1.1三角形中的线段和角（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形线段与角核心考点，以题型为载体构建从概念辨析到综合探究的递进式训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三边关系基础应用|约15题|判断线段能否构成三角形、求边长范围、化简证明|从三边关系基本原理到大小关系推理，形成完整应用链| |线段与角概念辨析|约14题|中线/角平分线/高的识别与性质计算|围绕三线概念，结合图形辨析与角度面积计算，深化几何直观| |综合与探究|约8题|综合应用与拓展探究|整合基础知识点，通过情境化问题提升推理能力与应用意识|

1.1三角形中的线段和角 题型一 判断三条线段能否围成三角形 1．（2025·东海县·期末）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（　　） A．2cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm 【答案】B 【详解】解：A、2+2＝4，不能构成三角形，故A不合题意； B、6+4＞8，能构成三角形，故B符合题意； C、5+6＜12，不能构成三角形，故C不合题意； D、2+3＜6，不能构成三角形，故D不合题意． 故选：B． 2．（2025·昆山市·校级月考）以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．5、8、2 B．2、5、4 C．4、3、5 D．8、14、7 【答案】A 【详解】解：2+7＜8，A不能组成三角形，符合题意； 2+4＞5，B不能组成三角形，不合题意； 4+3＞5，C能组成三角形，不合题意； 8+7＞14，D能组成三角形，不合题意． 故选：A． 3．（2026·连云港·模拟）学具盒中装有四根长度分别为1cm、3cm、4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成三角形，则不同的取法有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【详解】解：列表得： 第1根长度 第2根长度 1 3 1 4 1 5 3 4 3 5 4 5 从四根细木棒中取两根细木棒的所有可能情况共有6种，能组成三角形有（1，3）、（3，4）、（3，5）、（4，5）共有4种． 故选：B． 题型二 根据三角形三边关系求边长 1．（2025·天宁区·期中）小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm 【答案】C 【详解】解：由三角形三边关系可知：第三边的取值范围为：9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14． 故选：C． 2．（2025·仪征市·期末）已知一个三角形的两边长为4和9，则第三边长不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：设第三边长为x， ∵三角形两边长为4和9， ∴9﹣4＜x＜9+4，解得：5＜x＜13， ∴只有选项A符合题意． 故选：A． 3．（2025·句容市·月考）一个三角形的两条边长分别为5和7，那么第三条边x的范围是　　． 【答案】2＜x＜12 【详解】解：∵三角形的两边长分别是5和7， ∴7﹣5＜x＜7+5，即2＜x＜12， ∴第三边长x的取值范围是2＜x＜12． 故答案为：2＜x＜12． 4．（2025·靖江市·月考）已知三角形的三边长分别为3，3a﹣1，8．则正整数a的值可以是　　． 【答案】3 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，3a﹣1，8， ∴根据三角形的三边关系可得：8﹣3＜3a﹣1＜8+3，解得：2＜a＜4． 故答案为：3． 5．（2025·苏州·校级期中）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是　　． 【答案】等腰三角形 【详解】解：由三角形三边关系定理可得：13﹣2＜x＜13+2， ∴11＜x＜15， ∵x为奇数， ∴x＝13， ∴这个三角形的形状是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 题型三 根据三角形三边关系进行化简 1．（2025·无锡·校级月考）已知△ABC的三边a、b、c，则化简|b﹣c﹣a|﹣|a+b﹣c|的值是　　． 【答案】2c﹣2b 【详解】解：∵三角形三边的长是a、b、c， ∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴|b﹣c﹣a|﹣|a+b﹣c| ＝a+c﹣b﹣a﹣b+c ＝2c﹣2b． 故答案为：2c﹣2b． 2．（2025·靖江市·校级月考）设△ABC三边长分别为a，b，c，则|a﹣b﹣c|﹣|b+a﹣c|＝　　． 【答案】﹣2a+2c 【详解】解：∵三角形三边的长是a、b、c， ∴a﹣b﹣c＜0，b+a﹣c＞0， ∴|a﹣b﹣c|﹣|b+a﹣c| ＝﹣a+b+c﹣b﹣a+c ＝﹣2a+2c． 故答案为：﹣2a+2c． 题型四 根据三角形三边关系进行证明 1．（2025·宜兴市·校级月考）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，且AC，BD相交于点O．求证：AB+CD＜AC+BD． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：在△AOB中，AB＜OA+OB， 在△COD中，CD＜OC+OD， ∴AB+CD＜OA+OB+OC+OD， ∴AB+CD＜AC+BD． 题型五 大边对大角，大角对大边 1．（2025·盐城·期末）在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系为（　　） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠C＞∠B＞∠A C．∠B＞∠C＞∠A D．无法判断 【答案】B 【详解】解：∵AB＞AC＞BC， ∴∠C＞∠B＞∠A． 故选：B． 2．（2025·邗江区·校级期中）在△ABC中，若AB＞AC＞BC，且∠C＝87°，则△ABC一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【详解】解：∵AB＞AC＞BC， ∴∠C是最大角， ∵∠C＝87°是锐角， ∴△ABC一定是锐角三角形． 