分米,宽4分米,高5分米。 (1)做这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃? (2)鱼缸内装有3分米深的水,现在放入一个石头后(石头被完全浸没),水深3.5分米,这个石头的体积是多少立方分米? 20.水上乐园要修建一个长方体游泳池,这个游泳池长50米,宽40米,深1.5米。 (1)要在这个游泳池的底面和四壁刷一层防水材料,刷防水材料的面积是多少平方米? (2)为了儿童安全,游泳池的水深不能超过1.2米,现在要往游泳池里注入2500立方米的水,请问现在的水深符合规定吗? 21.琪琪的爸爸用玻璃制作了一个如右图所示的无盖长方体鱼缸。 (1)做这个鱼缸至少用了多少平方厘米玻璃? (2)琪琪将72升水倒入这个鱼缸中,又往鱼缸中放入了几条金鱼,此时测得鱼缸内水深33厘米。这几条金鱼的体积是多少立方厘米? 22.张军家有一个长方体无盖鱼缸,长6分米,宽5分米,高4分米。 (1)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米? (2)在鱼缸里注入2.5分米深的水,鱼缸里的水是多少立方分米?(玻璃的厚度忽略不计) 23.一个长方体的游泳池,长、宽、高分别是50米,12米,2米。 (1)这个游泳池的占地面积是多少平方米? (2)把这个游泳池的底面和四壁都贴上瓷砖,需要瓷砖多少平方米? (3)这个游泳池的容积是多少立方米? 24.李叔叔准备做一批无盖的长方体鱼缸。 (1)下面是这个无盖的长方体鱼缸的展开图中的四个面,把缺少的一个面在下图中画出来,并标出相应的数据。 (2)根据算式提出问题。 _? (平方分米) (3)做10个这样的鱼缸,至少需要玻璃多少平方米? (4)如果要把一个鱼缸注满水,需要多少升的水?(玻璃厚度忽略不计) 25.五年级(1)班的同学们正在积极筹备“爱心义卖”活动。他们收集了许多二手书籍、文具和手工艺品,准备在校园里摆摊售卖,所得款项将捐给山区儿童。为了高效搬运和摆放物品,班长小华和数学课代表小明开始设计运输和摊位布局方案。 他们发现,用来装运物品的纸箱是一个长方体,长60厘米,宽40厘米,高3分米。义卖摊位的区域长2.4米,宽1.2米,纸箱必须整齐摆放,不能堆叠。此外,全班共有48人,老师决定将同学们分成每组6人或8人,这样既能保证搬运效率,又方便管理。 现在,请你运用所学的数学知识,帮助小华和小明解决以下问题吧! (1)每个纸箱的容积是多少升? (2)如果全班同学分成每组6人,需要搬运36个纸箱,平均每组要搬运多少个纸箱?如果分成每组8人,平均每组要搬运多少个纸箱? (3)摊位最多能摆放多少个这样的纸箱?请考虑纸箱的不同摆放方式,写出最优方案。 学科网(北京)股份有限公司 $