专题09 期末真题百练通关（73题14大选填压轴题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦期末选填压轴，涵盖14类几何综合题型（73题），以上海各区真题为载体，强化动态几何与多解问题突破 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|73题14题型|含平行线角度、三角形多结论/最值/翻折/旋转/动点、新定义、规律探究等压轴题型，突出多解与动态分析|从平行线基础到三角形性质应用，构建“概念-推理-综合应用”递进逻辑，培养空间观念与推理能力|

专题09 期末真题百练通关（73题14大选填压轴题型） 题型1 平行线中的角度问题（填空） 题型8 三角板中的叠放、旋转多解题（选填） 题型2 三角形中多结论题（选择） 题型9 三角形旋转含多解题（填空） 题型3 最值问题（填空） 题型10 三角形中动点含多解题（填空） 题型4 翻折问题（选填） 题型11（等腰）三角形的个数问题（选择） 题型5 三角形中的重要线段中的计算（填空） 题型12 等腰三角形角的多解题（填空） 题型6 折叠多解问题（填空） 题型13 新定义问题含多解题（填空） 题型7 三角形全等判定与性质求值含多解题（填空） 题型14 规律探究题（填空） 题型1 平行线中的角度问题（填空）（共3小题） 1．(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，已知，连接，．、分别是、的角平分线（点在平行线之间），已知．与之间的关系式为___________． 2．(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    3．（25-26七年级下·上海·期中）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为______． 题型2 三角形中多结论题（选择）（共4小题） 4．(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(24-25七下·上海宝山区上海大学附属宝山外国语学校·期末)如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 6．(25-26七下·上海金山区世外学校·期末)如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 7．(24-25七下·上海浦东新区上南中学东校·期末)如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①；②为等腰三角形；③的周长等于的周长；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④ 题型3 最值问题（填空）（共4小题） 8．(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为______． 9．(24-25七下·上海青浦区·期末)在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 10．(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，是等边三角形，平分，点E是边的中点，F是线段上一点，若，，则的最小值为________． 11．(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图，边长为6的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在右侧作等边，连接，则的周长最小值为___________． 题型4 翻折问题（选填）（共6小题） 12．(24-25七下·上海崇明区（五四制）民一中学·期末)如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 13．(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 14．(24-25七下·上海浦东新区张江集团中学·期末)如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 15．(24-25七下·上海金山区·期末)在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 16．(24-25七下·上海闸北第八中学·期末)将按如图所示的方式折叠，点A的对应点是点，点B的对应点是点，为折痕．若，则的度数为________． 17．(24-25七下·上海宝山区同洲中学·期末)如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是______． 题型5 三角形的重要线段中的计算含多解（共3小题） 18．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 19．如图，在中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为2，则的面积为_______． 20．(23-24七下·上海奉贤区部分学校·期末)在中，是边上的高，是的角平分线，直线与高交于点F，若，则的度数为 _____________度． 题型6 折叠多解问题（填空）（共6小题） 21．(23-24七下·上海杨浦区双语学校·期末)如图，直线，直线与直线AB、CD相交于点E、F，P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将沿PF折叠，使顶点E落在点处，若，．则的度数为_________． 22．(23-24七下·上海青浦区实验中学·期末)在中，，点D是边上的一点，将沿直线翻折，使点B落在边上的点E处，如果是等腰三角形，那么______． 23．(24-25七下·上海嘉定区·期末)如图，长方形纸片，点P为边上的动点．点C关于直线的对称点为，连接、．将长方形纸片沿对角线折叠，点D折叠后的落点恰好位于的边上．如果，那么______． 24．(24-25七下·上海长宁区·期末)如图，已知中，，，点在边上，将沿直线翻折得到，如果直线与的一条边垂直，那么的度数是___________． 25．(23-24七下·上海浦东新区（五四制）·期末)在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为_______． 26．(24-25七下·上海闵行区·期末)已知：的三条边都不相等，，将沿直线翻折，点C恰好落在点E处，边的延长线与射线相交于点D，如果为直角三角形，那么的度数为_______． 题型7 三角形全等判定与性质求值（填空）（共4小题） 27．(24-25七下·上海嘉定区·期末)如图，已知直线，且相邻两条平行直线间的距离均为d．正方形的四个顶点分别位于直线、、、上，如果，那么______． 28．(24-25七下·上海宝山区上海大学附属宝山外国语学校·期末)如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是_______． 29．(24-25七下·上海崇明区（五四制）民一中学·期末)已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．那么的度数为_________； 30．(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·期末)在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 题型8 三角板中的叠放、旋转多解题（选填）（共6小题） 31．(24-25七下·上海静安区西初级中学·期末)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（    ）．    A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120 32．(24-25七下·上海浦东新区上南中学东校·期末)如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到，若、相交于点F，，则旋转角是______． 33．(24-25七下·上海风华初级中学·期末)一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____． 34．(24-25七下·上海青浦区·期末)将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 35．(24-25七下·上海长宁区复旦中学·期末)将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点按图1方式叠放在一起．绕着点顺时针旋转（），旋转的速度为每秒，当旋转时间为为___________秒，有一边与边平行． 36．已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为____秒．    题型9 三角形旋转含多解题（填空）（共6小题） 37．(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则________．    38．(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 39．(24-25七下·上海北初级中学教育集团·期末)在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 40．(23-24七下·上海宝山区·期末)在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是________． 41．(23-24七下·上海杨浦区双语学校·期末)如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行与原三角形的一边，若旋转角小于，则_________．    42．(24-25七下·上海普陀区·期末)如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是___________． 题型10 三角形中动点含多解题（填空）（共5小题） 43．(24-25七下·上海北初级中学教育集团·期末)如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为________． 44．(23-24七下·上海交大附中附属集团·期末)如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，．    45．(24-25七下·上海黄浦区·期末)如图，在中，，，，直线经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的运动速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当__________时，与全等． 46．(24-25七下·上海宝山区上海大学附属宝山外国语学校·期末)如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为__________时，能够使与全等． 47．(24-25七下·上海浦东新区张江集团中学·期末)如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是________厘米/秒． 题型11 （等腰）三角形的个数问题（选择）（共3小题） 48．(24-25七下·上海虹口区·期末)如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 49．(24-25七·上海杨浦区部分学校·期末)如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 50．(24-25七下·上海青浦区·期末)如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 题型12 等腰三角形角的多解题（填空）（共8小题） 51．(24-25七下·上海浦东新区上南中学东校·期末)若一个等腰三角形有一个内角为，则它的底角为 _____ ． 52．(24-25七下·上海浦东区·期末)如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于_____________ 53．(24-25七下·上海崇明区·期末)等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 54．(24-25七下·上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)在中，，点在的三边上运动，当成为等腰三角形时，顶角的度数是 ___． 55．(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·期末)在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 56．(24-25七下·上海崇明区·期末)在等腰△ABC中，如果过顶角顶点A的一条直线AD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝___． 57．(25-26七下·上海金山区世外学校·期末)已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 58．(25-26七下·上海金山区世外学校·期末)如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________．    题型13 新定义问题含多解题（填空）（共5小题） 59．(24-25七下·上海闵行区·期末)定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 60．(23-24七下·上海徐汇区·期末)当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为______． 61．(25-26七下·上海金山区世外学校·期末)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 62．(24-25七下·上海崇明区·期末)在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为_________________． 63．(24-25七下·上海黄浦区·期末)定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________ ． 题型14 规律探究题（填空）（共3小题） 64．(23-24七下·上海黄浦区·期末)如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即．若把n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，如图2所示，其张角度数变化如下：，，，，…根据上述规律请你写出__________．（用含n的代数式表示） 65．(24-25七下·上海浦东区·期末)如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，且、、为等边三角形，若，则的周长为 ___________． 66．（25-26七年级下·上海闵行·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 1．如图，已知：，点在射线ON上，点在射线OM上，、、均为等边三角形，若，则的边长为____． 2．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 3．如图，将一个等腰直角三角形和一个等边三角形的顶点重合放在一起（，且，点在直线的上方），其中，．当两个三角形中与某条边互相平行时，的度数为_____． 4．为了描述不同大小等腰三角形的形状特征，定义其顶角的一半与底角的比值为“伸缩比”，伸缩比越小，则等腰三角形越“细长”．等边三角形的“伸缩比”为________．已知锐角三角形ABC是一个等腰三角形，其伸缩比不小于，则这个等腰三角形顶角的取值范围是________． 5．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 6．如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________ s时，． 7．将一副三角尺中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起，其中，，若三角尺不动，将三角尺绕顶点转动一周，当三角尺的直角边与平行时，的度数为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09期未真题百练通关(73题14大选填压轴题型) 真题实战：百练通关 题型1平行线中的角度问题（填空） 题型8 角板中的叠放、旋转多解题（选填） 题型2三角形中多结论题（选择） 题型9三角形旋转含多解题（填空） 题型3最值问题（填空） 题型10三角形中动点含多解题（填空） 题型4翻折问题（选填） 题型11（等腰）三角形的个数问题（选择） 题型5三角形中的重要线段中的计算（填空） 题型12等腰三角形角的多解题（填空） 题型6折叠多解问题（填空） 题型13新定义问题含多解题（填空） 题型7三角形全等判定与性质求值含多解题（填空，题型14规律探究题（填空） 题型1平行线中的角度问题（填空）（共3小题） 1.(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，已知AB∥CD,连接AD,BC,AE、CE分别是∠BAD、∠BCD 的角平分线（点E在平行线AB、CD之间），已知LADC=54°.∠AEC与∠ABC之间的关系式为 【答案】∠AEC+∠ABC=2070 【详解】解：如图， :AB∥CD, ∠BAD=180°-∠ADC=180°-54°=126°，∠BCD=180°-∠ABC :AE、CE分别是∠BAD、∠BCD的角平分线， ∠BME=x126=63,∠BCE-BcD, :LABC+LBCE+∠AEC+∠BAE=360°， :∠ABC+。∠BCD+∠AEC+63°=360°， 1/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ABC+(180°-∠ABC)+∠AEC+63°=360°， ∠ABC+90°- 2∠ABC+∠AEC+63°=360°， ∴∠AEC+5∠ABC=207° 故答案为：∠4EC+∠ABC=207°. 2 2.(24-25七下·上海崇明区期末)如图，AB∥CD,点P位于两平行线之间且在点A、C的右侧，分别作 ∠BAP和LDCP的平分线交于点P,再分别作LBAP和∠DCP的平分线交于点P,·设∠APC的度数是o ,则∠APnC的度数用o表示为 C>P3… 【答案】 210 【详解】解：如图，过点P作MN∥AB, A B M--- >P3… C D :MN∥AB, .∠1=∠BAP, :MN∥AB,AB∥CD, :MN∥CD, ∠2=LDCR, ∠APC=∠1+∠2=∠BAP+∠DCP, :∠BAP和∠DCP的平分线交于点B, :理可得∠4C=∠B4+∠DCR-∠BA+∠DCR)-APC. :∠AC=∠APC, 2 2/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠APC=, ∠AC=2a, 1 1 同理，∠APC= 11 1 BC=2*2a 20, 依此类推， ∠APC= 1 21. 1 ∴∠APC的度数用o表示为 故答案为： 2. 3.(25-26七年级下·上海期中)抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京 景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上.如图， 通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD,∠BAE=95°，∠E=29°，则 ∠DCE的度数为 【答案】124°/124度 【分析】过点E作EF∥CD,进而得到EF∥AB,由平行线的性质求∠AEF=180°-∠BAE=85°，继而得 到∠CEF=∠AEF-∠CEA=56°，再根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可. 【详解】解：过点E作EF∥CD, D :AB∥CD, EF∥AB∥CD :∠AEF+∠BAE=180°，∠FEC+∠ECD=180°， :∠BAE=95 ∠AEF=180°-∠BAE=85°， 3/74 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 、LCEF=LAEF-LCEA=56°， .∠DCE=180°-∠FEC=124°. 题型2三角形中多结论题（选择）（共4小题） 4.(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，在△ACB中，∠ACB=90°，ABC的角平分线AD、BE相交于点 P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H.有下列结论：①LAPB=I35°；② △ABP≌△FBP;③∠AHP=∠ABC;④AH+BD=AB;其中正确的个数是() A D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：在ABC中，∠ACB=90°， .∠CAB+∠CBA=90°， :AD、BE分别平分LCAB、LCBA, :∠PAC=∠PAB=∠CAB,∠PBF=∠PBA=∠CBA, 1 2P1B+∠PBA=2<CAB+∠CBA0=2x90°=45°， 2 ∠APB=180°-(LPAB+∠PBA)=180°-45°=135°，故结论①正确： ∠BPD=180°-∠APB=180°-135°=45°， 又：PF⊥AD, ∠FPA=∠FPD=90°， ∠FPB=LFPD+∠BPD=90°+45°=135°， .∠APB=∠FPB, 在△ABP和△FBP中， ∠APB=∠FPB PB=PB ∠PBA=∠PBF 4/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :△ABP≌△FBP(ASA,故结论②正确； :ZBAP Z BFP,AB=FB,PA=PF, ∴.∠PAH=∠PFD, 在△PAH和△PFD中， I∠PAH=∠PFD PA=PF, ∠APH=∠FPD △PAH≌APFD(ASA), AH=FD,∠AHP=∠FDP, :∠FDP是△ABD的外角， .∠FDP>∠ABC, .∠AHP>∠ABC,故结论③错误； 又：AH=FD,AB=FB, .AB=FB=FD+BD=AH BD, 即AH+BD=AB，故结论④正确， :正确的个数是3个 故选：C 5.(24-25七下·上海宝山区上海大学附属宝山外国语学校期末)如图，在△ACB中，∠ACB=90°，ABC的 角平分线AD、BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H. 则对于以下结论：①LAPB=135°；②△ABP≌△FBP;③LAHP=LABC;④AH+BD=AB;其中错误的 是() A.① B.② C.③ D.④ 【答案】C 【详解】解：在ABC中，∠ACB=90°， ∠BAC+∠ABC=90°， 5/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：AD、BE分别平分LBAC、∠ABC, ∠BAD= ∠BAC,∠ABE=)∠ABC, 2 :∠B4D+∠ABE-☑BAC+∠ABC)=45P, :∠APB=135°，故①正确： .LBPD=45°， 又：PF⊥AD, ∴∠FPB=90°+45°=135°， ∠APB=LFPB, 又：∠ABP=∠FBP, 在△ABP和△FBP中， ∠ABP=∠FBP BP=BP ∠APB=∠FPB △ABP≌△FBP(ASA),故②正确： .2BAP =2BFP,AB FB,PA=PF, ∠BAP=∠CAP, ∠PAH=∠PFB, 在APH和△FPD中， ∠APH=∠FPD ∠PAH=∠PFB, PA=PE △APH≌△FPD(AAS), :AH FD, 又：AB=FB, :AB=FD+BD=AH+BD;故④正确： :∠ACB=90°，PF⊥AD, :LACB=∠APH=90°， ∠AHP+∠PAH=∠ABC+∠BAC=90°， :∠PAH≠LBAC, 6/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :LAHP≠LABC,故③错误； 故选：C 6.(25-26七下·上海金山区世外学校期末)如图，∠B,∠C的平分线相交于点D,过点D作EF∥BC,交 MB于点E,交1C于点F,下列结论中：①BE=DE:②DF=ED:③∠BDC=90+A;④△AEF周长 =AB+AC,正确的有() D A.①② B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】C 【详解】解：：EF∥BC, ∠EDB=∠DBC,∠FDC=LDCB, :△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点D, :ZEBD=ZDBC,ZFCD ZDCB, .∠EBD=∠EDB,LFCD=∠FDC, BE=DE,CF=DF,故①正确； DF与ED不一定相等，故②错误； ,在ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点D, :∠DBC=∠ABC,∠BCD=∠ACB, 2 ∠D8c+∠DCB∠ABc+)∠ACB2ABc+∠AC8)=I80-∠A=90-A, 2 ∠BDC=180°-(DBC+∠DCB)=90°+}∠A,故③正确： 2 △AEF的周长为： AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC,故④正确； 综上，正确的有①③④. 7.(24-25七下·上海浦东新区上南中学东校期末)如图，ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB,过 点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论： ①∠DFB=∠DBF;②AEFC为等腰三角形：③ADE的周长等于△BFC的周长，④∠BFC=90°+】∠A.其 7/74 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 中正确的是() D B A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】C 【详解】解：①：BF是∠ABC的角平分线， :LABF=∠CBF, 又：DE∥BC, .∠CBF=∠DFB, ∠DFB=∠DBF,故①正确： ②同理∠ECF=∠EFC, :EF=EC, aEFC为等腰三角形故②正确； ③假设ABC为等边三角形，则AB=AB=BC,如图，连接AF, :∠DBF=∠DFB,LECF=∠EFC, :BD=DF,EF=EC, ADE的周长=AD+DF+EF+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC, :F是LABC,∠ACB的平分线的交点， :.第三条平分线必过其点，即AF平分∠BAC, :ABC为等边三角形， ∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°， .∠FAB=∠FBA=∠FAC=∠FCA=30°， 8/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :FA=FB=FC, FA十FC>AC, :FB+FC>AC, .FB+FC+BC>BC+AC .FB+FC+BC>AB+AC 即△BFC的周长>ADE的周长，故③错误； ④在ABC中，∠BAC+∠ABC+LACB=180°(1)， 在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠FCB=180°， 即∠BFC+}∠ABC+∠ACB=180(2), 2x2-0得∠8FC=90+4,故@正： 故选：C 题型3最值问题（填空）（共4小题） 8.(24-25七下·上海民办至德实验学校期末)如图，等腰三角形ABC底边BC的长为5cm,面积是12cm2, 腰AB的垂直平分线EF交AC于点F,若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小 值为 E M B D 【答案】4.8cm 【详解】解：连接AD,AM, E B D :EF垂直平分AB, 9174 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AM =BM, .BM DM AM DM, :当点A,点M,点D共线且AD⊥BC时，AM+DM有最小值，即BM+DM有最小值为AD的长， :S4c=)BC4D=)×5xAD=12, 2 2 .AD=4.8cm, 故答案为：4.8cm. 9.(24-25七下·上海青浦区·期末)在ABC中，AB=2,BC=3,∠B=60°，点D是边BC上一点，且 BD=2CD(如图)·将ABC折叠，使点C与点A重合，折痕分别交边AC、BC于点F、E,点Q是线段 FE上一点，连接QC、QD,那么△QDC周长的最小值为 【答案】3 【详解】解：如图， A :AB=2,BC=3,∠B=60°，BD=2CD .BD=AB=2,CD=1, :△ABD是等边三角形， .AD=AB=2 :EF是折痕，点C与点A重合， “EF垂直平分AC, :点Q是线段FE上一点， 40=QC .Q在AD上时，AQ+QD取得最小值， 即△ODC周长最小值为：(CQ+OD+DC)n=(A0+QD+DC)mn=AD+DC=2+1=3 10/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为：3. 10.(24-25七下.上海崇明区·期末)如图，ABC是等边三角形，AD平分∠BAC,点E是AC边的中点，F 是线段AD上一点，若，AD=6,则CF+EF的最小值为 B 【答案】6 【详解】解：：ABC是等边三角形，AD平分∠BAC, .BD=CD,AD⊥BC,BC=AC, .点B和C关于直线AD对称， 连接BE交AD于点F,则此时CF+EF的值最小，最小为BE长，即BE⊥AD, .5.mACxBEBCx AD :BE AD=6, B 故答案为：6. 11.(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学期末)如图，边长为6的等边ABC中，BF是AC上的中线且 BF=3V3,点D在BF上，连接AD,在AD右侧作等边ADE,连接EF,则△AEF的周长最小值为 D B 【答案】3+3V5 11/74 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：连接CE,如图所示： M E E D :△ABC,△ADE均为等边三角形， :AB=AC=6,AD=AE,∠BAC=∠DAE=LABC=60°， ·∠BAD=60°-∠DAC=∠CAE, .△BAD≌△CAE(SAS), ∠ABD=∠ACE, AF=CF=AC=3,BF=33. :∠ABD=∠CBD=∠4CE=x60°=30°，BF⊥AC, :.点E在射线CE上运动(LACE=30), 作点A关于直线CE的对称点M,连接FM交CE于点E,连接EM, .AE FE EM FE, :AF为定值， :当AE+FE最小时，△AEF的周长最小， :两点之间线段最短， :当点E在点E处时，△AEF的周长最小，且最小值为AF+FM的长， :CA=CM,∠ACM=2∠ACE=60°， .△ACM是等边三角形， .AM AC =CM =6, AF=FC, FM⊥AC, ∠AFB=∠AFM=90°， :AB=AM,∠BAF=∠MAF=60°，AF=AF, :△ABF≌△AMF(SAS), 12/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :FM=BF=33, △AEF周长的最小值是AF+FE'+AE'=AF+FM=3+3V5. 故答案为：3+3√5。 题型4翻折问题（选填）（共6小题） 12.(24-25七下·上海崇明区（五四制）民一中学期末)如图，在ABC中，∠B=40°，将ABC沿直线1 翻折，点B落在点B的位置，则∠2-∠1的度数是() A.90° B.80° C.50° D.40° 【答案】B 【详解】解：如图，设BE与BC交于点F, 由折叠的性质可得：LB'=∠B=40°， 由三角形外角的性质可得： ∠2=LB+∠EFB=∠B+∠B'+∠1=40°+40°+∠1=80°+∠1， ∠2-∠1=80°， 故选：B 13.(24-25七下·上海民办至德实验学校期末)如图，现有一张长方形纸片ABCD,点E,F在AD上，点G ,H在BC上，分别沿EG,FH折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点C.点B对应点 为点B.若∠a+∠B=132°.，则∠CMB'的度数为() D E F G B 13/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.104 B.106° C.96° D.132° 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD是长方形， AD∥BC. LDEG=La,∠AFH=∠B. .∠DEG+∠AFH=∠a+∠B=132°， :点E,F在AD上，点G,H在BC上，分别沿EG,FH折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对 应点为点C.点B对应点为点B, ∠DEM=2LDEG,∠AFM=2∠AFH,∠C'ME=∠B'MF=90°. ∠MEF+∠MFE=180°-∠DEM+180°-∠AFM =180°-2∠DEG+180°-2∠AFH =360°-2∠DEG+∠AFH) =360°-2×132° =96°， .∠EMF=I80°-（∠MEF+∠MFE)=84°， ∴.∠C'MB'=360°-∠EMF-∠CME-∠B'MF=360°-84°-90°-90°=96°. 故选：C 14.(24-25七下·上海浦东新区张江集团中学期末)如图，在ABC中，D是边BC的中点，将△ABD沿AD 翻折，点B落在点E处，AE交CD于点F,△ADF的面积恰好是ABC面积的：，小丽在研究这个图形时 得到以下两个结论：①LB=∠CAE;②AC=CD,那么下列说法中，正确的是() A.①正确②错误 B.①错误②正确 C.①、②皆正确 D.①、②皆错误 【答案】C 【详解】解：过点D作DG⊥AE,如图所示： 14/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由折叠可得：AB=AE,BD=DE,LB=LE,LBAD=∠EAD，S△4BD=S△DE, :D是边CB的中点， 1 :BD=CD,S△ABD=S△MDc= S△ABC :△ADF的面积恰好是ABC面积的4， 1 ∴S△AFc=S△ADF= SAABC' DF=CF=。DC, 2 :S△ABD=S△ADE=5S△ABC, 2 1 1 1 :S△DEF=SAADE-S△MADF=亏S△ABC 2 4 SAABC=S△ABc 4 4 SADEF=S△MDF, :DG⊥AE, .Sm=AFXDG,SAoE- -EFx DG, ∴AF=EF, :.在△AFC与△EFD中 「AF=EF ∠AFC=∠DFE FC=DF :△AFC≌△EFD(SAS, .AC=DE,∠E=∠CAE, 又：BD=CD=DE,∠B=∠E, ∴AC=DC,∠B=∠CAE 故①、②皆正确。 故选：C. 15/74 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 15.(24-25七下·上海金山区期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D在边AB上且AC=AD,连接 CD,点G在线段CD上（不与点C、D重合），直线1过点D,将ABC沿着直线1翻折（点G关于直线 I的对称点为点P)·若点P在过点G且与AB平行的直线上，那么∠ADP的度数为 【答案】120 【详解】解：如图： :在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， :∠A=180°-∠B-90°=60， AD=AC, .△ADC为等边三角形， ∠ADC=60°， :翻折， .DG=DP, PGIAB, ∴.∠DGP=∠ADC=60°， :aDGP为等边三角形， ∠GDP=60°， ∠ADP=∠ADC+∠GDP=60°+60°=120°， 故答案为：120. 16.(2425七下·上海闸北第八中学.期末)将ABC按如图所示的方式折叠，点A的对应点是点，点B的 对应点是点B,DE为折痕.若∠A+∠B=135°，则∠1+∠2的度数为 A 、D 1 B--- 【答案】90° 【详解】解：设AB交CD于点F,交CE于点G, 16/74 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 、D A G 由折叠得：LB=LB'，∠A=∠A', :LC+LCFG+LCGF=I80°，且LCFG=LA'FD,LCGF=LEGB', ∠C+∠A'FD+EGB'=180°， :∠A'FD=180°-∠1-∠A',∠EGB'=180°-∠2-∠B', :∠C+(180°-∠1-∠A+180°-∠2-∠B=180°， :∠A+∠B+LC=180°，∠A+∠B=135°， ∠C=180°-∠A-∠B=45°， ∴.∠C+∠C-∠1+180°-∠2=180°， .2∠C=∠1+∠2=90°. 故答案为：90°. 17.(24-25七下·上海宝山区同洲中学·期末)如图在ABC中，AB=AC,LBAC=50°，点D为AB的中点，且 OD⊥AB,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠， 点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是 D 4 B 【答案】100 【详解】解：如图，连接OB、OC, 17/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BAC=50°，A0为∠BAC的平分线， ∠BA0=BC=2 2 50°=25°， 又：AB=AC, ∠4BC=180°-∠BAC)=180°-50)=65°， 2 :DO是AB的垂直平分线， 0A=0B, ∠AB0=LBA0=25°， ∴.∠0BC=∠ABC-∠AB0=65°-25°=40°， :A0为∠BAC的平分线，AB=AC, :直线A0为底边上的中线和高线所在的直线， 即AO垂直平分BC, 0B=0C, :∠0CB=∠0BC=40°， 将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合， .OE CE, .∠C0E=∠0CB=40°， 在△0CE中，∠0EC=180°-∠C0E-∠0CB=180°-40°-40°=100°， 故答案为：100°. 题型5三角形的重要线段中的计算含多解（共3小题） 18.(25-26七年级下·上海杨浦阶段检测)在等腰三角形ABC中，AB=AC,周长为16cm,AC边上的中 线BD把ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求ABC底边BC的长cm 【答案】 【详解】解：设AB=AC=xcm,BC=ycm, 由ABC周长为16cm,得 18/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2x+y=16, BD是AC边上的中线， :AD CD, 又BD是△ABD和△BCD的公共边， ·两个三角形的周长差为AB-BC=4,即x-y=4, 分两种情况讨论： (1)当x>y时，x-y=4, 2x+y=16 联立方程组 x-y=4’ 两式相加得3x=20,解得x=20 代入x-y=4得y=8 8 此时三边长为 20 20 cm,;cm,满足三角形三边关系，符合题意 (2)当x<y时，y-x=4, 2x+y=16 联立方程组 y-x=4' x=4 解得 y=8 此时三边长为4cm,4cm,8cm,不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去 综上，底边BC的长为兮m 8 19.如图，在ABC中，点M在BC上，且MC=2MB,连接AM,N为AM边上的中点，连接CN并延 长交AB于点D,G为CN上一点，且NC=3GC,已知△AWD的面积为2，则aMNG的面积为 N M 【格号 【详解】解：连接DM,如图所示： 19/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 NC=3GC, B M NG:GC=2:1, :aNGM和aGCM以M为顶点向CN作高，是相等的， S.GCM S.NGM =1:2, 设S.ccw=a，则S.wGw=2a, :.S.xcM =a+2a=3a, :N为AM边上的中点， :AN MN :△ANC和aMNC以C为顶点向AM作高，是相等的， S.ANC S.NMC =1:1,S.ANC S.NCM =3a,SAND S.NMD =1:1, :△AWD的面积为2， .S.AND S.NMD =2, S.AMc =6a, MC=2MB, BM:CM=1:2, :△BMA和△CMA以A为顶点向BC作高，是相等的， S45e4=1:2,则Sw4=54e=3a, 2 :△BMD和△CMD以D为顶点向BC作高，是相等的， S.BMD S.MCD=1:2,SM:S.AMC =1:2, .5.m5o3a4 1 则sama+2到=a-4 10 解得a= 3 S.NMG =2a, 20/74 0学科网·上好课 ww .zxxk.com 上好每一堂课 $$\therefore S _ { \triangle M G C } = 2 \times \frac { 1 0 } { 3 } = \frac { 2 0 } { 3 }$$ 故答案为： $$\frac { 2 0 } { 3 }$$ 20.(23-24七下上海奉贤区部分学校·期末)在 ABC 中，AD是 BC 边上的高，BE是 ∠ABC 的角平分线，直 线BE与高AD交于点F 若 $$\angle A B C = 5 0 ^ { \circ } ， \angle C A D = 2 0 ^ { \circ } ，$$ ，则 ∠FEC 的度数为度. 【答案】85或135 【详解】解：第一种情况： ∠ACB 为锐角，如图示： A F E B C D BE是 ∠ABC 的角平分线， $$\angle A B C = 5 0 ^ { \circ }$$ $$\therefore \angle A B E = \frac { 1 } { 2 } \angle A B C = 2 5 ^ { \circ } ，$$ ：AD是 BC 边上的高 ∴ $$\angle A D B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴ $$\angle B A D = 9 0 ^ { \circ } - 5 0 ^ { \circ } = 4 0 ^ { \circ }$$ ∴ $$\angle B A E = 4 0 ^ { \circ } + 2 0 ^ { \circ } = 6 0 ^ { \circ }$$ ∵∠FEC=∠ABF+∠BAE， $$\therefore \angle F E C = 6 0 ^ { \circ } + 2 5 ^ { \circ } = 8 5 ^ { \circ }$$ 第二种情况， ∠ACB 为钝角，如图示： A E F B D C ：BE是 ∠ABC 的角平分线， $$\angle A B C = 5 0 ^ { \circ }$$ $$： \angle A B E = \frac { 1 } { 2 } \angle A B C = 2 5 ^ { \circ } ，$$ ：AD是 BC 边上的高 $$\therefore \angle A D B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 21/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAD=90°-50°=40°， ∠BAE=40°-20°=20°， :∠ABE+∠BAE+∠AEB=I80°， ∠AEB=180°-25°-20°=135°， ∠FEC=135°， 故答案为：85或135 题型6折叠多解问题（填空）（共6小题） 21,(23-24七下·上海杨浦区双语学校·期末)如图，直线AB∥CD,直线1与直线AB、CD相交于点E、F, P是射线EA上的一个动点（不包括端点E),将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处，若∠PEF=75°， ∠CFO-ZPFC,则∠EFP的度数为 A P E B D 【答案】35°或63° 【详解】解：分两种情况： 如图，当点Q在平行线AB,CD之间时， 图3 设∠PFQ=x,由折叠可得∠EFP=x, ∠CFQ=∠PFC, 2 :ZPFO=ZCFQ=x, :AB∥CD, ∠AEF+∠CFE=180°， .75°+x+x+x=180°， x=35°， 22/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EFP=35°； 如图，当点Q在CD的下方时， A P E B 图4 设∠CF0=x,由∠Cr0=PFc得，∠PFC=2x, ∴.∠PFQ=3x, 由折叠得，∠PFE=∠PFQ=3x, :AB∥CD, .∴.∠AEF+∠CFE=180°， 2x+3x+75°=180°， .x=21°， ∠EFP=3x=63°； 综上所述，∠EFP的度数是35°或63°. 故答案为：35°或63°. 22.(23-24七下·上海青浦区实验中学期末)在ABC中，∠BAC=40°，点D是边AB上的一点，将△BCD沿 直线CD翻折，使点B落在边AC上的点E处，如果ADE是等腰三角形，那么∠ABC=°. 【答案】80或110 【详解】解：如图，ADE是等腰三角形， E D B 当AE=DE时， .∠ADE=∠A=40°， ∴.∠CED=40°+40°=80°， 23/74 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由对折可得：LABC=∠CED=80°， 当AE=DA时，如图， A B i∠4BD=∠ADE-150-409=70m. .∠CED=180°-70°=110°， 由对折可得：∠ABC=∠CED=110°， 当AD=DE时， .∠A=∠AED=40°， ∠CED=180°-40°=140°， 由对折可得：∠B=∠CED=140°， 此时LA+∠ABC=180°，不符合题意，舍去； 故答案为：80或110 23.(24-25七下·上海嘉定区期末)如图，长方形纸片ABCD,点P为BC边上的动点.点C关于直线AP的 对称点为C,连接AC'、CC'.将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D折叠后的落点D恰好位于 △ACC'的边上.如果∠DAC=35°，那么∠BAP=° D 【答案】20或37.5 【详解】解：由长方形的性质可得D=∠BAD=90°， 如图所示，当点D在CC'上时， 24/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由折叠的性质可得∠D'AC=∠DAC=35°，∠AD'C=90°； 由轴对称的性质可得AP⊥CC', :A、P、D'三点共线， ∠BAP=∠BAD-∠D'AC-∠DAC=20°； 如图所示，当点D在AC'上时， D 由折叠的性质可得∠D'AC=∠DAC=35°， :.∠BAC'=∠BAD-∠D'AC-∠DAC=20°， 由轴对称的性质可得∠PAC=∠PAC=DAC=175”, ∠BAP=∠PAC'+∠BAC'=37.5°； 综上所述，∠BAP的度数为20°或37.5°； 故答案为：20或37.5. 24.(2425七下·上海长宁区期末)如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=50°，点D在边AC上，将 △BCD沿直线CD翻折得到△ECD,如果直线ED与ABC的一条边垂直，那么∠DBC的度数是 【答案】10°或50° 25/74 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：①如图1，当ED⊥BC时， B A 图1 :∠ABC=90°，∠A=50°， AB⊥BC,∠ACB=90°-∠A=40°， ED∥AB, :LADE=∠A=50°， 由折叠的性质得：∠ECD=∠BCD=40°，LDBC=∠E, ∠DBC=∠E=∠ADE-∠ECD=10°； ②如图2，当ED⊥AC时， D B 图2 ∴.LCDE=90°， 由折叠的性质得：∠CDB=∠CDE=90°， ∠DBC=90°-∠ACB=90°-40°=50°： ③如图3，当ED⊥AB时， E B 图3 :AB⊥BC, ED∥BC, 26/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CDE=∠ACB=40°， 由折叠的性质得：LECD=LBCD=40°，∠DBC=LE, ∠DBC=∠E=180°-∠ECD-∠CDE=100°>90°， :∠DBC>∠ABC,不符合题意，舍去； 综上，∠DBC的度数是10°或50°， 故答案为：10°或50° 25.(23-24七下·上海浦东新区（五四制）·期末)在ABC中，AB=AC,把ABC折叠，使点B与点A重 合，折痕交AB于点M,交AC于点N.如果△CBN是等腰三角形，则∠C的度数为· A B 【答案】72°或 【详解】解：设LA=α， AB=AC, ÷∠ABC=∠C=180°-a 2 :把ABC折叠，使点B与点A重合， ∴.AN=BN, :∠NBA=∠A=a, ∴.∠BNC=∠NBA+∠A=a+a=2a, ÷∠NBC=180°-∠C-∠BNC=180-180°-g-2a-180°-3a 2 2 :△CBN是等腰三角形， ①若NB=NC,则LNBC=∠C, 即180°-3a-180°-a 2 2 解得：a=0°，不符合题意； ②若BN=BC,则LC=∠BNC, 27/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即180°-a=2a, 2 解得：a=36°， :∠C=180°-a-180°-360 =72°： 2 2 ③若CB=CN,则∠NBC=∠BNC, 即180°-3a 2 =20, 解得：a= (180。 7' ∠C=180°-a 180° 180 540。 2 7 540 综上所述，∠C的度数为72°或 7° 故答案为： 72°或 540 、7 26.(24-25七下·上海闵行区·期末)已知：ABC的三条边都不相等，∠B=30°，将ABC沿直线AB翻折， 点C恰好落在点E处，边CA的延长线与射线BE相交于点D,如果ADE为直角三角形，那么∠BAC的度 数为 【答案】45°或60°或135° 【详解】解：如图1所示，当LADE=90°，则∠BDC=180°-∠ADE=90°， B 图1 由折叠的性质可得∠EBA=∠CBA=30°， ∠BAC=∠BDC+∠ABD=120°， ∠C=180°-120°-30°=30°， .ZC=ZABC, :AB=AC,此时不符合题意； 如图2所示，当∠DAE=90°时， 28/74 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 图2 由折叠的性质可得∠BAE=∠BAC, ∠BAC=∠BAD+∠DAE=∠BAD+90°， 又：∠BAC+∠BAD=180°， ∠BAC=135°； 如图3所示，当∠AED=90°时，则LAEB=180°-∠AED=90°， 图3 由折叠的性质可得∠ACB=∠AEB=90°， ∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=60°： 如图4所示，当∠EAD=90°，则∠EAC=180°-∠EAD=90°， O 图4 由折叠的性质可得∠B4C=∠E4C=45: 综上所述，∠BAC的度数为45°或60°或135°， 故答案为：45°或60°或135°， 29/74 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型7三角形全等判定与性质求值（填空）（共4小题） 27.(24-25七下上海嘉定区期末)如图，已知直线1∥12∥1∥14，且相邻两条平行直线间的距离均为d.正 方形ABCD的四个顶点分别位于直线、人、马、4上，如果SE方彩4BcD=20,那么d=一· 【答案】2 【详解】解：如图所示，过点A作AH⊥l于H,过点C作CG⊥l于G,延长HA,GC分别交Z于E、F, 1∥14， HE⊥l4,GF⊥l4, 由正方形的性质可得∠BCD=90°，CD=BC, 又∠CGD=LBFC=90°， :∠FBC+∠FCB=∠GCD+∠FCB=90°， .∠FBC=∠GCD, .△FCB≌AGDC(AAS), .DG=CF,BF=CG, :直线∥1∥马∥14，且相邻两条平行直线间的距离均为d, .CF=2d,CG=d, .DG=2d,BF=d, 同理可证明△ADH≌△BAE, :DH=AE=d,AH BE =2d, .EF =HG=d+2d=3d, :S四边形EFGH=S正方形ABcD+S△HBE+S△HDH+S△cDG+S△BCP, .3d.3d=20+4×5d.2d, .d=2或d=-2(舍去)， 故答案为：2. 30/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H E B F 28.(24-25七下·上海宝山区上海大学附属宝山外国语学校期末)如图，点P是三角形ABC内部一点，且满 足∠PAB=∠PAC=21°.如果∠PBC=30°，∠PBA=9°，则∠APC的度数是· B 【答案】141° 【详解】解：延长AC到点D,使得AD=AB,连接BD,PD,延长AP交BD于点E, :∠PAB=LPAC=21°.AP=AP, △ABP≌△ADP(SAS), ∠PDA=∠ABP=9°，PB=PD :∠BPE=∠PAB+∠PBA=30°，∠DPE=∠PAC+∠ADP=30°， ∠BPD=∠BPE+∠DPE=60 :△PDB是等边三角形， ∠PBD=60°， ∠PBC=30°， ∠CBD=∠PBD-∠PBC=30° 31/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BC平分∠PBD, :.BC垂直平分PD, .PC=CD, ∠CPD=∠PDC=9°， ∴LCPE=∠DPE+∠CPD=39°， ∠APC=180°-∠CPE=141°. 故答案为141°. 29.(24-25七下·上海崇明区（五四制）民一中学期末)已知：如图，ABC、△CDE都是等边三角形，AD、 BE相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点.那么∠DOE的度数为 B 【答案】60°160度 【详解】解：：ABC、△CDE都是等边三角形， .AC=BC,CD=CE,∠ACB=LDCE=60°， ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, .ZACD ZBCE, 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE, CD=CE .△ACD≌△BCE(SAS), ∠ADC=∠BEC, :△CDE是等边三角形， ∠CED=∠CDE=60°， .∠ADE+∠BED =∠ADC+∠CDE+∠BED 32/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =∠ADC+60°+∠BED =∠BEC+∠BED+60° =∠DEC+60° =60°+609 =120°， ∠D0E=180°-(LADE+∠BED=180°-120°=60°， 即∠D0E的度数为60°. 故答案为：60° 30.(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校期末)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经 过点A,分别过点B、C作直线I的垂线，垂足分别为D、E.如果BD=5,CE=3,那么DE= 【答案】8或2 【详解】解：如图1，点B、点C在直线1同侧， D 图1 :BD⊥I于点D,CE⊥I于点E, .∠BDA=∠AEC=90°， ∴∠ABD+LBAD=90°， :∠BAC=90°， .∠CAE+∠BAD=90°， .ZABD =ZCAE, 在△ABD和△CAE中， [∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC, AB=CA △ABD≌△CAE(AAS), ∴BD=AE=5,AD=CE=3, 33/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :DE=AE+AD=5+3=8; 如图2，点B、点C在直线1异侧， D B E 图2 :BD⊥I于点D,CE⊥I于点E, LBDA=∠AEC=90°， LABD+∠BAD=90°， :∠CAE+∠BAD=∠BAC=90°， ∴.LABD=LCAE, 在△ABD和△CAE中， ∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC, AB=CA :△ABD≌△CAE(AAS), .BD=AE=5,AD CE=3, DE=AE-AD=5-3=2. 综上所述，DE的长为8或2. 故答案为：8或2 题型8三角板中的叠放旋转多解题（选填）（共6小题） 31.(24-25七下·上海静安区西初级中学.期末)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示 的方式叠放在一起，其中∠A=60°，∠D=30°，∠B=LE=45°，当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方 时，如果三角板BCE的直角边与边AD平行，那么∠ACE的度数为()°. 34/74 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30或60 B.60或120 C.45或60 D.30或120 【答案】D 【详解】解：分两种情况： 当CB∥AD时，如图： :CB∥AD, ∠ACB=180°-∠A=120°， :∠ECB=90°， ∠ACE=LACB-∠ECB=30°； 当CE∥AD时，如图： :CE∥AD, ∠ACE=180°-∠A=120°； 综上所述：如果三角板BCE的直角边与边AD平行，那么∠ACE的度数为120°或30°， 故选：D 32.(24-25七下·上海浦东新区上南中学东校期末)如图，将含有60°锐角的三角板ABC绕60°的锐角顶点 35/74 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C逆时针旋转一个角度到△ECD,若AB、CE相交于点F,AE=AF,则旋转角是 【答案】40° 【详解】解：设旋转角为0， ..ZACF=a,CA=CE, ∠CaE=∠CE1=2080-a=90- 2, .AE=AF, .∠AEF=∠AFE, ,∠AFE=a+LCAF=a+30°， a+30°=90°- 2a, .0=40°， 故答案为：40°. 33.(24-25七下·上海风华初级中学期末)一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不 动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平 行.如图3：当LCAE=15时，BC∥DE,则∠CAE其余符合条件的度数为。 B D D D B A 图1 图2 图3 【答案】60°或105°或135 【详解】解：如图3，当AE∥BC时，∠CAE=LC=60°： 36/74 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◇ E 图3 如图4，当DE∥AB(或AD∥BC)时，∠BAD=∠D=90°， C B E A 图4 ∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=90°-30°=60°， LCAE=LDAE+LDAC=45°+60°=105°； 如图5，当DE∥AC时，∠CAD=∠D=90°， D CB E A 图5 ∠CAE=∠DAE+∠DAC=45°+90°=135°. 综上所述，其他可能符合条件的度数为60°或105°或135° 故答案为：60°或105°或135°， 34.(24-25七下·上海青浦区·期末)将一副三角尺如图1所示摆放，AB、FD分别在直线GH、MN上， ∠BAC=30°，∠E=45°，直线GH∥MN.现将三角尺ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角 尺DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当0≤1≤180时，如果边BC与三角尺 DEF的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的t的值为 37/74 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 图1 图2 【答案】30或120 【详解】解：由题意得：∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，LFDM=21°， (1)当BC∥DE时， 如图所示：延长AC交MN于点P, H ①DE在MN上方， :DE∥BC,DE⊥DF,AC⊥BC, ∴.AP∥DF, ∴.∠FDM=∠MPA, :MN∥GH, .∠MPA=∠HAC, ∠FDM=∠HAC, 即21=1+30， 解得：t=30; ②DE,在MN下方时，∠FDP=(2t-180)°， DE∥BC,DE⊥DE,AC⊥BC, AP∥DE, :ZF DM ZMPA :MN∥GH, .∠MPA=∠HAC, ∠FDM=∠HAC, 即21-180=1+30， 38/74 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得：1=210（舍去）； 如图：当BC∥DF时，延长AC交MN于点I, G ①DF在MN上方，LFDN=(I80-21)度， :DF∥BC,AC⊥BC, AI∥DE, LFDN+∠MIA=90°， :MN∥GH, LMIA=∠HAC, :∠FDN+∠HAC=90°， 即180-21+1+30=90，解得：t=120: ②DF在MN下方，∠FDN=(2t-180)度， DF∥BC,AC⊥BC,ED,⊥DF2, AC∥DE2, ∠AIM=∠MDE2, :MN∥GH, ∴.∠MIA=∠HAC, ∴.∠E,DM=∠HAC, 即21-270=1+30，解得：1=300（舍去）， 综上可知：所有满足条件的t的值为：30或120， 故答案为：30或120 35.(24-25七下·上海长宁区复日中学期末)将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，∠C=30°， ∠CD0=60°；∠0AB=∠0BA=45°的直角顶点O按图1方式叠放在一起.△COD绕着点O顺时针旋转∠a (0°<∠a<180°)，旋转的速度为每秒10°，当旋转时间为t为 秒，△COD有一边与边AB平 行 39/74 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B(D) 图1 图2 【答案】4.5或13.5或16.5 【详解】解：如图所示，OD∥AB, ∠B=∠B0D=45°， :△C0D绕着点0顺时针旋转，旋转的速度为每秒10°， :OD从OB顺时针旋转45°的时间为 45=4.5s): 如图所示，OC∥AB, C B ∠B=∠B0C=45°， :0C从OA顺时针旋转至图中所示位置的角度为∠A0B+∠B0C=90°+45°=135°， :所震时间为-135191： 如图所示，CD∥AB,过点O作OF∥AB, B F D 40/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB∥OF∥CD, :.∠B=∠BOF=45°，∠C=∠COF=30°， ∠B0C=45°+30°=75°， .0C从OA顺时针旋转至图中所示位置的角度为∠A0B+∠B0C=90°+75°=165°， :所需时间为 =16.5s; 如图所示，OD∥AB, .LA=∠A0D=45°， :0C从OA顺时针旋转至图中所示位置的角度为360°-45°-90°=225°>180°，故此种情况不符合题意，舍 去： 如图所示，CD∥AB,设AB,OD交于点E, D B ∠AE0=∠D=60°=∠B+LB0E, ∠B0E=60°-45°=15°， :∠B0E+∠A0E=∠A0E+∠A0C=90°， LBOE=∠A0C=15°， ∴△C0D绕点0顺时针旋转至图中所示位置，旋转的角度为360°-15°=345°>180°，故此种情况不符合题 意，舍去： 综上所述，当1=4.5s或1=13.5s或16.5s时，△C0D有一边与边AB平行， 故答案为：4.5或13.5或16.5· 36.己知两个完全相同的直角三角形纸片ABC、△DEF,如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与 EF交于点G.LC=LEFB=90°，∠E=LABC=30°，现将图中的ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方 41/74 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 向旋转180°，在旋转的过程中，ABC恰有一边与DE平行的时间为秒. F B(D) 【答案】2或8或10 【详解】解：：LE=∠ABC=30°，∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°， LD=∠A=60°. ①当DE AC时，如图1中， E ∠C=90°， D 图1 AC⊥BC, DE⊥BC, LD+∠BFD=90°， ∠BFD=90°-60°=30°， 30 旋转时间t=5=2s 15 ②如图2中，当DE∥BC时， LBFE=LE=30°， 42/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B ∠DFB=90°+30°=120°， D 夕C 图2 旋转时间1=120 8s 15 ③当DE∥AB时，如图3中， E B .∠BGF=∠E=30°， D G A 图3 ∠BFE=30°+30°=60°， ∠DFB=60°+90°=150°， =10. 旋转时间1=150 综上所述，旋转时间为2s或8s或10s时，△ABC恰有一边与DE平行. 故答案为：2或8或10. 题型9三角形旋转含多解题（填空）（共6小题） 37.(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学.期末)如图，在ABC中，∠C=35°，将ABC绕着点A旋转 (0°<a<180),旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D,连接AD,AD是∠BAC的角平分线，则 0= 43/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 110。 【详解】解：如图，根据题意可得：AB=AD,LBAD=a, :AD是∠BAC的角平分线， ∠CAD=∠BAD=a, ∠ADB=∠C+LCAD=35°+a，AB=AD, ∠B=∠ADB=35°+a, 则在ABC中，：∠C+∠CAB+∠B=180°， :.35°+2a+35°+a=180°， 解得：a 故答案为： 38.(24-25七下·上海崇明区期末)如图，等边三角形ABC的边长为6，D、E分别为AC、AB边上的点， AD=AE=4,连接DE,将ADE绕点D逆时针旋转得到△EDP,连接CP,则LPCB= 【答案】30° 【详解】解：设DP交BC于F,如图所示： :ABC为等边三角形， ∠BAC=∠ACB=60°，AC=6, 44/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD =AE=4, ADE为等边三角形，CD=6-4=2, ∠ADE=60°，DE=AD=4, :ADE绕点D逆时针旋转，得到△EDP, ∠EDP=60°，DP=DE=4, ∠PDC=60°， :△DCF为等边三角形， ∠3=60°，DF=CF=DC=2, PF=DP-DF=4-2=2, .FC=FP, ∠1=∠2， ∠3=1+12， .∠1=30°， 故答案为：30°. 39.(2425七下·上海北初级中学教育集团期末)在ABC中，AB=AC,LBAC=40°，AD⊥BC于D, ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE,点C的对应点E落在AD上，则∠CBF的度数是 【答案】130° 【详解】解：连接CE,如图， AB=AC, ∠ABc=∠4CB=180-∠B4C-180-409=70, :AD⊥BC, :.BD=CD,即AD垂直平分BC, .BE=CE, :ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE,点C的对应点E落在AD上， BE=BC,LFBE=∠ABC=70°， .BE CE =BC, 45/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△BCE为等边三角形， ∠CBE=60°， ∠CBF=∠CBE+∠FBE=60°+70°=130° 故答案为：130°. 40.(23-24七下·上海宝山区期末)在ABC中，AB=BC,∠A=4,将ABC绕点B旋转到ABC,记旋 转角为B,如果AB∥CC,·那么a与B满足的数量关系是 【答案】4a-阝=180°或4a+阝=540 【详解】解：①当ABC绕点B顺时针旋转时： :ABC中，AB=BC,∠A=a, :∠BCA=∠A=a, ∠ABC=180°-20， :将ABC绕点B旋转到ABC,旋转角为B, BC=BC,∠CBC,=B, ∠BCC=∠BCC=180-B), :AB∥CC, .∠ABC=∠BCC1, 180-2a-80-B, .360°-4a=180°-B, .4a-B=180°， ②当ABC绕点B逆时针旋转时： :ABC中，AB=BC,∠A=, ∠BCA=LA=Q, :∠ABC=180°-2a, 46/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :将ABC绕点B旋转到ABC1,旋转角为B, BC=BC,∠CBC1=360°-B, ∠BcC=∠BCC=180°-(360°-B]=B-90°， AB∥CC, ·LABC=∠BCC1, 180°-2a--90 .360°-4a=β-180°， ∴.40+阝=540°， 故答案为：4a-B=180°或4a+阝=540° 41.(23-24七下.上海杨浦区双语学校期末)如图，在ABC中，∠A=50°，∠B=60°，ABC绕点A逆时针 旋转的三角形的一边平行与原三角形的一边，若旋转角小于180°，则α= 【答案】70°或130° 【详解】解：如图，当ABC绕点A逆时针旋转当BC∥AC时， BC∥AC, ∠C,B1A+∠BAC=180°， :∠CBA=60°，∠BAC=50°， ∴.∠B,AB=180°-∠CB,A-∠B,AC=180°-60°-50°=70°： 当ABC绕点A逆时针旋转当AB‖CB时， 47/74 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :LBAC=50°， ∠BAB2=180°-50°=130°， 故答案为：70°或130° 42.(2425七下·上海普陀区期末)如图，在ABC中，∠A=45°，∠C=42°，将ABC绕点B旋转得 △DBE,点A、C的对应点分别是点D、E,线段BE交边AC于点F,连接CE、AD,如果△CEF是等腰 三角形，那么∠ADE的度数是 【答案】29°或43° 【详解】解：：将ABC绕点B旋转得aDBE,LBAC=45°， ∠BDE=45°，AB=AD,CB=EB,∠ABD=∠DBE-∠ABE=∠ABC-∠ABE=∠EBC 片∠BDA=∠BAD=180-∠ABD_180°-∠CBE-∠BEC=∠BCE, 2 2 :△CEF是等腰三角形， CE=CF或CE=EF, 当CE=CF时，设LECF=a, :∠ACB=42°， ∠CFE=∠BEC=∠BCE=42°+a, .∠CFE+∠BEC+∠ECF=42°+a+42°+a+u=180°， 4=32°， ∠BDA=∠BEC=42°+a=74°， ∠ADE=∠BDA-∠BDE=74°-45°=29°， 当EC=EF时，设∠ECF=B,则∠EFC=∠ECF=B, :∠ACB=42°， .∠BEC=∠BCE=42°+B :∠BEC+∠CFE+∠ECF=42°+B+B+B=180°， 48/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B=46°， :∠BDA=∠BEC=42°+B=42°+46°=88°， ∠ADE=∠BDA-∠BDE=88°-45°=43° 故答案为：29°或43°. F 题型10三角形中动点含多解题（填空）（共5小题） 43.(24-25七下·上海北初级中学教育集团期末)如图所示，线段AB=10cm,射线AN⊥AB于点A,点C是 射线上一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE中，连接DE交射线AN于 点M,则CM的长为 B M D 【答案】5cm 【详解】解：如图作EH⊥AN于H, B E M HN :BA⊥AN,EH⊥AN, ∠BAC=∠EHC=90°， ∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠ECH=90, ∠ABC=LECH, :△BCE和△ACD都是等腰三角形， .BC=CE,AC=DC,∠BCE=LACD=90°， 49/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在ABC和△HCE中， ∠BAC=∠EHC ∠ABC=∠HCE, BC=CE .△ABC≌△HCE, .AC=EH=CD,AB=CH, 在△DCM和△EHM中， CD=EH ∠DCM=∠EHM, ∠CMD=∠EMH :△DCM≌△EHM, .CM =HM, CM=2CH=74B=7x10=Scm 故答案为：5cm. 44.(23-24七下·上海交大附中附属集团期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm,BC=3cm,CD 为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cms的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点 F,当点E运动 s时，CF=AB. B 【答案】2或5 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论思想；由AAS可证明aCEF≌△ACB,从而得 CE=AC=7cm；分点E在射线BC上移动时及点E在射线CB上移动两种情况；求得BE、BE',即可求得 点E运动的时间. 【详解】解：：∠ACB=90°， ∴.∠A+∠CBD=90°， :CD为AB边上的高， 50/74 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CDB=90°， ∠BCD+∠CBD=90°， ∠A=∠BCD, :∠BCD=∠ECF, ∠ECF=∠A, :过点E作BC的垂线交直线CD于点F, ∠CEF=90°=∠ACB, 在△CEF和△ACB中， ∠ECF=∠A ∠CEF=∠ACB, CF=AB ·.△CEF≌△ACB(AAS), .CE =AC =7cm, ①如图，当点E在射线BC上移动时，BE=CE+BC=7+3=I0(cm), :点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， :E移动的时间为？56： 10 ②当点E在射线CB上移动时，CE'=AC=7cm, .BE'=CE'-BC=7-3=4(cm), :点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， :E移动的时间为4=26)： 综上所述，当点E在直线CB上移动5s或2s时，CF=AB; 故答案为：2或5. 45.(24-25七下.上海黄浦区·期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,直线1经过点 C且与边AB相交，动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A 路径向终点A运动.点P和点Q的运动速度分别为lcm/s和2cm/s,两点同时出发并开始计时，当点P到达 51/74 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 终点B时计时结束.在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥1于点E,QF⊥I于点F,设运动时间为t秒，则 当t= 时，aPEC与OFC全等. y 【答案】2或4或12 3 【详解】解：①如图1，点Q在BC上，点P在AC上时， 图1 由题意得，AP=t,BQ=21, AC =6cm,BC =8cm CP=6-t,C0=8-21, :PE⊥1，QF⊥1， ·LPEC=LCFQ=LACB=90°， :LCPE+∠PCE-LPCE+LFCQ=90°， .∠CPE=∠FCQ, 当△PEC≌△CFQ时， 则PC=CQ, 即6-1=8-21， 解得：t=2; ②如图2，当点P与点0重合时， 52/74 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P(O E(F) B 图2 由题意得，AP=t,BQ=2t, AC =6cm,BC =8cm CP=6-t,C0=8-21, 当△PEC≌△QFC, 则PC=CQ, 6-1=2t-8, 14 3: 解得：t= ③如图3，当点Q与A重合时， A(O) 图3 由题意得，AP=t, AC =6cm, CP=1-6,CQ=6, :∠QCF+LCQF=LQCF+LPCE=90°， ∠CQF=∠PCE, 当△PEC≌△CFQ, 则PC=CQ, 即1-6=6， 解得：t=12; 当综上所运：当：=2秒或片秒碳12待时，：PEC与QP℃全等 故答案为：2或14或12. 53/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 46.(24-25七下·上海宝山区上海大学附属宝山外国语学校期末)如图，己知四边形ABCD中，AB=10厘米， BC=8厘米，CD=I2厘米，∠B=∠C,点E为AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，当点Q的运动速度为 时，能够使 △BPE与COP全等. E B 【答案】3厘米/秒或厘米/秒 4 【详解】解：设点P运动的时间为t秒， 则PB=3t(厘米)，PC=BC-PB=(8-3t)厘米， :∠B=∠C, 当BP=CQ,BE=PC时，△BPE≌△CQP, ”BP=CQ,P,Q运动的时间相等， ∴Q的运动速度是3厘米/秒； 当BP=PC,BE=CQ时，△BPE≌aCPQ, :E是AB中点， CQ=BE=AB=5(厘米)， BP=PC, 31=8-31, 解得：1=4 4=15厘米/秒： 5 34 :当点Q的运动速度为3厘米/秒或5厘米/秒时，能够使6BPE与COP全等， 故答案为：3厘米/秒或5厘米/秒。 4 47.(24-25七下·上海浦东新区张江集团中学期末)如图，在长方形ABCD中，AB=12厘米，AD=16厘米， 点E为AD中点，已知点P在线段AB上以2厘米秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BC上由 点C向点B运动，如果△AEP与BPQ恰好全等，那么点Q的运动速度是 厘米/秒， 54/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】6或号 【详解】解：设运动时间为1秒，点Q的运动速度是x厘米/秒. 根据题意可得：AP=2t,QC=xt,BP=12-21, :AD=16厘米，点E为AD中点， 4E=4D=8厘米， ①当AE=BP,AP=BQ时， 12-2t=8, 解得：t=2, AP=2t=4厘米， 16-xt=4厘米， x=6; ②当AP=BP,AE=BQ时， [2t=12-2t 16-xt=8’ 8 解得：t=3,x= 3 六点Q的运动速度为 (厘米秒)， 改答案为：6或 题型11（等腰）三角形的个数问题（选择）（共3小题） 48.(24-25七下·上海虹口区·期末)如图，在ABC中，线段AB=AC，BD,CE都是ABC的角平分线，连 接DE，则图中的全等三角形的对数是() A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 55/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】令EC和BD的交点为O. AB=AC .∠ABC=LACB :BD,CE都是ABC的角平分线 :∠ABD=∠ACE=∠DBC=∠ECB :∠A是△ABD和△ACE的公共角 △ABD≌△ACE(ASA) :BD=CE :.ABCE≌CBD(AAS :BE=DC △BED≌aCDE(SAS :∠EOB=∠DOC ∴△EOB≌△D0CAAS) 故选：B D B 49.(24-25七上海杨浦区部分学校·期末)如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在 这个4×4方格纸中，找出格点P使△MNP为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是() N A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 56/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C 50.(2425七下·上海青浦区期末)如图，ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的 三角形为格点三角形.那么图中与ABC有一条公共边且全等（不含ABC)的所有格点三角形的个数是 () A A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【答案】C 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C 题型12等腰三角形角的多解题（填空）（共8小题） 51.(2425七下·上海浦东新区上南中学东校期末)若一个等腰三角形有一个内角为82°，则它的底角为 【答案】82°或49° 【详解】解：①82°是等腰三角形的底角； ②当82°是等腰三角形的顶角时， 57/74 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 它的底角的度数为：三×180°-82）=49°，符合要求： 故答案为：82°或49° 52.(24-25七下·上海浦东区·期末)如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是30°，那么这个等 腰三角形的顶角等于 【答案】60°或120° 【详解】解：当高在三角形内部时（如图）， ∠ABD=30°，则∠BAD=60°， 即顶角是60°： 当高在三角形外部时（如图2）， ∠ABD=30°，则∠CAB=30°+90°=120°， 即顶角是120°. 图1 图2 故答案为：60°或120° 53.(24-25七下·上海崇明区期末)等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的 顶角为 【答案】45°或135° 【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， B BD⊥AC,∠ABD=45°， ∠A=90°-∠ABD=45°， 即顶角的度数为45°. 58/74 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②如图，等腰三角形为钝角三角形， B :BD⊥AC,∠DBA=45°， ∠BAD=90°-∠ABD=45°， ∠BAC=180°-∠BAD=135°. 故答案为：45°或135°. 54.(24-25七下·上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)在ABC中∠B=20°，∠A=110°，点P在 ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，顶角的度数是一， B 【答案】110°或50°或80 【详解】 解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC,顶角为LA=110°， ②：∠B=20°，∠A=110°， ∠C=180°-20°-110°=50°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC,顶角为LC=50°， 如图3，若AC=AP,则顶角为∠CAP=180°-2LC=180°-2×50°=80°， 综上所述，顶角为110°或50°或80°. 故答案为：110°或50°或80. B∠ 图1 图2 图2 55.(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校期末)在ABC中，∠B=30°，∠A=100°，点P是 ABC三边上的动点.当△PAC为等腰三角形时，其顶角的度数是 【答案】100°或50°或80° 【详解】解：①如图1，点P在AB上时， 59/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AP=AC, 顶角为LA=100°： ②点P在BC上时， ∠B=30°，∠A=100°， ∠C=180°-∠A-∠B=50°， 如图2，若∠C为顶角， 则顶角∠C=50°； 如图3，若∠C为底角， 取AC=AP, 则顶角为∠CAP=180°-2∠C=80°， 综上所述，顶角为100°或50°或80°. 故答案为：100°或50°或80° 图1 图2 图3 56.(24-25七下·上海崇明区·期末)在等腰△ABC中，如果过顶角顶点A的一条直线AD将△ABC分割成两 个等腰三角形，那么∠BAC=一， 【答案】90°或108°. 【详解】解：①当BD=AD,CD=AD时，如图①所示， B D ① .AB=AC, ∠B=∠C, 设∠B=∠C=x BD=AD,CD=AD, .∠BAD=∠B=x,∠CAD=∠Cx, .4r=180°， 60/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 六x=45°， .∠BAC-2x=45°×2-90°； ②当AD=BD,AC-CD时，如图②所示， B D ② .AB=AC, ∠B=∠C 设∠B=∠C=x, AD=BD,AC=CD, ÷∠BAD=∠Bx,∠C4D=180°-x 2 180°-+x=180°-2x, 2 解得：x=36, .∠B4C=180°-2x=180°-2×36°-108°， 故答案为：90°或108. 57.(25-26七下上海金山区世外学校期末)已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等 腰三角形的顶角为· 【答案】65°或115° 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】分为当等腰三角形为锐角三角形时和当等腰三角形为钝角三角形时两种情况，分别画图进行讨论。 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， :BD⊥AC,∠DBA=25°， ∠BAD=65°， 61/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即∠BAC=65°. 如图，当等腰三角形为钝角三角形时， D B :BD⊥AC,∠DBA=25°， ∠BAD=65°， ∠BAC=180°-∠BAD=115°. 综上，该等腰三角形的顶角为65°或115°. 58.(25-26七下·上海金山区世外学校期末)如图，在ABC中，∠B=20°，∠A=105°，点P在ABC的三 边上运动，当△PAC为等腰三角形时，顶角的度数是 B 【答案】105°或55°或70° 【详解】解：①如图1， B 图1 点P在AB上时，AP=AC,顶角为∠A=105°， ②.∠B=20°，∠A=105°， ∠C=180°-20°-105°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC, B P 图2 顶角为LC=55°， 如图3，若AC=AP, 62/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P 图3 则顶角为∠CAP=180°-2∠C=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70° 故答案为：105°或55°或70°. 题型13新定义问题含多解题（填空）（共5小题） 59.(2425七下·上海闵行区期末)定义：如果一个三角形一边长为m,另一条边长为2m,那么我们把这个 三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”.己知在特征三角形ABC中，AC=4,BC=6,边 AB是特征边，那么边AB的长为 【答案】3 【详解】解：由题意得，BC-AC<AB<AC+BC, 2<AB<10, 若2m=AC=4,则m=2(舍)； 若2m=BC=6,则m=3, .边AB的长为3， 故答案为：3. 60.(23-24七下·上海徐汇区期末)当三角形中一个内角B是另一个内角的，时，我们称此三角形为“希望 三角形”，其中角称为“希望角”.如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°，那么这个“希望三角形”的“希 望角”度数为 【答案】54°或84°或108° 【详解】解：依题意，①54°角是a,则希望角”度数为54°； ②54°角是f,则0=B=54°， ÷.a=1089 “希望角”度数为108°； ③54°角既不是a也不是β， 则a+B+54°=180°， 1 .0u+-a+54°=180° 2 63/74 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得a=84°， .“希望角”度数为84°， 综上所述，“希望角”度数为54°或84°或108° 故答案为：54°或84°或108° 61.(25-26七下·上海金山区世外学校·期末)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个 等腰三角形的特征值”.若等腰ABC中，∠A=80°，则它的特征值k= 【答案】或好 5 【详解】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：180-80-50 2 “特征值k=80=8 50°5 ②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20° 特征值k=20=1 80=4 综上所述，特征值k为或好 8 故答案为或好 5 62.(24-25七下·上海崇明区·期末)在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义 方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交 线，交点叫完美点，已知直线AB、CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB,则∠EOC的度数为 【答案】30°或150% 【详解】解：如图，当OE在直线AB的上方时， E D 由题意可得：∠B0C=60°， :0E⊥AB, ∠B0E=90°， :∠C0E=∠B0E-∠B0C=30°， 如图，当OE在直线AB的下方时， 64/74 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由题意可得：∠B0C=60°， :0E⊥AB, LB0E=90°， ∠C0E=∠B0E+∠B0C=150°， 故答案为：30°或150° 63.(24-25七下·上海黄浦区期末)定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准 直角三角形.若△ABC是“准直角三角形”，且LA=40°，∠C>90°，则∠B的度数为 【答案】10°或25° 【详解】解：：△ABC是准直角三角形”， ∠C-∠A=90°或∠C-∠B=90°， 当∠C-∠A=90°， 而∠A=40°， ∠C=90°+40°=130°， :∠C+∠B+∠A=180°， ∠B=180°-130°-40°=10°， 当∠C-∠B=90°， :∠C+∠B+∠A=180°， ∠C+∠B=180°-40°=140°， .2∠B=50°， 解得∠B=25°， 综上所述，∠B的度数为10°或25°. 故答案为：10°或25° 题型14规律探究题（填空）（共3小题） 64.(23-24七下·上海黄浦区·期末)如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB,若把n个相同规格的 等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，如图2所示，其张角度数变化如下：∠A,C,A,=160°， 65/74 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠A,C2A3=80°，∠A,C3A4=40°，∠A,C44=20°，根据上述规律请你写出∠An1AnCm= (用 含n的代数式表示) A A2 A A4A5AnAn+】 图1 图2 【答案】90°- 80° 2- 【详解】解析：由张角度数变化可知顶角∠AC4= 160 2n-19 AC=A.C ∠An+1AnCn=∠CnAn1An 160 ∠An+1AnCn= 180 2 ÷2=90 80 2. 故答案为：90 80 2-寸 65.(24-25七下·上海浦东区期末)如图，∠M0N=30°，点A、A、A…在射线0M上，点B、B、B,… 在射线ON上，且△AA,B,、△A,A,B2、△4，AB…为等边三角形，若OA=1,则△A。A,B。的周长为 B3 B2 BL OA A2 -M A3 A4 【答案】96 【详解】解：：∠M0N=30°，∠44，B=60°， .∠0B1A2=90°， 1 ∴AB=A4=50A2=5(0A+AA2), .AA2=OA,=1. 66/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A为OA2的中点 同理可证，A为OA的中点，A为OA的中点， ·A2A=2,A3A4=4,A4=8, A64,=32, ·△A6A,B6的周长为3A。A,=3×32=96. 故答案为：96. 66.(25-26七年级下·上海闵行期中)设ABC的面积为1.如图①，E,D分别是AC,BC的中点， BE,AD相交于点O,△BOD与△AOE,的面积差记为S;如图②，E2,D2分别是AC,BC的3等分点， BE2,AD2相交于点O,△BO,D2与△AO,E2的面积差记为S2;如图③，E,D,分别是AC,BC的4等分 点，BE3,AD相交于点O,△BOD,与aA0,E,的面积差记为S,…依此类推，则So26的值为 A E2 E E D B D 图① 图② 图③ 【答案】2025 2027 【详解】解：由题意得：S1=SBOD,-SAo,E=SBcE-S。4CD, :E,D分别是AC,BC的中点， 1 S1=S.BCE -S.ACD =0. 同理可得：S2=SC,-SAcn,= 3 则5,31 449= 41 55’., Sn=”-1n-1 n+1n+1n+1 2026-12025 .S206=2026+12027 67/74 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 考题猜想高分必刷 1.如图，己知：∠MON=30°，点A、A2、A…在射线ON上，点BB2B,…在射线OM上，△4B4、 △4，B,4、△ABA4…均为等边三角形，若OA=2,则△AB。A,的边长为· B:M B o- A A2 A3 A 【答案】64 【详解】解：：△4B4为等边三角形， ∠B,AA2=60°， .∠0A,B,=180°-∠B1A42=120°，又∠M0N=30°， .∠0B1A=180°-∠0A,B,-∠M0N=180°-120°-30°=30°， ∴.∠MON=∠0B,A,=30°， 0A,=AB1=AA2=2, “.△4B4的边长为2， 同理：△4，B,A的边长为22=4，△ABA的边长为2=8，△A,B4A,的边长为24=16，以此规律可得 △A,B。A,的边长为26=64. 2.如图，在直角三角形ADC中，∠ADC=90°，AD=5,CD=12,AC=13,动点M在线段AC上运动（不 与端点重合)，点M关于边AD,DC的对称点分别为E、F,连接EF,点D在EF上，则在点M的运动 过程中，线段EF长度的最小值是 D 【答案】120 13 【详解】解：如图：连接DM, 68/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M :点M关于边AD,DC的对称点分别为E,F,连接EF,点D在EF上， :DE =DM,DF DM, .DE DF DM, .EF =2DM, 当DM⊥AC时，DM的值最小，此时EF的长度最小， 当DM上4C时，Sm=)4C-DM=×AD-CD, :)x13DM=×5x12,解得：DM=60 13 ÷EF=2DM=120 13, 即线段EF长度的最小值是20 13 3.如图，将一个等腰直角三角形ABC和一个等边三角形ADE的顶点A重合放在一起(AC>AE, 0°<LBAE<90°且，点E在直线AB的上方)，其中∠C=90°，∠B=45°，当两个三角形中BC与某条边互 相平行时，∠BAE的度数为一 D B 【答案】15°或75° 【详解】解：：ADE为等边三角形， ∠DAE=∠E=60°， 当AD∥BC时，如图1， 69/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 ∴.∠DAB+∠B=180°， ∠DAE+∠BAE+∠B=180°， :∠DAE=60°，LB=45°， 60°+∠BAE+45°=180°， ∠BAE=75°； 当DE∥BC时，如图2， 图2 :BC⊥AC, DE⊥AC, .∠CAE=90°-∠E=90°-60°=30°， ∠BAE=LBAC-∠CAE=45°-30°=15°； 综上所述，∠BAE的度数为15°或75°. 4.为了描述不同大小等腰三角形的形状特征，定义其顶角的一半与底角的比值为“伸缩比”，伸缩比越小， 则等腰三角形越“细长”.等边三角形的“伸缩比”为 己知锐角三角形ABC是一个等腰三角形，其 伸缩比不小于子，则这个等腰三角形顶角α的取值范围是 【答案】 36°≤a<90° 【详解】解：：等边三角形三个内角均为60° 1 :根据“伸缩比”定可得等边三角形的“伸缩比”为2 ×60° 1； 60°s 2 设等腰三角形顶角为， 70/74 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 根据三角形内角和定理可得底角为 80°-0=90°- 2 2 女“种缩比不小于 0 22 90°-04' a是三角形内角， :90°-8>0， 不等式两边同乘4 90°- 2) 得：2a≥90°-0 解得：a≥36°， :△ABC是锐角三角形， :a<90°，90°-8<90°， 2 解得0<a<90°， 因此顶角的取值范围是36°≤《<90°. 5.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm,BC=18cm.动点P从点A出发沿A→C的路径向终 点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动.点P和点Q分别以每秒2cm和6cm的 运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动.在某时刻，过点P和点Q分别作 PE⊥MN于点E,QF⊥MN于点F,则点P的运动时间为s时，△PEC与QFC全等. B 【答案】2或3.5 【详解】解：作PE⊥MN于E,作QF⊥MN于F. 分以下情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上， A<P 9 E CF M 图1 PE⊥MN,QF⊥MN, ∠PEC=∠QFC=90°， 71/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACB=90°， :.∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCP=90°， ·∠EPC=∠QCF, :△PEC与OFC全等， .PC=CO, 即10-2t=18-6t, t=2; ②当P、Q都在AC上时，此时P,Q两点重合，如图2， B A<O(P) CP=10-2t=6t-18, N FEC M 图2 t=3.5. 综上所述，点P运动时间为2或3.5，△PEC与OFC全等. 6.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=12cm,BC=6cm,CD为AB边上的高，点E从点B出发，在 直线BC上以3cmIs的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F,当点E运动 s时， CF=AB. B 【答案】6或2 【详解】解：设点E运动的时间为s,如图1， 图1 点E从点B出发沿射线BC方向运动， :CD为AB边上的高， 72/74 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CD⊥AB, :∠ACB=90°，EF⊥BC, :∠CEF=∠ACB=∠BDC=90°， :ZFCE =ZBCD=90-ZABC =ZA, 在△CFE和ABC中， ∠CEF=∠ACB ∠FCE=∠A CF=AB △CFE≌△ABC(AAS, :CE=AC=12cm, :BC=6cm,且BE=BC+CE, 31=6+12, 解得t=6: 如图2，点E从点B出发沿射线CB方向运动，则LCEF=LACB=90°， D ∠FCE=∠A=90°-LABC, 图2 在△CFE和ABC中， ∠CEF=∠ACB ∠FCE=∠A CF=AB ACFE≌△4BC(AAS), :CE AC=12cm, :BC=6cm,且BE=CE-BC, .31=12-6, 解得t=2, 综上所述，当点E运动6s或2s时，CF=AB. 73/74 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.将一副三角尺中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起，其中∠A=30°，∠DCE=45°，若三角尺 ABC不动，将三角尺DCE绕顶点C转动一周，当三角尺DCE的直角边DC与AB平行时，∠ACE的度数 之 E B 【答案】75°或105 【详解】解：当点E在直线BC上方，DC∥AB时， A D B 则∠ACD=∠A=30°， LACE=LACD+LDCE=75°； 当点E在直线BC下方，DC∥AB时， 则∠ACD=180°-∠A=150°， .LACE=LACD-LDCE=105°： 综上所述，∠ACE的度数为75°或105°. 74/74