专题04 复数（暑假复习讲义）新高二数学苏教版

专题04 复数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 复数的概念与虚数单位 题型2 根据复数相等求参 题型3 复数的四则运算 题型4 复数的乘方运算 题型5 复数的几何意义 题型6 复数的模的性质 题型7 共轭复数的特征 题型8 复数范围内方程的根 题型9 复数的三角表示 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 复数的概念与虚数单位 判断一个数是实数、虚数还是纯虚数（看虚部是否为0，实部是否为0）； 2. 根据复数相等求参 两复数相等(实部与实部相等、虚部与虚部相等)，列方程组求参数（注意参数可能使分母为零等隐含条件）。 3. 复数的四则运算 加减法合并实部虚部；除法关键是分母实数化（乘共轭） 4. 复数的乘方运算 利用 i的幂的周期性（4次一循环）快速求值；也可以先化为三角形式再用棣莫弗定理（乘方时模乘方、辐角乘倍数）。 5. 复数的几何意义 复数与点、向量一一对应；模的几何意义与两点距离、圆等相关。常考给定复数形式判断对应点所在象限。 6. 复数的模的性质 性质常考三角不等式（两模和≥和模），以及平方、商、积、加法减法的模。 7. 共轭复数的特征 共轭的对称性（实轴反射） 8. 复数范围内方程的根 实系数二次方程判别式 <0 时，两根为共轭虚根，仍满足韦达定理（和、积为实数）；复数系数方程常用待定系数法或设根代入。 9. 复数的三角表示 复数的三角表示、辐角的定义、乘除：模相乘除，辐角相加减；乘方用棣莫弗定理 考情解码：复数将实数域扩展到二维数域，统一了代数与几何。基本运算保持与实数类似；共轭与模是处理复数的重要工具。几何上，复数对应平面向量，使旋转、伸缩、距离等直观化。三角表示进一步简化乘方与开方运算。解题核心：化为标准形式 a+bi，利用相等、共轭、模的性质，分清实部与虚部，熟悉复数的四则运算，以及几何意义解决轨迹与最值问题。 知识点一 复数的概念 1、叫虚数单位，满足，当时，． 2、形如的数叫复数，记作． 复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． 3、复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数 4、复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等当且仅当且，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【易错提醒】 1、实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小。 2、虚部指的是虚数单位前面的系数，不包含 即时即练（多选）（25-26高一下·湖南长沙·期中）（多选）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则 C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为 【答案】AB 【详解】对于A，若Z为实数，则虚部为0，，.故A正确； 对于B，若Z为虚数，则虚部不为0，，，故B正确； 对于C，若Z为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，，则无满足条件的m，故C错误； 对于D，复数Z的虚部为，不带单位i，故D错误. 知识点二 复数的四则运算 1、 复数的加法与减法 设, 是任意两个复数，那么 复数的加法：. 复数的减法：. 由此可见，两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 2、 复数的加法满足的运算律 交换律 结合律 3、 复数的乘法与除法 设, 是任意两个复数，那么 复数的乘法：. 复数的除法：. 4、 复数的乘法满足的运算律 交换律 结合律 分配律 5、 复数的乘方 在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立() 6、 的乘方的周期性 虚数单位的乘方有周期性， 【易错提醒】 1、两个复数的和（差）仍是一个复数，复数的减法是加法的逆运算。 2、复数除法的核心目标是把分母中的 去掉，让它变成一个实数。这个过程叫“分母实数化”，操作起来很像分母有理化。 即时即练（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）若复数满足（i为虚数单位），则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则． 知识点三 复数的几何意义 1、复数的坐标表示 （1）任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的．因此，可以用直角坐标系中的点来表示复数 （2）把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 （3）复平面内的点与以原点为起点、以为终点的向量一一对应，所以复数也可以用向量来表示。 （4）向量的模也叫作复数的模（或绝对值）,，． 2、复数加减法的几何意义 （1）以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． （2）根据复数加减法的几何意义有以下性质： ① ②若,即平行四边形对角线相等，则此平行四边形为矩形。 ③若 ,则此平行四边形为菱形 ④若且，则此平行四边形为正方形 【易错提醒】 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 即时即练（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知向量对应的复数为，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是___________． 【答案】 【详解】向量对应的复数为，即向量， 向量绕点按顺时针旋转，得到向量， 即向量对应的复数是. 知识点四 共轭复数的性质 1、 定义：把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。如果复数,那么它的共轭复数为 2、 共轭复数的一些性质： (1)；； (2)若,则z为实数，反之也成立 (3) 若则z为纯虚数或者0 (4) 【易错提醒】 共轭与模的联动关系  ； ；； 总结：模管长度，满足乘除可拆（加不行）；共轭管对称，满足所有运算可穿透。 即时即练 知识点五 复数范围内方程的解 若一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实根； 当时，方程有两个相等的实根； 当时，方程有两个虚根，且两个虚数根互为共轭复数. 【易错提醒】 无论是实根还是虚根，方程的两个根都满足 即时即练（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知是关于的方程的一个根，其中i为虚数单位，则________． 【答案】1 【分析】将方程的根代回方程，结合复数的性质建立关于的方程并求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得，， 所以． 知识点六 复数三角形式的运算 1、复数三角形式的乘法运算 （1）两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 （2）复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． 2、复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即 即时即练（多选）（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，，， A选项，，所以A选项正确； B选项，，所以B选项错误； C选项，，所以C选项正确； D选项，，所以D选项正确. 题型1 复数的类型 例1．（25-26高一下·上海普陀·期末）若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】， ，解得， 故实数的取值为. 例2．（25-26高一下·江苏·期中）若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 【答案】0 【分析】根据纯虚数的定义，令复数的实部为0且虚部不为0，联立方程与不等式求解即可. 【详解】根据纯虚数的定义：对于复数，当且仅当且时，该复数为纯虚数， 因为复数为纯虚数，m为实数， 所以，即，解得. 【技巧总结】 1、了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件跟它们之间的关系。 2、实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小。 3、叫虚数单位，满足，当时，． 【变式训练1-1】（25-26高一下·广西河池·期中）下列各数中，纯虚数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于复数，且时为纯虚数. 选项A，不符合题意， 选项B，且符合. 选项C，不符合. 选项D，不符合. 【变式训练1-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【分析】根据复数的基本概念判断. 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 题型2 根据复数相等求参 例1．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知复数，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知有实数根，则实数________. 【答案】 【分析】设出方程的实根，利用复数相等的充要条件，即可求解 【详解】设方程的实数根为，将代入原方程得： 根据复数相等的充要条件得：，解得, 故实数. 【技巧总结】 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等当且仅当且，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等 【变式训练2-1】（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【分析】根据复数相等公式，列式求解. 【详解】由条件可知，，解得. 【变式训练2-2】（25-26高一下·福建福州·期中）如果与为相等复数，为实数，则______． 【答案】/0.25 【分析】根据复数相等的定义，列方程求解参数即可． 【详解】由复数相等可知，，所以． 题型3 复数的四则运算 例1．（25-26高一下·广西南宁·期中）若复数，则z的虚部是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】，所以z的虚部是1． 例2．（25-26高一下·河北沧州·期中）复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，其虚部为2． 【技巧总结】 1、两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 复数的加法满足的运算律 交换律 结合律 2、复数的乘法运算像处理多项式一样去乘，把复数看成是两个项的多项式，像 那样进行展开相乘。例如 ，展开后得到四项：。复数除法的核心目标是把分母中的 去掉，让它变成一个实数。这个过程叫“分母实数化”，操作起来很像分母有理化。 【变式训练2-1】（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【答案】BD 【分析】对复数化简为，根据共轭复数概念判断A；根据复数虚部的定义判断B；根据共轭复数的概念以及复数的乘法判断C；根据复数模的运算判断D. 【详解】对于A，，的共轭复数为，故A错误； 对于B，的虚部为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 【变式训练2-2】（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数，则复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求得，即可得答案. 【详解】因为， 所以复数z的虚部为1. 题型4 复数的乘方运算 例1．（25-26高一下·上海·期中）计算：__________. 【答案】 【分析】根据虚数单位的周期性质化简计算即得. 【详解】由虚数单位的幂次周期性，得，，，， 因此. 则 代入化简得，， 故原式. 例2．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）复数（其中i为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，即的幂次具有周期性，周期为4， 所以. 所以. 【技巧总结】 对复数的乘法运算，低次直接乘；高次找周期（针对 ）或用二项式定理展开（针对整个复数）。 【变式训练2-1】（25-26高一下·黑龙江绥化·期中）复数 ______ ． 【答案】 【详解】因为，且，，所以 ． 【变式训练2-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）设，为复数，满足，则________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，，利用递推关系结合周期性，简化高次幂求和即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，则， 所以，为方程的两个根，因此，即， 同理. 设， 因为，同理， 所以， 即， 则，，， ，， ， 可得的周期为，即，，， 又因为，所以. 题型5 复数的几何意义 例1．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）（多选）已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】举例说明AB是错误的；根据复数模的概念，判断C的真假；利用复数乘法的运算法则，判断D的真假. 【详解】对A：设，，则，但复数，不能比较大小，故不成立，所以A错误； 对B：取，，则，，但，所以不成立，所以B错误； 对C：由，所以，故C正确； 对D：设，，. . 由，当时，有，代入得： . 结合，所以， 所以，所以； 当时，或. 若，则，所以，所以，可得； 若，则，因为，，所以，可得. 综上可知，D正确. 故选：CD 例2．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．如果，那么 B．复平面上，实轴上的点与实数一一对应 C．已知向量，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是 D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 【答案】BD 【分析】根据复数相等以及复数的几何意义求解选项A，B.根据向量夹角为锐角列出不等式判断选项C.根据向量加减法运算法则即可判断D． 【详解】选项A.如果，且不是实数，则不一定成立，故A错误. 选项B.根据复数的几何意义，复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故B正确. 选项C.已知向量，且与的夹角为锐角， 所以，得； 若与共线同向， 则，即，需要舍去. 因此的范围是，故C错误. 选项D.设坐标原点为,则， 而，故D正确. 【技巧总结】 把复数看作平面上的点或向量，几何意义让代数运算（加减、乘除、模、辐角）对应到向量平移、旋转、伸缩，从而直观解决距离、轨迹、最值等问题。 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）在复平面内，已知复数和对应的向量分别是和（其中是坐标原点，为虚数单位），向量对应的复数是，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的坐标表示结合复数模的几何意义计算可得. 【详解】由题意可得，则，所以，对应点. 表示复数在复平面对应的点，在以原点为圆心、半径的圆上. 的几何意义是：圆上的点到定点的距离. 先算原点到定点的距离， 因此的最大值为. 【变式训练2-2】（2026·福建泉州·二模）在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得为相反向量，进而得到，再求解判断各选项即可. 【详解】由题意，为相反向量， 而，则，即，则， 所以，故A错误； 而，则，故B错误； 而，故C正确； 而，故D错误. 故选：C 题型6 复数的模的性质 例1．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）（多选）设，为复数，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】由复数的基本性质、几何意义与模的运算求解即可. 【详解】对于A选项，设，，则，，满足，但，， 复数不能比较大小，故A错误； 对于B选项，因为，所以，则，所以，故B正确； 对于C选项，设，，此时，但，故C错误； 对于D选项，设，，因为，所以， 则点在以为圆心，半径为的圆形区域内， 由可知（因为 ），故 ，所以， 该式表示圆形区域内的点到定点的距离，因为， 则，即的取值范围是，故D正确. 例2．（25-26高一下·重庆·期中）设复数，满足，且，则____________． 【答案】 【分析】法一：设，，借助模长公式及复数加减运算法则计算即可得；法二：借助复数模长性质有，再利用模长公式计算即可得. 【详解】法一：设，，， 由，则， 则， 即，， 则，， 即， 故， 又， 则 . 法二：由复数模长性质可得， 则， 故. 【技巧总结】 1、复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 2、以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 3、两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 【变式训练2-1】（25-26高一下·重庆·期中）（多选）若复数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．在复平面内所对应的点位于第四象限 C．若复数z满足，则的取值范围是 D．若复数（），则的最小值是 【答案】ABD 【分析】由复数模的求法判断A，写出复数对应的点坐标判断B，根据复数模的方程、表达式对应的几何意义判断C、D. 【详解】由，A对， 由的对应点为，位于第四象限，B对， 令，，则，即点到点的距离为1， 所以在以为圆心，1为半径的圆上， 所以表示圆上点到原点的距离，则，C错， 由（），则表示点到点和点的距离之和， 若关于轴的对称点为，又点在轴上， 所以的最短距离为，D对. 【变式训练2-2】（25-26高一下·广东·期中）（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则| C． D． 【答案】BC 【分析】结合题意得到，进而举反例判断A，D，利用复数模的性质与模长公式判断B，C即可. 【详解】对于A，因为，所以， 得到，化简得， 设，，则，满足， 但此时，故A错误， 对于B，因为，所以，则，故B正确， 对于C，设，， 则， 而， ，故C正确， 对于D，当设，，由模的公式得， 而，不满足，故D错误. 题型7 共轭复数的特征 例1．（多选）（25-26高一下·安徽六安·期中）关于非零复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ） A．必为实数 B．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 C． D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 【答案】ACD 【详解】设，为实数，则. 选项A：，是实数，因此必为实数，A正确； 选项B：复平面内，对应点为，对应点为，两点关于实轴对称，不是虚轴对称，B错误； 选项C：，是非零复数，故不同时为0，因此，C正确； 选项D：设 是方程的根，即满足： ， 对等式两边同时取共轭： ，展开化简左边得 ， 代入实系数性质 ，得. 因此必是该方程的根，D正确. 例2．（多选）（25-26高一下·广东中山·阶段检测）若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设，利用复数的运算结合共轭复数逐一验证即可求解. 【详解】设，由， 所以，， 所以，故A正确； 由，，所以不一定成立，故B错误； 由，，所以，故C正确； 由，， 所以不一定成立，故D错误. 【技巧总结】 (1)；； (2)若,则z为实数，反之也成立 (3) 若则z为纯虚数或者0 (4) 【变式训练2-1】（多选）（25-26高二下·河北承德·阶段检测）设为复数，分别是的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．可能为虚数 【答案】AB 【分析】对于A，设出，代入运算即可，将展开进行计算，得到关于的关系.对于B，将转化成的关系，寻找与结论的联系即可.对于C，举反例即可证否.对于D，将转化成的关系，发现其为实数. 【详解】设，，则， 对于A，若，则有，将两个式子平方后相加， 得到， 即， 所以或者， 因为，所以或者， 即或，故A正确. 对于B，若，则， 即， 又因为， ， 所以，故B正确. 对于C，因为， ， 若，即， 化简得， 不妨令，满足上式， 而，故C错误. 对于D，，故D错误. 【变式训练2-2】（多选）（2026·辽宁沈阳·三模）已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，结合选项，利用复数的模和复数的运算法则，逐项计算判断，即可求解. 【详解】对于A，取，可得，满足，但，所以A错误； 对于B，设 可得，所以， 又由，可得， 所以，所以B正确； 对于C，由， 可得， 又由，可得， 所以，所以C正确； 对于D，由，可得， 则， ， 可得不一定为，所以D不正确. 题型8 复数范围内方程的根 例1．（多选）（25-26高一下·安徽池州·期中）已知复数z满足（为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有（   ） A．z的虚部为 B．复数z的共轭复数为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数的乘除法运算及共轭复数的定义即可判断AB；将代入方程，列出方程组求解即可判断CD． 【详解】对于AB，由得， 其虚部为，共轭复数为2i，故A正确、B错误； 对于CD，实系数方程一根为， 代入原方程得，， 解得，，故C、D正确． 例2．（多选）（25-26高一下·山东枣庄·期中）在代数史上，代数基本定理是最重要的定理之一.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式方程有n个复数根(重根按重数计).若，记为方程的一个虚数根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】令，解得或； 由，解得，即是的两个复数根. 对于A，为方程的一个虚数根，即满足，，故A正确； 对于B，是的两个复数根，，故B错误； 对于C，与互为共轭复数，，故C正确； 对于D，由，得； 若，则；若，则；故D错误. 【技巧总结】 无论是实根还是虚根，方程的两个根都满足。 【变式训练2-1】（25-26高一下·重庆江北·期中）设，已知是关于的方程的两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）利用实系数一元二次方程的韦达定理，由求出，再结合虚根条件，即可求得的取值范围； （2）先通过韦达定理和求出和，再解方程求出两个虚根，最后通过利用的周期性即可求得结果. 【详解】（1）（1）对于实系数一元二次方程，有， 又因为，所以，即， 因为是关于的方程的两个虚根， 所以，即， 所以的取值范围为. （2）由韦达定理知，，即，， 因为，所以， 因为方程有虚根，所以，所以，即. 所以方程为，解得，即， 所以， 故. 【变式训练2-2】（多选）（25-26高一下·安徽安庆·期中）方程在复数集范围内的两个根分别记作，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用求根公式求出，根据复数的乘法和乘方运算逐项验证. 【详解】由求根公式，记， 对于A：，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：由选项B的结论及选项A的计算过程可知，，C正确； 对于D：由选项B的判断，，D正确. 题型9 复数的三角表示 例1．（25-26高一下·海南海口·期中）在平面直角坐标系中，对于任意平面向量，定义如下变换：将绕其起点逆时针旋转得到向量，从复数角度看，平面向量与复数一一对应，上述旋转变换等价于该复数乘以虚数单位i. 已知点A，点B， 将向量绕点A逆时针旋转得到向量，则对应的复数为__________（写成复数的三角形式）. 【答案】 【详解】已知点A，点B，可得. 将向量绕点A逆时针旋转得到向量， 则对应的复数为，所以三角形式为 . 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解. 【详解】由题意可得， 故 ， 即的虚部为. 