专题04因式分解期末复习讲义 (18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题04因式分解期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解因式分解的定义，明晰其与整式乘法互逆变形的关系。 2.熟练掌握提取公因式法、平方差公式、完全平方公式三种核心分解方法。 3.牢记因式分解要求：结果为整式乘积形式、分解必须彻底。 4.掌握 “一提、二套、三检查” 的基本解题步骤。 1.能准确识别多项式特征，灵活选择合适的分解方法。 2.提升代数式恒等变形能力、运算化简能力。 3.学会将多项式整体看待，解决含多项式公因式、整体套用公式的题型。 4.能运用因式分解进行简便运算，初步解决简单实际应用问题。 1.基础题：快速准确完成常规多项式因式分解，杜绝符号、漏项、分解不彻底等易错问题。 2.中档题：熟练处理综合型分解题型，规范书写解题步骤。 3.拓展题：能结合因式分解进行求值、比较大小、简单推理，适应期末综合考查形式。 4.做到审题细致、答题规范，保证该章节题型得分率。 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.添括号 题型06.公式法分解因式判断 题型07.平方差公式分解因式 题型08.完全平方公式分解因式 题型09.综合运用公式法分解因式 题型10.综合法分解因式 题型11.实数范围内分解因式 题型12.因式分解与新定义运算 题型13.整体换元法分解多项式 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解判定三角形形状题 题型16.因式分解中配方法应用 题型17.因式分解整除性相关证明 题型18.因式分解中最值问题. 知识点01:基础概念与基本规则 1. 定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解。 2. 互逆关系 整式乘法：整式相乘 → 多项式（展开） 因式分解：多项式 → 整式相乘（合并），二者互为逆运算。 3. 三大解题原则（阅卷必查） (1)结果必须是整式乘积形式，不含加减运算； (2)分解彻底，每个因式都不能再继续分解； (3)多项式首项系数为正数，括号内首项不为负。 4. 典型错误判定（选择题常考） 结果含加减、出现分式、分母带字母，均不属于因式分解； 分解后再次展开，混淆与整式乘法的关系。 知识点02：提公因式法（通用第一步） 1. 公因式查找方法 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数 6x2-9x，系数 6、9，最大公约数为 3 字母 选取所有项共有的字母 a2b+ab2，公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x4、x2，取x2 2. 特殊公因式：多项式型公因式 符号转换规律（高频考点） (y-x) = -(x-y) (y-x)2 = (x-y)2 (y-x)3 = -(x-y)3 3. 解题步骤 1.确定完整公因式；2. 整体提取公因式；3. 剩余项为1时不可省略；4. 调整符号，保证首项为正。 4. 常见易错点 漏写剩余常数1、只提字母不提系数、相反数形式因式符号转换出错。 知识点03:公式法（两个必考公式） 公式名称 公式形式 多项式结构特征 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 二项式、两项异号、两项都能写成平方 完全平方和 a2+2ab+b2=(a+b)2 三项式、首尾平方同正、中间项为2ab 完全平方差 a2-2ab+b2=(a-b)2 三项式、首尾平方同正、中间项为-2ab 补充：公式里的a、b可以是单项式，也可以是多项式（整体思想）。 知识点04:因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理 化简符号，规范书写结果 知识点05:常见综合题型与变形技巧 1.先提公因式，再套公式（期末主流综合题） 多项式既有公因式，又符合公式特征，严格按 “先提后套” 顺序解题。 2.整体思想 把括号内的多项式看成一个整体，整体提公因式、整体套用公式。 3.分组分解（基础拓展） 四项及以上多项式，合理分组，分组后分别提公因式或套公式，组间再继续分解。 4.化简后再分解 多项式含同类项时，先合并同类项，再进行因式分解。 知识点06:易错汇总 错误做法 正确做法 出错原因 不提公因式直接套用公式 先提公因式，再套用公式 解题顺序混乱，分解不彻底 两项同号套用平方差公式 平方差必须两项异号 公式特征记混 完全平方中间项缺少系数 2 中间项必须是两倍乘积 公式记忆不全 首项为负不提负号 首项负，先提取负号 书写格式不规范 提取公因式后空位不写 1 全部提完剩余项补 1 细节疏漏 分解结果还有加减算式 结果必须全部写成乘积形式 概念理解错误 参数题只写单一答案 分类讨论，正负双解 考虑问题不全面 题型01.因式分解的判断 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式属于因式分解且正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型02.因式分解的参数问题 5．已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 6．若将多项式因式分解得，则的值为______． 7．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 8．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 题型03.公因式 9．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 10．将多项式分解因式时，应提取的公因式是___________． 11．写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 12．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 题型04.提公因式法分解因式 13．已知一长方形的长宽分别为a，b，其周长为8，面积为2，则____． 14．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 15．因式分解 (1) (2) 16．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． (3)． 题型05.添括号 17．（_____）；（_____）． 18．若，则代数式的值为___________． 19．若，则___________． 20．不改变多项式的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“”，则结果为（   ） A． B． C． D． 题型06.公式法分解因式判断 21．下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 22．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 23．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 24．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07.平方差公式分解因式 25．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 26．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 27．下列能用平方差公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 28．分解因式（或利用因式分解计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08.完全平方公式分解因式 29．多项式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 30．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 31．已知下列多项式：①；②；③；其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（        ） A．②③④ B．②③ C．① D．①②③ 32．因式分解：． 33．下面是喜羊羊同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 题型09.综合运用公式法分解因式 34．将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 35．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 36．因式分解：． 37．因式分解：． 题型10.综合法分解因式 38．分解因式后得，则n等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 39．因式分解：________． 40．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 41．因式分解： (1) (2) 42．因式分解：． 题型11.实数范围内分解因式 43．将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 44．在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 45．在实数范围内因式分解：________． 题型12.因式分解与新定义运算. 46．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m、n的平方差，且，则称这个正整数为 “智慧优数”．例如：，16 就是一个 “智慧优数”，可以利用进行研究．若将  “智慧优数” 从小到大排列，则第 5 个 “智慧优数”是________． 47．对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为______． 48．定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b的平方差，即，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”.若将“双方数”从小到大排列，前3个“双方数”的和为______；第100个“双方数”为______． 49．符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如：，请根据以上阅读材料完成下列 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)若二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项，求a的值； (3)若二阶行列式，求的值． 题型13.整体换元法分解多项式 50．若，，则=_________ 51．已知：，，则的值为_____ 52．已知，则_____． 53．若，求________． 54．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 题型14.因式分解的应用 55．若多项式，则的值为________． 56．若实数，满足，，则的值是________． 57．已知长方形的长是a，宽是b，它的长与宽的和为7，面积为10．则的值为（   ） A．140 B．70 C．35 D．24 58．已知两个不相等的实数满足：． (1)如果时，求的值； (2)求证：当为任意实数时，代数式为定值． 题型15.因式分解判定三角形形状题 59．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 60．已知的三边长分别是，，，且满足，判断此三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 61．已知a，b，c是的三边长，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 62．阅读下列材料，回答问题： 我们把形如 或 的式子叫做完全平方式，利用完全平方式可以进行很多数学变形． 例如：若 求a， b的值． 解：原式可变形为 即 解得． 根据上述材料，解决下列问题： (1)若 求x， y的值； (2)已知 的三边长a，b，c满足 判断 的形状，并说明理由； (3)求代数式 的最小值． 题型16.因式分解中配方法应用 63．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”已知34是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式_____；若是整数，k是常数，且为“完美数”，则______． 64．［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； (3)仿照例2的步骤，求的最小值； (4)若，则______． 65．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 题型17.因式分解整除性相关证明 66．若为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数不能取（    ） A．5 B．2 C．1 D． 67．判断能被下列哪个数整除（    ） A．9 B．13 C．15 D．17 68．对于任意整数，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被16整除 69．【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 题型18.因式分解中最值问题. 70．假设是整数，是正整数，那么的最小可能值是多少？（） A． B． C． D． E． 71．已知实数满足为自然数，则的最小值是（    ） A．11 B．12 C．13 D．16 72．已知满足，则有（   ） A．最小值 B．最小值10 C．最大值2 D．最大值10 73．已知为正整数，计算发现代数式能被某些正整数整除，这些正整数中最大的是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 74．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04因式分解期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解因式分解的定义，明晰其与整式乘法互逆变形的关系。 2.熟练掌握提取公因式法、平方差公式、完全平方公式三种核心分解方法。 3.牢记因式分解要求：结果为整式乘积形式、分解必须彻底。 4.掌握 “一提、二套、三检查” 的基本解题步骤。 1.能准确识别多项式特征，灵活选择合适的分解方法。 2.提升代数式恒等变形能力、运算化简能力。 3.学会将多项式整体看待，解决含多项式公因式、整体套用公式的题型。 4.能运用因式分解进行简便运算，初步解决简单实际应用问题。 1.基础题：快速准确完成常规多项式因式分解，杜绝符号、漏项、分解不彻底等易错问题。 2.中档题：熟练处理综合型分解题型，规范书写解题步骤。 3.拓展题：能结合因式分解进行求值、比较大小、简单推理，适应期末综合考查形式。 4.做到审题细致、答题规范，保证该章节题型得分率。 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.添括号 题型06.公式法分解因式判断 题型07.平方差公式分解因式 题型08.完全平方公式分解因式 题型09.综合运用公式法分解因式 题型10.综合法分解因式 题型11.实数范围内分解因式 题型12.因式分解与新定义运算 题型13.整体换元法分解多项式 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解判定三角形形状题 题型16.因式分解中配方法应用 题型17.因式分解整除性相关证明 题型18.因式分解中最值问题. 知识点01:基础概念与基本规则 1. 定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解。 2. 互逆关系 整式乘法：整式相乘 → 多项式（展开） 因式分解：多项式 → 整式相乘（合并），二者互为逆运算。 3. 三大解题原则（阅卷必查） (1)结果必须是整式乘积形式，不含加减运算； (2)分解彻底，每个因式都不能再继续分解； (3)多项式首项系数为正数，括号内首项不为负。 4. 典型错误判定（选择题常考） 结果含加减、出现分式、分母带字母，均不属于因式分解； 分解后再次展开，混淆与整式乘法的关系。 知识点02：提公因式法（通用第一步） 1. 公因式查找方法 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数 6x2-9x，系数 6、9，最大公约数为 3 字母 选取所有项共有的字母 a2b+ab2，公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x4、x2，取x2 2. 特殊公因式：多项式型公因式 符号转换规律（高频考点） (y-x) = -(x-y) (y-x)2 = (x-y)2 (y-x)3 = -(x-y)3 3. 解题步骤 1.确定完整公因式；2. 整体提取公因式；3. 剩余项为1时不可省略；4. 调整符号，保证首项为正。 4. 常见易错点 漏写剩余常数1、只提字母不提系数、相反数形式因式符号转换出错。 知识点03:公式法（两个必考公式） 公式名称 公式形式 多项式结构特征 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 二项式、两项异号、两项都能写成平方 完全平方和 a2+2ab+b2=(a+b)2 三项式、首尾平方同正、中间项为2ab 完全平方差 a2-2ab+b2=(a-b)2 三项式、首尾平方同正、中间项为-2ab 补充：公式里的a、b可以是单项式，也可以是多项式（整体思想）。 知识点04:因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理 化简符号，规范书写结果 知识点05:常见综合题型与变形技巧 1.先提公因式，再套公式（期末主流综合题） 多项式既有公因式，又符合公式特征，严格按 “先提后套” 顺序解题。 2.整体思想 把括号内的多项式看成一个整体，整体提公因式、整体套用公式。 3.分组分解（基础拓展） 四项及以上多项式，合理分组，分组后分别提公因式或套公式，组间再继续分解。 4.化简后再分解 多项式含同类项时，先合并同类项，再进行因式分解。 知识点06:易错汇总 错误做法 正确做法 出错原因 不提公因式直接套用公式 先提公因式，再套用公式 解题顺序混乱，分解不彻底 两项同号套用平方差公式 平方差必须两项异号 公式特征记混 完全平方中间项缺少系数 2 中间项必须是两倍乘积 公式记忆不全 首项为负不提负号 首项负，先提取负号 书写格式不规范 提取公因式后空位不写 1 全部提完剩余项补 1 细节疏漏 分解结果还有加减算式 结果必须全部写成乘积形式 概念理解错误 参数题只写单一答案 分类讨论，正负双解 考虑问题不全面 题型01.因式分解的判断 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式，不是乘积形式，不是因式分解； B、，等式右边是差的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解； D、，不是整式，等式右边不是整式乘积，不是因式分解． 2．下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； B选项右边未化为几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； C选项是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； D选项将多项式化为两个整式的乘积，变形正确，符合因式分解定义. 3．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义； C、，右边中不是整式，不符合要求； D、，原式变形错误，不符合要求． 4．下列各式属于因式分解且正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是关键． 因式分解是指把一个多项式化为几个整式积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A：是整式乘法运算，不符合因式分解定义，故A错误； 对于选项B：右边不是整式的乘积形式，不符合因式分解定义，故B错误； 对于选项C：，变形错误，故C错误； 对于选项D：，符合因式分解定义，且变形正确，故D正确． 故选：D． 题型02.因式分解的参数问题 5．已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 【答案】6 【分析】先设另一个因式为，根据多项式乘法展开后与二次三项式对应系数相等，从而求解出n的值． 【详解】解：设二次三项式 的另一个因式为， ， 所以有，，， 解得，． 6．若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 7．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】首先设原式，进而求出即可． 【详解】解：原式 故，，， 解得：，，或，，， ∴． 故选C． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键． 8．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2), (3) 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，把代入， ∴ ∴； （2）解：把和分别代入， 即 解得： （3）解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 题型03.公因式 9．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将多项式分解因式，应提取的公因式是． 10．将多项式分解因式时，应提取的公因式是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了公因式，确定公因式时，系数取各项系数的最大公因数，字母部分取各项相同字母的最低次幂． 【详解】解：多项式中，系数6和3的最大公因数是3，字母的最低次幂是，字母的最低次幂是，因此公因式为， 故答案为：． 11．写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 【答案】 2 【分析】本题考查了多项式最大公因式的确定方法，掌握先找系数的最大公约数，再找各字母的最小指数的步骤是解题的关键． 对于每个多项式，先找出系数的最大公约数，再确定变量部分的最小指数，组合得到最大公因式． 【详解】解：（1）多项式的系数和的最大公约数为，变量和无公共变量，故最大公因式为； （2）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，故最大公因式为； （3）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，变量的最小指数为，故最大公因式为． 故答案为：；；． 12．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 题型04.提公因式法分解因式 13．已知一长方形的长宽分别为a，b，其周长为8，面积为2，则____． 【答案】8 【分析】根据题意得出，然后因式分解为，整体代入求解即可； 【详解】解：∵长宽分别为的长方形，周长为8，面积为2， ， ， ∴． 14．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的混合运算，利用负数的奇偶次幂的性质化简表达式，再提取公因式计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 15．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式即可分解因式； （2）先处理符号问题得到，再提公因式，结合整式运算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，合并同类项，解题的关键是掌握提公因式法． （1）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （2）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （3）先提取公因式，然后合并同类项，再提取公因式即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型05.添括号 17．（_____）；（_____）． 【答案】 【分析】根据等式变形，结合添括号法则求解即可. 【详解】解：对于第一个等式，整理等式左边得 因此第一个括号内应填. 对于第二个等式，先去括号再整理得 因此第二个括号内应填. 18．若，则代数式的值为___________． 【答案】 2026 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体代入思想的应用．将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：2026． 19．若，则___________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求代数式的值，代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：3． 20．不改变多项式的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“”，则结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了添括号，解题的关键是掌握添括号法则． 根据添括号法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 题型06.公式法分解因式判断 21．下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．再逐一判断各选项是否能用于分解因式. 【详解】解：选项A： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ， ∵， ∴ 能用公式法分解因式. 故选：D 22．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 23．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的特点判断即可； 【详解】不能用完全平方公式，故A不符合题意； 不能用完全平方公式，故B不符合题意； ，能用完全平方公式，故C符合题意； 不能用完全平方公式，故D不符合题意； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键． 24．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】检查每个多项式是否适用于平方差公式或完全平方公式进行因式分解； 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ① = = = ，能用平方差公式分解； ② = = ，能用平方差公式分解； ③ = ，能用完全平方公式分解； ④ 无法用公式法分解； 能用公式法因式分解的有①、②、③，共3个． 故选：C． 题型07.平方差公式分解因式 25．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 26．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的方法∶提公因式法、平方差公式、完全平方公式即可判断各选项，注意分解结果要彻底． 【详解】解：A、，本选项的因式分解错误； B、，本选项的因式分解错误； C、，本选项的因式分解错误； D、，本选项的因式分解正确． 27．下列能用平方差公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能用平方差公式分解因式的式子需满足是两个平方项的差，据此对各选项进行判断即可。 【详解】解A、是三项，不符合结构要求，不能用平方差公式分解； B、是三项，不是两个平方项的差，不能用平方差公式分解； C、是三项，不符合平方差公式的结构要求，不能用平方差公式分解； D、是与的平方的差，符合平方差公式的结构，能用平方差公式分解． 28．分解因式（或利用因式分解计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型08.完全平方公式分解因式 29．多项式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用完全平方公式对多项式进行因式分解即可． 【详解】解：∵完全平方公式为， ∴． 30．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解定义（因式分解要求结果为几个整式的乘积形式）以及平方差公式，完全平方公式等知识内容，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、等式本身成立，但右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 31．已知下列多项式：①；②；③；其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（        ） A．②③④ B．②③ C．① D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查用完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式，检查每个多项式是否符合该形式． 【详解】解：完全平方公式为， 对于①，它的中间项为，不符合完全平方公式中的形式，故不能用完全平方公式因式分解； 对于②，符合公式； 对于③，符合公式； 对于④，平方项和异号，且不是平方项的正形式，故不能用完全平方公式因式分解； ∴能用完全平方公式进行因式分解的有②③． 故选：B． 32．因式分解：． 【答案】 【分析】首先将原式中变形为，提取负号后将原式转化为含公因式的形式；接着提取公因式，对剩余多项式分组分解，先分组为，再分别提取公因式，最终分解为． 【详解】解： ． 33．下面是喜羊羊同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不彻底， (2) 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，灵活运用完全平方公式分解因式是解题的关键． （1）中的还可以运用完全平方公式分解因式，即可得到答案； （2）设，原式可化为，根据完全平方公式可得，所以可化为，进一步运用完全平方公式即得到答案． 【详解】（1）解：不彻底，设， 原式 ； （2）设， 原式 ． 题型09.综合运用公式法分解因式 34．将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 35．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 36．因式分解：． 【答案】 【分析】本题对二次三项式因式分解，采用配方法结合平方差公式：先配方构造完全平方式，再将剩余常数项转化为平方数，最后用平方差公式分解化简，得到结果． 【详解】解： ． 37．因式分解：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式展开，再利用完全平方公式以及平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 题型10.综合法分解因式 38．分解因式后得，则n等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】将分解后的因式利用平方差公式展开，和原式对比对应系数，即可计算得到的值． 【详解】解： ， ， 又 ，多项式相等对应系数相等， 可得 ， 所以或 由选项可得A符合题意． 39．因式分解：________． 【答案】 【分析】先对原式变形构造公因式，再提取公因式，最后利用平方差公式进行二次因式分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 40．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】先逐步对原式因式分解，再判断各选项内容即可. 【详解】解： ； ∴●代表，选项A正确， ☆代表，选项B正确， 分解过程第一步为提公因式法，第二步为平方差公式法，因此△可以代表提公因式法，选项C正确，□代表平方差公式法，不是完全平方公式法，选项D错误. 41．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 42．因式分解：． 【答案】 【分析】先提公因式，再分解和，最后提公因式即可求解． 【详解】解： 题型11.实数范围内分解因式 43．将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查在实数范围内利用平方差公式进行因式分解，先将常数项转化为实数的平方形式，再进一步求解即可． 【详解】解： 故选：B． 44．在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】实数范围内的因式分解，需分解彻底，且结果中根式要化为最简，利用提取公因式结合平方差公式分解即可． 【详解】解： A．未彻底分解，不合题意； B．二次根式未化简，不合题意； C．因式分解正确，符合题意； D．括号内符号错误，不合题意． 45．在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 对于二次三项式，通过配方法将其转化为完全平方式与常数的差，然后利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型12.因式分解与新定义运算. 46．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m、n的平方差，且，则称这个正整数为 “智慧优数”．例如：，16 就是一个 “智慧优数”，可以利用进行研究．若将  “智慧优数” 从小到大排列，则第 5 个 “智慧优数”是________． 【答案】20 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 根据智慧优数的定义，枚举满足条件的平方差，从小到大排列并去重，找到第5个数，即可解题． 【详解】解：、为正整数且． 则当，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； …．将所得数从小到大排列并去重，得序列：，，，，，…， 故第5个智慧优数为． 故答案为：． 47．对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为______． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 48．定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b的平方差，即，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”.若将“双方数”从小到大排列，前3个“双方数”的和为______；第100个“双方数”为______． 【答案】 140 158404 【分析】本题考查因式分解的应用、数字变化类，设，，则，可得要使M是“双方数”，则必须是一个正整数的平方，设，则，根据所求计算即可． 【详解】解：设，，n为大于0的自然数，则， ∴要使M是“双方数”，则必须是一个正整数的平方， 设， ∵n为大于0的自然数， ∴是一个奇数， ∴k为奇数， ∴ ∴当时，（第1个“双方数”）； 当时，（第2个“双方数”）； 当时，（第3个“双方数”）. ∴前3个“双方数”的和为， 根据以上规律，当M是第100个“双方数”时，，此时． 故答案为140，158404． 49．符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如：，请根据以上阅读材料完成下列 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)若二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项，求a的值； (3)若二阶行列式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】（1）根据题意可得，则可得到，据此可得答案； （2）根据题意可得，求出的展开结果，根据结果中不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，据此求解即可； （3）根据题意可得，则可求出，把所求式子变形为，然后把代入继续变形求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型13.整体换元法分解多项式 50．若，，则=_________ 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 将表达式因式分解后代入已知条件求解即可． 【详解】， 代入和，可得：， 故答案为：． 51．已知：，，则的值为_____ 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，因式分解，代数式求值． 根据完全平方公式可得，对进行因式分解，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， ∴的值为． 故答案为：． 52．已知，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用． 先由已知方程求得和，再把转化为，依次整体代入和计算便可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 53．若，求________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简，因式分解，熟悉掌握因式分解是解题的关键． 利用因式分解运算求解即可． 【详解】解：∵，即 ∴ 故答案为：． 54．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将因式分解为，然后代入计算即可； （2）根据，，得，再代入计算，最后根据平方根的定义可得答案； （3）根据求得，计算得，继而得到，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， 当时，； 当时，； ∴的值为． 题型14.因式分解的应用 55．若多项式，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法公式，将原多项式通过拆分项配方，利用平方的非负性求出和的值，再代入计算的值． 【详解】解：∵， ∴， 由完全平方公式可得， ∵任意有理数的平方都是非负数，即，， ∴，， 解得，， ∴． 56．若实数，满足，，则的值是________． 【答案】5 【详解】解：， 解得． 57．已知长方形的长是a，宽是b，它的长与宽的和为7，面积为10．则的值为（   ） A．140 B．70 C．35 D．24 【答案】B 【分析】由题意可得，，再对进行因式分解，最后代入求值即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴． 58．已知两个不相等的实数满足：． (1)如果时，求的值； (2)求证：当为任意实数时，代数式为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）代入将两个式子作差，进行因式分解即可求出结果； （2）将两式作差求得与n的关系式，再将两式相加并代入该关系式化简，即可证明为定值． 【详解】（1）解：当时，已知等式为 ， ， 两式作差得 ， 因式分解得 ， ∵是不相等的实数 ， ∴ ， ∴等式两边同时除以，得 ； （2）证明：∵ ， ， ∴两式作差得 ， ∴ ， ∵，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴两个相加得 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴当为任意实数时，代数式为定值． 题型15.因式分解判定三角形形状题 59．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确地进行因式分解． 根据，，，得出，整理得出，求出，，，再判断三角形形状． 【详解】解：∵，，， ∴， 整理得：， 即， ∴，，， ∴此三角形为等腰三角形． 故选：A． 60．已知的三边长分别是，，，且满足，判断此三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握分解因式的方法是做题的关键．将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得三边关系，从而可以判断三角形的形状． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴ ， ∴是等边三角形． 故选：D． 61．已知a，b，c是的三边长，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，把因式分解后判断即可． 【详解】∵ ∴， ， ， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 故选：C． 62．阅读下列材料，回答问题： 我们把形如 或 的式子叫做完全平方式，利用完全平方式可以进行很多数学变形． 例如：若 求a， b的值． 解：原式可变形为 即 解得． 根据上述材料，解决下列问题： (1)若 求x， y的值； (2)已知 的三边长a，b，c满足 判断 的形状，并说明理由； (3)求代数式 的最小值． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 (3)2 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形为，利用非负数的性质即可求出答案； （2）原式变形为，根据非负数的性质即可求出答案； （3）原式配方得： ，利用非负数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：原式变形为： 即 ∵平方数非负，． 解得 （2）是等边三角形 理由： 两边乘2得： 变形为： ∵平方数非负性， ，即 是等边三角形． （3）原式配方得： ， ∴当时，原式取最小值2 题型16.因式分解中配方法应用 63．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”已知34是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式_____；若是整数，k是常数，且为“完美数”，则______． 【答案】 / 【分析】此题考查了配方法和完全平方公式的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．运用题中的新定义结合配方的方法确定出所求即可． 【详解】解：， 写成（a，b为整数）的形式为； ，且为“完美数”， ， ； 故答案为：；5． 64．［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； (3)仿照例2的步骤，求的最小值； (4)若，则______． 【答案】(1) 9 (2) (3) 最小值为6 (4) 【分析】（1）利用完全平方公式求解； （2）先凑成局部完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将变形为完全平方加有理数的形式即可； （4）利用完全平方公式将变形为，求出x和y即可． 【详解】（1）解：， 故横线上添加9； （2）解： ； （3）解：； 由于，所以， 即的最小值为6； （4）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 65．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)1 【分析】本题考查配方法，涉及公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据公式可直接得出答案； （2）根据题目要求配方得，利用平方的非负性即可求解； （3）根据题目要求配方可得，利用平方的非负性即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得，， 则，， 故． （3）解：， ， ， 即的最小值为1． 题型17.因式分解整除性相关证明 66．若为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数不能取（    ） A．5 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】先利用完全平方公式计算，再将代数式分组为一定被4整除的一组和需要确定范围的一组，找到能被整除的数即可得答案． 【详解】解： ． ∵的值总能被4整除，n为任意整数， ∴总能被整除． 整数k为、1、5均满足条件，故选项A、C、D不符合题意， 整数k为，，不能满足n为任意整数时的值总能被4整除， 选项B符合题意． 67．判断能被下列哪个数整除（    ） A．9 B．13 C．15 D．17 【答案】D 【分析】将原式中各幂转化为同底数幂的形式，提取公因式化简后，即可判断原式含有的因数，得到结果． 【详解】解：∵== ==8 × × ∴ 原式 ∵ 是正整数， ∴ 原式能被整除． 68．对于任意整数，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被16整除 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式因式分解与整除的性质，将多项式因式分解后，即可判断其整除性. 【详解】解： ； ∵是任意整数， ∴是整数， ∴一定能被整除，即多项式能被整除. 69．【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 【答案】(1)C (2) 见解析 (3)2 【分析】（1）对因式分解，确定其因数，得到符合要求的选项； （2）利用平方差公式分解原式，化简后根据正整数的性质证明原式含因数24即可； （3）根据整除要求推导得到满足的条件，计算得到的最小值. 【详解】（1） 解：， 为正整数， 是整数， 一定能被14整除； （2）证明： ； 是正整数，和是连续正整数， 能被2整除， 能被整除， 能被24整除； （3）解：由（2）得， 能被36整除， 是整数，即能被3整除， 是正整数，和是连续正整数， 当时，，不能被3整除， 当时，，能被3整除， 的最小值为2. 题型18.因式分解中最值问题. 70．假设是整数，是正整数，那么的最小可能值是多少？（） A． B． C． D． E． 【答案】B 【分析】利用配方法对二次多项式变形，根据为整数为正整数的条件，求出多项式的最小可能值． 【详解】解：由 ， ∵为整数，为正整数， ∴必为整数，平方数非负，的最小取值为， ∵是正整数， ∴的最小取值为， 当时，可取，满足是整数的要求，此时， ∴代入得原式的值为， 当时，， 因此原式最小可能值为． 71．已知实数满足为自然数，则的最小值是（    ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】C 【分析】本题考查因式分解及配方法确定代数式取值范围，联立等式消去n，结合的条件得出a与b的关系，再将n转化为关于a的二次式，结合自然数的要求确定最小值． 【详解】解：∵ ∴ 整理得 因式分解得 即 ∵ ∴，即 将代入，得 ∵ ∴，解得 ∴，故 又∵n为自然数 ∴n的最小值是13． 故选：C． 72．已知满足，则有（   ） A．最小值 B．最小值10 C．最大值2 D．最大值10 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解及偶次幂的非负性，熟练掌握因式分解是解题的关键；由给定方程解出b，代入得到关于a的多项式，然后通过配方求最大值即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 配方：， ∵， ∴，当时取等号， ∴有最大值10； 故选D． 73．已知为正整数，计算发现代数式能被某些正整数整除，这些正整数中最大的是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式化简代数式是解题关键． 利用平方差公式化简代数式，观察化简后的式子，判断其中恒定存在的正整数因数，即可判断出结果． 【详解】， 又∵n为正整数， ∴和为连续整数，其中必有一个数为偶数，即必为偶数，恒有因数2， ∴恒能被整除， 当时，原式，不能被36整除，故这些正整数中最大的是24， 故选：C． 74．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 【答案】(1) (2)时，多项式有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $