第二章 《一元二次函数、方程和不等式》检测卷—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 第二章 《一元二次函数、方程和不等式》检测卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C．7 D．8 2．下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．设，，，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．不等式的解集为 10．若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 14．不等式的解集为 ． 15．已知，则的最小值为 . 16．已知命题“，一元二次不等式”为真命题，则a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，． （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围． 16．（15分）已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）求不等式的解集 17．（15分）（1）已知，证明： （2）已知，证明： 18．（17分）实行垃圾分类、保护生态环境人人有责.某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元. （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到52万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大？最大值是多少？（年平均盈利额） 19．（17分）设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教A版 必修第一册 第二章 《一元二次函数、方程和不等式》检测卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】化简集合A，根据真子集定义求解. 【详解】由，解得， ， 所以集合A的真子集有个. 故选：C. 2．下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】举例说明判断ACD；利用不等式性质推理判断B. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：B 3．设，，，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法分别计算和即可求解. 【详解】， ， 而，，而， ，即，综上. 故选：B． 4．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C. 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】，， ，， ， . 故选：D. 6．“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 7．若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 即的范围为. 故选：A 8．已知，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知不等式对任意的恒成立，可得出，即可解得的取值范围. 【详解】由可得， 由题意可知，不等式对任意的恒成立， 则，解得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】由二次函数图象可得，、，代入即可得A、B、C；D选项中可转化为，解出即可得. 【详解】由图象可知，该二次函数开口向上，故， 与轴的交点为、， 故， 即、， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：可化为，即， 即，其解集为，故D正确. 故选：BCD. 10．若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法比较大小即得. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最小值 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可判断A的正误，利用A的结果可判断BC的正误，利用反例可判断D是错误的，故可得正确的选项. 【详解】因为正实数a，b满足，所以， 所以，故当且仅当时等号成立， 故有最大值，A正确； 由A可得， 当且仅当时等号成立，故有最大值，B正确； ，当且仅当时等号成立， 故有最小值4，C正确； 取，此时，所以的最小值不是， 故D错误， 故选：ABC.. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 14．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 15．已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求出的范围，根据基本不等式即可求出的最小值. 【详解】，， ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 16．已知命题“，一元二次不等式”为真命题，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】借助根的判别式计算即可得. 【详解】由题意可得，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，． （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式基本性质即可得到答案； （2）利用待定系数法,设，得到方程组解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】（1）因为，， 两式相加得，所以， 所以实数的取值范围为． （2）设， 所以，所以解得 所以． 因为，， 所以， 所以的取值范围为． 16．（15分）已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）求不等式的解集 【答案】（1）；（2）答案不唯一见解析. 【分析】（1）直接求解即可， （2）由，得，然后分，和三种情况求解即可 【详解】（1）当时，，，得 ， 所以不等式的解集为， （2）由，得， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 17．（15分）（1）已知，证明： （2）已知，证明： 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）利用不等式的基本性质，转化求解证明即可； （2）利用基本不等式可得，，，结合不等式的基本性质，即可证明结论. 【详解】（1）由，得，即， 所以，又， 故，所以． （2），，， ，，，当且仅当时，等号成立， ， ； 18．（17分）实行垃圾分类、保护生态环境人人有责.某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元. （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到52万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大？最大值是多少？（年平均盈利额） 【答案】(1)，5年； (2)年，最大值为万元. 【分析】（1）根据给定条件，求出与之间的函数关系式，再解不等式即可得解； （2）求出平均盈利额的表达式，再利用基本不等式来求得最大值以及此时对应的的值. 【详解】（1）依题意， 由，得，解得， 所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上. （2）由（1）平均盈利额为， 当且仅当即时取等号， 所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 19．（17分）设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知，不等式对一切实数恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次不等式恒成立可得出关于的不等组，综合可得出实数的取值范围； （2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得对一切实数恒成立， 即不等式对一切实数恒成立， 当时，则有，不合乎题意， 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）由，可得， 可化为. （i）当时，原不等式即为，解得， （ii）当时，原不等式可化为， 当时，即当时，原不等式即为，解得； 当时，即当时，解原不等式可得或； 当时，即当时，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$