【技巧总结】 欧拉公式，三角形式可以写成更紧凑的形式： 用指数形式做乘除，变成指数法则： 乘法： 除法： 【变式训练2-1】（25-26高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， 【变式训练2-2】（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）欧拉公式巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，揭示了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论中正确的有（   ） A．，使得 B．当且仅当时成立 C．与互为共轭复数 D．，， 【答案】ACD 【分析】根据欧拉公式以及复数的运算求解即可. 【详解】选项A.当时，则，A正确. 选项B.若，可得且，即，B错误. 选项C.，， 二者实部相等、虚部互为相反数，因此互为共轭复数，C正确. 选项D.对任意， . 1．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用虚数单位的幂次性质化简，再计算得到复数，最后根据共轭复数的定义求出。 【详解】由虚数单位的运算性质，，因此， 所以 ，将代入计算可得： 又因为，所以其共轭复数为：. 2．（多选）（25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（   ） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点在第三象限 D． 【答案】ABD 【分析】先化简复数，利用复数的性质依次判断即可. 【详解】首先化简复数， 对于A，根据复数模的计算公式，，故A正确； 对于B，，其中虚部为的系数，故B正确； 对于C，在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，故C错误； 对于D，根据完全平方公式计算，故D正确. 3．（多选）（25-26高一下·河北邯郸·期中）（多选）已知，为复数且均不为零，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】设，，且，应用复数的乘除法、共轭复数的定义及模的概念依次判断A、B，应用共轭复数的运算及特殊值法判断C、D. 【详解】设，，且，则，， 所以， ，即，A对， ， ， 所以，B对， 由，且，则，故，C对， 若，满足，此时不满足，D错. 4．（多选）（25-26高一下·山东淄博·期中）（多选）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，互为共轭复数，，则 C．若复数满足，则的最大值为 D．若复数是实系数方程的一个根，则 【答案】BCD 【分析】根据复数的运算、共轭复数性质、复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根的特征，需逐一分析选项即可. 【详解】对于A，取反例，满足，但均不为0，故A错误； 对于B，先化简，其共轭复数， 由于的幂次周期为4，，故，故B正确； 对于C，的几何意义是复平面上对应点的轨迹为以为圆心、半径为的圆，是圆上点到原点的距离， 原点到圆心距离为，故最大值为，故C正确； 对于D，实系数方程的虚根互为共轭复数，因此另一根为， 由韦达定理：两根和为，解得；两根积为，解得 故，故D正确. 5．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数模的概念及共轭复数概念即可解决. 【详解】由可知的共轭复数，所以，. 6．（多选）（25-26高一下·山西太原·期中）（多选）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【详解】设，. 若，则,A正确； ，若，则，故取，则，B错误； 若，则对应的点在第三象限，C正确； 若，则点的集合所构成的图形的面积为，D正确. 7．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）（多选）设，为复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的有（    ） A．若，则或 B．若，，，则 C．若，则 D．一定为实数 【答案】ABD 【分析】对于A：根据分析判断即可；对于B：根据运算求解；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的乘法运算分析判断. 【详解】设，，，则，. 对于选项A：因为，则或， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 即，可得，故B正确； 对于选项C：例如，，则，， 可得，符合题意，但，故C错误； 对于选项D：因为 ， 所以一定为实数，故D正确． 8．（多选）（25-26高一下·山东泰安·期中）（多选）下列有关复数的叙述正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的虚部为 【答案】ABC 【分析】根据复数的运算､复数的概念､复数模的计算及几何意义判断各选项. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，若，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，故B正确； 对于C，设，由得， 所以， ，故C正确； 对于D，，则的虚部为，D不正确. 9．（多选）（25-26高一下·浙江宁波·期中）（多选）已知复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若复数满足，则的最小值为1 【答案】ABD 【分析】根据复数乘法三角表示的几何意义计算可判断A；代入计算可判断B；根据复数乘法三角表示的几何意义及三角函数性质计算可判断C；设，根据复数模的几何意义计算可判断D. 【详解】对于A，因为复数，， 所以复数的三角形式可表示为， 由复数乘法三角表示的几何意义可知，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 由三角函数性质可知，周期为6， 因为， 又因为，所以 所以，故C错误； 对于D，设复数， 因为，所以，， 则， 当时，有最小值为，即的最小值为1，故D正确. 10．（多选）（25-26高一下·江苏·阶段检测）已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若， B．是纯虚数 C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】根据复数的模、共轭复数的运算性质，可结合复数运算性质逐项分析判断即可. 【详解】选项A：根据复数模的运算性质，两个复数商的模等于模的商，因此当时，恒成立，故A正确. 选项B：若为实数，则，此时，0是实数，不是纯虚数，故B错误. 选项C：取，，满足，但，，显然，故C错误. 选项D：根据共轭复数的运算性质，两个复数乘积的共轭等于各自共轭的乘积，即恒成立，故D正确. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 复数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 复数的概念与虚数单位 题型2 根据复数相等求参 题型3 复数的四则运算 题型4 复数的乘方运算 题型5 复数的几何意义 题型6 复数的模的性质 题型7 共轭复数的特征 题型8 复数范围内方程的根 题型9 复数的三角表示 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 复数的概念与虚数单位 判断一个数是实数、虚数还是纯虚数（看虚部是否为0，实部是否为0）； 2. 根据复数相等求参 两复数相等(实部与实部相等、虚部与虚部相等)，列方程组求参数（注意参数可能使分母为零等隐含条件）。 3. 复数的四则运算 加减法合并实部虚部；除法关键是分母实数化（乘共轭） 4. 复数的乘方运算 利用 i的幂的周期性（4次一循环）快速求值；也可以先化为三角形式再用棣莫弗定理（乘方时模乘方、辐角乘倍数）。 5. 复数的几何意义 复数与点、向量一一对应；模的几何意义与两点距离、圆等相关。常考给定复数形式判断对应点所在象限。 6. 复数的模的性质 性质常考三角不等式（两模和≥和模），以及平方、商、积、加法减法的模。 7. 共轭复数的特征 共轭的对称性（实轴反射） 8. 复数范围内方程的根 实系数二次方程判别式 <0 时，两根为共轭虚根，仍满足韦达定理（和、积为实数）；复数系数方程常用待定系数法或设根代入。 9. 复数的三角表示 复数的三角表示、辐角的定义、乘除：模相乘除，辐角相加减；乘方用棣莫弗定理 考情解码：复数将实数域扩展到二维数域，统一了代数与几何。基本运算保持与实数类似；共轭与模是处理复数的重要工具。几何上，复数对应平面向量，使旋转、伸缩、距离等直观化。三角表示进一步简化乘方与开方运算。解题核心：化为标准形式 a+bi，利用相等、共轭、模的性质，分清实部与虚部，熟悉复数的四则运算，以及几何意义解决轨迹与最值问题。 知识点一 复数的概念 1、叫虚数单位，满足，当时，． 2、形如的数叫复数，记作． 复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． 3、复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数 4、复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等当且仅当且，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【易错提醒】 1、实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小。 2、虚部指的是虚数单位前面的系数，不包含 即时即练（多选）（25-26高一下·湖南长沙·期中）（多选）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则 C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为 知识点二 复数的四则运算 1、 复数的加法与减法 设, 是任意两个复数，那么 复数的加法：. 复数的减法：. 由此可见，两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 2、 复数的加法满足的运算律 交换律 结合律 3、 复数的乘法与除法 设, 是任意两个复数，那么 复数的乘法：. 复数的除法：. 4、 复数的乘法满足的运算律 交换律 结合律 分配律 5、 复数的乘方 在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立() 6、 的乘方的周期性 虚数单位的乘方有周期性， 【易错提醒】 1、两个复数的和（差）仍是一个复数，复数的减法是加法的逆运算。 2、复数除法的核心目标是把分母中的 去掉，让它变成一个实数。这个过程叫“分母实数化”，操作起来很像分母有理化。 即时即练（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）若复数满足（i为虚数单位），则为（    ） A． B． C． D． 知识点三 复数的几何意义 1、复数的坐标表示 （1）任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的．因此，可以用直角坐标系中的点来表示复数 （2）把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 （3）复平面内的点与以原点为起点、以为终点的向量一一对应，所以复数也可以用向量来表示。 （4）向量的模也叫作复数的模（或绝对值）,，． 2、复数加减法的几何意义 （1）以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． （2）根据复数加减法的几何意义有以下性质： ① ②若,即平行四边形对角线相等，则此平行四边形为矩形。 ③若 ,则此平行四边形为菱形 ④若且，则此平行四边形为正方形 【易错提醒】 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 即时即练（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知向量对应的复数为，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是___________． 知识点四 共轭复数的性质 1、 定义：把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。如果复数,那么它的共轭复数为 2、 共轭复数的一些性质： (1)；； (2)若,则z为实数，反之也成立 (3) 若则z为纯虚数或者0 (4) 【易错提醒】 共轭与模的联动关系  ； ；； 总结：模管长度，满足乘除可拆（加不行）；共轭管对称，满足所有运算可穿透。 即时即练 知识点五 复数范围内方程的解 若一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实根； 当时，方程有两个相等的实根； 当时，方程有两个虚根，且两个虚数根互为共轭复数. 【易错提醒】 无论是实根还是虚根，方程的两个根都满足 即时即练（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知是关于的方程的一个根，其中i为虚数单位，则________． 知识点六 复数三角形式的运算 1、复数三角形式的乘法运算 （1）两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 （2）复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． 2、复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即 即时即练（多选）（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型1 复数的类型 例1．（25-26高一下·上海普陀·期末）若复数，则实数的取值为__________. 例2．（25-26高一下·江苏·期中）若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 【技巧总结】 1、了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件跟它们之间的关系。 2、实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小。 3、叫虚数单位，满足，当时，． 【变式训练1-1】（25-26高一下·广西河池·期中）下列各数中，纯虚数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 题型2 根据复数相等求参 例1．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知复数，则__________. 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知有实数根，则实数________. 【技巧总结】 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等当且仅当且，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等 【变式训练2-1】（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【变式训练2-2】（25-26高一下·福建福州·期中）如果与为相等复数，为实数，则______． 题型3 复数的四则运算 例1．（25-26高一下·广西南宁·期中）若复数，则z的虚部是（   ） A． B．1 C． D．2 例2．（25-26高一下·河北沧州·期中）复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（    ） A． B．2 C． D． 【技巧总结】 1、两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 复数的加法满足的运算律 交换律 结合律 2、复数的乘法运算像处理多项式一样去乘，把复数看成是两个项的多项式，像 那样进行展开相乘。例如 ，展开后得到四项：。复数除法的核心目标是把分母中的 去掉，让它变成一个实数。这个过程叫“分母实数化”，操作起来很像分母有理化。 【变式训练2-1】（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【变式训练2-2】（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数，则复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 题型4 复数的乘方运算 例1．（25-26高一下·上海·期中）计算：__________. 例2．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）复数（其中i为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 对复数的乘法运算，低次直接乘；高次找周期（针对 ）或用二项式定理展开（针对整个复数）。 【变式训练2-1】（25-26高一下·黑龙江绥化·期中）复数 ______ ． 【变式训练2-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）设，为复数，满足，则________． 题型5 复数的几何意义 例1．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）（多选）已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．如果，那么 B．复平面上，实轴上的点与实数一一对应 C．已知向量，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是 D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 【技巧总结】 把复数看作平面上的点或向量，几何意义让代数运算（加减、乘除、模、辐角）对应到向量平移、旋转、伸缩，从而直观解决距离、轨迹、最值等问题。 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）在复平面内，已知复数和对应的向量分别是和（其中是坐标原点，为虚数单位），向量对应的复数是，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2026·福建泉州·二模）在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（   ） A． B． C． D． 题型6 复数的模的性质 例1．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）（多选）设，为复数，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 例2．（25-26高一下·重庆·期中）设复数，满足，且，则____________． 【技巧总结】 1、复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 2、以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 3、两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 【变式训练2-1】（25-26高一下·重庆·期中）（多选）若复数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．在复平面内所对应的点位于第四象限 C．若复数z满足，则的取值范围是 D．若复数（），则的最小值是 【变式训练2-2】（25-26高一下·广东·期中）（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则| C． D． 题型7 共轭复数的特征 例1．（多选）（25-26高一下·安徽六安·期中）关于非零复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ） A．必为实数 B．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 C． D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 例2．（多选）（25-26高一下·广东中山·阶段检测）若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 (1)；； (2)若,则z为实数，反之也成立 (3) 若则z为纯虚数或者0 (4) 【变式训练2-1】（多选）（25-26高二下·河北承德·阶段检测）设为复数，分别是的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．可能为虚数 【变式训练2-2】（多选）（2026·辽宁沈阳·三模）已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 题型8 复数范围内方程的根 例1．（多选）（25-26高一下·安徽池州·期中）已知复数z满足（为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有（   ） A．z的虚部为 B．复数z的共轭复数为 C． D． 例2．（多选）（25-26高一下·山东枣庄·期中）在代数史上，代数基本定理是最重要的定理之一.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式方程有n个复数根(重根按重数计).若，记为方程的一个虚数根，则（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 无论是实根还是虚根，方程的两个根都满足。 【变式训练2-1】（25-26高一下·重庆江北·期中）设，已知是关于的方程的两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 【变式训练2-2】（多选）（25-26高一下·安徽安庆·期中）方程在复数集范围内的两个根分别记作，则（   ） A． B． C． D． 题型9 复数的三角表示 例1．（25-26高一下·海南海口·期中）在平面直角坐标系中，对于任意平面向量，定义如下变换：将绕其起点逆时针旋转得到向量，从复数角度看，平面向量与复数一一对应，上述旋转变换等价于该复数乘以虚数单位i. 已知点A，点B， 将向量绕点A逆时针旋转得到向量，则对应的复数为__________（写成复数的三角形式）. 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 欧拉公式，三角形式可以写成更紧凑的形式： 用指数形式做乘除，变成指数法则： 乘法： 除法： 【变式训练2-1】（25-26高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）欧拉公式巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，揭示了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论中正确的有（   ） A．，使得 B．当且仅当时成立 C．与互为共轭复数 D．，， 1．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（   ） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点在第三象限 D． 3．（多选）（25-26高一下·河北邯郸·期中）（多选）已知，为复数且均不为零，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．（多选）（25-26高一下·山东淄博·期中）（多选）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，互为共轭复数，，则 C．若复数满足，则的最大值为 D．若复数是实系数方程的一个根，则 5．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高一下·山西太原·期中）（多选）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 7．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）（多选）设，为复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的有（    ） A．若，则或 B．若，，，则 C．若，则 D．一定为实数 8．（多选）（25-26高一下·山东泰安·期中）（多选）下列有关复数的叙述正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的虚部为 9．（多选）（25-26高一下·浙江宁波·期中）（多选）已知复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若复数满足，则的最小值为1 10．（多选）（25-26高一下·江苏·阶段检测）已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若， B．是纯虚数 C．若，则 D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $