专题07 概率（暑假复习讲义）新高二数学苏教版

专题07 概率 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 确定性事件与随机事件的概率 题型2 用频率估计概率 题型3 计算古典概型问题的概率 题型4 有放回与无放回问题的概率 题型5 互斥事件、对立事件、独立事件的辨析 题型6 互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算 题型7 概率大题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 确定性事件与随机事件的概率 给出生活情境，判断事件是必然、不可能还是随机；或给定概率值，判断事件类型。 2. 用频率估计概率 根据多次试验的频数或频率表，估计某事件概率；或比较不同试验次数下的频率稳定性。 3. 计算古典概型问题的概率 从有限个等可能结果中（如掷骰子、摸球、抽卡片、抛硬币）求指定事件的概率，常结合列举法或组合数计数。 4. 有放回与无放回问题的概率 摸球、抽签等问题中，分别计算有放回和无放回情况下某事件的概率，比较差异。 5. 互斥事件、对立事件、独立事件的辨析 给出两个事件，判断它们是否互斥、是否对立、是否独立；或根据概率值判断关系。 6. 互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算 已知两个事件的概率，求它们至少一个发生的概率、同时发生的概率、恰有一个发生的概率等，需正确选用加法或乘法公式。 7. 概率大题 综合应用题，如比赛胜负、产品质量检测、抽奖活动等，要求画出树状图或列出所有可能，分步分类计算概率，有时涉及条件概率或最值问题。 考情解码：概率计算的核心是准确刻画事件关系，选择正确公式。先判断试验类型（古典概型、独立重复、有放回等），再分析事件之间是互斥、独立还是包含关系，最后选用加法、乘法或对立事件公式。复杂问题通常分解为若干互斥子事件（分类），每个子事件再分解为独立步骤（分步）。注意区分“频率”与“概率”，以及“有放回”与“无放回”对样本空间的影响。 知识点一 随机事件的概率 1、古典概型的定义 （1）有限性：样本空间的样本的只有有限个 （2）等可能性：每个yangben 点发生的可能性相等 2、古典概型的概率计算 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 3、概率的性质 性质1　对任意的事件，都有. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么. 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么. 性质5　如果，那么. 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有. 4、频率与概率 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 频率是概率的近似值，常用频率估计概率 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 【易错提醒】 若,则事件不一定对立 即时即练（25-26高二下·吉林长春·期中）把1、2、3、4四个数字随机排成一行，从左到右依次读取，从第二个数开始，每当读到的数字比前面所有数字都大时，称该数为一个“新高”.记排列中“新高”的个数为随机变量，则______. 知识点二 互斥事件与独立事件 1、互斥事件和对立事件的概念及辨析 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 2、可以从以下方面辨析互斥与对立事件 （1）两事件对立必定互斥，但是互斥未必对立。对立属于互斥的一个特例。 （2）互斥适应于多个事件，但是对立只适于两个事件。 （3）从集合的角度去辨析互斥与对立事件。 3、相互独立事件 （1）对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. （2）如果事件A与B相互独立，那么与，与B，与也都相互独立 4、相互独立事件与互斥事件的概率计算 事件 事件表示 概率 A、B互斥 A、B相互独立 A与B至少一个发生 A与B同时发生 0 A与B都不发生 A与B中只有一个发生 【易错提醒】 1、用集合的思想去解决事件问题，对事件的包含关系、交事件、并事件的计算 2、结合互斥与对立事件，对事件概率的运算 3、对于独立事件，必须遵循。 即时即练（25-26高一下·吉林长春·期中）设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与互斥，则 题型1 确定性事件与随机事件的概率 例1．（25-26高一下·全国·课后作业）投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 【技巧总结】 确定性事件（必然事件概率为1，不可能事件概率为0）与随机事件（概率在0到1之间）。 【变式训练1-1】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）下列说法正确的是（    ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生；         ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【变式训练1-2】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 题型2 用频率估计概率 例1．（25-26高二下·海南·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 例2．（多选）（2026·河南开封·模拟预测）某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则（   ） A．估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B．这1000名志愿者中年龄在的有175人 C．估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为 D．以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在的概率为0.2 【技巧总结】 用频率估计概率的方法总结：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即为概率的估计值；试验次数越多，估计越准确，但频率本身是随机变量。 【变式训练2-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2-2】（25-26高一下·天津·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 题型3 计算古典概型问题的概率 例1．（25-26高二下·陕西榆林·期中）早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，且个位用纵式，十位用横式，则个位上的算筹比十位多的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是______． 【技巧总结】 1、 确认是否为古典概型：试验样本空间有限（样本点总数有限），每个样本点发生的可能性相等。 2、 明确样本空间：列出或计算所有可能的基本事件总数 n。 3、 确定目标事件：明确所求事件包含哪些基本事件，并计数 m。 4、计算概率：概率。 检查是否需考虑顺序、分组等,注意计数时使用排列还是组合，确保分子分母一致。 【变式训练3-1】（25-26高一下·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）一个质地均匀的正四面体骰子，其每面分别标有数字1，2，3，4，记录每次抛掷向下这个面的点数，一旦连续两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子.已知第一次抛出的点数为1，则以数字1结束的概率是__________. 题型4 有放回与无放回问题的概率 例1．（25-26高一下·天津·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字和为5的概率．（要求先列出样本空间和随机事件再求） (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的． 例2．（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【技巧总结】 有放回问题：每次抽取相互独立，样本总数不变，用乘法原理计算概率。 无放回问题：每次抽取影响后续，样本总数递减，需用组合数（或排列数）计算，常用超几何分布模型。 【变式训练4-1】（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________． 【变式训练4-2】（25-26高二上·广东江门·期末）已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 题型5 互斥事件、对立事件、独立事件的辨析 例1．（多选）（25-26高二下·甘肃陇南·期中）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．A与B相互独立 D．A与D互为对立 例2．（2026·青海海东·二模）（多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 【技巧总结】 1、互斥事件：A与B不能同时发生，即 。 2、对立事件：A与B互斥且必有一个发生，即 ，。 3、相互独立事件：A的发生与否不影响B发生的概率，即 。 【变式训练5-1】（26-27高三·全国·一轮复习）如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 【变式训练5-2】（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 题型6 互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算 例1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）（多选）已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立 例2．（多选）（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【技巧总结】 1、互斥事件：若事件A与B互斥，则概率满足加法公式 ，注意互斥不同时发生。 2、对立事件：A与Ā对立，则 ，是互斥的特例且并集为全集。 3、独立事件：A与B独立时，满足乘法公式；注意区分互斥与独立（互斥一定不独立，除非概率为0）。 4、概率计算时，常借助韦恩图或文氏图直观分析事件关系，再结合加法公式（并）、乘法公式（交，需注意独立性）求概率。 【变式训练6-1】（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 题型7 概率大题 例1．（2026·北京顺义·三模）为更好的进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之前集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案的支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 方案二 120人 30人 40人 60人 假设每位学生对活动方案是否支持是相互独立事件． (1)分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； (2)从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； (3)将该年级学生支持方案二的概率估计值记为．假设该年级某班有20名男生和30名女生，除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明） 例2．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 【技巧总结】 将复杂事件拆分为若干互斥子事件（分类讨论），或转化为独立事件的积（分步完成），结合对立事件简化计算。 【变式训练7-1】（25-26高三·全国·一轮复习）某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 【变式训练7-2】（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 2．（25-26高二下·上海松江·期中）祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到和之间．在8张质地相同的卡片上分别写有数字3，1，4，1，5，9，2，6，从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为______． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在生活中，我们有时要用抽签的方法决定一件事情，例如5张彩票中有1张为中奖彩票，5个人按照顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的中奖彩票，那么先抽还是后抽（后抽的人不知道先抽的人抽出的结果）对每个人来说公平吗？也就是说，每个人抽到中奖彩票的概率相同吗？ 4．（25-26高一下·四川·阶段检测）某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 6．（2026·广东广州·模拟预测）（多选）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（    ） A．A与B独立 B．B与C对立 C． D． 7．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）（多选）下列描述正确的是（    ） A．若事件满足，则与是对立事件 B．若，则事件与相互独立 C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是互斥事件 D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，不放回地从中随机地取出两球，第二次取到红球的概率为 8．（25-26高一下·江苏扬州·期中）（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 9．（25-26高一上·北京·阶段检测）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 10．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 确定性事件与随机事件的概率 题型2 用频率估计概率 题型3 计算古典概型问题的概率 题型4 有放回与无放回问题的概率 题型5 互斥事件、对立事件、独立事件的辨析 题型6 互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算 题型7 概率大题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 确定性事件与随机事件的概率 给出生活情境，判断事件是必然、不可能还是随机；或给定概率值，判断事件类型。 2. 用频率估计概率 根据多次试验的频数或频率表，估计某事件概率；或比较不同试验次数下的频率稳定性。 3. 计算古典概型问题的概率 从有限个等可能结果中（如掷骰子、摸球、抽卡片、抛硬币）求指定事件的概率，常结合列举法或组合数计数。 4. 有放回与无放回问题的概率 摸球、抽签等问题中，分别计算有放回和无放回情况下某事件的概率，比较差异。 5. 互斥事件、对立事件、独立事件的辨析 给出两个事件，判断它们是否互斥、是否对立、是否独立；或根据概率值判断关系。 6. 互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算 已知两个事件的概率，求它们至少一个发生的概率、同时发生的概率、恰有一个发生的概率等，需正确选用加法或乘法公式。 7. 概率大题 综合应用题，如比赛胜负、产品质量检测、抽奖活动等，要求画出树状图或列出所有可能，分步分类计算概率，有时涉及条件概率或最值问题。 考情解码：概率计算的核心是准确刻画事件关系，选择正确公式。先判断试验类型（古典概型、独立重复、有放回等），再分析事件之间是互斥、独立还是包含关系，最后选用加法、乘法或对立事件公式。复杂问题通常分解为若干互斥子事件（分类），每个子事件再分解为独立步骤（分步）。注意区分“频率”与“概率”，以及“有放回”与“无放回”对样本空间的影响。 知识点一 随机事件的概率 1、古典概型的定义 （1）有限性：样本空间的样本的只有有限个 （2）等可能性：每个yangben 点发生的可能性相等 2、古典概型的概率计算 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 3、概率的性质 性质1　对任意的事件，都有. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么. 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么. 性质5　如果，那么. 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有. 4、频率与概率 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 频率是概率的近似值，常用频率估计概率 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 【易错提醒】 若,则事件不一定对立 即时即练（25-26高二下·吉林长春·期中）把1、2、3、4四个数字随机排成一行，从左到右依次读取，从第二个数开始，每当读到的数字比前面所有数字都大时，称该数为一个“新高”.记排列中“新高”的个数为随机变量，则______. 【答案】/0.25 【分析】用列举法写出“新高”的个数为2的排列，计数后由概率公式计算概率. 【详解】把1、2、3、4四个数字随机排成一行，有24种可能，其中“新高”的个数为2的有：2134，2314，2341，1243，1324，1342共6个， 所以 知识点二 互斥事件与独立事件 1、互斥事件和对立事件的概念及辨析 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 2、可以从以下方面辨析互斥与对立事件 （1）两事件对立必定互斥，但是互斥未必对立。对立属于互斥的一个特例。 （2）互斥适应于多个事件，但是对立只适于两个事件。 （3）从集合的角度去辨析互斥与对立事件。 3、相互独立事件 （1）对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. （2）如果事件A与B相互独立，那么与，与B，与也都相互独立 4、相互独立事件与互斥事件的概率计算 事件 事件表示 概率 A、B互斥 A、B相互独立 A与B至少一个发生 A与B同时发生 0 A与B都不发生 A与B中只有一个发生 【易错提醒】 1、用集合的思想去解决事件问题，对事件的包含关系、交事件、并事件的计算 2、结合互斥与对立事件，对事件概率的运算 3、对于独立事件，必须遵循。 即时即练（25-26高一下·吉林长春·期中）设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与互斥，则 【答案】C 【分析】依据概率的基本性质、对立事件、事件包含关系、互斥事件的定义逐一验证选项，判断是否必然成立。 【详解】对于A：是事件的对立事件，满足且，由概率加法公式可得，故A一定成立； 对于B：若，说明事件的全部样本点都属于事件，所以，故B一定成立； 对于C：若，由概率加法公式得，当且仅当即时，才有，若存在公共样本点，该等式不成立，故C不一定成立； 对于D：若与互斥，根据互斥事件定义得，空集的概率为0，因此，故D一定成立. 题型1 确定性事件与随机事件的概率 例1．（25-26高一下·全国·课后作业）投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据概率的概念和随机事件的概念逐一判断. 【详解】①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故①正确； ②“出现1点”是随机事件，故②错误； ③概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故③错误； ④连续掷3次，每次都出现最大点数6时三次出现的点数之和为18， 所以连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19，故④正确． 故选：B． 例2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 【答案】D 【分析】根据确定性事件和随机事件的定义判断. 【详解】选项A，C是不可能事件，它们的概率都是0，正确． 选项B是必然事件，概率是1，正确． 选项D不是必然事件，概率不是1，D错误． 故选：D. 【技巧总结】 确定性事件（必然事件概率为1，不可能事件概率为0）与随机事件（概率在0到1之间）。 【变式训练1-1】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）下列说法正确的是（    ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生；         ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据必然事件、可能事件、概率的概念进行判断即可. 【详解】对于①： 因为，所以事件“”必然发生，所以①错误； 对于②： 频率是随机试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是事件发生的可能性的稳定值，频率会随着试验次数的变化而变化，只有当试验次数很大时，频率才会接近概率，二者不相等，所以②错误； 对于③： 概率为的事件不是必然事件，必然事件的概率是，所以③错误； 对于④： 确定事件（必然事件和不可能事件）也有概率，必然事件概率为1，不可能事件概率为0，所以④错误； 对于⑤： 任何事件发生的概率都满足，所以⑤正确. 故选：A. 【变式训练1-2】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】根据②为不可能事件，可知男生人数少于5人，结合③为随机事件可知男生人数不少于3人，即可得出结果. 【详解】依题意知②为不可能事件，所以10名同学中，男生人数少于5人， ③为随机事件，所以男生人数不少于3人， 男生有名，故或． 故选：CD 题型2 用频率估计概率 例1．（25-26高二下·海南·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用概率的性质求解即可. 【详解】由概率的性质得无论试验多少次，概率始终不变， 故第2027次出现正面朝上的概率是，故C正确. 例2．（多选）（2026·河南开封·模拟预测）某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则（   ） A．估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B．这1000名志愿者中年龄在的有175人 C．估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为 D．以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在的概率为0.2 【答案】ABC 【详解】对于A，估计这1000名志愿者年龄的众数为，故A正确； 对于B，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 所以这1000名志愿者中年龄在的有人，故B正确； 对于C，前2组的频率为， 前3组的频率为， 所以估计中位数在第3组，设中位数为， 则，解得， 因此，估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为，故C正确； 对于D，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选1人，其年龄均在的概率为0.2， 因此，从该公益组织所有志愿者中任选2人， 其年龄均在的概率为，故D错误. 【技巧总结】 用频率估计概率的方法总结：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即为概率的估计值；试验次数越多，估计越准确，但频率本身是随机变量。 【变式训练2-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】同时开放1、2两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 同时开放2、 3两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 所以1疏散乘客比3快； 同理可得4疏散乘客比2快，5疏散乘客比3快，4疏散乘客比1快， 2疏散乘客比5快，所以疏散乘客最快的一个安全出口的编号是4． 【变式训练2-2】（25-26高一下·天津·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，在组随机数中，恰好第三次结束时就停止有、、、、，共有组， 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 则恰好第三次结束时就停止的概率，故C正确. 题型3 计算古典概型问题的概率 例1．（25-26高二下·陕西榆林·期中）早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，且个位用纵式，十位用横式，则个位上的算筹比十位多的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有种， 所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为. 则个位上的算筹比十位多的概率为. 例2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是______． 【答案】 【详解】从这7张卡片中随机抽取3张，总共， 已知所抽取卡片上数字的最小值为2， 必须抽到2，且不能抽到1， 第一种情况，只抽到一张2，另外2张卡片必须从3，4，5，6中选取， 故不同的抽取数为； 第二种情况，抽到2张2，另外1张卡片必须从3，4，5，6中选取， 故不同的抽取数为 所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是：． 【技巧总结】 1、 确认是否为古典概型：试验样本空间有限（样本点总数有限），每个样本点发生的可能性相等。 2、 明确样本空间：列出或计算所有可能的基本事件总数 n。 3、 确定目标事件：明确所求事件包含哪些基本事件，并计数 m。 4、计算概率：概率。 检查是否需考虑顺序、分组等,注意计数时使用排列还是组合，确保分子分母一致。 【变式训练3-1】（25-26高一下·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】从中随机选取三个不同的数 有，，，，，，，，，，共10种情况， 其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于的有，，，，共种情况， 所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为，故C正确. 【变式训练3-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）一个质地均匀的正四面体骰子，其每面分别标有数字1，2，3，4，记录每次抛掷向下这个面的点数，一旦连续两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子.已知第一次抛出的点数为1，则以数字1结束的概率是__________. 【答案】 【分析】通过抛的次数得到满足条件的概率的等量关系式，计算得解. 【详解】设上一次抛出的点数为（，2，3，4）且游戏未结束， 接下来游戏以数字1结束的概率记为， 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为1，这两次抛掷的点数之和为质数， 则停止抛骰子； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为2，这两次抛掷的点数之和为质数， 则停止抛骰子，但不是以数字1结束； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数，继续抛， 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为4，这两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子，但不是以数字1结束； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数， 第三次抛出的点数为1，第二次和第三次抛掷的点数之和不为质数，继续抛； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数， 第三次抛出的点数为2，第二次和第三次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子，但不是以数字1结束； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数， 第三次抛出的点数为3，第二次和第三次抛掷的点数之和不为质数，继续抛； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数， 第三次抛出的点数为4，第二次和第三次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子，但不是以数字1结束； 则有，得. 题型4 有放回与无放回问题的概率 例1．（25-26高一下·天津·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字和为5的概率．（要求先列出样本空间和随机事件再求） (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设不放回抽取两张标签数字和为5的事件为， 基本事件总数为， 样本空间为，，，，， 事件包含的基本事件数4，，，，， ． （2）设有放回抽取两张标签数字和为5的事件为， 基本事件总数为， 样本空间为，，，，. 事件包含的基本事件数4，即，，，， ． 例2．（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可； （2）放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个， 即． 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．基本事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 设事件＝“取出的两件中恰有一件次品”， 所以，所以， 所以 （2）有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为共9个样本点组成． 由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的． 设事件B＝“恰有一件次品”，则，所以， 所以. 【技巧总结】 有放回问题：每次抽取相互独立，样本总数不变，用乘法原理计算概率。 无放回问题：每次抽取影响后续，样本总数递减，需用组合数（或排列数）计算，常用超几何分布模型。 【变式训练4-1】（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________． 【答案】 【分析】求得总的取法数及符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解. 【详解】由题知是有放回地取球，所以每次都有5种不同取法，总取法有种， 而这列数中恰有4个不相同的数的取法有种， 故这列数中恰有4个不相同的数的概率为． 【变式训练4-2】（25-26高二上·广东江门·期末）已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】依题意，不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是. 故选：A. 题型5 互斥事件、对立事件、独立事件的辨析 例1．（多选）（25-26高二下·甘肃陇南·期中）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．A与B相互独立 D．A与D互为对立 【答案】ACD 【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D． 【详解】设2个白球为，，2个黑球为， 则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A正确； 对于B，因为， 所以事件B与C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，， 则， 故事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，因为，， 所以事件A与D互为对立，故D正确. 例2．（2026·青海海东·二模）（多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 【答案】BD 【分析】根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】“甲被选中”和“乙被选中”可以同时发生，所以不互斥，故A不合题意； “甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” 两个事件不会同时发生，故它们互斥， 同时两事件的并集{丙丁， 乙丁}不包含所有可能事件，即它们不对立，故B符合题意； “甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” 不会同时发生，即它们互斥， 且它们至少有一个发生，即两个事件相互对立，故C不合题意； “甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 不会同时发生，故它们互斥， 例如当选出的是{甲， 丁}时，该结果不属于这两个事件，即它们的并集不是全集，它们不对立，故D符合题意. 【技巧总结】 1、互斥事件：A与B不能同时发生，即 。 2、对立事件：A与B互斥且必有一个发生，即 ，。 3、相互独立事件：A的发生与否不影响B发生的概率，即 。 【变式训练5-1】（26-27高三·全国·一轮复习）如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 【答案】B 【分析】根据事件互斥、对立事件和必然事件的定义，逐一分析选项． 【详解】解：如图①所示，不是必然事件，是必然事件，与不互斥； 如图②所示，是必然事件，是必然事件，与互斥． 故选B. 【变式训练5-2】（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】D 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，共种情况； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则， 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则， 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 题型6 互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算 例1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）（多选）已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立 【答案】CD 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故错误； 对于B，若，则，故错误； 对于C，若A与B相互独立，则与也相互独立， 所以，故正确； 对于D，，可得， 所以，则A与B相互独立，故正确. 例2．（多选）（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项. 【详解】对于A，只有当与相互独立时，，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，与互斥，则， 那么，故C正确； 对于D，如果与相互独立， 那么，故D正确. 【技巧总结】 1、互斥事件：若事件A与B互斥，则概率满足加法公式 ，注意互斥不同时发生。 2、对立事件：A与Ā对立，则 ，是互斥的特例且并集为全集。 3、独立事件：A与B独立时，满足乘法公式；注意区分互斥与独立（互斥一定不独立，除非概率为0）。 4、概率计算时，常借助韦恩图或文氏图直观分析事件关系，再结合加法公式（并）、乘法公式（交，需注意独立性）求概率。 【变式训练6-1】（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 【变式训练6-2】（25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：； 选项B：; 选项C：； 选项D：. 题型7 概率大题 例1．（2026·北京顺义·三模）为更好的进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之前集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案的支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 方案二 120人 30人 40人 60人 假设每位学生对活动方案是否支持是相互独立事件． (1)分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； (2)从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； (3)将该年级学生支持方案二的概率估计值记为．假设该年级某班有20名男生和30名女生，除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) 估计该校高三男生支持方案一的概率为，女生支持方案一的概率为 (2) (3) 【分析】（1）利用频率估计概率，分别计算男、女生支持方案一的频率即可； （2）分“男生支持+1名女生支持”和“男生不支持+2名女生都支持”两类，结合独立事件、互斥事件概率公式计算求和； （3）对比目标班支持方案二的频率与全年级平均频率的大小，即可判断与的关系. 【详解】（1）由样本数据，抽取的男生中支持方案一的共50人，抽取男生总人数为， 因此男生支持方案一的概率估计值为； 抽取的女生中支持方案一的共80人，抽取女生总人数为， 因此女生支持方案一的概率估计值为. （2）记“抽取的1名男生支持方案一”为事件，“抽取的2名女生中恰有人支持方案一”为事件（）， “3人中恰有2人支持方案一”为事件， 则，， ，. 由题意知，事件与事件相互独立， 因此， 即 “3人中恰有2人支持方案一”的概率为. （3）全年级支持方案二的总频率， 该年级某班有20名男生和30名女生，设该班支持方案二的频率估计值为， 则. 即该班支持率低于全年级平均水平，因此去掉该班后剩余班级的平均支持率高于全年级平均，故. 例2．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 【答案】(1)，当时，最大值为 (2)①；②． 【分析】（1）设答对文化测试的第题，由 求解即可，再由基本不等式求最大值； （2）①由题意可得甲恰好通过文化测试和体育测试的一个，由此求解即可； ②设甲总分为分，，设乙总分为分，，由，求解即可. 【详解】（1）设答对文化测试的第题， 则甲恰好答对两道文化测试题的概率为： ， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时最大值为； （2）当时， ①甲通过文化测试的概率为， 则， 甲乙两人通过体育测试的概率均为， 则， 当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个， 故甲总分为1的概率为： ； ②乙通过文化测试的概率为，则同理可得， 设甲总分为分，，设乙总分为分，， ，， ， ， 故甲总分高于乙总分的概率为 ． 【技巧总结】 将复杂事件拆分为若干互斥子事件（分类讨论），或转化为独立事件的积（分步完成），结合对立事件简化计算。 【变式训练7-1】（25-26高三·全国·一轮复习）某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设事件“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道， 则样本空间为，， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． （2）设事件“任选一道灯谜，甲猜对”，事件“任选一道灯谜，乙猜对”， 事件“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”， 根据题意可得， ，，，． 因为，且，互斥， 由已知相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为． 【变式训练7-2】（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，则事件小李恰好有一关闯关成功，由条件结合概率加法公式和独立事件概率乘法公式求结论； （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，由条件结合概率公式列方程求，分别求出两人两关都通过的概率，再求结论． 【详解】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知相互独立，且， ， 则，， 设事件小李恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 所以， 所以当时，， 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为． （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 则结合（1）知事件相互独立，且，，，，， 因为小王，小李两关都闯关成功的概率为，即，得①， 设事件小王恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 由（1）有， 因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为，即，得②， 联立①，②得，解得或， 又，所以，， 所以小王两关都闯关成功的概率为， 小李两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为. 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 【答案】C 【分析】根据不可能事件的概念判断即可. 【详解】从10个数字中任取3个数字， 这3个数字的和大于或等于6， 小于5的情况不可能发生， 故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件． 故选：C 2．（25-26高二下·上海松江·期中）祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到和之间．在8张质地相同的卡片上分别写有数字3，1，4，1，5，9，2，6，从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为______． 【答案】 【详解】因为是有放回地抽取，所以第一次和第二次抽到写有数字1的卡片的概率均为：， 则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为：. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在生活中，我们有时要用抽签的方法决定一件事情，例如5张彩票中有1张为中奖彩票，5个人按照顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的中奖彩票，那么先抽还是后抽（后抽的人不知道先抽的人抽出的结果）对每个人来说公平吗？也就是说，每个人抽到中奖彩票的概率相同吗？ 【答案】答案见解析 【分析】可求出每人(在不知先抽的人抽出的结果)抽到的概率 【详解】不妨把问题转化为排序问题， 即把5张票随机地排列在位置1、2、3、4、5上，对于这张奖票来说， 由于是随机地排列，因此它的位置有5种可能 ，故它排在任一位置上的概率都是. 5个人按排定的顺序去抽，比如甲排在第三位上，那么他抽到奖票的概率，即奖票恰好排在第三个位置上的概率为. 因此不管排在第几位上去抽，在不知道前面的人抽出结果的前提下，得到奖票的概率都是. 因此，先抽还是后抽，对各人来说是公平的. 4．（25-26高一下·四川·阶段检测）某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出：因为直接受感染的人至少是，而恰有一人是由感染的，由此可计算出概率． 【详解】设直接受感染分别为事件，则事件是相互独立的， ，，，由题意可知，除了外，二人中恰有一人是由感染的， 由于二人中恰有一人是由感染的事件是，并且，， 所以， 所以中恰有两人直接受感染的概率是，故C正确. 5．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【答案】D 【详解】当A与B互斥，则， 当A与B相互独立，可知也相互独立，则， 所以. 6．（2026·广东广州·模拟预测）（多选）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（    ） A．A与B独立 B．B与C对立 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A，，，且, 因为，所以与独立. 选项B，因为， ，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 7．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）（多选）下列描述正确的是（    ） A．若事件满足，则与是对立事件 B．若，则事件与相互独立 C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是互斥事件 D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，不放回地从中随机地取出两球，第二次取到红球的概率为 【答案】BD 【详解】A选项，事件与发生的概率之和为，但两个事件未必互斥，例如抛一枚骰子，得到点数为1或2或3为事件，得到点数为2或3或4为事件，显然，但两个事件不互斥，所以A选项错误； B选项，，所以，故事件与事件相互独立，所以B选项正确； C选项，互斥事件是无法同时发生的，但“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是可以同时发生的，所以C选项错误； D选项，因为是不放回，第二次取到红球，则第一次可以取到红球，也可以取到绿球， 所以第二次取到红球的概率为：，所以D选项正确. 8．（25-26高一下·江苏扬州·期中）（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A正确； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件B与事件C不为互斥事件，D错误. 9．（25-26高一上·北京·阶段检测）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 【答案】(1)； 平均数为74（分）；中位数为分 (2)288 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1求得，根据频率分布直方图估计平均数，中位数； （2）由频率估计概率可得高一年级480名学生中成绩不低于70分的频率后可得人数； （3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故， 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）. 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分. （2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高一年级480名学生中成绩不低于70分的人数为. （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为， 则从中任取3人的所有可能结果为， ， ， ，，，，，，，，，，，，，，， 共20种. 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为. 10．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $