专题01 相交线与平分线（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材浙教版

专题01 相交线与平分线（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 判断是否为对顶角 题型13 平行线的性质求角度 题型2 利用对顶角的性质求角度 题型14平行线的性质与三角板综合 题型3 作垂直 题型15 平行线的性质与判定多结论问题 题型4 垂线段最短的实际应用 题型16 平行线的性质解答题综合 题型5 点到直线的距离 题型17 根据平行线探究角度关系 题型6 判断同位角、内错角、同旁内角 题型18 根据平行线求角度解答题压轴 题型7 用直尺、三角板画平行线 题型19 平行线中的实践探究问题 题型8 平行公理的应用 题型20 生活中的平移现象 题型9 利用平行线的判定填空 题型21 利用平移的性质求解 题型10 利用平行线的判定证明 题型22 利用平移解决实际问题 题型11 利用平行线的判定判断选项 题型23 平移中几何作图题 题型12 利用平行线的性质实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在小题 有理数的分类 掌握有理数的两种分类方法，能对给定数进行准确分类，明确 0 的归属 高频易错点，容易忽视 “0 既不是正数也不是负数” 的特殊情况 相交线与对顶角、邻补角 理解对顶角、邻补角的定义与性质，能利用性质进行角度计算 基础必考点，常与角度计算、平行线判定结合考查 垂线的定义与性质 理解垂线、垂线段的概念，掌握 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短” 的性质 高频考点，常出现在选择题、填空题，也会在几何作图题中考查 同位角、内错角、同旁内角的识别 能在复杂图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角 易错点，是平行线判定的基础，常作为铺垫考点考查 平行线的判定 掌握平行线的判定方法（同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补，两直线平行），能根据条件判定两直线平行 核心考点，常与性质综合考查，出现在解答题中 平行线的性质 掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补），能利用性质进行角度计算与推理 高频核心考点，常与判定结合，出现在几何证明题中 平移的概念与性质 理解平移的定义，掌握平移的性质（对应点连线平行且相等、对应线段平行且相等、对应角相等），能画出平移后的图形 基础考点，常出现在选择题、作图题，也会结合网格考查 知识点01 相交线与对顶角、邻补角 相交线：两条直线相交，形成4个角。 ①邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，邻补角互补(和为180°)。 ②对顶角：两边互为反向延长线的两个角，对顶角相等。 示例：直线AB与CD相交于点O，则∠AOC与∠BOD是对顶角，∠AOC=∠BOD；∠AOC与∠AOD是邻补角，∠AOC+∠AOD=180°。 易错点： 1.对顶角的前提是“两条直线相交”,若不是两条直线相交形成的角，即使度数相等也不是对顶角。 2.邻补角不仅要满足和为180°,还必须有一条公共边，另一边互为反向延长线。 知识点02 垂线的定义与性质 垂线：两条直线相交成直角(90°),则这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，交点叫做垂足。性质： 1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(简称“垂线段最短”)。 3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 示例：点P是直线l外一点，PO⊥l于0,则线段PO的长度就是点P到直线l的距离，且PO是点P到直线l的所有线段中最短的。 易错点： 1.“过一点”的点可以在直线上，也可以在直线外，但必须强调“在同一平面内”。 2.点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数值，不是垂线段本身。 知识点03 同位角、内错角、同旁内角的识别 两条直线被第三条直线所截，形成8个角，简称“三线八角”。 ①同位角：在两条被截直线的同一方，且在截线的同一侧的角(形状像“F”)。 ②内错角：在两条被截直线之间，且在截线的两侧的角(形状像“Z”)。 ③同旁内角：在两条被截直线之间，且在截线的同一侧的角(形状像“U”)。 示例：直线a,b被直线c所截，∠1与∠2在a,b的上方、c的右侧，是同位角；∠3与∠4在a,b之间、c的两侧，是内错角；∠5与∠6在a,b之间、c的同侧，是同旁内角。 易错点： 1.识别的关键是先确定“截线”和“被截线”,再根据位置判断类型。 2.复杂图形中，要学会“分离”出三线八角的基本图形，避免被多余线条干扰。 知识点04 平行线的定义与平行公理 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a ||b。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行(平行的传递性)。 示例：若a|b，b||c，则a ||c。 易错点： 1.平行线的前提是“在同一平面内”,不在同一平面内的两条直线(异面直线)即使不相交也不叫平行线。 2.“经过直线外一点”,如果点在直线上，不存在与已知直线平行的直线。 知识点05 平行线的判定方法 ①同位角相等，两直线平行。 ②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 ④平行于同一条直线的两条直线互相平行(传递性)。 ⑤同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 示例：若直线a,b被c所截，∠1=∠2(同位角相等),则a|b;若∠3+∠4=180°(同旁内角互补),则a ||b。 易错点： 1.判定定理的条件和结论不能颠倒，例如“两直线平行，同位角相等”是性质，不是判定。 2.同旁内角必须“互补”(和为180°),而不是“相等”。 知识点06 平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等。 2.两直线平行，内错角相等。 3.两直线平行，同旁内角互补。 示例：若a||b,则被c所截的同位角∠1=∠2,内错角∠3=∠4,同旁内角∠5+∠6=180°。 易错点： 1.性质定理的前提是“两直线平行”,只有两直线平行时，才有同位角/内错角相等、同旁内角互补。 2.区分平行线的“判定”和“性质”:判定是由角的关系推线的平行，性质是由线的平行推角的关系。 知识点07 平移的概念与性质 把一个图形沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。性质： 1.平移前后的图形形状、大小完全相同(全等)。 2.对应点的连线平行(或在同一直线上)且相等。 3.对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等。 示例：将△ABC向右平移3个单位得到△A'B'C”,则AA'||BB'|CC,且AA'=BB′=CC=3, △ABC≌△A'B'C”。 易错点： 1.平移的方向可以是任意方向，不一定是水平或竖直方向。 2.平移的距离是对应点连线的长度，不是图形移动的路径长度。 题型一 判断是否为对顶角 易｜错｜点｜拨 1.判定三条件(缺一不可) 有公共顶点+两条边分别互为反向延长线+由两条直线相交形成 2.核心易错总结 ①角相等≠对顶角；②有公共顶点、有公共边，一定不是对顶角 速记：共顶点，边反向，无共边，才是对顶角。 【典例1】（25-26七年级下·河南开封·期末）在下列各图中，和是对顶角的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，判断即可． 【详解】解：、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意； 、和有公共顶点，且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角，符合题意； 、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意； 、和没有公共顶点，所以不是对顶角，不符合题意． 【变式1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）下列各图中，和是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键． 根据对顶角的判定条件依次判断各选项． 【详解】解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和没有公共顶点，不是对顶角； 选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角． 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项A． 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉对顶角定义是解题关键. 【详解】解：根据对顶角性质，两个角只有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线； 故选：A. 题型二 利用对顶角的性质求角度 【典例2】（24-25七年级下·四川泸州·期末）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为______． 【答案】/55度 【分析】先根据垂线定义得出，再根据对顶角相等得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线相交于点O，平分，平分，若的度数为，则的度数为___________°． 【答案】 【分析】先由角平分线得到，再由平角得到，而，求出，最后根据对顶角的性质即可求解． 【详解】解：∵平分，平分 ∴， 又∵，而， ∴ ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和相交于点，和互余，若，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等的性质和互余的定义，熟练掌握对顶角相等及互余两角的和为是解题的关键．根据对顶角相等，先求出的度数，再利用互余的定义，用减去的度数即得到的度数． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴′． ∵和互余， ∴−−′′． 故答案为：′． 题型三 作垂直 【典例3】（25-26七年级上·北京昌平·期末）如图，平面上有四个点，根据下列要求完成任务： (1)画射线与射线相交于点，连接； (2)过点作的垂线，交于点； (3)根据图形可得___________（用“”，“”或“”填空）； (4)___________（用“>”，“<”或“=”填空）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，垂线的画法，两点之间线段最短，以及角的大小比较． （1）根据射线，线段的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画出图形即可； （3）根据两点之间线段最短解答即可； （4）根据锐角小于直角判断即可． 【详解】（1）解：如图，射线与射线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：∵两点之间线段最短， ∴． 故答案为：； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知、、是正方形网格上的三个格点，根据要求在网格中作图并标注字母． (1)连接，作射线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)求作格点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了线段，射线，垂线，平行线的做法； （1）根据网格的特点，连接，作射线即可； （2）根据网格的特点，过点作的垂线，垂足记为即可； （3）根据网格的特点，过点作，即可找到格点． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：如图所示 （3）解：使得的格点，如图所示， 【变式2】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)，两点之间线段最短． 【分析】本题考查了线段，射线的画法，垂线的画法，垂线的长度，线段的性质，解决本题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据射线的画法作图即可； （2）根据线段的画法作图即可； （3）根据垂线的画法作图即可； （4）根据垂线的长度求解即可； （5）根据线段的性质求解即可． 【详解】（1）解：射线如图1所示， （2）解：连接，交于点，如图2所示， （3）解：过点作于点，如图3所示， （4）解：点到的距离是线段的长度； 故答案为：； （5）解：图中点到两点的距离之和最小，依据是两点之间线段最短． 故答案为：；两点之间线段最短． 【变式3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，有A，B，C，D四个点，请按下列语句画出相应图形： (1)画出直线，线段； (2)过点画直线，垂足为点，交的延长线于点，连接； (3)在（2）的前提下，点到直线的距离是哪条线段的长度？（直接写出答案，不必说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点到直线的距离是的长度． 【分析】本题考查作图—基本作图，解题的关键是理解射线、直线、垂线的定义． （1）根据直线、线段的定义画图即可； （2）根据垂线的定义画图，再按要求连接即可； （3）根据点到直线的距离的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，线段即为所作； ； （2）解：所作图形如图所示； （3）解：点到直线的距离是的长度． 题型四 垂线段最短的实际应用 【典例4】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）如图，从位置到直线公路共有四条小道、、、，若用相同的速度行走，能最快到达公路的小道是_____________． 【答案】 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：根据垂线段最短得：能最快到达公路的小道是． 【变式1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为___米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解． 【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米． 故答案为： 【变式2】（24-25七年级下·广东汕头·期末）2025年1月30日(大年正月初二)晚上8点汕头在内海湾举办了“己如意 美美至汕”迎新春大型焰火晚会，吸引近50万观众现场观赏．市民小王也是现场观众之一，如图，他家住P处，观赏地点海滨路可以看成直线l，则小王赶往观赏地点的最近路线是线段，理由是_______． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短． 【详解】解：直线外的点与直线上的点A、B、C、D的连线段中，是垂线段． 根据垂线段最短，小王赶往观赏地点的最近路线是线段． 故答案为：垂线段最短 题型五 点到直线的距离 【典例5】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：． 【变式2】如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故答案为：． 题型六 判断同位角、内错角、同旁内角 解｜题｜技｜巧 分类判定+速记 ①同位角：被截线同侧，截线同侧，形似F ②内错角：被截线之间，截线两侧，形似Z ③同旁内角：被截线之间，截线同侧，形似U 【典例6】（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与是内错角，故该选项符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； 【变式1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角的识别，关键是掌握同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，位于截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧的角称为同位角，需逐一判断每个选项中和的位置是否符合该定义． 【详解】解：选项A：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项B：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项C：与不在截线的同旁，不满足同位角“同旁同侧”的位置特征，不属于同位角； 选项D：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 【变式3】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，按各组角的位置判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，同位角、内错角、同旁内角都是两直线被第三条直线所截形成的具有特殊位置关系的角，解决本题的关键是判断这两个角是由哪两条直线被第三条直线所截形成的． 【详解】解：A选项：与是直线和直线被直线所截形成的同旁内角，故A选项判断正确，不符合题意； B选项：与是直线和直线被直线所截形成的内错角，故B选项判断正确，不符合题意； C选项：与是直线和直线被直线所截形成的同位角，故C选项判断正确，不符合题意； D选项：与不是两直线被第三条直线所截形成的有特殊位置关系的角，故D选项判断错误，符合题意． 故选：D． 题型七 用直尺、三角板画平行线 【典例7】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点画直线； (2)在线段上找一点，使得点与点距离最短，在图中作出点，此时最短蕴含的数学道理是__________； (3)点为图中的格点，点与点不重合，则满足的点有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，垂线段最短 (3)4 【分析】本题考查平行线，垂线段最短： （1）先确定 的方向（从 B 到 A 是向右 3格、向下3格），再从点 E 出发，按相同方向（向右 3格、向下 3 格）找到格点，连接成直线即可； （2）过点E作的垂线，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点 Q 必须在与 平行且到的距离等于点 E 到 距离的两条直线上，即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求， （2）如图所示，点 P 是过 E 作的垂线的垂足，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点 Q 必须在与 平行且到的距离等于点 E 到 距离的两条直线上．在图中，这样的格点 Q（不与 E 重合）共有、 、、共4 个． 故答案为：4． 【变式1】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线． (2)过C点作线段的垂线，交于H． (3)点D是线段与网格线的交点，连结，，比较线段，，的大小： ，理由是 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)；垂线段最短 【分析】此题考查了作图-平行线；作图-垂线；线段的长短比较； （1）根据作图-平行线结合题意画图即可求解； （2）根据作图-垂线结合题意画图即可求解； （3）根据线段的比较结合题意填空即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由图可知，，理由是垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 【变式2】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，垂线段最短； （1）根据题意过点画直线，使得且，即可求解； （2）根据垂线段最短，找到的格点，连接，则交点为，则点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； ∵ ∴当垂足时，最小， 【变式3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线； ②过点画直线的垂线，垂足为点； (2)点C到直线的距离是线段______的长度； (3)比较大小：______（填、或），理由：____________． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题考查了作图的应用与设计 （1）①根据网格线的特点及平行线的性质作图； ②根据网格线的特点及垂线的性质作图； （2）根据点到直线的距离的定义求解； （3）根据“垂线段最短”求解． 【详解】（1）解：①即为所求； ②即为所求； （2）点到直线的距离是线段的长度； 故答案为：； （3），理由为：垂线段最短； 故答案为：，垂线段最短． 题型八 平行公理的应用 【典例8】（25-26七年级上·河南许昌·期末）下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．相等的角是对顶角 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理、对顶角及直线公理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：A：两点之间，线段最短，故该选项不合题意； B：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不合题意； C：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项不合题意； D：两点确定一条直线，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则点是的中点 【答案】C 【分析】本题考查平行公理、线段性质和中点定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 选项A需考虑点是否在直线外；选项B混淆了相等角与对顶角的关系；选项C是公理，正确；选项D忽略点是否在线段上． 【详解】解：A、∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但选项A未指定“直线外一点”，∴ A错误； B、∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），∴ B错误； C、∵两点之间所有连线中线段最短，这是几何公理，∴ C正确； D、∵点是中点需满足点在线段上且，但选项D未指定点在线段上，∴ D错误； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列说法中，正确的有（   ） A．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，直线与相交，直线与相交，则直线与相交 D．在同一平面内，直线与相交，直线与平行，则直线与相交 【答案】BD 【分析】本题考查平面内直线的位置关系，涉及平行公理、相交与平行的性质等初中几何知识． 【详解】解：A、因为在同一平面内，两条直线的位置关系仅有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，并非独立关系； B、依据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； C、当直线与相交、与相交时，与可能平行（例如三条直线中为横线，为平行竖线），故不一定相交； D、由且与相交，若则推出（平行传递性），与已知矛盾，故与必相交． 故选：BD． 题型九 利用平行线的判定填空 解｜题｜技｜巧 一、判定依据（直接套用） 1.同位角相等→两直线平行 2.内错角相等→两直线平行 3.同旁内角互补→两直线平行 4.平行传递：都平行于同一直线⇒两直线平行 5.同一平面内，都垂直于同一直线⇒两直线平行 二、解题步骤 1.找角：看清题目给出哪两个角相等/互补 2.辨类型：判断是同位角、内错角、同旁内角 3.找三线：确定被截的两条直线（就是要证平行的线） 4.写结论+理由：对线填结论，对角填判定定理 【典例9】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（      ） ∴（      ） 同理可得（      ） ∴（      ） 又∵（       ） ∴（      ） 即（      ）（      ） ∴（      ）（      ）（             ） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定，根据题干信息逐一完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：∵（ 已知）， ∴（垂直的定义）， 同理可得（垂直的定义）， ∴（等量代换）， 又∵（ 已知）， ∴（等式的性质）， 即， ∴（）（ ）（同位角相等，两直线平行）． 【变式1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，已知，则与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解： （已知） （    ）， ∴（    ） ∥ （    ）， 又 ， （    ）（等式的性质 ）， 同理可得 （    ）， （等量代换）， ∴（    ）∥ （    ）（    ）． 【答案】等量代换；；；；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定定理和垂直的定义，首先利用已知角的度数，通过等量代换得到同位角，依据同位角相等判定与平行；再根据垂直的定义得到直角，计算出和的度数，通过等量代换得到这两个同位角相等，进而判定与平行． 【详解】解：(已知) (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)； 又， (等式的性质)； 同理可得； (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)， 故答案为：等量代换；；；；；；；同位角相等，两直线平行． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 题型十 利用平行线的判定证明 【典例10】（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，分别平分和，，那么与有什么关系？试说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义及平行线的判定定理，解题的关键在于利用角平分线将给定角度转化为所需角度，进而通过证明同旁内角互补，最终依据平行线判定定理得出与平行的结论．运用角平分线的定义，结合图形可知，又已知，可得同旁内角和互补，从而证得． 【详解】解：与平行，理由如下： 平分平分， （角平分线定义）， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图， 于点A，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行． 【答案】(1)，理由见详解 (2)根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件（答案不唯一）．理由见详解 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据“内错角相等，两直线平行”可得； （2）根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件，然后根据“内错角相等，两直线平行”可得； 本题主要考查了垂直的定义和平行线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件（答案不唯一）．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，射线交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，判断直线和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据垂直找角之间的关系，再利用角之间的关系找边之间的关系． （1）根据垂直的定义可得：，根据平角是可得：，从而可求； （2）根据直角三角形的两个锐角互余可知，根据同角的余角相等可得：，根据同位角相等，两直线平行，可证结论成立． 【详解】（1）解：， ， ，， ． （2）解：， 理由如下， ， ， ， 又 ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，已知点在直线上，射线平分，过E点作，G为射线上一点，连接，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了垂直的定义，平行线的判定，角度的和差． （1）根据垂直的定义可得，从而得到，再由，即可解答； （2）根据角平分线的定义以及，可得，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． （2）解：，理由如下： 因为平分， 所以． 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． 题型十一 利用平行线的判定判断选项 【典例11】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据平行线的判定定理逐个排查即可． 【详解】解：①由于和是同位角，则由可判定； ②由于和是内错角，则由可判定； ③由于和既不是同位角、也不是内错角，则由不能判定； ④由于和是同旁内角，则由可判定； 即①②④可判定． 【变式1】（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵与不是同位角，也不是内错角，∴无法证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴，无法证明，也无法证明，故该选项不符合题意； D、∵，，∴，∴，故该选项符合题意； 故选：D 题型十二 利用平行线的性质实际应用 【典例12】（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点B向右作．则，．利用平行线的性质可得、，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：如图：过点B向右作． ∵， ∴，． ∴，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·广东珠海·期中）2026年春晚《武》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过点作 ，利用平行线的性质求出的度数，再根据已知条件求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】过点作 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【变式2】（25-26七年级下·辽宁营口·期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若 ， ，则的度数是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和得到同旁内角互补，过点作得出，结合 得出，即可求解． 【详解】解：， ，即 ， ， ， ，， ， 如图，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）图1是一盏可折叠台灯．图2是其平面示意图，支架为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．当支架旋转至水平位置时（如图2），恰好与平行，则支架与水平方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据角平分线以及垂直的定义求出的度数，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图2， ∵，平分， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 题型十三 平行线的性质求角度 【典例13】（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，直线，，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形内角和求出，再利用平行线的性质即可求得. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 【变式1】（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A．35° B．30° C．25° D．20° 【答案】C 【分析】作，根据平行线的性质和角的和差关系即可得出结果. 【详解】解：作，则， ∵， ∴， ∴， ∴. 【变式2】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，利用平行线的性质得出，，然后再根据角的和差关系即可得出的度数． 【详解】解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质．由平分可得，再由可得即可得结论． 【详解】解：平分， （角平分线的性质）， ， （两直线平行，内错角相等）． 故选：D． 【变式4】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，直线，直线l与、分别交于点E、F，的角平分线交于点G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行同旁内角互补和角平分线的定义，先求得，再根据两直线平行内错角相等，可知，进而求得答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十四 平行线的性质与三角板综合 【典例14】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，把一副三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则______． 【答案】75 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据三角板中角度的特点可得的度数，则由平角的定义可得的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∵直尺的对边平行，即， ∴， 故答案为：75． 【变式1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则________． 【答案】/55度 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，解题的关键是正确构造平行线，利用平行线的性质求解． 过点作，由，得到，再由得到，，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）将直角三角板与直尺按如图方式摆放，则等于________． 【答案】/90度 【分析】本题考查了平行线的性质； 过点E作，则，可得，，然后计算即可． 【详解】解：如图，由题意知：, 过点E作，则， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型十五 平行线的性质与判定多结论问题 【典例15】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】设交于点H，由得，，故，故①正确；由，，得，，故，故，故，，故，故②正确；由上述条件得，故，故③正确；从而，，故，故④正确． 【详解】解：如图，设交于点H， ， ， ，故①正确； ，，， ， ， ， ，， ，故②正确； ， ，故③正确； ，， ，故④正确． 【变式1】（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】先根据可得，从而可得，再根据可得，再根据代入计算，即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断③；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断②和④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，则结论①正确； ∵， ∴， ∴，则结论③正确； ∵， ∴，， 但不一定等于，也不一定等于， 所以平分，平分都不一定正确，则结论②和④都错误； 综上，正确的是①③． 【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先根据“两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行”解答①；再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再结合已知条件判断②；根据“两直线平行，同旁内角互补”解答③；延长，根据“两直线平行内错角相等”得，再根据，解答④即可． 【详解】解：∵， ∴，则①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，则②正确； ∵ ∴， 即，则③正确； 延长， ∵， ∴． ∵， ∴，则④不正确． 正确的为①②③． 【变式3】（25-26七年级下·北京·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①，；②；③；④；⑤．能判断直线的有______（填序号）． 【答案】①⑤ 【分析】根据平行线的判定和性质及角的和差逐一判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴不能得出，从而不能得出， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵， ∴， ∴，故符合题意． 题型十六 平行线的性质解答题综合 【典例16】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，点是上一点，，交于点，且． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合，可得，进而得出结论； （2）先根据平行线的性质可得，进而求出，最后利用平行线的性质得出结论的值. 【详解】（1）答：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴. 【变式1】（24-25七年级下·云南玉溪·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·广东广州·期中）已知：如图， C、D是直线上两点， ，平分， ． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，可得，即可证明； （2）由平行线的性质可得，根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析; (2)70°． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型十七 根据平行线探究角度关系 【典例17】（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得， 等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 【变式2】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以 ． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以 ． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 【变式3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 题型十八 根据平行线求角度解答题压轴 【典例18】（25-26七年级下·陕西延安·期中）已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出，可得，可证明，从而可证明； （2）求出，由可得，由平分 平分，求出，再根据三角形外角的性质可得结论； （3）分类讨论，过拐点作平行线：过R作，过Q作，然后设参，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分 平分， ∴， ∴； （3）解：设， 过R作，过Q作， 则，， 第一种情况：如图，当点Q在线段上时， 则，， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴； 第二种情况：如图，当点Q在点E上方时， 此时， 则， ∴， ∵， ∴； 第三种情况：如图，当点Q在点F下方时， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1)； (2)平分，理由见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得；根据平角定义求得，最后根据平行线的性质求得即可； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴； （2）解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时，, ∵， ∴； ②如图2，当时， ∵，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵ ∴； ③如图3，当时， ， ， ∵， ∴； ④如图4，当时，则， 又， ∴点在上， ∴． 综上所述，的度数为或或或． 【变式2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图1，已知直线，与直线分别交于点，点．平分交于点，且． (1)试判断直线与直线是否平行？并说明理由； (2)点是直线上一动点（不与点，重合），连接，的平分线交于点． ①如图2，当点在点的右侧时，若，求的度数； ②当点在直线上运动时，和之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②或 【分析】（1）结合角平分线的性质和，可得，从而判定； （2）①由可得，进而得到，由平分，平分可得； ②分类讨论，当点在点的左侧时，容易得到，，结合和可得；当点在点的右侧时，同理． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）可知，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②猜想：或， 理由如下： （ⅰ）当点在点的左侧时，如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （ⅱ）当点在点的右侧时， 如图， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期末）光的反射定律是由法国土木工程兼物理学家菲涅耳提出．他发现光的反射定律为：反射光线与入射光线与法线在同一平面上（法线垂直于平面）；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；如图反射角等于入射角． (1)如图1，与是互相垂直的两面平面镜，一束光线照射到平面镜上，经两次反射后从射出，已知三角形内角和等于．求证：； (2)如图2，与是两面平面镜，其中于点A，于点C，交于点B，交于点D；一束光线照射到平面镜上，经两次反射后从射出，已知交于点M，且，交于点H，若，求的度数； (3)如图3，已知，点E，M在线段上，点F，N在线段上，交于点G，且，，，射线绕着点M顺时针旋转后停止，旋转速度为秒，同时绕点G逆时针旋转，旋转速度为秒，当射线停止旋转时，也立即停止旋转；当所在直线与的边平行时，请直接写出对应时间t的所有值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或或 【分析】（1）根据反射定律可以推出镜面与反射光线的夹角以及镜面与入射光线的夹角也相等，推出，即可得证； （2）作，作，根据平行线的性质和反射定律进行求解即可； （3）分五种情况进行讨论即可． 【详解】（1）证明：∵反射角等于入射角， ∴反射角入射角， 即镜面与反射光线的夹角以及镜面与入射光线的夹角也相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵三角形内角和等于， ∴， ∴ ； ∴； （2）解：作，作， ∵于点A，于点C， ∴，， ∴， ∴，，， 由反射定律和（1）可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当所在直线与的边平行时，分四种情况： ①当时，如图，设交于点， 则， 由题意，， ∴，， ∴，解得； ②当时，如图，设交于点， 则，，， ∴， ∴， ∴，解得； ③当点旋转至上方，时，如图，延长交于点， 则， ∵， ∴， ∴，解得； ④当点旋转至上方，时，如图，延长交于点， 则， ∴，解得； ⑤当当点旋转至上方，时，如图，延长交于点， 则， ∴，解得； 综上：或或或或． 题型十九 平行线中的实践探究问题 【典例19】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”． (1)【概念理解】 若，则的“系数平衡角”是____； (2)【初步认识】 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数． (3)【问题解决】 连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）设的“系数平衡角”是，由“系数平衡角”定义列方程即可得出； （2）过点作直线，利用平行线的内错角相等得出，是的“系数平衡角”，推出，再结合，求解即可； （3）根据，，设，，，， 再根据是的“系数平衡角”，可得，然后分类讨论：①当点在直线异侧时，过点作直线，过点作直线，②当点在直线同侧时，过点作直线，过点作直线，结合平行线的性质列出方程，即可求解． 【详解】（1）∵设的“系数平衡角”为， ∴根据题意，， ∵， ∴； （2）如图，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的“系数平衡角”， ∴根据题意，，即， ∵， ∴，解得：； （3）∵，， ∴设，，，， ∵是的“系数平衡角”， ∴， 分类讨论：①如图，当点在直线异侧时，过点作直线，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∴； ②如图，当点在直线同侧时，过点作直线，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∴； ∴综上，为或． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 【答案】(1)认同，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，结合根据角平分线的定义得到的，，即可证明； （2）先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （3）先证明，，再结合，即可证明． 【详解】（1）解：认同，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 【变式3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 【答案】【探究一】，，；【探究二】，理由见解析；【探究三】． 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键． 【探究一】根据平行线的性质即可得答案； 【探究二】过点作，过点作，根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可得答案； （3）过点作，交于，，根据平行线点性质得出，，，，利用（2）中所得结论即可得答案． 【详解】解：[探究一]∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． [探究二]如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴ [探究三]如图，过点作，交于，， ∴，，，， ∵、的角平分线并相交于点， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 题型二十 生活中的平移现象 【典例20】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质：平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，平移不改变图形的形状和大小，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】A．该图形属于旋转对称图形，是由基本图形绕中心旋转得到的，故本选项不符合题意； B．该图形中的三个小图形的形状大小相同、方向一致，可以看作是由一个基本图形通过平移得到的，故本选项符合题意； C．该图形属于轴对称图形，是沿对称轴折叠重合，故本选项不符合题意； D．该图形主要由扇形和线条组成，不具备通过平移一个基本图形得到整体的特征，故本选项不符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·安徽·期中）下列运动属于平移的是（   ） A．拉出抽屉 B．放飞风筝 C．转动方向盘 D．荡秋千 【答案】A 【分析】平移的定义是：物体沿直线方向移动，移动过程中物体本身方向不发生改变，无绕定点的转动． 【详解】解：A.拉出抽屉时，抽屉沿直线做方向不变的移动，符合平移的定义，属于平移； B.放飞风筝时，风筝运动中方向会不断变化、伴随转动，不属于平移； C.转动方向盘是绕中心点的旋转运动，不属于平移； D.荡秋千是绕悬挂点的摆动，属于旋转类运动，不属于平移． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能大致看成用其中一部分平移得到的是（    ） A．明 B．立 C．从 D．鼎 【答案】C 【详解】解：A、不能大致看成用其中一部分平移得到，不符合题意； B、不能大致看成用其中一部分平移得到，不符合题意； C、能大致看成用其中一部分平移得到，符合题意； D、不能大致看成用其中一部分平移得到，不符合题意． 题型二十一 利用平移的性质求解 解｜题｜技｜巧 1.平移前后图形形状、大小完全不变，只改变位置。 2.对应线段：平行(或共线)且相等。 3.对应角：相等。 4.对应点连线：平行(或共线)且相等。 易错点 平移距离=对应点连线的长度，不是线段本身。 平移方向不限，不只是水平、竖直。 【典例21】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当的周长为32，时，求四边形的周长； (2)已知的面积为24，．当所扫过的面积为36时，求a的值． 【答案】(1)四边形的周长为； (2)a的值为． 【分析】（1）连接，根据平移的性质可得，，根据的周长为32得到，即可求出四边形的周长； （2）作于H，先求出，再结合所扫过面积即梯形的面积，进一步计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据平移的性质可知，， ∵的周长为32， ∴， ∴， ∴四边形的周长为； （2）解：如图，作于H， 根据平移的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴所扫过面积即梯形的面积， 则， 解得：． 答：a的值为． 【变式1】（24-25七年级下·河北·期末）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变的性质是解答此题的关键． （1）根据平移的性质和平行线的性质解答即可； （2）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． （3）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． 【详解】（1）解:由平移的性质可得， 故答案为； （2），理由如下： 根据平移的性质可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点A作，交于点D， 根据平移性质可知， ∴， ∴，， ∴ 即． 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，已知中，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质. （1）根据平移的性质得出的长度与平移的长度相等，据此可解决问题； （2）根据平移的性质得出，可得，根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质作答即可. 【详解】（1）解：由平移可知， ∴； （2）由平移可知，， ∴． ∵， ∴． 又∵恰好平分， ∴． ∵， ∴． 题型二十二 利用平移解决实际问题 【典例22】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）（1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接．线段平移的距离是______； （2）动手操作：如图2，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将三角形平移，使点A平移到图中的位置，点的对应点是，点的对应点是．①画出平移后的三角形； ②线段在平移的过程中扫过的面积是______． （3）拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是______平方米． 【答案】（1）3；（2）①见详解；②9；（3） 【分析】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键． （1）根据平移性质和网格特点求解即可； （2）①根据平移性质和网格特点可画出图形； ②根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可； （3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长米，宽为米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）根据平移性质，线段平移的距离是； 故答案为：3 ； （2）①如图所示，即为所求作； ②线段在平移过程中扫过的面积． 故答案为：9； （3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形， 长方形的长米，宽为米， 则剩下的草坪面积是：， 故答案为：平方米． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． (1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【答案】(1)， (2) (3)元 【分析】本题考查了平移的实际应用，能将图形中的等宽路利用平移重合组合成一个矩形是解题的关键． （1）利用平移的思想将分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可得出和，即可解决； （2）利用平移的思想将分成的四块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可； （3）代入数据求值即可． 【详解】（1）解：由图1可得小路是长为，宽为的长方形， 则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为米，宽为的长方形， 则， 由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形， 由图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线， 则， 故答案为：，； （2）由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为米，宽为米的长方形， 则； （3）当，时， ， 因为铺草地平均每平方米需要花费元， 所以铺设这块草地一共需要花费（元）， 答：铺设这块草地一共需要花费元． 【变式2】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 【答案】(1)平方米 (2)条 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，平移的性质，正确计算是解题的关键． （1）观景桥经过平移，根据“长方形面积=长×宽”，桥的面积是用长方形湖泊的面积减去长是米，宽是米的长方形面积，即可解答； （2）用湖泊的面积乘每平方米投放金鱼的条数即可； 【详解】（1）解： （平方米）， ∴这座桥的面积是平方米； （2）（条）， ∴管理员准备投放条金鱼． 题型二十三 平移中的作图题 【典例23】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、的数量关系是　 ； (3)画格点，使得直线． 【答案】(1)如图，即为所求． (2) 相等 (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）结合平移的性质可得答案． （3）结合平行线的判定利用网格作图即可． 【详解】（1）略 （2）由平移得，线段、的数量关系是相等． （3）略 【变式1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查作图—平移变换，利用割补法求三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）利用平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质进行解答即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：连接、， 由平移的性质可知：，， 故答案为：平行且相等； （3）解： 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，20 【分析】本题主要考查了画平移图形，平移的性质，画平行线，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点M，连接，则即为所求； （2）根据点D和点A的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （3）根据平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是四边形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．现将先向下平移个单位长度，得到；再向右平移个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若一次性平移到，试求出平移过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)线段扫过的面积为 【分析】本题主要考查作图——平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （）根据将先向下平移个单位长度，得到；再向右平移个单位长度，得到即可画图； （）根据长方形面积减去四个直角三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图， ∴线段扫过的面积为 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，工人师傅通过移动角尺在工件上画出直线，其中的道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【详解】解：∵角尺的两直角边相互垂直，成角，在移动过程中保持不变， ∴其中的道理是同位角相等，两直线平行． 2．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，已知​，​直角顶点在​上，已知​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】C 【分析】由平角和直角三角形的定义可求得的度数，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：直角顶点在上， ，， ， ， ． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，P是上一点，连接，E是延长线上一点，连接，且，．若，则的度数为________． 【答案】 54 【分析】首先根据同旁内角互补判定，利用平行线的性质求出的度数，再根据利用平行线的性质得出与的关系以及与的关系，最后通过角的和差计算得出结果． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 4．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）已知：如图，，，垂足分别为D，F，．试说明：平分． 解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以____________（___________）． 所以____________（两直线平行，内错角相等）， ____________（___________）． 因为（已知）， 所以____________（___________）． 所以平分（角平分线的定义）． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；；；；；两直线平行，同位角相等；；；等量代换． 【分析】首先根据平行线的判定证明两条直线平行，再根据平行线的性质证明有关角相等，运用等量代换的方法证明所分的两个角相等，即可证明． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以 （同位角相等，两直线平行）． 所以 （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 因为（已知）， 所以 （等量代换）． 所以平分（角平分线的定义）． 5．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案； （2）先说明，再得出的度数，再根据平行线的性质得出答案． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：∵， ∴． ， ， ． ， ， ． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作，过点D作，得到，根据平行线的性质，角的和，等量代换思想，求解即可． 【详解】解：过点C作，过点D作， ， ， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧且反射角等于入射角，这就是光的反射定律．如图2，小亮同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为________． 【答案】/115度 【分析】先根据平行线的性质可得出，因为，可得的度数，再说明，利用平行线的性质可得出，从而可得的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点G作，过点G作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 4．（24-25七年级下·江西赣州·期中）已知：如图1直线，被直线所截，． (1)求证：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、． ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，则 度． 【答案】(1)见解析 (2)①360；②，见解析 (3)30 【分析】（1）首先证明，即可证得； （2）①作，由平行线的性质得到，，又因为，结合图形即可求解； ②作，由平行线的性质得到，，得到，同理可证：，然后结合角平分线的定义求解即可； （3）如图3中，设，，，则，由平行线的性质得到，然后推出，然后结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①过点E作，如图 ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴． ②结论：．理由如下： 过点E作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可证：， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3中，设，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 3．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同位角的定义判断即可． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与不是同位角，故此选项不符合题意； C、与是同位角，故此选项符合题意； D、与不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 5．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 【答案】(1) 连接，即为所求作的垂线段． (2) 如图，即为所求作的平行线． 【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段． （1）可证，则，因，，，即． （2）可证，则，又，，即可求解． 【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段． 如图，则，因， ∴， ∴，即． （2）如图，即为所求作的平行线． 如图，，则，又， ∴， ∴． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平分线（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 判断是否为对顶角 题型13 平行线的性质求角度 题型2 利用对顶角的性质求角度 题型14平行线的性质与三角板综合 题型3 作垂直 题型15 平行线的性质与判定多结论问题 题型4 垂线段最短的实际应用 题型16 平行线的性质解答题综合 题型5 点到直线的距离 题型17 根据平行线探究角度关系 题型6 判断同位角、内错角、同旁内角 题型18 根据平行线求角度解答题压轴 题型7 用直尺、三角板画平行线 题型19 平行线中的实践探究问题 题型8 平行公理的应用 题型20 生活中的平移现象 题型9 利用平行线的判定填空 题型21 利用平移的性质求解 题型10 利用平行线的判定证明 题型22 利用平移解决实际问题 题型11 利用平行线的判定判断选项 题型23 平移中几何作图题 题型12 利用平行线的性质实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在小题 有理数的分类 掌握有理数的两种分类方法，能对给定数进行准确分类，明确 0 的归属 高频易错点，容易忽视 “0 既不是正数也不是负数” 的特殊情况 相交线与对顶角、邻补角 理解对顶角、邻补角的定义与性质，能利用性质进行角度计算 基础必考点，常与角度计算、平行线判定结合考查 垂线的定义与性质 理解垂线、垂线段的概念，掌握 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短” 的性质 高频考点，常出现在选择题、填空题，也会在几何作图题中考查 同位角、内错角、同旁内角的识别 能在复杂图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角 易错点，是平行线判定的基础，常作为铺垫考点考查 平行线的判定 掌握平行线的判定方法（同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补，两直线平行），能根据条件判定两直线平行 核心考点，常与性质综合考查，出现在解答题中 平行线的性质 掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补），能利用性质进行角度计算与推理 高频核心考点，常与判定结合，出现在几何证明题中 平移的概念与性质 理解平移的定义，掌握平移的性质（对应点连线平行且相等、对应线段平行且相等、对应角相等），能画出平移后的图形 基础考点，常出现在选择题、作图题，也会结合网格考查 知识点01 相交线与对顶角、邻补角 相交线：两条直线相交，形成4个角。 ①邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，邻补角互补(和为180°)。 ②对顶角：两边互为反向延长线的两个角，对顶角相等。 示例：直线AB与CD相交于点O，则∠AOC与∠BOD是对顶角，∠AOC=∠BOD；∠AOC与∠AOD是邻补角，∠AOC+∠AOD=180°。 易错点： 1.对顶角的前提是“两条直线相交”,若不是两条直线相交形成的角，即使度数相等也不是对顶角。 2.邻补角不仅要满足和为180°,还必须有一条公共边，另一边互为反向延长线。 知识点02 垂线的定义与性质 垂线：两条直线相交成直角(90°),则这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，交点叫做垂足。性质： 1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(简称“垂线段最短”)。 3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 示例：点P是直线l外一点，PO⊥l于0,则线段PO的长度就是点P到直线l的距离，且PO是点P到直线l的所有线段中最短的。 易错点： 1.“过一点”的点可以在直线上，也可以在直线外，但必须强调“在同一平面内”。 2.点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数值，不是垂线段本身。 知识点03 同位角、内错角、同旁内角的识别 两条直线被第三条直线所截，形成8个角，简称“三线八角”。 ①同位角：在两条被截直线的同一方，且在截线的同一侧的角(形状像“F”)。 ②内错角：在两条被截直线之间，且在截线的两侧的角(形状像“Z”)。 ③同旁内角：在两条被截直线之间，且在截线的同一侧的角(形状像“U”)。 示例：直线a,b被直线c所截，∠1与∠2在a,b的上方、c的右侧，是同位角；∠3与∠4在a,b之间、c的两侧，是内错角；∠5与∠6在a,b之间、c的同侧，是同旁内角。 易错点： 1.识别的关键是先确定“截线”和“被截线”,再根据位置判断类型。 2.复杂图形中，要学会“分离”出三线八角的基本图形，避免被多余线条干扰。 知识点04 平行线的定义与平行公理 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a ||b。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行(平行的传递性)。 示例：若a|b，b||c，则a ||c。 易错点： 1.平行线的前提是“在同一平面内”,不在同一平面内的两条直线(异面直线)即使不相交也不叫平行线。 2.“经过直线外一点”,如果点在直线上，不存在与已知直线平行的直线。 知识点05 平行线的判定方法 ①同位角相等，两直线平行。 ②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 ④平行于同一条直线的两条直线互相平行(传递性)。 ⑤同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 示例：若直线a,b被c所截，∠1=∠2(同位角相等),则a|b;若∠3+∠4=180°(同旁内角互补),则a ||b。 易错点： 1.判定定理的条件和结论不能颠倒，例如“两直线平行，同位角相等”是性质，不是判定。 2.同旁内角必须“互补”(和为180°),而不是“相等”。 知识点06 平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等。 2.两直线平行，内错角相等。 3.两直线平行，同旁内角互补。 示例：若a||b,则被c所截的同位角∠1=∠2,内错角∠3=∠4,同旁内角∠5+∠6=180°。 易错点： 1.性质定理的前提是“两直线平行”,只有两直线平行时，才有同位角/内错角相等、同旁内角互补。 2.区分平行线的“判定”和“性质”:判定是由角的关系推线的平行，性质是由线的平行推角的关系。 知识点07 平移的概念与性质 把一个图形沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。性质： 1.平移前后的图形形状、大小完全相同(全等)。 2.对应点的连线平行(或在同一直线上)且相等。 3.对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等。 示例：将△ABC向右平移3个单位得到△A'B'C”,则AA'||BB'|CC,且AA'=BB′=CC=3, △ABC≌△A'B'C”。 易错点： 1.平移的方向可以是任意方向，不一定是水平或竖直方向。 2.平移的距离是对应点连线的长度，不是图形移动的路径长度。 题型一 判断是否为对顶角 易｜错｜点｜拨 1.判定三条件(缺一不可) 有公共顶点+两条边分别互为反向延长线+由两条直线相交形成 2.核心易错总结 ①角相等≠对顶角；②有公共顶点、有公共边，一定不是对顶角 速记：共顶点，边反向，无共边，才是对顶角。 【典例1】（25-26七年级下·河南开封·期末）在下列各图中，和是对顶角的是（     ） A．B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）下列各图中，和是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 题型二 利用对顶角的性质求角度 【典例2】（24-25七年级下·四川泸州·期末）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为______． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线相交于点O，平分，平分，若的度数为，则的度数为___________°． 【变式3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和相交于点，和互余，若，则_________． 题型三 作垂直 【典例3】（25-26七年级上·北京昌平·期末）如图，平面上有四个点，根据下列要求完成任务： (1)画射线与射线相交于点，连接； (2)过点作的垂线，交于点； (3)根据图形可得___________（用“”，“”或“”填空）； (4)___________（用“>”，“<”或“=”填空）． 【变式1】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知、、是正方形网格上的三个格点，根据要求在网格中作图并标注字母． (1)连接，作射线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)求作格点，使得． 【变式2】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 【变式3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，有A，B，C，D四个点，请按下列语句画出相应图形： (1)画出直线，线段； (2)过点画直线，垂足为点，交的延长线于点，连接； (3)在（2）的前提下，点到直线的距离是哪条线段的长度？（直接写出答案，不必说明理由） 题型四 垂线段最短的实际应用 【典例4】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）如图，从位置到直线公路共有四条小道、、、，若用相同的速度行走，能最快到达公路的小道是_____________． 【变式1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为___米． 【变式2】（24-25七年级下·广东汕头·期末）2025年1月30日(大年正月初二)晚上8点汕头在内海湾举办了“己如意 美美至汕”迎新春大型焰火晚会，吸引近50万观众现场观赏．市民小王也是现场观众之一，如图，他家住P处，观赏地点海滨路可以看成直线l，则小王赶往观赏地点的最近路线是线段，理由是_______． 题型五 点到直线的距离 【典例5】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_____． 题型六 判断同位角、内错角、同旁内角 解｜题｜技｜巧 分类判定+速记 ①同位角：被截线同侧，截线同侧，形似F ②内错角：被截线之间，截线两侧，形似Z ③同旁内角：被截线之间，截线同侧，形似U 【典例6】（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【变式3】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，按各组角的位置判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 题型七 用直尺、三角板画平行线 【典例7】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点画直线； (2)在线段上找一点，使得点与点距离最短，在图中作出点，此时最短蕴含的数学道理是__________； (3)点为图中的格点，点与点不重合，则满足的点有__________个． 【变式1】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线． (2)过C点作线段的垂线，交于H． (3)点D是线段与网格线的交点，连结，，比较线段，，的大小： ，理由是 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 【变式3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线； ②过点画直线的垂线，垂足为点； (2)点C到直线的距离是线段______的长度； (3)比较大小：______（填、或），理由：____________． 题型八 平行公理的应用 【典例8】（25-26七年级上·河南许昌·期末）下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．相等的角是对顶角 D．两点确定一条直线 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则点是的中点 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列说法中，正确的有（   ） A．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，直线与相交，直线与相交，则直线与相交 D．在同一平面内，直线与相交，直线与平行，则直线与相交 题型九 利用平行线的判定填空 解｜题｜技｜巧 一、判定依据（直接套用） 1.同位角相等→两直线平行 2.内错角相等→两直线平行 3.同旁内角互补→两直线平行 4.平行传递：都平行于同一直线⇒两直线平行 5.同一平面内，都垂直于同一直线⇒两直线平行 二、解题步骤 1.找角：看清题目给出哪两个角相等/互补 2.辨类型：判断是同位角、内错角、同旁内角 3.找三线：确定被截的两条直线（就是要证平行的线） 4.写结论+理由：对线填结论，对角填判定定理 【典例9】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（      ） ∴（      ） 同理可得（      ） ∴（      ） 又∵（       ） ∴（      ） 即（      ）（      ） ∴（      ）（      ）（             ） 【变式1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，已知，则与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解： （已知） （    ）， ∴（    ） ∥ （    ）， 又 ， （    ）（等式的性质 ）， 同理可得 （    ）， （等量代换）， ∴（    ）∥ （    ）（    ）． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 题型十 利用平行线的判定证明 【典例10】（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，分别平分和，，那么与有什么关系？试说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图， 于点A，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，射线交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，判断直线和的位置关系，并说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，已知点在直线上，射线平分，过E点作，G为射线上一点，连接，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 题型十一 利用平行线的判定判断选项 【典例11】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【变式1】（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型十二 利用平行线的性质实际应用 【典例12】（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·广东珠海·期中）2026年春晚《武》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁营口·期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若 ， ，则的度数是(     ) A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）图1是一盏可折叠台灯．图2是其平面示意图，支架为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．当支架旋转至水平位置时（如图2），恰好与平行，则支架与水平方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十三 平行线的性质求角度 【典例13】（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，直线，，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A．35° B．30° C．25° D．20° 【变式2】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式4】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，直线，直线l与、分别交于点E、F，的角平分线交于点G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型十四 平行线的性质与三角板综合 【典例14】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，把一副三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则______． 【变式1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则________． 【变式2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）将直角三角板与直尺按如图方式摆放，则等于________． 题型十五 平行线的性质与判定多结论问题 【典例15】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式1】（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①③④ 【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式3】（25-26七年级下·北京·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①，；②；③；④；⑤．能判断直线的有______（填序号）． 题型十六 平行线的性质解答题综合 【典例16】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，点是上一点，，交于点，且． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若，平分，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·云南玉溪·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式2】（25-26七年级下·广东广州·期中）已知：如图， C、D是直线上两点， ，平分， ． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明； (2)若，求的度数． 题型十七 根据平行线探究角度关系 【典例17】（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【变式2】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 题型十八 根据平行线求角度解答题压轴 【典例18】（25-26七年级下·陕西延安·期中）已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【变式2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图1，已知直线，与直线分别交于点，点．平分交于点，且． (1)试判断直线与直线是否平行？并说明理由； (2)点是直线上一动点（不与点，重合），连接，的平分线交于点． ①如图2，当点在点的右侧时，若，求的度数； ②当点在直线上运动时，和之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期末）光的反射定律是由法国土木工程兼物理学家菲涅耳提出．他发现光的反射定律为：反射光线与入射光线与法线在同一平面上（法线垂直于平面）；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；如图反射角等于入射角． (1)如图1，与是互相垂直的两面平面镜，一束光线照射到平面镜上，经两次反射后从射出，已知三角形内角和等于．求证：； (2)如图2，与是两面平面镜，其中于点A，于点C，交于点B，交于点D；一束光线照射到平面镜上，经两次反射后从射出，已知交于点M，且，交于点H，若，求的度数； (3)如图3，已知，点E，M在线段上，点F，N在线段上，交于点G，且，，，射线绕着点M顺时针旋转后停止，旋转速度为秒，同时绕点G逆时针旋转，旋转速度为秒，当射线停止旋转时，也立即停止旋转；当所在直线与的边平行时，请直接写出对应时间t的所有值． 题型十九 平行线中的实践探究问题 【典例19】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”． (1)【概念理解】 若，则的“系数平衡角”是____； (2)【初步认识】 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数． (3)【问题解决】 连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【变式3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 题型二十 生活中的平移现象 【典例20】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·安徽·期中）下列运动属于平移的是（   ） A．拉出抽屉 B．放飞风筝 C．转动方向盘 D．荡秋千 【变式2】（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能大致看成用其中一部分平移得到的是（    ） A．明 B．立 C．从 D．鼎 题型二十一 利用平移的性质求解 解｜题｜技｜巧 1.平移前后图形形状、大小完全不变，只改变位置。 2.对应线段：平行(或共线)且相等。 3.对应角：相等。 4.对应点连线：平行(或共线)且相等。 易错点 平移距离=对应点连线的长度，不是线段本身。 平移方向不限，不只是水平、竖直。 【典例21】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当的周长为32，时，求四边形的周长； (2)已知的面积为24，．当所扫过的面积为36时，求a的值． 【变式1】（24-25七年级下·河北·期末）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，已知中，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 题型二十二 利用平移解决实际问题 【典例22】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）（1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接．线段平移的距离是______； （2）动手操作：如图2，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将三角形平移，使点A平移到图中的位置，点的对应点是，点的对应点是．①画出平移后的三角形； ②线段在平移的过程中扫过的面积是______． （3）拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是______平方米． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． (1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【变式2】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 题型二十三 平移中的作图题 【典例23】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、的数量关系是　 ； (3)画格点，使得直线． 【变式1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．现将先向下平移个单位长度，得到；再向右平移个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若一次性平移到，试求出平移过程中，线段扫过的面积． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，工人师傅通过移动角尺在工件上画出直线，其中的道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 2．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，已知​，​直角顶点在​上，已知​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，P是上一点，连接，E是延长线上一点，连接，且，．若，则的度数为________． 4．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）已知：如图，，，垂足分别为D，F，．试说明：平分． 解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以____________（___________）． 所以____________（两直线平行，内错角相等）， ____________（___________）． 因为（已知）， 所以____________（___________）． 所以平分（角平分线的定义）． 5．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧且反射角等于入射角，这就是光的反射定律．如图2，小亮同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为________． 4．（24-25七年级下·江西赣州·期中）已知：如图1直线，被直线所截，． (1)求证：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、． ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，则 度． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 3．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $