第5课时 有趣的测量&第四单元 要点总结-【随堂笔记】2025-2026学年五年级下册数学（北师大版）

第5i 课时 有趣的测量 课前·预习笔记 任务 笔记 重点@心 知识点 测量不规则物体的体积的方法（教材第46页例题）】 (1)如何测量石块的体积？ 方法一：液面升高法。 如下图，放入石块前，底面长15cm,宽10cm,水面高10cm。放入石块后 底面长15cm,宽10cm,水面高15cm,水面升高了(5)cm。 放入石块前 放入石块后 思路一：水上升部分的体积就是石块的体积，用“容器的底面积×水面 新 上升的高度”求石块的体积，即15×10×(15-10)=750(cm3)。 思路二：用放入石块后容器中水和石块的总体积减去放入石块前容器中水 的体积就是石块的体积，即15×10×15-15×10×10=750(cm3)。 方法二：溢水法 先将石块放入盛满水的容器里，水从容器中溢出，流到较大的容器里，再 将溢出的水全部倒入有刻度的量杯中，直接读出溢出的水的体积，溢出的水的 体积就相当于石块的体积，最后把容积单位换算成体积单位。 (2)大小适中的、不规则的物体都可以用上面的方法测量它的体积，如 生活中的土豆、砖块、橡皮泥等物体。但溶于水的不规则物体或浮在水面上的 不规则物体都不可以用上面的方法测量它的体积，如糖、盐等。 注意：(1)利用液面升高法测量物体体积时，一是水量要适中，要使水 没过物体，对于不能沉下去的物体，要把物体压下去；二是不能有水溢出。 (2)利用溢水法测量物体体积时，要先将容器装满水再放入物体，使水 没过物体。 思 测量不规则物体 液面升高法 溢水法 的体积的方法 92 课堂·听课笔记 精批注 有趣的测量 一》石块所占空间的大小。 ○如下图，要测量石块的体积，你有什么方法？与同伴交流。 不能直接用公 式，怎么办呢？ 形状不规则 底面积不变，升高的那 ○淘气是这样测量的，你看懂了吗？与同伴说一说。（单位：c)部分水的体积就是石块 方法一·液面升高法。 的体积。 放入石块前 放入石块后 放入石块后，水面 升高了多少？石块 的体积是多少？ 15-10=5(cm) -15一 15x10x(15-10)2 15 =750(cm3) 底面长15cm, 宽10cm, 水面高15cm。 水面高10cm。 ●下图是另一种测量石块体积的方法。按照图示的步骤说一说，怎样能知道石块的体积？ 方法二 放入石块前 放入石块后 溢水法。 测量溢出的水 量杯 容器盛满水。 溢出的水的体积就 将盖出的水倒入有刻度的空量杯中 是石块的体积。 直接读出水的体积，即石块的体积。 在测量不规则物体的体积时，水面升高部分的体积或满杯时盖出的水的体积相当于不规则 物体的体积。 生活中还有哪些物品可用上面的方法测量它的体积？在测量时需要注意什么问题？小组交 流讨论。只要是大小适中的、不规则的物体都可以用上面的方法测量它的体积。 注意·(1)利用液面升高法测量物体的体积时，水量要适中，既要保证物体完全没 入水中，也不能有水溢出。 (2)利用溢水法测量物体的体积时，要光将容器装满水，再放入物体，使水没过物体。 水要没过物体！像 这样把橘子压进去。 93 练一练 提示·石头的体积=放入石头后水和石头的总体积-放入石头前水的体积。 1.这块石头的体积是多少？ 72 mL 55 mL 72-55=17(mL) 17 mL =17 cm 石头放入前 石头放入后 2.一个长方体容器，底面长2dm、宽1.5dm,放入一个土豆后水面升高了0.2dm,这个土豆 的体积是多少？ 2x1.5x0.2=0.6(dm3) 3.将2个西红柿浸没在盛了250mL水的量杯后，水位上升至600mL,平均每个西红柿的体积 是多少立方厘米？ (600-250)÷2=175(mL） “上升了”是指上升部分水的高度 175mL=175cm ”上升至”是指现在水面的高度。 4.怎样测量一粒黄豆的体积？与 提示·在测量 同伴交流，说一说你的想法。 粒黄豆放入水 较小的不规则 中，不好测出水面 物体的体积时 （答案不唯一)可以裁10O粒黄豆，效 的变化，怎么办？ 可以先测量出 入一个盛有一定量水的量杯中，根据水 一定数量相同 面升高的情况，先计算出1OO粒黄豆的 物体的体积 体积，再计算出一粒黄豆的体积。 再除以数量 就得到一个物 体的体积。 你知道吗 传说两千多年前，一位国王命令金匠制造一顶纯金的皇冠。皇冠制好后， 他怀疑里面掺有银子，便请阿基米德鉴定一下。解决这个问题需要测量出皇 冠的体积，阿基米德一直解决不了这个难题。 有一天，阿基米德跨进浴池洗澡时，看见水溢到池外，于是从中受到启发： 可以通过排出去的水的体积确定皇 冠的体积，从而判断皇冠中是否掺 有银子。他非常兴奋地从浴池里跳 出去，赤身奔跑回家中，边跑边欢 呼：“尤里卡！尤里卡！”（希腊语， 意思是“我找到了！”）完全沉浸在 新发现之中的阿基米德，竟然忘记 了自己没穿衣服！ 94 学方法 ○运用转化法解决水面升高的问题 有一个长方体容器从里面量长8dm、宽5dm、高5dm,里面装有水，水深3dm。如果把 一块棱长是4dm的正方体铁块完全浸入到水中，水面上升了多少分米？（水未溢出) 总结：将物体放 在盛有水的长方 体或正方体容架 中，物体完全浸 入水中且没有水 益出，则物体的 体积等于容器内 水面上升的那部 分水的体积。 思路分析：铁块体积和容器内水面上升的那部分水的体积是相等的，求水面上升多少分米， 实际是求水面的上升高度。因为高=体积÷底面积，所以用铁块的体积除以 长方体的底面积，即可求出水面上升的高度。 正确解答：4×4×4÷（8×5)=1.6(dm) 答：水面上升了1.6dm ○运用抓不变量法或方程法解决容积问题 有两个长方体水箱，甲水箱从里面量长40cm、宽30cm,现装有水且水深为20cm;乙水 箱从里面量长30cm、宽10cm、高20cm,乙水箱无水。现将甲水箱的部分水倒入乙水箱， 使两个水箱的水深一样，现在两个水箱的水深是多少厘米？ 思路分析：思路一：抓不变量法。从题中可知，将甲水箱中的水倒入乙水箱后，两个水箱 的水面高度一样。原来水的体积就是现在甲、乙两个水箱中水的体积和，因为 甲水箱中水的体积+乙水箱中水的体积=（甲水箱的底面积+乙水箱的底面积）× 水深，所以只要先求出原来甲水箱中水的体积，再除以甲、乙两个水箱的底面 积之和，就可以求出现在两个水箱的水深。 思路二：方程法。设这个相同的水深为xc,根据“倒入后两个水箱中水的体 积和=原来甲水箱中水的体积”这一等量关系列方程。 正确解答：方法一：40×30×20÷(40×30+30×10)=16(cm) 方法二：设现在两个水箱的水深为xcm。 40×30×x+30×10×x=40×30×20 总结：解决这类题时，关键是抓 1500x=24000 住体积不变，可以采取列方程法 x=16 进行解答。 答：现在两个水箱的水深是16cm。 95 课后·提升笔记 方法：测量时要保证不规则物体 巧总结 完全浸入在水中，且没有水溢出 这样水面升高部分的水的体积相 ○易错点：解决浸没问题时，未理解题意导致出错 当于不规则物体的体积。 把一块石头浸没在一个长4dm、宽3dm、高2dm的装有水的长方体容器内，水没有溢出， 这时水位上升至1.5dm,容器内原有水面高度是1dm。这块石头的体积是多少？ 易错解读：本题易错在未理解“上升至1.5dm”表示的含义。石头浸没且水没有溢出，说 明水面上升部分水的体积就是石头的体积。石头放入容器内，水位上升至1.5dm是指现在 的水面高度是1.5dm,水面上升了1.5-1=0.5（dm),而不是1.5dm。所以本题的正确答 案为4×3×(1.5-1)=6(dm3)。 举一反三： 一个长方体玻璃容器，从里面量长和宽均为12cm,向容器中倒入0.5L的水，再把一个土 豆放入（完全浸入水中），此时水面高5cm。这个土豆的体积是多少？ 提示·一土豆的体积等于水面 上升的那部分水的体积。 提素养 提示·铁块的体积=正方体容器的容积+水盖出的体积-原来水的体积。 1.一个正方体容器，从里面量棱长为5dm,容器内水深4.6dm。把一个长和宽都是2dm的长 方体铁块放入水中（铁块浸没水中），水溢出了2L。铁块的高是多少分米？ 2.一个鱼缸，从里面量长50cm、宽25cm、高35cm。明明向鱼缸中倒入37L水，又放入了 一只螃蟹（完全浸入水中)，此时水面距离鱼缸口还有5cm,这只螃蟹的体积是多少？ 提示：放入一只螃蟹后，鱼缸中的实际水深是(35-5)厘米。 3.一个无水观赏鱼缸（无盖)中放有一座高是14cm、体积是1100cm3的假山（如下图)，如 果水管每分向鱼缸内注水6dm3,那么至少需要多长时间才能将假山淹没？ 提示：所需水的体积=鱼缸内水高为14Cm的水的体积-假山的体积 46.cm >5 cm 96 第四单元要点总结 要点1 常用体积单位、容积单位及单位间的进率与换算 (1)常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，分别可以写成cm3、dm3和 m3.1dm3=1000cm3,1m3=1000dm3。 (2)计量装固体的容器的容积一般用体积单位。计量盛放液体的容器的容积时，常 用容积单位升（L)和毫升(mL)。1L=1000mL,1L=1dm3,1mL=1cm3。 练习 1.在( )里填上合适的单位。 (1)一台收音机的体积大约是0.96（)。 (2)一个红茶瓶的容积是500()。 (3)一台笔记本电脑的体积大约是1.5( ）。(4)一个冰箱的容积是300( )。 2.单位换算。 4.5dm3=( ）cm 720dm2=( )m2 1.05m3=( )m3( )dm3 6050cm3=( )L( ）mL 6.5dm3=( )mL 6.09m3=（ )L=()mL ,要点2 长方体和正方体的体积计算公式 (1)长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。 (2)正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a。 (3)长方体（正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh。 练习 1.一个长方体玻璃鱼缸的容积是160L,高为4dm,这个鱼缸的占地面积是多少？（玻璃的厚 度忽略不计) 2.一种饮料用长方体盒子密封包装，从外面量长方体盒子长6cm、宽5cm、高8cm。盒子上 面标明“净含量：240mL”,这个标签是否真实？ 97 ,要点3 运用表面积、体积的计算方法解决长方体（正方体）的切割问题 (1)把一个长方体截去一段后（如图1)，表面 右 积减少的部分是截去部分的前、后、左、右4个 后 上 侧面的面积和。 后 (2)把一个正方体截去一段后（如图2)，表面 前 积减少的部分是截去部分的前、后、上、下4个 公 侧面的面积和。 图1 图2 体积减少的部分是截去部分的体积。 练习 个长方体木块长12.5dm,现在沿着与高平行的方向把它切成两个长方体（如图)，这时表 面积比原来增加16dm2。原来长方体的体积是多少立方分米？ 12.5dm ,要点④运用体积（容积）的计算方法求不规则物体的体积 不规则物体的体积的测量方法：把不规则物体的体积转化成可以测量的水的体积进行 计算，水面升高的那部分水的体积（或满杯时溢出的水的体积）就相当于不规则物体的体积。 练习 1.一个长方体水箱从里面量，长是40cm,宽是25cm,高是20cm。将一块石头放入水箱， 然后将水箱注满水（如图1）。把水箱里的石头取出后，水面高度是16cm（如图2)。这 块石头的体积是多少立方分米？ 16 cm 图1 图2 2.一个棱长为4dm的正方体水箱中装有子箱水，把一块石头完全浸入水中且水未溢出，水 面上升了0.8dm,这块石头的体积是多少立方分米？现在水面距离水箱口多少分米？（水 箱壁厚度忽略不计) 9850×30×10×20=300000(cm3)=0.3(m3) 答：这些地砖一共能铺3m的地面，制作这些地 砖一共需要0.3m3的混凝土。 2.6cm=0.06m6×2.7×0.06=0.972(m3) 0.972m3=972000cm33×3×3=27（cm3) 972000÷27=36000(块) 答：这面心愿墙一共用了36000块积木。 3.1×1×1=1(m3)1m3=1000000cm3棱长为1m 的正方体木块可以锯成1000000个棱长为1cm的 小正方体。 1000000×1=1000000(cm)=10000(m) 答：一共长10000m。 第5课时有趣的测量 举一反三 0.5L=0.5dm3=500cm 12×12×5-500=220(cm3) 答：这个土豆的体积是220cm3。 ②提素养 1.2L=2dm35×5×(5-4.6)+2=12(dm3) 12÷（2×2)=3(dm) 答：铁块的高是3dm 2.37L=37dm3=37000cm 50×25×(35-5)-37000=500(cm3) 答：这只螃蟹的体积是500cm3。 3.46×25×14-1100=15000（cm3) 15000cm3=15dm315÷6=2.5(分) 答：至少需要2.5分才能将假山淹没。 第四单元要点总结 要点1练习 1.(1)dm3(2)mL(3)dm3(4)L 2.45007.21506506500 60906090000 要点2练习 1.160L=160dm3160÷4=40(dm2) 答：这个鱼缸的占地面积是40dm。 2.6×5×8=240(cm3)240cm3=240mL 它的容积应小于它的体积。 答：这个标签不真实。 要点3练习 16÷2=8(dm2)12.5×8=100(dm3) 答：原来长方体的体积是100dm3。 要点4练习 1.40×25×（20-16)=4000(cm3) 4000cm=4dm 答：这块石头的体积是4dm3。 2.4×4×0.8=12.8(dm3) 4-(4×3+0.8)=0.2(dm) 4 答：这块石头的体积是12.8dm3,现在水面距离 水箱口0.2dm。 五 分数除法 第1课时分数除法（一） 举一反三 (从左到右)25 7 221 2454521 ①提素养 16g4 2÷3=日×5= 8 答：被除数是音。 第2课时 分数除法（二）】 举一反三 (1)×(2)×(3)V(4)× @提素养 1.102124 21753 51064 2子÷ 7 =4(袋) 答：能装4袋。 35--号(g) 号=1（天） 答：还能吃11天。 第3课时 分数除法（三】 举一反三 72÷g=81(kg) 答：香蕉有81kg0 ②提素养 解：设小桐的体重是xkg x=42x=3636÷令=32(kg) 7