第07讲 不等式的基本性质（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

第07讲 不等式的基本性质（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 不等关系 在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质： (1)若a=b且b=c，则a=c； (2)若a=b，则a±c=b±c； (3)若a=b，则ac=bc，(c≠0). ●不等式有哪些基本性质呢? 【知识点1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·江苏·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【变式1-3】（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 模块三 比较大小 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 利用作差法比较大小】 【例2】（25-26高一上·江苏徐州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 【变式2-1】（24-25高一上·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【变式2-2】（25-26高一上·北京·开学考试）已知实数，则以下不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【题型3 利用作商法比较大小】 【例3】（2025高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【变式3-1】（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_________（填入“＞”或“＜”）． 【变式3-3】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 【题型4 利用作差法比较大小的应用】 【例4】（25-26高一上·江苏无锡·期中）公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（   ） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 【变式4-1】（25-26高一上·重庆璧山·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【变式4-2】（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 【变式4-3】（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 模块四 等式性质与不等式性质 【知识点3 等式的基本性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 【知识点4 不等式的性质】 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【题型5 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例5】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是非零实数，且是任意实数，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·江苏无锡·期末）如果，那么下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·云南昭通·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-3】（25-26高一上·湖北·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【题型6 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例6】（25-26高一上·陕西安康·期末）若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·河北唐山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（25-26高一上·上海·期末）下列命题中的假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【题型7 利用不等式的性质求取值范围】 【例7】（25-26高一上·广东清远·期中）已知，， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·云南普洱·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，则（　　） A． B． C． D． 【题型8 利用不等式的性质证明不等式】 【例8】（2025高一上·全国·专题练习）已知均为正实数，且，求证：． 【变式8-1】（25-26高一·湖南·课后作业）证明不等式： (1)若，，则； (2)若，，则． 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【变式8-3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽·期末）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·广东湛江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·重庆·期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知非零实数、、，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 8．（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 二、多选题 9．（25-26高一上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·福建福州·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·福建泉州·期末）下列不等式成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（25-26高一上·天津滨海新区·期末）如果，，那么_________（用不等号“>”或“<”填空）. 13．（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为_________． 14．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，，，则的取值范围是_________． 四、解答题 15．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 16．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 17．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）设，，比较，的大小； （2）已知，，求代数式和的取值范围. 18．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 19．（24-25高一上·四川广元·阶段检测）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 不等式的基本性质（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 不等关系 在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质： (1)若a=b且b=c，则a=c； (2)若a=b，则a±c=b±c； (3)若a=b，则ac=bc，(c≠0). ●不等式有哪些基本性质呢? 【知识点1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【解答过程】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【解答过程】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 【变式1-2】（25-26高一上·江苏·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【解题思路】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【解答过程】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错误； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错误； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错误. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意建立不等式模型即可. 【解答过程】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 模块三 比较大小 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 利用作差法比较大小】 【例2】（25-26高一上·江苏徐州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 【答案】A 【解题思路】利用作差法判断即可. 【解答过程】因为，， 所以， 所以. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一上·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【解题思路】用作差法计算比较的大小关系． 【解答过程】 ，故B正确． 故选：B． 【变式2-2】（25-26高一上·北京·开学考试）已知实数，则以下不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用作差法比大小. 【解答过程】由于实数，则， ，所以， ，所以， 所以. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【解答过程】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A. 【题型3 利用作商法比较大小】 【例3】（2025高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【解题思路】应用作商法比较的大小关系即可. 【解答过程】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【变式3-1】（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【解答过程】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_________（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【解题思路】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【解答过程】∵，即. 又， . 故答案为：>. 【变式3-3】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【解题思路】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【解答过程】因为，所以，，， 因为，，所以，， 即， 故答案为：. 【题型4 利用作差法比较大小的应用】 【例4】（25-26高一上·江苏无锡·期中）公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（   ） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 【答案】D 【解题思路】借助作差法，分与讨论即可得. 【解答过程】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， ， 则当时，，绿化率变小， 当时，，绿化率变大. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·重庆璧山·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【解题思路】由题意，先计算爸爸和妈妈两次买米的平均单价，再用作差法比较大小，即得解. 【解答过程】设第一次买的大米是元/斤，第二次买的大米是元/斤，依题意，， 则爸爸两次买的大米共斤，妈妈两次买的大米共用了元， 设爸爸两次买米的平均单价为元/斤，妈妈两次买米的平均单价为元/斤. 则，， 由，即， 所以爸爸买米的方式更合算. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 【答案】第二种购买方式更有利于控制投资成本. 【解题思路】分别求出两种投资方式的黄金平均单价，利用作差法比较它们的大小，可得结论. 【解答过程】设两次黄金的单价分别为，（，，）. 第一种购买方式，黄金的平均单价为：； 第二种购买方式，黄金的平均单价为：. 由，因为，，， 所以，即第二种购买方式，黄金的平均单价较低. 故第二种购买方式更有利于控制投资成本. 【变式4-3】（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【答案】(1) (2)变好，理由见解析 【解题思路】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【解答过程】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则 . 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 模块四 等式性质与不等式性质 【知识点3 等式的基本性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 【知识点4 不等式的性质】 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【题型5 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例5】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是非零实数，且是任意实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】ACD选项举反例说明，B选项根据作差法说明. 【解答过程】对于A，不妨取，此时，即A错误； 对于B，由题意可知，所以，因此，即B正确； 对于C，当时，，可得C错误； 对于D，当时，可得，即D错误． 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·江苏无锡·期末）如果，那么下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对AD，当时即可反驳；对B，举反例即可，对C，根据不等式性质即可判断. 【解答过程】对A，当，则，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，因为，则，则，则两边同除以得，故C正确； 对D，当，则，则，故D错误. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·云南昭通·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解题思路】对于A，作差即可判断；对于B，由不等式的可加性即可判断B；对于C，易知时，即可判断C；对于D，易知若，则． 【解答过程】若，则，所以A选项错误； 根据不等式的性质可知，若，则，所以B选项正确； 当时，，所以C选项错误； 因为，所以，，由可知，所以D选项错误. 故选：B． 【变式5-3】（25-26高一上·湖北·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】举反例即可验证A、B、D错误，利用不等式的性质即可证明选项C，即可求解. 【解答过程】举反例，则，故选项A错误； 举反例，则，故选项B错误； 因为，所以，因为，所以，故选项C正确； 当，则，故选项D错误. 故选：C. 【题型6 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例6】（25-26高一上·陕西安康·期末）若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用不等式的性质计算判断ABC；利用赋值法判断D. 【解答过程】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，由A知，所以，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； 当，可得， ，此时，故D错误. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质判断即可. 【解答过程】选项A：令，，，，则，，不满足，A错误. 选项B：因为，所以，所以，即，B错误. 选项C：因为，所以，又，所以，即，所以，C正确. 选项D：因为，所以，又，所以，D错误. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·河北唐山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质判断即得. 【解答过程】由，得，则，； 反之，，取，则有，即不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6-3】（25-26高一上·上海·期末）下列命题中的假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【解题思路】利用不等式的性质逐项判断即可. 【解答过程】若，，所以，A为真命题； 若，则，所以，B为真命题； 若，因为，不等式两边同乘得，C为真命题； 若且，当均为负数时，例如，满足， 当时，D为假命题； 故选：D. 【题型7 利用不等式的性质求取值范围】 【例7】（25-26高一上·广东清远·期中）已知，， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用不等式的性质求解. 【解答过程】，， ，. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【解答过程】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高一上·云南普洱·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，化简后求出，根据不等式的性质可得答案． 【解答过程】设，即 故，解得， 故 由于，， 所以， 故，即 故选：D. 【变式7-3】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用不等式的基本性质，计算选项中各表达式的取值范围，进而判断选项正误． 【解答过程】选项A：，，即，故A错误； 选项B：，，又， ，即，故B错误； 选项C：，， ，异号，， ，故C正确； 选项D：，，，又，， ，异号，， ，故D错误． 故选：C． 【题型8 利用不等式的性质证明不等式】 【例8】（2025高一上·全国·专题练习）已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【解答过程】 ，， ， 又 ， ，故， ，，， ，即． 【变式8-1】（25-26高一·湖南·课后作业）证明不等式： (1)若，，则； (2)若，，则． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【解题思路】（1）利用不等式的性质可证得结论； （2）由，知，利用，即可证得结论； 【解答过程】（1），两边同乘以，则， 又，两边同乘以，则， 即； （2），两边同乘以，得； 两边同乘以，得，所以， 又，则，又，则， 即. 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【解答过程】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 【变式8-3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【解答过程】（1）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽·期末）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由不等式性质根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】若，则，即充分性成立； 若，则，即，即 ， 所以，即必要性成立. 故选：C. 2．（25-26高一上·广东湛江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质判断A；作差法判断BCD. 【解答过程】因为，则，所以，A错误； ，所以，B错误； ，所以错误； ，所以，D正确． 故选：D． 3．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用不等式的性质判断得解. 【解答过程】依题意，，因此，所以. 故选：D. 4．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的基本性质可求的取值范围. 【解答过程】由条件，又，故， 所以． 故选：B. 5．（25-26高一上·重庆·期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用不等式的性质推理判断即可. 【解答过程】对于A，由，，得，A错误； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，得，而，则，C正确； 对于D，由，得，而，则，D错误. 故选：C. 6．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得出判断. 【解答过程】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C. 7．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知非零实数、、，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】B 【解题思路】利用不等式的基本性质可判断B选项；利用特殊值法可判断ACD选项. 【解答过程】对于A选项，不妨取，，则，A错； 对于B选项，因为，则，即，由不等式的基本性质得，B对； 对于C选项，不妨取，，则，C错； 对于D选项，不妨取，，，则，D错. 故选：B. 8．（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【解题思路】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答过程】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用作差法可判断BD选项；利用特殊值法可判断C选项. 【解答过程】因为， 对于A选项，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，，所以，B对； 对于C选项，当时，，C错； 对于D选项，， 所以，D对. 故选：ABD. 10．（25-26高一上·福建福州·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用不等式性质可判断AB正确，特殊值法计算可得C错误，再由作差法计算可得D正确. 【解答过程】对于A，由可知，由同向可乘性可知，即A正确； 对于B，由可知，即，又，所以，所以B正确； 对于C，不妨取，显然，因此C错误； 对于D，因为，所以，可得D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·福建泉州·期末）下列不等式成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解题思路】根据特殊值判断A，根据不等式性质判断BD，利用作差法判断C. 【解答过程】当时，，故A错误； 因为，所以，所以，即，故B正确； 因为，又， 所以，即，故C错误； 因为，所以，，所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高一上·天津滨海新区·期末）如果，，那么_________（用不等号“>”或“<”填空）. 【答案】> 【解题思路】根据不等式的性质比较大小即可得解. 【解答过程】因为，所以， 因为，， 所以， 故答案为：. 13．（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为_________． 【答案】 【解题思路】利用作差法可得出、的大小关系. 【解答过程】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 14．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，，，则的取值范围是_________． 【答案】 【解题思路】利用待定系数法结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】设， 所以，解得，故， 因为，，所以， 由不等式的基本性质可得，即， 故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【解答过程】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 16．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，； （2） 【解题思路】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【解答过程】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 17．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）设，，比较，的大小； （2）已知，，求代数式和的取值范围. 【答案】（1）； （2）， 【解题思路】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质计算可得； 【解答过程】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 所以； 又，，所以， 所以. 18．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 19．（24-25高一上·四川广元·阶段检测）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【解答过程】（1）解：由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）解：由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以， 综上可得. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $