第二章 一元二次函数、方程和不等式-章末检测-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

一元二次函数、方程和不等式 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因，则， 则，等号成立时. 故的最小值是. 故选：C 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】不等式可化为，则解集为， 故选：A. 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为即，故， 故解集为， 故选：C. 4．设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 由，可得，所以. 所以. 故选：C. 6．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 7．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】B 【详解】由题意，， 又，当且仅当时取等号， 所以，即目标式最小值为7. 故选：B. 8．记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【详解】设， 当时，， 因为均为正数，所以 ， 当且仅当，，时，等式成立； 当时，， 当且仅当，，时，等式成立. 综上可知，t的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】用替代中的，得到，当且仅当时取等号，故A正确； 取，则，故B错误； ，当且仅当时取等号，故C正确； 因为，所以， 即，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 10．使关于的不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】ABC 【详解】不等式等价于， 则与同正或同负，即或， 对于A，由且能推出或，但由或不能推出且，故A符合题意； 对于B，由且能推出或，反之不能，故B符合题意； 对于C，且等价于且， 故且能推出或，反之不能，故C符合题意； 对于D，且等价于或且或， 故且不能推出或，故D不符合题意. 故选：ABC. 11．已知，，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】由得，， 由得，，整理得， 解得或（舍去），当且仅当时等号成立， 故的最小值为，选项A正确. 由得，，即， 解得（舍去），当且仅当时等号成立， 故的最小值为，选项B错误. 由得，，所以，解得，选项C正确. ， 当且仅当，即时等号成立，选项D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】由，，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 13．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】8 【详解】由， 因为，，所以有， 当且仅当时取等号， 所以有， 故答案为：. 14．已知正数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】因为，为正数，且， 两边平方得：， 所以. 设，则，解得， ，整理得：，即. 所以 . 当且仅当：即时取“”. 即的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）设全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得：，解得：，即， 当时，， 解得：，即； 故； （2）由（1）知：； 由得：， 即， 因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集. 或，解得， 即实数的取值范围为. 16．（15分）若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由条件等式与基本不等式，得，即， 即，解得，所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为． （2）由条件等式与基本不等式，得， 令，得， 解得或（舍去），即， 所以的取值范围为. 17．（15分）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 18．（17分）已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）∵，∴， ∵x，y为正数，∴， ∴． （2）∵，∴， ∴ ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为． （3）∵， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 19．（17分）（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）① 证明见解析；②证明见解析 ；（2）． 【详解】（1）①，，均为正实数， 则（当且仅当时取“＝”）， 同理可得：，（当且仅当，时等号成立）， 故（当且仅当时取“＝”）， 又，故； ② （当且仅当时取“＝”）， 同理（当且仅当时取“＝”）， （当且仅当时取“＝”）. 又由，， 所以，（当且仅当时取“＝”）， 所以， 故 ， （当且仅当时取“＝”）． （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，， 令，则，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 即当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次函数、方程和不等式 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 7．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 8．记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．使关于的不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 11．已知，，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则的最小值为 . 13．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 14．已知正数x，y满足，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）设全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分）若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 17．（15分）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 18．（17分）已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 19．（17分）（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$