故选：A． 3．（2025·扬州·期末）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，则∠B　　∠C．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【详解】解：∵在△ABC中，AB＝5，AC＝4，即AB＞AC， ∴∠B＜∠C． 故答案为：＜． 4．（2025·栖霞区·校级月考）（1）如图，在△ABC中，点D在边BC上．求证：AC+CB＞AD+DB； （2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在AB上，比较AC，CD的大小，并说明理由． 【答案】（1）证明详见解析；（2）AC＞CD，理由详见解析． 【详解】证明：（1）∵AC+CD＞AD， ∴AC+CD+BD＞AD+BD， ∴AC+BC＞AD+BD； （2）AC＞CD，理由如下： ∵∠B＝90°， ∴∠B＞∠A， ∵∠ADC＞∠B， ∴∠ADC＞∠A， ∴AC＞CD． 题型六 三角形的中线、角平分线、高有关的概念辨析 1．（2025·姜堰区·期中）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．AB 【答案】B 【详解】解：在△ABC中，BC边上的高为AF． 故选：B． 2．（2025·常州·校级月考）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项D中的AD是△ABC的高． 故选：D． 3．（2025·宜兴市·期中）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【答案】B 【详解】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 4．（2025·锡山区·二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 【答案】B 【详解】解：A、∵CF是边AB的中线， ∴AB＝2BF，正确，不合题意； B、无法证明AE＝BE，说法错误，符合题意； C、∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE∠ACB，正确，不合题意； D、∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB，正确，不合题意． 故选：B． 5．（2026·新吴区·校级期中）如图，已知点D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE 【答案】A 【详解】解：A、∵AE不是中线， ∴， ∵，， ∴S△ABC≠2S△ABE，该选项错误，符合题意； B、∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD，该选项正确，不合题意； C、∵AF是△ABC的高线， ∴∠AFC＝90°，该选项正确，不合题意； D、∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，该选项正确，不合题意． 故选：A． 题型七 三角形的角平分线、高有关的计算 1．（2025·海安市·校级月考）AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝　　°． 【答案】50 【详解】解：如图， ∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝100°， ∴∠BAD＝∠CAD100°＝50°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD＝50°． 故答案为：50． 2．（2025·南京·校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　　． 【答案】50° 【详解】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠EAD+∠2， ∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°， ∵AD⊥BC， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣30°﹣10°＝50°． 故答案为：50°． 3．（2025·秦淮区·校级作业）如图，在△ABC中，CD是高，CE是角平分线，BC＞AC．若∠BAC＝α，∠B＝β，则∠DCE＝　　．（用含有α，β的式子表示） 【答案】 【详解】解：∵∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（α+β）， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE∠ACB． ∵CD是高线， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣α， ∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝90°﹣90°+α． 故答案为：． 题型八 三角形的中线有关的计算 1．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，AB＞AC，D是BC边上的中点，AB＝10，△ABD与△ADC的周长之差为2，则AC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：∵D是BC边上的中点， ∴BD＝CD， ∵△ABD与△ADC的周长之差为2， ∴（AB+AD+BD）﹣（AC+CD+AD）＝2，即AB+AD+BD﹣AC﹣CD﹣AD＝2， ∴AB﹣AC＝2， ∵AB＝10， ∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8． 故选：C． 2．（2025·邗江区·期中）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为20cm2，则△CDE的面积为（　　） A．10cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4cm2 【答案】C 【详解】解：∵AD是△ABC的中线， ∴； ∵CE是△ACD的中线， ∴． 故选：C． 3．（2025·泰兴市·月考）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形的面积为7，则△ABC的面积为（　　） A．14 B．21 C．28 D．32 【答案】C 【详解】解：∵点E是BD的中点， ∴S△ABES△ABD，S△BCES△BDC， ∴S△ABE+S△BCES△ABC， ∴S△ACES△ABC， ∵点F是CE的中点， ∴S△AEFS△ACE， ∴S△ABC＝4S△AEF＝4×7＝28． 故选：C． 4．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【详解】解：如图，连接CD， ∵D是AG的中点， ∴S△ABDS△ABG，S△ACDS△ACG， ∴S△ABD+S△ACD（S△ABG+S△ACG）S△ABC48＝24， ∴S△BCD＝S△ABC﹣（S△ABD+S△ACD）＝48﹣24＝24， ∵E是BD的中点， ∴S△CDES△BCD24＝12， ∵F是CE的中点， ∴S△DEFS△CDE12＝6． 故选：A． 5．（2025·鼓楼区·校级作业）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为　　． 【答案】 【详解】解：如图，连接AE，BF，CD， ∵点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点， ∴AD＝DF，BE＝ED， ∴S△ADE＝S△ABE，S△FBE＝S△FDE， 同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形， ∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的， ∵△ABC的面积为10， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：． 6．（2025·秦淮区·校级作业）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG：GD＝2：1，S△ABC＝18，则图中阴影部分的面积和为　　． 【答案】6 【详解】解：由题意可得：， ∵AG：GD＝2：1， ∴，， ∵BE、CF是△ABC的中线， ∴E、F是AB、AC的中点， ∴，， ∴S阴影＝S△BFG+S△CEG＝3+3＝6． 故答案为：6． 题型一 三角形的三边关系综合 1．（2025·扬州·校级月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为　　． 【答案】3或8 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理可得：6﹣4＜x＜6+4， ∴2＜x＜10， 若2x＝4，则x＝2； 若2x＝6，则x＝3； 若x＝2×4，则x＝8； 若x＝2×6，则x＝12； ∵2＜x＜10， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 2．（2025·苏州·校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5，求第三边c的取值范围； （2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （3）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|． 【答案】（1）3＜c＜7；（2）等腰三角形；（3）2b 【详解】解：（1）由三角形三边关系定理可得：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7； （2）由（1）可知：3＜c＜7， ∵第三边c为奇数， ∴c＝5＝b， ∴△ABC为等腰三角形； （3）由三角形三边关系定理可得：a+b＞c，a＜b+c， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c| ＝a+b﹣c+[﹣（a﹣b﹣c）] ＝a+b﹣c﹣a+b+c ＝2b． 3．（2025·惠山区·校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】（1）2c；（2）11或13 【详解】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+c＞b，b+c＞a， ∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c| ＝（a﹣b+c）﹣（a﹣b﹣c） ＝a﹣b+c﹣a+b+c ＝2c； （2）解方程组，解得：， 由三角形的三边关系可得：5﹣2＜c＜2+5，即3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，三角形的三边为2，5，4，2+4＞5，能够成三角形； 当c＝6时，三角形的三边为2，5，6，2+5＞6，能够成三角形； ∴这个三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13． 4．（2025·宜兴市·校级月考）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． （1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝　　． （2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为9和18两部分，求腰长AB． 【答案】（1）2a；（2）12． 【详解】解：（1）∵∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c， ∴a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴原式＝a+b﹣c+（﹣b+a+c） ＝a+b﹣c﹣b+a+c ＝2a， 故答案为：2a； （2）如图，设AD＝CD＝x，BC＝y，则AB＝AC＝2x， ∵中线BD把三角形的周长分为9和18两部分， ∴或， 即或，解得：或． 当x＝3时，三边为6、6、15，6+6＜15，不符合三角形三边关系，舍去； 当x＝6时，三边为12、12、3，此时腰长为12，符合题意； 综上，等腰三角形的腰长AB为12． 5．（2025·盐都区·月考）【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围． 【答案】（1）x＞7；（2）4；（3）5＜AB≤10． 【详解】解：（1）∵三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2， ∴x﹣2+x﹣1＞x+4，解得：x＞7； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为x+3， 由题意可得：x+x+3＞10，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （3）设AB＝AC＝x， 由题意可得：，解得：5＜AB≤10． 题型二 三角形的中线、角平分线、高有关的计算综合 1．（2025·苏州·月考）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AD为BC边上的中线．DF为△ABD中AB边上的高线．已知AB＝12cm，AC＝10cm，△ABC的面积为48cm2． （1）求△ABD与△ACD的周长之差； （2）求DF的长． 【答案】（1）2cm；（2）4cm． 【详解】解：（1）∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝DC， ∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝12﹣10＝2（cm）； （2）∵△ABC的面积为48cm2，AD为BC边上的中线， ∴△ABD的面积为24cm2， ∵DF为△ABD中AB边上的高线， ∴S△ABDAB·DF， ∴12×DF＝24， ∴DF＝4． 2．（2025·海州区·校级月考）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差． 【答案】（1）50°；（2）9． 【详解】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠BCE∠ACB50°＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°； （2）∵BF是△ABC的中线， ∴AF＝CF， ∴BC+BF+CF﹣（AB+AF+BF）＝BC﹣AB＝9， ∴△BCF与△BAF的周长之差为9． 3．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝7，AC＝5，则△BCD与△ACD的周长差为　　； （2）若∠A＝80°，CD是角平分线，求∠BOC＝　　； （3）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数． 【答案】（1）2；（2）130°；（3）121°． 【详解】解：（1）∵CD是AB的中线， ∴AD＝DB， ∵BC＝7，AC＝5， ∴△BCD与△ACD的周长差为：（BC+CD+BD）﹣（AC+CD+AD）＝BC﹣AC＝2， 故答案为：2； （2）∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°， ∵BE是△ABC的角平分线，CD是角平分线， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝50°， ∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°， 故答案为：130°； （3）∵CD是高， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝62°， ∴∠BCD＝90°﹣62°＝28°， ∵BE平分∠ABC， ∴， 在△BOC中，∠BOC＝180°﹣28°﹣31°＝121°． 题型一 三角形的三边关系探究题 1．（2025·江阴市·校级月考）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在△ABC中，点D在边BC上，求证：AC+CB＞AD+DB． 【深化应用】若已知P是△ABC内任意一点．连接PA，PB，求证：AC+BC＞PA+PB． 【拓展应用】如图，P是△ABC内任意一点，连接PA，PB，PC，若△ABC的周长为10，则PA+PB+PC的取值范围是　　． 【答案】【直接应用】：证明详见解析；【深化应用】：证明详见解析；【拓展应用】5＜PA+PB+PC＜10． 【详解】【直接应用】证明：由三角形三边关系可得：AC+CD＞AD， ∴AC+CD+DB＞AD+BD，即AC+BC＞AD+DB； 【深化应用】证明：如图，延长BP交AC于点D， ∵BC+CD＞PB+PD①，AD+DP＞PA②， ∴①+②得：BC+CD+AD+PD＞PB+PD+PA， ∴BC+AD+CD＞PA+PB， 即AC+BC＞PA+PB； 【拓展应用】解：在△ABP中，PA+PB＞AB①， 同理，PB+PC＞BC③，PA+PC＞AC②， ①+②+③得：2（PA+PB+PC）＞AB+AC+BC， ∴2（PA+PB+PC）＞10， ∴PA+PB+PC＞5， ∵△ABC的周长为10， ∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC， ∴5＜PA+PB+PC＜10， 故答案为：5＜PA+PB+PC＜10． 题型二 三角形的面积问题综合 1．（2025·惠山区·校级期末）如图，△ABC中，BC＝6，点D、E分别是CB、AB上的点，CD＝2BD，AE＝BE，连接AD、CE交于点F．当四边形BEFD的面积为7时，则线段AB长度的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：如图，连接BF，过点A作AH⊥CB的延长线于点H， 设S△BDF＝a，S△BEF＝b， ∵CD＝2BD，AE＝BE， ∴S△CDF＝2S△BDF＝2a，S△AEF＝S△BEF＝b，S△ACD＝2S△ABD，S△ACE＝S△BCE， ∴S△ACE＝S△AEF+S△AFC＝S△BEF+S△BDF+S△CDF， ∴b+S△AFC＝b+a+2a， ∴S△AFC＝3a， ∴S△ACD＝S△AFC+S△CDF＝2（S△AEF+S△BEF+S△BDF）， ∴3a+2a＝2（b+b+a）， ∴3a﹣4b＝0， ∵四边形BEFD的面积为7， ∴a+b＝7， ∴a＝4，b＝3， ∴S△ABC＝S△AEF+S四边形BEFD+S△CDF+S△AFC ＝b+7+2a+3a ＝30， ∴BC·AH＝30， ∵BC＝6， ∴AH＝10， ∵AB≥AH， ∴AB的最小值为10． 故选：D． 2．（2025·南京·竞赛）如图，在△ABC中，E，F分别为CA，AB上的动点，连接BE，CF，相交于点P，连接EF，AP，若△ABC的面积是△AEF的面积的6倍，且△APE的面积为405，求△BCE的面积． 【答案】△BCE的面积为2025． 【详解】解：由图可知：， ， 两式相除可得：6， ∴6﹣1＝5， ∴S△BCE＝5S△AEP＝405×5＝2025， ∴△BCE的面积为2025． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1三角形中的线段和角 题型一 判断三条线段能否围成三角形 1．（2025·东海县·期末）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（　　） A．2cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm 2．（2025·昆山市·校级月考）以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．5、8、2 B．2、5、4 C．4、3、5 D．8、14、7 3．（2026·连云港·模拟）学具盒中装有四根长度分别为1cm、3cm、4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成三角形，则不同的取法有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 题型二 根据三角形三边关系求边长 1．（2025·天宁区·期中）小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm 2．（2025·仪征市·期末）已知一个三角形的两边长为4和9，则第三边长不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·句容市·月考）一个三角形的两条边长分别为5和7，那么第三条边x的范围是　　． 4．（2025·靖江市·月考）已知三角形的三边长分别为3，3a﹣1，8．则正整数a的值可以是　　． 5．（2025·苏州·校级期中）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是　　． 题型三 根据三角形三边关系进行化简 1．（2025·无锡·校级月考）已知△ABC的三边a、b、c，则化简|b﹣c﹣a|﹣|a+b﹣c|的值是　　． 2．（2025·靖江市·校级月考）设△ABC三边长分别为a，b，c，则|a﹣b﹣c|﹣|b+a﹣c|＝　　． 题型四 根据三角形三边关系进行证明 1．（2025·宜兴市·校级月考）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，且AC，BD相交于点O．求证：AB+CD＜AC+BD． 题型五 大边对大角，大角对大边 1．（2025·盐城·期末）在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系为（　　） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠C＞∠B＞∠A C．∠B＞∠C＞∠A D．无法判断 2．（2025·邗江区·校级期中）在△ABC中，若AB＞AC＞BC，且∠C＝87°，则△ABC一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（2025·扬州·期末）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，则∠B　　∠C．（填“＞”“＜”或“＝”） 4．（2025·栖霞区·校级月考）（1）如图，在△ABC中，点D在边BC上．求证：AC+CB＞AD+DB； （2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在AB上，比较AC，CD的大小，并说明理由． 题型六 三角形的中线、角平分线、高有关的概念辨析 1．（2025·姜堰区·期中）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．AB 2．（2025·常州·校级月考）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·宜兴市·期中）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 4．（2025·锡山区·二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 5．（2026·新吴区·校级期中）如图，已知点D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE 题型七 三角形的角平分线、高有关的计算 1．（2025·海安市·校级月考）AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝　　°． 2．（2025·南京·校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　　． 3．（2025·秦淮区·校级作业）如图，在△ABC中，CD是高，CE是角平分线，BC＞AC．若∠BAC＝α，∠B＝β，则∠DCE＝　　．（用含有α，β的式子表示） 题型八 三角形的中线有关的计算 1．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，AB＞AC，D是BC边上的中点，AB＝10，△ABD与△ADC的周长之差为2，则AC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2025·邗江区·期中）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为20cm2，则△CDE的面积为（　　） A．10cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4cm2 3．（2025·泰兴市·月考）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形的面积为7，则△ABC的面积为（　　） A．14 B．21 C．28 D．32 4．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（2025·鼓楼区·校级作业）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为　　． 6．（2025·秦淮区·校级作业）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG：GD＝2：1，S△ABC＝18，则图中阴影部分的面积和为　　． 题型一 三角形的三边关系综合 1．（2025·扬州·校级月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为　　． 2．（2025·苏州·校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5，求第三边c的取值范围； （2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （3）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|． 3．（2025·惠山区·校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 4．（2025·宜兴市·校级月考）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． （1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝　　． （2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为9和18两部分，求腰长AB． 5．（2025·盐都区·月考）【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围． 题型二 三角形的中线、角平分线、高有关的计算综合 1．（2025·苏州·月考）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AD为BC边上的中线．DF为△ABD中AB边上的高线．已知AB＝12cm，AC＝10cm，△ABC的面积为48cm2． （1）求△ABD与△ACD的周长之差； （2）求DF的长． 2．（2025·海州区·校级月考）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差． 3．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝7，AC＝5，则△BCD与△ACD的周长差为　　； （2）若∠A＝80°，CD是角平分线，求∠BOC＝　　； （3）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数． 题型一 三角形的三边关系探究题 1．（2025·江阴市·校级月考）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在△ABC中，点D在边BC上，求证：AC+CB＞AD+DB． 【深化应用】若已知P是△ABC内任意一点．连接PA，PB，求证：AC+BC＞PA+PB． 【拓展应用】如图，P是△ABC内任意一点，连接PA，PB，PC，若△ABC的周长为10，则PA+PB+PC的取值范围是　　． 题型二 三角形的面积问题综合 1．（2025·惠山区·校级期末）如图，△ABC中，BC＝6，点D、E分别是CB、AB上的点，CD＝2BD，AE＝BE，连接AD、CE交于点F．当四边形BEFD的面积为7时，则线段AB长度的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2025·南京·竞赛）如图，在△ABC中，E，F分别为CA，AB上的动点，连接BE，CF，相交于点P，连接EF，AP，若△ABC的面积是△AEF的面积的6倍，且△APE的面积为405，求△BCE的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1三角形中的线段和角 题型一 判断三条线段能否围成三角形 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 题型二 根据三角形三边关系求边长 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】2＜x＜12 4．【答案】3 5．【答案】等腰三角形 题型三 根据三角形三边关系进行化简 1．【答案】2c﹣2b 2．【答案】﹣2a+2c 题型四 根据三角形三边关系进行证明 1． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：在△AOB中，AB＜OA+OB， 在△COD中，CD＜OC+OD， ∴AB+CD＜OA+OB+OC+OD， ∴AB+CD＜AC+BD． 题型五 大边对大角，大角对大边 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】＜ 4． 【答案】（1）证明详见解析；（2）AC＞CD，理由详见解析． 【详解】证明：（1）∵AC+CD＞AD， ∴AC+CD+BD＞AD+BD， ∴AC+BC＞AD+BD； （2）AC＞CD，理由如下： ∵∠B＝90°， ∴∠B＞∠A， ∵∠ADC＞∠B， ∴∠ADC＞∠A， ∴AC＞CD． 题型六 三角形的中线、角平分线、高有关的概念辨析 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】A 题型七 三角形的角平分线、高有关的计算 1．【答案】50 2．【答案】50° 3．【答案】 题型八 三角形的中线有关的计算 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】 6．【答案】6 题型一 三角形的三边关系综合 1．【答案】3或8 2． 【答案】（1）3＜c＜7；（2）等腰三角形；（3）2b 【详解】解：（1）由三角形三边关系定理可得：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7； （2）由（1）可知：3＜c＜7， ∵第三边c为奇数， ∴c＝5＝b， ∴△ABC为等腰三角形； （3）由三角形三边关系定理可得：a+b＞c，a＜b+c， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c| ＝a+b﹣c+[﹣（a﹣b﹣c）] ＝a+b﹣c﹣a+b+c ＝2b． 3． 【答案】（1）2c；（2）11或13 【详解】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+c＞b，b+c＞a， ∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c| ＝（a﹣b+c）﹣（a﹣b﹣c） ＝a﹣b+c﹣a+b+c ＝2c； （2）解方程组，解得：， 由三角形的三边关系可得：5﹣2＜c＜2+5，即3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，三角形的三边为2，5，4，2+4＞5，能够成三角形； 当c＝6时，三角形的三边为2，5，6，2+5＞6，能够成三角形； ∴这个三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13． 4． 【答案】（1）2a；（2）12． 【详解】解：（1）∵∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c， ∴a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴原式＝a+b﹣c+（﹣b+a+c） ＝a+b﹣c﹣b+a+c ＝2a， 故答案为：2a； （2）如图，设AD＝CD＝x，BC＝y，则AB＝AC＝2x， ∵中线BD把三角形的周长分为9和18两部分， ∴或， 即或，解得：或． 当x＝3时，三边为6、6、15，6+6＜15，不符合三角形三边关系，舍去； 当x＝6时，三边为12、12、3，此时腰长为12，符合题意； 综上，等腰三角形的腰长AB为12． 5． 【答案】（1）x＞7；（2）4；（3）5＜AB≤10． 【详解】解：（1）∵三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2， ∴x﹣2+x﹣1＞x+4，解得：x＞7； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为x+3， 由题意可得：x+x+3＞10，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （3）设AB＝AC＝x， 由题意可得：，解得：5＜AB≤10． 题型二 三角形的中线、角平分线、高有关的计算综合 1． 【答案】（1）2cm；（2）4cm． 【详解】解：（1）∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝DC， ∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝12﹣10＝2（cm）； （2）∵△ABC的面积为48cm2，AD为BC边上的中线， ∴△ABD的面积为24cm2， ∵DF为△ABD中AB边上的高线， ∴S△ABDAB·DF， ∴12×DF＝24， ∴DF＝4． 2． 【答案】（1）50°；（2）9． 【详解】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠BCE∠ACB50°＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°； （2）∵BF是△ABC的中线， ∴AF＝CF， ∴BC+BF+CF﹣（AB+AF+BF）＝BC﹣AB＝9， ∴△BCF与△BAF的周长之差为9． 3． 【答案】（1）2；（2）130°；（3）121°． 【详解】解：（1）∵CD是AB的中线， ∴AD＝DB， ∵BC＝7，AC＝5， ∴△BCD与△ACD的周长差为：（BC+CD+BD）﹣（AC+CD+AD）＝BC﹣AC＝2， 故答案为：2； （2）∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°， ∵BE是△ABC的角平分线，CD是角平分线， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝50°， ∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°， 故答案为：130°； （3）∵CD是高， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝62°， ∴∠BCD＝90°﹣62°＝28°， ∵BE平分∠ABC， ∴， 在△BOC中，∠BOC＝180°﹣28°﹣31°＝121°． 题型一 三角形的三边关系探究题 1． 【答案】【直接应用】：证明详见解析；【深化应用】：证明详见解析；【拓展应用】5＜PA+PB+PC＜10． 【详解】【直接应用】证明：由三角形三边关系可得：AC+CD＞AD， ∴AC+CD+DB＞AD+BD，即AC+BC＞AD+DB； 【深化应用】证明：如图，延长BP交AC于点D， ∵BC+CD＞PB+PD①，AD+DP＞PA②， ∴①+②得：BC+CD+AD+PD＞PB+PD+PA， ∴BC+AD+CD＞PA+PB， 即AC+BC＞PA+PB； 【拓展应用】解：在△ABP中，PA+PB＞AB①， 同理，PB+PC＞BC③，PA+PC＞AC②， ①+②+③得：2（PA+PB+PC）＞AB+AC+BC， ∴2（PA+PB+PC）＞10， ∴PA+PB+PC＞5， ∵△ABC的周长为10， ∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC， ∴5＜PA+PB+PC＜10， 故答案为：5＜PA+PB+PC＜10． 题型二 三角形的面积问题综合 1．【答案】D 2． 【答案】△BCE的面积为2025． 【详解】解：由图可知：， ， 两式相除可得：6， ∴6﹣1＝5， ∴S△BCE＝5S△AEP＝405×5＝2025， ∴△BCE的面积为2025． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $