衔接点02 式与方程（讲义，人教版全国通用）数学小升初衔接

衔接点02 式与方程 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力 数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接引导 知识逻辑延伸：小学“用字母表示数”是代数思维的起点，初中需深化对“字母可以表示任意数（正、负、零、分数、无理数等）”的理解，并拓展到代数式的化简、求值与运算；小学的“等式性质”是解方程的基础，初中需结合有理数运算规则，推广到含负数、分数的方程求解，甚至高次方程。 思维方法升级：小学侧重“算术法→方程法”的过渡（如用方程替代逆推思路），初中则强调“方程作为工具解决多变量、非线性问题”，需培养整体思想（把某部分看作一个整体简化计算）、转化思想（如换元法解复杂方程）和分类讨论思想（如绝对值方程的分情况求解）。 考点阐释 1、用字母表示数与代数式 小学：用字母表示具体的数（如  表示苹果单价，  表示路程），初步理解“字母代表未知量”。 初中：字母可表示任意数（包括负数、无理数），需掌握代数式的定义（由数和字母经运算组成的式子，如  ）、分类（单项式、多项式、整式、分式）及求值（代入具体数值计算）。 2、等式的性质与方程的解 小学：基于“等式两边同时加、减、乘、除同一个非零数，等式仍成立”解简单方程（如  ）。 初中：等式性质推广到有理数范围（如两边乘负数时符号变化），方程的解需满足“使方程左右两边相等的未知数的值”，且解的范围从正整数扩展到全体实数。 3、解一元一次方程 小学：步骤为“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”（仅针对正数系数的简单方程）。 初中：需处理含负数、分数、括号的复杂方程（如  ），强调每一步的依据（如去括号用乘法分配律，移项用等式性质1）。 4、列方程解应用题 小学：聚焦单一等量关系（如“路程=速度×时间”“工作总量=工作效率×工作时间”），问题背景简单（如购物、行程）。 初中：需分析多变量、隐含条件的复杂情境（如分段计费、浓度混合、几何图形中的数量关系），建立多元方程或方程组模型。 方法总结 代数式化简技巧：利用合并同类项（如  ）、去括号法则（注意符号：  ）、乘法公式（如完全平方公式  ）简化表达式。 解方程通法：遵循“去分母（消分母）→去括号（展开）→移项（变号）→合并同类项（简化）→系数化为1（得解）”的步骤，每步需验证合理性（如去分母时漏乘常数项、移项忘变号是常见错误）。 应用题建模策略：① 审清题意，明确已知量和未知量；② 找等量关系（可通过“关键词”如“比…多/少”“是…的几倍”“总和/差”定位）；③ 设未知数（直接设或间接设，如设“甲的速度为  ”，则乙的速度为  ）；④ 列方程并求解；⑤ 检验答案是否符合实际意义（如人数不能为负数，时间不能为小数）。 题型1 用字母表示数量关系 【解题技巧】 抓关键词，理清量与量间的运算关系，用字母直接替代数字，规范书写代数式。 1．（2025·四川凉山·小升初真题）有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 2．（2025·安徽合肥·小升初真题）观察下列等式。 2×2＋4×2＋3＝3×5 3×3＋4×3＋3＝4×6 4×4＋4×4＋3＝5×7 …… 依次写下去，请写出第100个等式：( )。 3．（2025·四川成都·小升初真题）把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：，，，，…，例如：2²－1²＝3，3²－2²＝5，4²－3²＝7，，…，那么的值是______。 4．（2025·四川成都·小升初真题）观察数列，，，，，，，，，，，，，，，，…，数列中第150个是______。 题型2 用字母表示图形规律 【解题技巧】 观察图形变化规律，列表分析数值特征，用字母表示“序号×差值+基数”，验证后结论。 5．（2024·江苏南通·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 6．（2025·四川达州·小升初真题）如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要_____个，第个图形需要_____个。 7．（2026·江苏淮安·小升初真题）下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 题型3 用字母表示复杂数量关系 【解题技巧】 拆分复杂关系为简单步骤，先表示中间变量，再用字母串联各量，注意运算优先级。 8．（2025·湖南长沙·小升初真题）若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数。把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：。 (1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数。（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。 9．（2025·四川成都·小升初真题）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍。如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍。那么甲粮库原来最少存有______袋的粮食。 10．（2025·重庆渝北·小升初真题）材料1：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”。如：101是一个三位的“对称数”。 材料2：对于一个三位自然数A，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z。我们对自然数A规定一个运算。例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：4，0，4，则。 （1）已知两个三位“对称数”，。，若（）能被11整除，请写出符合条件的m的所有值。 （2）一个三位的“对称数”B，若，请直接写出B的所有值。 11．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32＝132。 （1）请求出427的“团结数”； （2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。 12．（2025·湖北武汉·小升初真题）奥地利数学家皮克（Pick）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系。 (1)观察图形，补全表格。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 ______ b 6 10 6 6 ______ S 2 6 4 ______ 12 (2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______。 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______。 根据上述发现，可得：S＝______。（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图形的面积。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 6 b 6 10 6 6 14 S 2 6 4 8 12 题型4 含有字母的式子的化简 【解题技巧】 去括号时“负变号”，合并同类项，系数相加减，字母及指数不变，化简后代入求值。 13．（2026·四川绵阳·小升初真题）已知某运算中，A#B＝3A＋2B，若2#（N#3）＝42，则N等于（    ）。 A．6 B．5 C．4 D．3 14．（2026·江苏淮安·小升初真题）已知3a＋b＋3＝8，则6a＋2b－3＝( )。已知a－b＋c＝35，a－b＝27，c的值是( )。已知○×○＝25，（○＋○）×△＝40，那么（△＋△＋△）×○＝( )。已知3m＋n＝90，如果n÷m＝3，那么m＝( )，n＝( )。 15．（2025·重庆江北·小升初真题）已知，则多项式( )。 16．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某班学生去参加义务劳动，其中一组到果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面一个多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了11个梨子，请问这组学生的人数是___________人。 17．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有两根长短不同的蜡烛，长度和为28cm，相同时间内，它们燃烧的长度相同。现将两根蜡烛同时点燃一段时间后，短蜡烛剩下的长度恰好是长蜡烛剩下长度的，而此时长蜡烛剩下的长度跟短蜡烛点燃前一样长，点燃前短蜡烛比长蜡烛短___________cm。 题型5 等式的性质 【解题技巧】 等式两边同加减乘除（除数≠0）同一数，等式恒成立，变形时同步操作，确保等式平衡。 18．（2025·四川内江·小升初真题）数学课上，同学们在解决这样一个问题：有两个非零自然数a和b，且，比较a和b的大小。下面分别是三个同学的思考方法： 我用假设的方法，假设，可以得出，。所以。 我利用等式的性质在原等式两边同时乘3。，得到。所以。 我用画图的方法：先用相等的一份分别表示的3份里的1份和的4份里的1份，再把和的全部表示出来，比较线段的总长度就可以了。所以。 三个同学的思考方法中正确的有（    ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 19．（2025·山东聊城·小升初真题）在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是( )。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 20．（2026·江苏淮安·小升初真题）天平左边的盘里放2个梨，右边盘里放一个梨和3个桃，天平两边平衡。1个梨和______个桃同样重。 21．（2025·四川绵阳·小升初真题）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，△×□＝( )。 题型6 列简易方程 【解题技巧】 审题抓等量关系，设未知数为字母，将文字描述转化为含字母的等式，注意单位统一。 22．（2026·江苏淮安·小升初真题）小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ）。 A．x－3＝35 B．35－x＝3 C．x＋3＝35－3 D．35＋3＝x－3 23．（2025·浙江宁波·小升初真题）下面的图不能用方程“”来表示的是（    ）。 A．B．C． D． 24．（2024·江西九江·小升初真题）校园里有银杏树24棵，______，桂花树有多少棵？ 设桂花树有棵，可用方程（1－25%）＝24解的选项是（    ）。 A．银杏树比桂花树多25% B．银杏树比桂花树少25% C．桂花树比银杏树多25% D．桂花树比银杏树少25% 25．（2026·江苏淮安·小升初真题）看图列方程并解答。 平行四边形的面积是60平方厘米。 题型7 解方程 【解题技巧】 按“去分母→去括号→移项→合并→系数化1”步骤解方程，每一步变号要规范，最后检验解。 26．（2025·重庆渝北·小升初真题）解方程。                   27．（2026·四川绵阳·小升初真题）解方程。 x＋0.3（x－0.3）＝4－0.2（x－0.4）              28．（2025·安徽合肥·小升初真题）解方程。          29．（2025·湖南永州·小升初真题）解方程。 （1）    （2）    （3） 30．（2026·四川泸州·小升初真题）若四个数a、b、c、d满足：，则a、b、c、d的大小关系是（    ）。 A．a＞b＞c＞d B．b＞d＞a＞c C．c＞a＞b＞d D．d＞b＞a＞c 31．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）、、各代表一个数，如果，，，那么( )。 32．（2025·广东湛江·小升初真题）如图所示，小明用小棒搭小房子，搭3间用了13根。照这样搭下去，搭n间小房子用了（    ）根小棒。 A． B． C． D． 33．（2025·安徽合肥·小升初真题）下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第10个图案由( )个基本图形组成，第n个图案由( )个基本图形组成。 34．（2025·重庆渝北·小升初真题）a，b，c是1～9中的三个不同的数字，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是的______倍。 35．（2025·重庆渝北·小升初真题）若规定，则______。 36．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）计算题。 （1）                     （2） （3）              （4） （5）       （6） （7）                      （8） 37．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）计算题。 （1）    （2） 38．（2026·四川成都·小升初真题）实验小学六年级学生中，报名编程小组的人数是机器人小组的75%。已知报名这两个小组的学生一共有350人，报名机器人小组和编程小组的学生各有多少名？（先将图补充完整，再解答） 39．（2026·四川成都·小升初真题）阅读材料：若x为大于0的整数，且满足某一不等式x＞a，则称x的最小值为不等式x＞a的“拔尖数”，记为φ（x，x＞a）。例如φ（x，x＞2）＝3，φ（x，x≥π）＝4。 (1)已知x为大于0的整数，则φ（x，x＞）＝______； (2)已知x为大于0的整数，求中φ（x，7（x－5）＞270－2x）的值； (3)已知x，y为大于0的整数，求的值。 40．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为。 (1)请求出427的“团结数”。 (2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（，）。若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。 41．（2025·福建宁德·小升初真题）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人。 (1)观察上图，根据规律将表格补充完整。 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐( )。 试卷第2页，共40页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点02 式与方程 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力 数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接引导 知识逻辑延伸：小学“用字母表示数”是代数思维的起点，初中需深化对“字母可以表示任意数（正、负、零、分数、无理数等）”的理解，并拓展到代数式的化简、求值与运算；小学的“等式性质”是解方程的基础，初中需结合有理数运算规则，推广到含负数、分数的方程求解，甚至高次方程。 思维方法升级：小学侧重“算术法→方程法”的过渡（如用方程替代逆推思路），初中则强调“方程作为工具解决多变量、非线性问题”，需培养整体思想（把某部分看作一个整体简化计算）、转化思想（如换元法解复杂方程）和分类讨论思想（如绝对值方程的分情况求解）。 考点阐释 1、用字母表示数与代数式 小学：用字母表示具体的数（如  表示苹果单价，  表示路程），初步理解“字母代表未知量”。 初中：字母可表示任意数（包括负数、无理数），需掌握代数式的定义（由数和字母经运算组成的式子，如  ）、分类（单项式、多项式、整式、分式）及求值（代入具体数值计算）。 2、等式的性质与方程的解 小学：基于“等式两边同时加、减、乘、除同一个非零数，等式仍成立”解简单方程（如  ）。 初中：等式性质推广到有理数范围（如两边乘负数时符号变化），方程的解需满足“使方程左右两边相等的未知数的值”，且解的范围从正整数扩展到全体实数。 3、解一元一次方程 小学：步骤为“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”（仅针对正数系数的简单方程）。 初中：需处理含负数、分数、括号的复杂方程（如  ），强调每一步的依据（如去括号用乘法分配律，移项用等式性质1）。 4、列方程解应用题 小学：聚焦单一等量关系（如“路程=速度×时间”“工作总量=工作效率×工作时间”），问题背景简单（如购物、行程）。 初中：需分析多变量、隐含条件的复杂情境（如分段计费、浓度混合、几何图形中的数量关系），建立多元方程或方程组模型。 方法总结 代数式化简技巧：利用合并同类项（如  ）、去括号法则（注意符号：  ）、乘法公式（如完全平方公式  ）简化表达式。 解方程通法：遵循“去分母（消分母）→去括号（展开）→移项（变号）→合并同类项（简化）→系数化为1（得解）”的步骤，每步需验证合理性（如去分母时漏乘常数项、移项忘变号是常见错误）。 应用题建模策略：① 审清题意，明确已知量和未知量；② 找等量关系（可通过“关键词”如“比…多/少”“是…的几倍”“总和/差”定位）；③ 设未知数（直接设或间接设，如设“甲的速度为  ”，则乙的速度为  ）；④ 列方程并求解；⑤ 检验答案是否符合实际意义（如人数不能为负数，时间不能为小数）。 题型1 用字母表示数量关系 【解题技巧】 抓关键词，理清量与量间的运算关系，用字母直接替代数字，规范书写代数式。 1．（2025·四川凉山·小升初真题）有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 【答案】D 【分析】第一个数是8，是4×1＋4，第二个数是12，即4×2＋4…，则观察选项，可得第n个数是多少。 【详解】第一个数：4×1＋4 第二个数：4×2＋4 第n个数：4×n＋4＝4n＋4 第n个数是（4n＋4）。 故答案为：D 2．（2025·安徽合肥·小升初真题）观察下列等式。 2×2＋4×2＋3＝3×5 3×3＋4×3＋3＝4×6 4×4＋4×4＋3＝5×7 …… 依次写下去，请写出第100个等式：( )。 【答案】 【分析】先观察给出的等式，分析等式两边数字和等式序号之间的规律，得出结论：第n个等式的通式是（n＋1）×（n＋1）＋4×（n＋1）＋3＝（n＋2）×（n＋4） 【详解】第1个（n＝1）：2×2＋4×2＋3＝（1＋1）×（1＋1）＋4×（1＋1）＋3＝（1＋2）×（1＋4）＝3×5 第2个（n＝2）：3×3＋4×3＋3＝（2＋1）×（2＋1）＋4×（2＋1）＋3＝（2＋2）×（2＋4）＝4×6 第3个（n＝3）：4×4＋4×4＋3＝（3＋1）×（3＋1）＋4×（3＋1）＋3＝（3＋2）×（3＋4）＝5×7 …… 第n个：（n＋1）（n＋1）＋4×（n＋1）＋3＝（n＋2）（n＋4） 所以第100个等式是：101×101＋4×101＋3＝102×104 3．（2025·四川成都·小升初真题）把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：，，，，…，例如：2²－1²＝3，3²－2²＝5，4²－3²＝7，，…，那么的值是______。 【答案】6999 【分析】先根据偶数中不是4的倍数的整数不可能是两整数的平方差可知，＝3，＝5，7，当k≥2时分别把4k，4k＋1，4k＋3表示成两个正整数平方差的形式，再分别求出、的值，找出规律即可求解。 【详解】偶数中不是4的倍数的整数不可能是两整数的平方差。 已知，，…。 当k≥2时，有 4k＝（k＋1）²－（k－1）² 4k＋1＝（2k＋1）²－（2k）² 4k＋3＝（2k＋2）²－（2k＋1）² 所以4k＋（4k＋1）＋（4k＋3）＝12k＋4 即：， ， … ， ＝4×34 所以＝3＋5＋7＋12（2＋3＋…＋33）＋4×32＋4×34＝6999。 所以的值是6999。 4．（2025·四川成都·小升初真题）观察数列，，，，，，，，，，，，，，，，…，数列中第150个是______。 【答案】 【分析】观察数列发现，可以将分母相同的分数分成一组，即分组如下：，（，，），（，，，，），（，，，，，，），…，每组分别有1、3、5、7…个数； 前n组共有1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2个分数。 求第150个数是多少，将150拆分成12的平方加6，即可得出第150个数是第13组的第6个数，据此得出这个分数。 【详解】观察数列，发现： 分母为1的分数有1个，1＝2×1－1； 分母为2的分数有3个，3＝2×2－1； 分母为3的分数有5个，5＝2×3－1； 分母为4的分数有7个，7＝2×4－1； …… 规律：分母为n的分数有（2n－1）个； 前n个分母的分数总个数是1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2。 150＝122＋6 所以，数列中第150个是分母为13的第6个数，即。 题型2 用字母表示图形规律 【解题技巧】 观察图形变化规律，列表分析数值特征，用字母表示“序号×差值+基数”，验证后结论。 5．（2024·江苏南通·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 【答案】(1)7；10 (2)b＝3a＋1 (3)61 【分析】（1）剪1次分成4段，剪2次分成（4＋3＝4＋3×1）段，剪3次分成（4＋3＋3＝4＋3×2）段。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝4＋3×（a－1）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，就是当a＝20时，代入a和b的关系式，求出b即可。 【详解】（1）剪2次： 4＋3×1 ＝4＋3 ＝7（段） 剪3次： 4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（段） 填数如下： （2）4＋3×（a－1） ＝4＋3a－3 ＝（3a＋1）段 因此剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系为b＝3a＋1。 （3）当a＝20时，代入b＝3a＋1得： 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（段） 6．（2025·四川达州·小升初真题）如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要_____个，第个图形需要_____个。 【答案】 40 4n 【分析】 观察图可知，第1个图形有4个，第2个图形有4×2＝8个，第3个图形有4×3＝12个，由此可得规律：第n个图形有4n个，据此规律解答。 【详解】10×4＝40（个） n×4＝4n（个） 即第10个图形需要10×4＝40个，第n个图形需要4n个。 7．（2026·江苏淮安·小升初真题）下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 【答案】(1) (2)210块 (3)（2＋n）×（n＋1）÷2；1596块 【分析】由图可知，第一个图形有3块白瓷砖，1块黑瓷砖；第二个图形有6块白瓷砖，3块黑瓷砖；第三个图形有10块白瓷砖，6块黑瓷砖。 （1）第一个图形共4块瓷砖，第二个图形共9块瓷砖，第三个图形共16块瓷砖，找出瓷砖的总块数的规律，用含有n的式子表示。 （2）将n＝20代入式子1＋2＋3＋…＋n计算即可。根据公式：（第一个数＋最后一个数）×这组数的个数÷2，代入数据计算即可。 （3）第一个图形白瓷砖比黑瓷砖多2块，第二个图形白瓷砖比黑瓷砖多3块，第三个图形白瓷砖比黑瓷砖多4块，……，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块。 由第（2）问可知，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），据此计算。 【详解】（1）第一个图形共4块瓷砖，4＝＝ 第二个图形共9块瓷砖，9＝＝ 第三个图形共16块瓷砖，16＝＝ 第n个图形瓷砖总块数： （2）1＋2＋3＋…＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝210（块） 答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块。 （3）由分析可知，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），所以第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为1＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）＝（1＋n＋1）×（n＋1）÷2＝（2＋n）×（n＋1）÷2。 当n＝55时， （2＋55）×（55＋1）÷2 ＝57×56÷2 ＝3192÷2 ＝1596（块） 答：第55个图形中共有1596块白瓷砖。 题型3 用字母表示复杂数量关系 【解题技巧】 拆分复杂关系为简单步骤，先表示中间变量，再用字母串联各量，注意运算优先级。 8．（2025·湖南长沙·小升初真题）若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数。把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：。 (1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数。（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。 【答案】(1) 不是 是 (2)见详解 【分析】根据千丝数的定义，分别验证所给数的十位数字是否比个位数字大 1，以及百位数字是否等于千位数字与个位数字的平均数。 利用用字母表示数的方法，设个位数字和千位数字分别为未知数，根据定义表示出十位和百位数字，进而表示出这个四位数的值。通过代数运算计算该数与个位数字6倍的差，最后根据能被5整除的数的特征进行判断。 【详解】（1）对于 4376： 个位数字是6，十位数字是7，7＝6＋1，符合第一个条件； 千位数字是4，个位数字是6，它们的平均数是（4＋6）÷2＝5； 百位数字是 3，3≠5，不符合第二个条件。 所以4376不是千丝数。 对于 7787： 个位数字是7，十位数字是8，8＝7＋1，符合第一个条件； 千位数字是7，个位数字是7，它们的平均数是（7＋7）÷2＝7； 百位数字是7，7＝7，符合第二个条件。 所以7787是千丝数。 （2）证明： 设任意一个千丝数的个位数字是a，千位数字是b（b不能为0，且a＋b为偶数）。 根据千丝数的定义： 十位数字是a＋1； 百位数字是（a＋b）÷2。 这个千丝数M可以表示为： 千丝数与它的个位数字的6倍之差为： 因为1050b是5的倍数，55a是5的倍数，10也是5的倍数， 所以1050b＋55a＋10能被5整除。 即任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。 【点睛】解题时注意明确千丝数的两个判定条件需要同时满足；设数字时，要注意各数位数字的取值范围：千位数字是1到9的整数，个位、十位、百位数字是0到9的整数，且百位数字需为整数。证明整除时，需将代数式整理为5与某个整数的乘积形式，确保变形过程的严谨性。 9．（2025·四川成都·小升初真题）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍。如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍。那么甲粮库原来最少存有______袋的粮食。 【答案】153 【分析】先设甲粮库有x袋粮食，用含有x的式子表示出乙粮库原有多少袋粮食。再设从乙粮库调y袋粮食到甲粮库，用含有x和y的式子表示出“甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍”这一数量关系。利用等式的性质1和2，用含有y的式子表示出x。根据题意，x和y都是大于0的整数，最后找出符合条件的x和y的值。 【详解】设甲粮库原有x袋粮食，则乙粮库原有2（x－90）－90＝（2x－270）袋粮食。 设从乙粮库调y袋粮食到甲粮库，则 12x－1620－6y＝x＋y 12x－1620－6y－x＝x＋y－x 11x－1620－6y＝y 11x－1620－6y＋6y＝y＋6y 11x－1620＝7y 11x－1620＋1620＝7y＋1620 11x＝7y＋1620 x＝ x＝ 因为x和y都是粮食的袋数，所以x和y都是整数且大于0，由此可知，7y＋3是11的倍数。 11的倍数有11，22，33，44，55，66，77，…… 7y＋3＝11 7y＋3－3＝11－3 7y＝8 7y÷7＝8÷7 y＝（不是整数），不符合。 7y＋3＝22 7y＋3－3＝22－3 7y＝19 7y÷7＝19÷7 y＝（不是整数），不符合。 7y＋3＝33 7y＋3－3＝33－3 7y＝30 7y÷7＝30÷7 y＝（不是整数），不符合。 7y＋3＝44 7y＋3－3＝44－3 7y＝41 7y÷7＝41÷7 y＝（不是整数），不符合。 7y＋3＝55 7y＋3－3＝55－3 7y＝52 7y÷7＝52÷7 y＝（不是整数），不符合。 7y＋3＝66 7y＋3－3＝66－3 7y＝63 7y÷7＝63÷7 y＝9（是整数），符合。 所以y最小是9，此时x＝＝＝＝＝6＋147＝153。 10．（2025·重庆渝北·小升初真题）材料1：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”。如：101是一个三位的“对称数”。 材料2：对于一个三位自然数A，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z。我们对自然数A规定一个运算。例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：4，0，4，则。 （1）已知两个三位“对称数”，。，若（）能被11整除，请写出符合条件的m的所有值。 （2）一个三位的“对称数”B，若，请直接写出B的所有值。 【答案】（1）292，383，474 （2）101，151，606，656 【分析】根据题意分析， （1）＝100a＋10b＋a＝101a＋10b，＝100b＋10a＋b＝101b＋10a，那么＝101a＋10b＋101b＋10a＝111a＋111b＝110（a＋b）＋（a＋b）。110（a＋b）能被11整除，所以要想a＋b能被11整除就是a＋b能被11整除，且，a、b均在三位数的最高位不能为0，一一列举出对比两个数和能否被11整除即可解答； （2）若，因为22＝4，那么其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、0、2，显然三位数中的数字只能是0或5，再一一列出乘2后个位是2的数字即可解答。 【详解】（1）， 因为＝101a＋10b＋101b＋10a＝111a＋111b＝110（a＋b）＋（a＋b）；（）能被11整除，所以a＋b＝11，且， 可得满足条件ab取值如下： a＝2，b＝9； a＝3，b＝8； a＝4，b＝7； 答：符合条件的m值有292，383，474。 （2），因为22＝4，4＋4＝8，那么其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、0、2，显然三位数个位和百位上数字为1或6，十位上的数字为0或5，符合条件的数有：101，151，606，656。 答：若，B的所有值有101，151，606，656。 【点睛】本题考查新型定义运算问题，理解“对称数”的定义和材料2的运算法则是解决本题的关键 11．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32＝132。 （1）请求出427的“团结数”； （2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。 【答案】（1）286 （2）284或218 【分析】（1）根据“团结数”的描述，写出4、2、7两两组合组成的所有两位数，相加即可。 （2）写出2、a、b两两组合组成的所有两位数，分别表示出每个数的值，相加并化简，根据团结数与N的差为24建立方程，再确定符合条件的a和b的值即可。 【详解】（1）42＋47＋24＋27＋74＋72＝286 427的“团结数”是286。 （2）百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，三位数N其值为200＋10a＋b。组成的所有两位数分别是20＋a、20＋b、10a＋2、10a＋b、10b＋2、10b＋a。 N的“团结数”表示为：（20＋a）＋（20＋b）＋（10a＋2）＋（10a＋b）＋（10b＋2）＋（10b＋a）＝44＋22a＋22b （44＋22a＋22b）－（200＋10a＋b）＝24 解：44＋22a＋22b－200－10a－b＝24 12a＋21b－156＝24 12a＋21b－156＋156＝24＋156 12a＋21b＝180 （12a＋21b）÷3＝180÷3 4a＋7b＝60 当a＝8时，有 4×8＋7b＝60 解：32＋7b－32＝60－32 7b＝28 7b÷7＝28÷7 b＝4 此时N＝200＋80＋4＝284； 当a＝1时，有 4×1＋7b＝60 解：4＋7b－4＝60－4 7b＝56 7b÷7＝56÷7 b＝8 此时N＝200＋10＋8＝218。 答：N的值是284或218。 【点睛】关键是看懂“团结数”的描述，准确表示出每个数的值，通过化简字母表示数的算式，找到符合的值。 12．（2025·湖北武汉·小升初真题）奥地利数学家皮克（Pick）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系。 (1)观察图形，补全表格。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 ______ b 6 10 6 6 ______ S 2 6 4 ______ 12 (2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______。 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______。 根据上述发现，可得：S＝______。（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图形的面积。 【答案】(1)见详解 (2) 1 /0.5 i＋b－1 (3)21 【分析】（1）先观察图形⑤，数出内部格点数i和边界格点数b；观察前几个图形，可以把图形④当作是两个相等的梯形，上底是1，下底是3，高是2，计算图形④的面积S。 （2）对比①、③、④的i和S的变化量，得出每增加i时面积的变化值；对比②和③、④和⑤的b和S的变化量，得出b每增加1时面积的变化值；再结合这两个变化规律，推导S关于i和b的表达式。 （3）先确定目标图形的内部格点数i和边界格点数b，再代入（2）中推导的公式计算面积。 【详解】（1） 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 6 b 6 10 6 6 14 S 2 6 4 8 12 （2）①：图形①、③、④的边界格点b都是6，每增加i，面积对应增加1； 即观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加1。 ②：图形②和③的内部格点i都是2，b增加4时面积增加2，因此b每增加1，面积增加​； 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加。 ③：2＝0＋×6－1＝3－1 6＝2＋×10－1＝2＋5－1 12＝6＋×14－1＝6＋7－1 根据上述发现，可得：S＝i＋b－1。 （3）由图可知i＝15，b＝14： S＝15＋×14－1 ＝15＋7－1 ＝21 答：图形的面积为21。 题型4 含有字母的式子的化简 【解题技巧】 去括号时“负变号”，合并同类项，系数相加减，字母及指数不变，化简后代入求值。 13．（2026·四川绵阳·小升初真题）已知某运算中，A#B＝3A＋2B，若2#（N#3）＝42，则N等于（    ）。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】首先根据自定义运算规则，A#B＝3A＋2B，先计算括号里面的N#3，得出结果3N＋6，再将其代入2#（N#3）即可求解。 【详解】N#3＝3N＋2×3＝3N＋6 2#（N#3）＝2#（3N＋6）＝3×2＋2×（3N＋6） 即3×2＋2×（3N＋6）＝42 6＋6N＋12＝42 6N＝42－12－6 6N＝24 N＝24÷6 N＝4 即N等于4。 14．（2026·江苏淮安·小升初真题）已知3a＋b＋3＝8，则6a＋2b－3＝( )。已知a－b＋c＝35，a－b＝27，c的值是( )。已知○×○＝25，（○＋○）×△＝40，那么（△＋△＋△）×○＝( )。已知3m＋n＝90，如果n÷m＝3，那么m＝( )，n＝( )。 【答案】 【分析】（1）已知，则根据等式的性质等式左右两边同时减去可得，再根据等式的性质等式左右两边同时乘可得，再减去即是。 （2）把代入进去可算出，。 （3）（○○）△可以得出2×○×△＝40，算出圆圈和三角形的乘积为，再把（△△△）○写成3×○×△，再代入进去得到答案。 （4）因为，所以，把代入进去得，算出，。 【详解】已知3a＋b＋3＝8，则6a＋2b－3＝。已知a－b＋c＝35，a－b＝27，c的值是。已知○×○＝25，（○＋○）×△＝40，那么（△＋△＋△）×○＝。已知3m＋n＝90，如果n÷m＝3，那么m＝，n＝。 15．（2025·重庆江北·小升初真题）已知，则多项式( )。 【答案】2 【分析】把两个等式的左边和右边分别相加，得到一个新的等式。再根据等式的性质1求出的值。 【详解】把两个等式的左边和右边分别相加得到： 16．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某班学生去参加义务劳动，其中一组到果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面一个多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了11个梨子，请问这组学生的人数是___________人。 【答案】21 【分析】设这组学生是x人，则x个学生摘梨的总个数为1＋2＋3＋…＋（x－1）＋x个，观察发现这个算式的头尾相加、第二个数和倒数第二个数相加、第三个数和倒数第三个数相加……的和都是一样的，均为（1＋x），整个算式共有（x÷2）个（1＋x），即1＋2＋3＋…＋（x－1）＋x＝（1＋x）×x÷2；根据等量关系式：摘梨总数＝学生人数×平均每个学生摘梨数量，列出方程（1＋x）×x÷2＝11x，根据等式的基本性质求解。 【详解】解：设这组学生是x人。 （1＋x）×x÷2＝11x （1＋x）÷2＝11 1＋x＝11×2 1＋x＝22 x＝22－1 x＝21 因此，这组学生的人数是21人。 【点睛】通过设未知数，利用首尾相加简化总数量的表达式，通过平均数乘个数等于总量构建等量关系，列出方程求解。人数是大于0的，因此在解方程过程中同时除以x，解法合理。 17．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有两根长短不同的蜡烛，长度和为28cm，相同时间内，它们燃烧的长度相同。现将两根蜡烛同时点燃一段时间后，短蜡烛剩下的长度恰好是长蜡烛剩下长度的，而此时长蜡烛剩下的长度跟短蜡烛点燃前一样长，点燃前短蜡烛比长蜡烛短___________cm。 【答案】4 【分析】设点燃前长蜡烛的长度为xcm，则短蜡烛的长度为（28－x）cm，通过设未知数，用未知数表示出长、短蜡烛剩下的长度以及长、短蜡烛燃烧的长度，并根据“燃烧长度相同”这一条件建立方程来求解。 【详解】解：设点燃前长蜡烛的长度为xcm，则短蜡烛的长度为（28－x）cm。 长蜡烛剩下的长度＝短蜡烛点燃前的长度＝（28－x）cm， 短蜡烛剩下的长度＝长蜡烛剩下长度的，即（28－x）cm， 长蜡烛燃烧的长度＝长蜡烛原长－长蜡烛剩下的长度＝x－（28－x）cm， 短蜡烛燃烧的长度＝短蜡烛原长－短蜡烛剩下的长度＝（28－x）－（28－x）cm。 相同时间内燃烧的长度相同，则： x－（28－x）＝（28－x）－（28－x） x－28＋x＝（28－x）×（1－） 2x－28＝（28－x）× 3（2x－28）＝28－x 3×2x－3×28＝28－x 6x－84＝28－x 6x＋x＝28＋84 7x＝112 x＝112÷7 x＝16 长蜡烛原长x＝16cm，短蜡烛原长28－16＝12（cm） 因此，点燃前短蜡烛比长蜡烛短：16－12＝4（cm） 【点睛】抓住“相同时间内燃烧长度相同”这一等量关系，通过设未知数分别表示出长、短蜡烛的原长、剩余长度，进而表示出燃烧长度，建立方程求解。 题型5 等式的性质 【解题技巧】 等式两边同加减乘除（除数≠0）同一数，等式恒成立，变形时同步操作，确保等式平衡。 18．（2025·四川内江·小升初真题）数学课上，同学们在解决这样一个问题：有两个非零自然数a和b，且，比较a和b的大小。下面分别是三个同学的思考方法： 我用假设的方法，假设，可以得出，。所以。 我利用等式的性质在原等式两边同时乘3。，得到。所以。 我用画图的方法：先用相等的一份分别表示的3份里的1份和的4份里的1份，再把和的全部表示出来，比较线段的总长度就可以了。所以。 三个同学的思考方法中正确的有（    ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】帆帆：根据a×＝b×，可以假设两个乘法算式的结果都是1，再根据a＝1÷，b＝1÷分别算出a和b，再比较a和b的大小； 依依：等式的基本性质2：给等式的两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式依然成立；据此可以给a×和b×同时乘3，再进一步比较大小即可； 乐乐：根据分数的意义可知，把一个整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，分母是分成的份数，分子表示占其中的几份；据此分别表示出a的和b的，并在线段图中补全a和b并比较大小即可。 【详解】帆帆：假设a×＝b×＝1， a＝1÷＝1×3＝3 b＝1÷＝1×4＝4 因为3＜4，所以a＜b； 依依：a××3＝a b××3＝b 根据a＝b可知：a是b的，即a＜b； 乐乐：根据分数的意义，把a的、b的看成1份，据此先画出一份的线段长度，根据分数的意义可知a表示这样的3份，b表示这样的4份，根据画出的线段图可知a＜b； 所以三个同学的思考方法都是正确的。 故答案为：D 19．（2025·山东聊城·小升初真题）在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是( )。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 【答案】 ① ③ ② 【分析】由，根据“商×除数＝被除数”可得； 由，根据等式的性质，等式的两边同时乘，左右两边仍然相等，可得； 由，计算得，所以根据等量的等量相等，可以得出。 【详解】由，可得，依据是除法是乘法的逆运算； 由，可得，依据是等式的基本性质； 由，可得，依据是等量的等量相等。 填空如下： 在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是（①）；将等式变形得，依据是（③）；计算得，所以，依据是（②）。 20．（2026·江苏淮安·小升初真题）天平左边的盘里放2个梨，右边盘里放一个梨和3个桃，天平两边平衡。1个梨和______个桃同样重。 【答案】3 【分析】等式左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立。 【详解】由题意知： 2个梨＝1个梨＋3个桃 两边同时去掉一个梨： 2个梨－1个梨＝1个梨＋3个桃－1个梨 1个梨＝3个桃 21．（2025·四川绵阳·小升初真题）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，△×□＝( )。 【答案】108 【分析】已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，把△换成3个□，式子就变成：3个□＋1个□＝24，也就是4个□的和是24，由此算出1个□＝ 24÷4＝6。因为1个△等于3个□，所以△＝3×6＝18。求□×△，代入数值，即可解答。 【详解】△＋□＝24 □＋□＋□＋□＝24 4□＝24 4□÷4＝24÷4 □＝6 △＝3×6＝18 △×□＝18×6＝108 所以△×□＝108。 题型6 列简易方程 【解题技巧】 审题抓等量关系，设未知数为字母，将文字描述转化为含字母的等式，注意单位统一。 22．（2026·江苏淮安·小升初真题）小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ）。 A．x－3＝35 B．35－x＝3 C．x＋3＝35－3 D．35＋3＝x－3 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数＋3＝小红的钱数－3。将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解。 【详解】 解： 方程正确的是。 23．（2025·浙江宁波·小升初真题）下面的图不能用方程“”来表示的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分数的意义；两个三角形高相等时，大三角形是小三角形的底的几倍，则大三角形的面积就是小三角形面积的几倍，如图所示，大三角形的底是小三角形底的20÷5＝4倍；等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，圆柱体积是圆锥体积的3倍；逐项分析各个选项中的数量关系即可得出答案。 【详解】A．每个小正方形表示x，共有4个小正方形，一共表示80，可列方程，不符合题意； B．等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥体积为x，那么圆柱体积为3x，所以列方程3x＝80，符合题意； C．阴影小三角形面积为x，那么大三角形的面积为3x，则可列方程x＋3x＝80，即4x＝80，不符合题意； D．如图所示，3格长为x厘米，图形的周长一共有12格长，是3格长的4倍，可以列出方程，不符合题意； 故答案为：B 24．（2024·江西九江·小升初真题）校园里有银杏树24棵，______，桂花树有多少棵？ 设桂花树有棵，可用方程（1－25%）＝24解的选项是（    ）。 A．银杏树比桂花树多25% B．银杏树比桂花树少25% C．桂花树比银杏树多25% D．桂花树比银杏树少25% 【答案】B 【分析】银杏树比桂花树多25%，把桂花树的棵数看作单位“1”，则银杏树的棵数是桂花树的（1＋25%），由此得出等量关系：桂花树的棵数×（1＋25%）＝银杏树的棵数，据此列出方程； 银杏树比桂花树少25%，把桂花树的棵数看作单位“1”，则银杏树的棵数是桂花树的（1－25%），由此得出等量关系：桂花树的棵数×（1－25%）＝银杏树的棵数，据此列出方程； 桂花树比银杏树多25%，把银杏树的棵数看作单位“1”，则桂花树的棵数是银杏树的（1＋25%），由此得出等量关系：桂花树的棵数÷（1＋25%）＝银杏树的棵数，据此列出方程； 桂花树比银杏树少25%，把银杏树的棵数看作单位“1”，则桂花树的棵数是银杏树的（1－25%），由此得出等量关系：桂花树的棵数÷（1－25%）＝银杏树的棵数，据此列出方程。 【详解】A．银杏树比桂花树多25%，设桂花树有棵，列方程为（1＋25%）＝24，不符合题意； B．银杏树比桂花树少25%，设桂花树有棵，列方程为（1－25%）＝24，符合题意； C．桂花树比银杏树多25%，设桂花树有棵，列方程为÷（1＋25%）＝24，不符合题意； D．桂花树比银杏树少25%，设桂花树有棵，列方程为÷（1－25%）＝24，不符合题意。 故答案为：B 25．（2026·江苏淮安·小升初真题）看图列方程并解答。 平行四边形的面积是60平方厘米。 【答案】7.5m＝60；m＝8 【分析】图中是一个底为m厘米，高为7.5厘米的平行四边形，根据平行四边形的面积公式“底×高＝面积”列出关于m的方程并解方程即可。 【详解】7.5m＝60 解：7.5m÷7.5＝60÷7.5 m＝8 题型7 解方程 【解题技巧】 按“去分母→去括号→移项→合并→系数化1”步骤解方程，每一步变号要规范，最后检验解。 26．（2025·重庆渝北·小升初真题）解方程。                   【答案】； 【分析】（1）先化简括号内含的算式，即计算的差，再运用乘法分配律先去括号，然后利用等式的性质进行计算。 （2）根据比例的基本性质对等式变形，，然后运用乘法分配律展开，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】 解： 解： 27．（2026·四川绵阳·小升初真题）解方程。 x＋0.3（x－0.3）＝4－0.2（x－0.4）              【答案】x＝2.78；x＝3； x＝20；x＝12 【分析】（1）先根据乘法分配律去括号，然后再由等式的性质1：等式的两边同时加上（或减去）一个相同的数，等式仍然相等，整理方程，把未知数都写到方程的左边，数字都写到方程的右边；接着用乘法分配律把x提到括号外面，括号里的数相加，得1.5x＝4.17；再依据等式的性质2：等式两边同时除以1.5，得出未知数x的值； （2）先算小括号里的减法，再依据乘法分配律去掉中括号，然后依据等式的性质1，整理方程，将未知数写到方程的左边，数字写到方程的右边，得到然后再依据等式的性质2，等式两边同时乘12，得出未知数x的值； （3）依据分数与除法的联系，先将等式左边化为比的形式，然后根据比例的基本性质转换成方程形式，再去掉括号，依据等式的性质2，把分数变成整数，用乘法分配律去掉括号，同样用等式的性质1，整理方程，将未知数都写到方程的左边，数字写到方程的右边，依据都是基本性质2，化简得出未知数x的值； （4）先计算等号右边的结果，把分数通分成分母是整数的分数，再根据等式的性质2，方程两边同时15，再根据乘法分配律去掉括号，然后根据等式的性质1整理方程，未知数写到方程的左边，数字写到方程的右边，再根据等式的性质2，解方程即可。 【详解】（1） 解： x＝4.17÷1.5 （2） 解： （3） 解： （4） 解： x＝24÷2 28．（2025·安徽合肥·小升初真题）解方程。          【答案】；； 【分析】先根据比例的基本性质，将比例式转化为方程，再根据等式的性质2，方程两边同时除以求解； 先根据比例的基本性质，将比例式转化为方程1.2x＝2.8×6，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.2求解； 先计算0.75x＋x＝1.25x，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.25求解。 【详解】 解： x＝ x＝ 解：1.2x＝2.8×6 1.2x＝16.8 1.2x÷1.2＝16.8÷1.2 x＝14 解：0.75x＋0.5x＝8 1.25x＝8 x＝6.4 29．（2025·湖南永州·小升初真题）解方程。 （1）    （2）    （3） 【答案】（1）＝36；（2）＝80；（3）＝12 【分析】（1）先计算等式的左边，即，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可； （2）先把百分数化成分数，即50%＝，先计算等式的左边，得，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可； （3）根据等式的性质2，等式两边同时乘8，得到2×（－3.6）＝＋4.8，先计算等式的左边，即2×（－3.6）＝2－7.2，根据等式的性质1，等式两边同时减去，再加上7.2即可。 【详解】（1） 解：＝42 ÷＝42÷ ＝42× ＝36 （2） 解：＝60 ÷＝60÷ ＝60× ＝80 （3） 解：2×（－3.6）＝＋4.8 2－7.2＝＋4.8 2－7.2－＋7.2＝＋4.8－＋7.2 ＝12 30．（2026·四川泸州·小升初真题）若四个数a、b、c、d满足：，则a、b、c、d的大小关系是（    ）。 A．a＞b＞c＞d B．b＞d＞a＞c C．c＞a＞b＞d D．d＞b＞a＞c 【答案】C 【分析】因为＝＝＝，根据赋值法，设d＝0，则＝；因为分子相等，则分母也相等，据此求出a、b、c的值，再进行比较，即可解答。 【详解】设d＝0，则四个分数值都是。 a－1997＝2000 a：2000＋1997＝3997 b＋1998＝2000 b：2000－1998＝2 c－1999＝2000 c：2000＋1999＝3999 3999＞3997＞2＞0，即c＞a＞b＞d。 31．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）、、各代表一个数，如果，，，那么( )。 【答案】44 【分析】根据△＋○＝40得出：○＝40－△，再把△－○＝16中的○用40－△替换，根据等式的性质先求出△等于多少，接着算出○，最后代入□＝△＋△－○求出□。 【详解】因为△＋○＝40 所以○＝40－△ 代入△－○＝16 △－（40－△）＝16 △＋△－40＝16 2△－40＋40＝16＋40 2△＝56 2△÷2＝56÷2 △＝28 ○＝40－28＝12 □＝△＋△－○ ＝28＋28－12 ＝56－12 ＝44 32．（2025·广东湛江·小升初真题）如图所示，小明用小棒搭小房子，搭3间用了13根。照这样搭下去，搭n间小房子用了（    ）根小棒。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可以发现，每增加1间小房子增加4根小棒，搭1间小房子用（1＋4）根小棒，搭2间小房子用（1＋4×2）根小棒，搭3间小房子用（1＋4×3）根小棒……搭n间小房子用（1＋4×n）根小棒。 【详解】1＋4×n＝（4n＋1）根 所以搭n间小房子用了（4n＋1）根小棒。 故答案为：D 33．（2025·安徽合肥·小升初真题）下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第10个图案由( )个基本图形组成，第n个图案由( )个基本图形组成。 【答案】 31 3n＋1 【分析】该图案的排列规律：4，7，10……。后一个图案的基本图形比前一个图案多3个，所以，第几个图案，需要的基本图形的数量是3的几倍加上1的和。 【详解】第10个图案：3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 第n个图案：3×n＋1 ＝（3n＋1）个 34．（2025·重庆渝北·小升初真题）a，b，c是1～9中的三个不同的数字，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是的______倍。 【答案】222 【分析】a，b，c是1～9中的三个不同的数字，组成六个没有重复数字的三位数为：、、、、、，先求出组成的六个没有重复数字的三位数之和，然后得出答案即可。 【详解】＝100a＋10b＋c ＝100a＋10c＋b ＝100b＋10a＋c ＝100b＋10c＋a ＝100c＋10a＋b ＝100c＋10b＋a ＋＋＋＋＋ ＝200a＋200b＋200c＋20a＋20b＋20c＋2a＋2b＋2c ＝222a＋222b＋222c ＝222×（a＋b＋c） ＝222（a＋b＋c） 所以，a，b，c是1～9中的三个不同的数字，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a＋b＋c）的222倍。 35．（2025·重庆渝北·小升初真题）若规定，则______。 【答案】17 【分析】根据，先计算求出，再计算出的值即可。 【详解】 ＝17 若规定，则17。 36．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）计算题。 （1）                     （2） （3）              （4） （5）       （6） （7）                      （8） 【答案】（1）；（2）2； （3）80；（4）42 （5）；（6）126 （7）x＝1.4；（8）x＝7 【分析】（1）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法， 接着算中括号里的加法，最后算中括号外的乘法。 （2），先算小括号的减法，再算中括号的除法，算出结果变成0.4×［×2.5］×26，再根据乘法交换律和结合律变成（0.4×2.5）×（×26）使得计算简便。 （3）先变成（×3.6＋3.6×）÷÷，再根据乘法分配律变成3.6×（＋）÷÷再计算。 （4）先根据乘法分配律变成10.5×12.9－3.3×8.9－7.2×（16.3－7.4）。然后根据数字特点灵活运用乘法分配律进行简算即可。 （5）算式整理成－＋－＋－＋－，再根据加法交换律，结合律以及带符号搬家。变成（＋）＋（＋）－（＋）－（＋）再计算。        （6）根据积不变的规律分数小数互化，将算式整理成2013×，再根据乘法分配律写成2013×，使得计算简便。 （7）先把方程化简成10x＝14，再根据等式的性质解方程。                   （8）根据比例的基本性质把方程写成（x－1）＝5×18%，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】（1）    ＝［（－）÷＋4］× ＝［（－）÷＋4］× ＝［×＋4］× ＝［＋4］× ＝× ＝ （2） ＝0.4×［÷×2.5］×26 ＝0.4×［××2.5］×26 ＝0.4×［×2.5］×26 ＝（0.4×2.5）×（×26） ＝1×2 ＝2 （3） ＝（×3.6＋3.6×）÷÷ ＝3.6×（＋） ＝3.6×10÷÷ ＝36×× ＝80 （4） ＝10.5×12.9－3.3×8.9－7.2×（16.3－7.4） ＝10.5×12.9－3.3×8.9－7.2×8.9 ＝10.5×12.9－8.9×（3.3＋7.2） ＝10.5×12.9－8.9×10.5 ＝10.5×（12.9－8.9） ＝10.5×4 ＝42 （5） ＝－＋－＋－＋－ ＝（＋）＋（＋）－（＋）－（＋） ＝＋－－ ＝（－－）＋ ＝＋ ＝ （6） ＝2013× ＝2013× ＝2013× ＝2013× ＝2013× ＝126 （7） 解：4x－4＋2＝6［5－3－x］ 4x－4＋2＝30－18－6x 4x＋6x＝30－18＋4－2 10x＝14 x＝14÷10 x＝1.4                      （8） 解：（x－1）＝5×18% x－＝5×0.18 x＝0.9＋ x＝1.05 x＝1.05÷ x＝1.05÷0.15 x＝7 【点睛】根据算式和数字的特点灵活选择计算方法。 37．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）计算题。 （1）    （2） 【答案】（1）2970；（2）x＝8 【分析】（1）利用裂项相消法，将每一项n（n＋1）（n＋2）转化为[（n＋3）（n＋2）（n＋1）n－（n＋2）（n＋1）n（n－1）]，再通过加减抵消计算总和。 （2）把原方程左边的倒数等于右边的倒数，据此原方程变为，再根据减数＝被减数－差，把方程化为，把方程右边化简为，两边再同时除以2得：，再根据左边的倒数等于右边的倒数，方程化为，根据减数＝被减数－差，把方程化为，计算出7－＝，再根据比例的基本性质把方程变为5（x－）＝3×12，两边再同时除以5，最后两边再同时加上即可求解。 【详解】（1） ＝×（4×3×2×1－3×2×1×0）＋×（5×4×3×2－4×3×2×1）＋…＋×（12×11×10×9－11×10×9×8） ＝×（4×3×2×1－3×2×1×0＋5×4×3×2－4×3×2×1＋6×5×4×3－5×4×3×2…＋12×11×10×9－11×10×9×8） ＝×（12×11×10×9） ＝×12×11×10×9 ＝3×11×10×9 ＝33×10×9 ＝330×9 ＝2970 （2） 解： 5（x－）＝3×12 5（x－）＝36 5（x－）÷5＝36÷5 x－＝7.2 x－0.8＝7.2 x＝7.2＋0.8 x＝8 38．（2026·四川成都·小升初真题）实验小学六年级学生中，报名编程小组的人数是机器人小组的75%。已知报名这两个小组的学生一共有350人，报名机器人小组和编程小组的学生各有多少名？（先将图补充完整，再解答） 【答案】；机器人小组200名；编程小组150名 【分析】机器人小组画4段等长线段，编程小组对应画3段等长线段，两条线段合在一起整体标注一共350人，据此画图。 根据题意，设报名机器人小组的学生有x名，则报名编程小组的学生有75%x名，因为报名这两个小组的学生一共有350人，所以可得根据等量关系：报名机器人的人数＋报名编程小组的人数＝总人数，列出方程x＋75%x＝350，解方程即可解答。 【详解】画图略 解：设报名机器人小组的学生有x名，则报名编程小组的学生有75%x名。 x＋75%x＝350 1.75x＝350 1.75x÷1.75＝350÷1.75 x＝200 200×75%＝150（人） 答：报名机器人小组的学生有200名，报名编程小组的学生有150名。 39．（2026·四川成都·小升初真题）阅读材料：若x为大于0的整数，且满足某一不等式x＞a，则称x的最小值为不等式x＞a的“拔尖数”，记为φ（x，x＞a）。例如φ（x，x＞2）＝3，φ（x，x≥π）＝4。 (1)已知x为大于0的整数，则φ（x，x＞）＝______； (2)已知x为大于0的整数，求中φ（x，7（x－5）＞270－2x）的值； (3)已知x，y为大于0的整数，求的值。 【答案】(1)6 (2)34 (3)15 【分析】（1）先将化成带分数，取比整数部分多1的数； （2）先根据7（x－5）＞270－2x，求出x的值，取比整数部分多1的数即可； 【详解】（1），所以φ（x，x＞）＝5＋1＝6； （2）7（x－5）＞270－2x 解：7x－35＞270－2x 7x＋2x＝270＋35 9x＝305 x＝ 答：φ（x，7（x－5）＞270－2x）的值是33＋1＝34； （3） 解： 此时当x－y＝1，x无整数解； 当x－y＝2时，x＝15满足条件。 答：的值是15。 40．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为。 (1)请求出427的“团结数”。 (2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（，）。若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。 【答案】(1)286 (2)218或284 【分析】首先要理解“团结数”的定义，即从三位数的百位、十位、个位数字中任选两个组成新的两位数并求和。 ①直接按照定义计算427的“团结数”。 ②先根据定义表示出N的“团结数”，再根据“团结数”与N之差为24列出方程求解。 【详解】（1）根据“团结数”的定义，从427的百位数字4、十位数字2、个位数字7中任选两个组成新的两位数，有42、47、24、27、74、72。 将这些两位数求和： 答：427的“团结数”是286。 （2）求N的“团结数”，从2、a、b中任选两个组成新的两位数，有2a、2b、a2、ab、b2、ba。 将这些两位数求和： 因为N百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，所以N可以表示为。 因为N的“团结数”与N之差为24，所以可列方程： 因为a、b为整数且，，，，。 通过试值法，当时，，，，。 此时，，。 当时，，，，。 此时，，。 答：N的值为218或284。 41．（2025·福建宁德·小升初真题）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人。 (1)观察上图，根据规律将表格补充完整。 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐( )。 【答案】(1)见详解 (2)2n＋2 【分析】根据题意，先分析1张、2张、3张餐桌的可坐人数规律：1张餐桌坐4人，2张坐6人（比1张多2人），3张坐8人（比2张多2人），可知每增加1张餐桌，可坐人数增加2人。 （1）4张餐桌的可坐人数是3张的8人加2人，5张是4张的人数再加2人； （2）从规律中抽象出n张餐桌的表达式，1张时2×1＋2＝4，2张时2×2＋2＝6，依此类推可得通用公式，据此解答。 【详解】（1）综上所述可得：4张餐桌可坐人数：8＋2＝10 5张餐桌可坐人数：10＋2＝12 （2）推导n张餐桌的表达式：由规律可知，n张餐桌可坐人数为 2×n＋2＝2n＋2； 综上所述可得，按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐2n＋2 试卷第2页，共40页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $