专题03 解三角形（暑假复习讲义）新高二数学苏教版

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03解三角形 了内容号航 01复习目标一明考向、知权重、 晓关联、以目标导学，以考向定标 02知识重构一系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03题型突破一汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1正余弦定理解三角形 题型2正余弦定理边角互化的应用 题型3三角形解的个数 题型4正余弦定理判断三角形形状 题型5求三角形的面积及最值 题型6求三角形的周长及最值 题型7求三角形的中线、角分线、高线 04综合通关→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05龈题留痕一预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 01 复习目标 常考考点 命题风向 1. 正余弦定理解三角 已知两角一边、两边及夹角、两边及对角、三边，利用正弦定理或余弦定理 形 求其余边角。注意“两边及对角”可能有两解。 2.正余弦定理边角互 将边的关系转化为角的正弦关系（用正弦定理），或将角的正弦化为边的关 化的应用 系（用正弦定理反向），余弦定理用于边的平方关系。常用于化简或证明。 已知两边及其中一边的对角，用正弦定理求另一对角，根据大边对大角、内 3.三角形解的个数 角和定理、正弦值范围判断解的个数（一解、两解或无解）。 4.正余弦定理判断三通过边角互化，将条件转化为边的关系或角的关系，注意等边、等腰、直角、 角形形状 钝角等判定。 5.求三角形的面积及面积公式，结合正余弦定理、基本不等式或辅助角公式，在给定条件下求面 最值 积的最值（如已知一边及其对角，求面积最大值）。 6.求三角形的周长及周长，利用边角关系消元转化为函数或不等式，常见已知两边及夹角、已知 最值 “边及其对角等条件下求周长最值。 7.求三角形的中线、 中线用向量法或中线公式；角分线用角平分线定理（比例）或长度公式；高 角分线、高线 线用面积法。常与最值结合。 考情解码：解三角形的核心是统一边角关系：正弦定理实现边与对角正弦的互换，余弦定理建立边与 1/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 角的余弦联系。通过边角互化，将几何条件转化为代数方程或函数，进而求解边长、角度、面积、周 长，并利用基本不等式或三角函数性质求最值。解题时需注意三角形内角和为·、大边对大角、解的 个数检验。 02知识重构 脉1络|重构 公式：a2=b+c2-2 bc-cosA; b2=a2+c2-2ac-cosB;c2=a2+b2-2ab-cosC 推论求角：cosA=(b2+c2-a/(2bc 知识点一：余弦定理 适用：已知两边及夹角→第三边；已知三边→ 三角 勾股关系：a2+b2-c2→90；>→锐角；<→钝角 射影定理：a=b-cosC+c-cosB 公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC-2R 变形：a=2R.sinA;ab:c=sinA:sinB:sinC 知识点二：正弦定理 边角关系：大边对大角，小边对小角 适用：两角一边；两边及一边对角（注意多解） 解三角形 解的个数（已知a,b,A):A锐角时，bsinA.<a<b→ 两解；a-bsinA或a≥b→一解；a<bsinA→无解； A钝/直时，a>b→一解；asb→无解 面积公式：S-ab-sinC=abc/(4R=(a+b+c)r 知识点三：面积与周长最值 最值方法：余弦定理+基本不等式；正弦定理+三 角函数值域 中线：向量法AD=AB+AC);长度 AD2=%(AB2+AC2)-XBC2 知识点四：中线与角分线 角分线：面积法；张角定理 cosa=AD(/AB+1/AC);斯库顿定理 AD2=AB·AC-BDDC ◇ 重点|梳I理 知迟点一余弦定理 1、对三角形△ABC,角A对应的边为a,角B对应的边为b,角C对应的边为c 余弦定理公式：a2=b2+c2-2 bccosA:b2=c2+a2-2 accosB;c2=a2+b2-2 abcosC. 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 推论：cosA= b2+c2-a -,cosB=a2+c2-b2 2bc 2ac cosC= a2+b2-c2 2ab 2、余弦定理适用范围 (1)已知两边及它们的夹角，求第三边，可用余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA求解 (2)已知三边，求三角形的三个角可用余弦定理c05A=由于余弦函数在0，π上单调，所以得到 2bc 的角的大小是唯一的。 3、余弦定理与勾股定理的关系 将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。 若a2+b2=c2,则∠C=90°（勾股定理逆定理）。 若a2+b2>c2,则∠C<90°（锐角）。 若a2+b2<c2,则∠C>90°（钝角）。 4、三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=acosC+CCOsA: c=bcosA+acosB 【易错提醒】 已知两边及其中一边的对角(SSA)用余弦定理求第三边时，得到两个正根未检验是否均满足三角形存在条 件。 即时即练 (25-26高下.陕西渭南·期中)在ABC中，若(a+c(a-c)=b(b+c),则A=() 5元 A. 2 B. D.6 知迟点二正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c,则有 b C sin A sin B sin C 若△ABC外接圆半径为R,则有 sin A sin B-sin C-2R 2、正弦定理常见变形： 1sin 4-a,sin cc sin Bb sin Bb'sin Aa'sin Cc asin B-bsin4,asin C-esinA4,bsin C-csin B: ② b a+b a+c b+c a+b+c sin A sin B sin C sin 4+sin B sin 4+sin C sin B+sin C sin 4+sin B+sin C 3a:b:c=sinA:sin B:sin C: 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系 a>b→A>B台sinA>sinB台cosA<cosB 3/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4、正弦定理适用范围 (1)己知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 (2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 (3)在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者s的齐次式，可以考虑 用正弦定理。 5、利用正弦定理讨论三角形解的个数 在△ABC中，已知a,b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若A为锐角时： B B. B a<bsin A a=bsin A bsinA<a<b a≥b 无解 一解 两解 一解 若A为直角或者钝角时： B a>b a≤b 一解 无解 【易错提醒】 两边一对角：己知两边和其中一边的对角时，忽略解的多重性（可能无解、一解或两解）。 大边对大角混淆：用正弦定理求角时，忘记判断角是锐角还是钝角，直接取锐角导致漏解。 即时即练(25-26高一下·江苏无锡期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2V3, c=2,A=60°，则角C为() A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120 知识点三三角形的面积与周长 1、三角形的面积公式 SABC=absinC=bcsinA=acsinB S4ABC=装=(a+b+c小r(r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径.) S4ABC=ah(三角形的底乘高 2、求三角形周长、边长或面积的最值 (1)利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不 等式来求最值。 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)利用正弦定理把其中的边都换成si值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中 角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。 即时即练(25-26高一下·江苏镇江·期中)在四边形0ABC中，BC=1,BA=2,∠A0C=120,∠ABC=60°，则 △AOC的面积的最大值为() A.5 B. 3v3 C.3 D.3 4 知识点四三角形的中线角分线 1、三角形的中线 (1)在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： D B D 换成三角形的中线，则有AD2=引4AB2+引8C2-引BC2 (2) 可以通过向量法A=A丽+A©，两边平方后可得 IAD2=(AB2+AC2+ABIACI COSA) 2、三角形的角分线 1) 面 积 法： 如 图 三 角 形 中 S△4Bc=S△ABD+S△ADc台引AB|lAC|sinA=AB|AD|sina+ADAdsinB a B B D 化简有sin(x+B)=AD1(器+器) (2)角分线张角定理：若AD为角分线，则a=B,则化简上式有c0sa=AD(品十扁) (3)斯库顿定理：若AD为角分线，有AD2=AB·AC-BD·DC 即时即练(25-26高一下·江苏苏州期中)己知在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, a+2c=√5sinC+cosC,则B= 若线段BD为ABC的中线，且BD=3,c=2a,则a= 03 题型突破 5/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型1正余弦定理解王角形 例1.(25-26高一下·江苏扬州期中)ABC内角A、B、C的对边分别为a,b,c,满足2a2-3b2+c2）=bc, 且cosA≥，以下说法正确的是(D A.A是锐角 B.As 4 C.C> 6 D.sinB= 4 例2.(2026高一，全国.专题练习) ABC中，AB=2√2，BC=V5,A=45°，∠B为ABC中最大角， D为AC上一点，AD=二DC,则BD=() A.25 B.3W2 C.5 D.25 【技巧总结】 1、边角互化：正弦定理将边化为角的正弦，或将角的正弦化为边，常用于齐次式、比例式。余弦定理将边 与角余弦联系，适合己知三边或两边及夹角。 2、方程联立：面积公式常与正余弦定理联立，形成关于边或角的方程组。 3、多解判断：己知两边及对角时，用正弦定理先求角，注意可能对应一解、两解或无解。 【变式训练1-1】(25-26高一下江苏宿迁·期中)在ABC中，己知B=45°，D是边BC上一点， AD=10,AC=14,DC=6,则AB=() A.45 B.5√5 C.56 D.5 【变式训练1-2】（25-26高一下·江苏无锡阶段检测)在ABC中，已知AB=12,AC=9,∠BAC=120°，点 E在线段BC上，且满足2BE=EC,则AE的长度为 题型2正余弦定理边角互化的应用 例1.(25-26高一下·江苏连云港·期中)在ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知 2a6ce0sC3,则。C2的值为 例2.(25-26高一下·江苏盐城期中)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 acosB-bcos4=4ctanB 4 =() 5 tanA 1 A.-1 B.9 C. 9 D.1 【技巧总结】 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 (2)利用余弦定理，化角为边。 【变式训练2-1】(25-26高一下·江苏南京·期中)己知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足 6=a2-3c2,且1 1 2 tand tanC=tanB'则A=() A.60 B.120 C.135 D.150 【变式训练2-2】(25-26高一下·江苏盐城期中)在斜ABC内，内角A,B,C所对的边分别为，b,c, 若d2+b2=2026c2,则anC+tanC tan A tan B 题型3三角形解的个数 例1.(25-26高一下江苏泰州期中)在△ABC中，A=元，BC=2,若满足上述条件的△ABC恰有一解， 6 则边长AC的取值范围为 例2.(25-26高一下·河南驻马店·期中)在ABC中，∠A=30°，BC=2,满足此条件的ABC有两解， 则AB的范围为() A.（2,4) B.2,8) C.(4,8) D.（4,+0) 【技巧总结】 在△ABC中，已知a,b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若A为锐角时：根据a与bsinA b之间关系判断解的个数。 若A为钝角或直角时：根据a与b之间关系判断解的个数。 【变式训练2-1】(25-26高一下·江苏镇江·期中)在aABC中，内角A=30°，AB=2,若满足条件的三角形 有且仅有两个，则边BC长的取值范围为() A.(L,2) B.(1,3) C.(W3,2) D.(2,4) 【变式训练2-2】(25-26高一下·陕西延安阶段检测)（多选）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a么c,A=子，c=3,且4BC恰有一个解，则a的值可以是() A.1 B.2 C.3 D. 35 2 题型4正余孩定理判断三角形妍形状 例1.（多选）(25-26高一下·江苏无锡期中)（多选）对于ABC,有如下命题，其中错误的是() A.若sin2A+sinB+cos2C<1,则ABC为锐角三角形 B.若AB=V5,AC=1,B=30,则ABC面积为5 2 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.若(， 4BIAC )BC=0,则ABC为等腰三角形 D.若sin2A=sin2B,则ABC为等腰三角形 例2.（多选）(25-26高一下·江苏扬州阶段检测)（多选）在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C 的对边，下列叙述正确的有() A.若a cos A=bcos B,则ABC为等腰三角形 B.若sinA:sinB:sinC=2:3:4,则ABC为钝角三角形 C.若A=45°，a=√2，b=2,则ABC有两解 D.若ABC为锐角三角形，则sinA>cosB 【技巧总结】 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式，尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函 数，尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： (1)出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 (2)若a2+b2=c2,则∠C=90°（勾股定理逆定理）。 (3)若a2+b2>c2,则∠C<90°（锐角）。 (4)若a2+b2<c2,则∠C>90°（钝角）。 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏南京·期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, asinC+b=2bcos2+acos B,则ABC一定为() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 【变式训练2-2】(25-26高一下·湖南阶段检测)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a-csin=2asin2B-bcosA,则ABC一定是() A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形 D.直角三角形 题型5求三角形的面积及最值 例1.(25-26高一下·江苏南京·期中)己知 m=(V5 Bsin@x,,coso,i=coS@x,,-cosox(o>0,x∈R),f(x)=m·元+，且f(x)的图象上相邻两条对称轴 之间的距离为号 (1)求函数∫(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调递减区间； 8/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=√3，f(B)=1,求ABC面积的最大值 例2.(25-26高一下江苏扬州期中)已知向量m=(2sinx,-,i=(2V3cosx,0,设函数 f(x)=(m+)小m-3 (1)求函数f(x)的周期及单调递增区间： (2)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=1,c=√3，且f(A)=2,求ABC的面积 【技巧总结】 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用S4ABC=absinC=bcsinA=acsinB 2、己知三边，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。 【变式训练2-1】(25-26高一下·江苏无锡期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 (2a+b).cosC+c.cos B=0. (1)求角C的大小： (2)若sinA+sinB=1,c=√5，求ABC的面积. 【变式训练2-2】(25-26高一下·江苏扬州·期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 3(bcosC+ccos B)=2asin A (1)求A; (2)若c=2 bcos A,点D在ABC外，DA=DC=1,求四边形ABCD面积的最大值； (3)若A为钝角，A的角平分线交BC于点M,AM=2,求ABC面积的最小值 题型6求三角形的周长及最值 例1.(25-26高一下·浙江杭州期中)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 2a-b=2ccos B (1)求角C: (2)若b=4,点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且CD=2√5，求边长a的值： (3)若b=4,求△ABC的周长取值范围 例2.(25-26高一下·江苏扬州期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,向量 m=(cos B,2a+b),n=(1,2c),m//n (1)求角C; (2②)若c=,且ABC的面积为3 求ABC的周长 4 【技巧总结】 9/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 1、若已知面积，则可利用基本不等式a+b≥2Wab可以把周长的最小值与面积挂钩。 2、若能根据余孩定理，则可利用基本不等式学≤学 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解 决 注意：运用基本不等式时，看是否满足取等条件。如题有角度限制比如锐角或钝角，可以考虑转化成三角 函数问题，这时要先求得被限制的角的取值范围。 【变式训练2-1】(25-26高一下·江苏无锡阶段检测)已知ABC为锐角三角形，a,b,c分别为ABC三个 内角A,B,C的对边，且bcosC+ccosB=2 acosA, (1)求A; ②若6+c=5,ABC的面积为35，求ABC的周长， 2 (3)若a=1,求ABC周长的取值范围 【变式训练2-2】(25-26高一下·江苏苏州阶段检测)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,且满足bcosC=a+ 3csin B. (1)求角B: (2)若b=6,角B的角平分线交AC于点D,BD=√3，求ABC的周长， 题型7求三角形的中线、角分线、高线 例1.(25-26高一下·江苏扬州期中)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 1+cos2A-tanB-l且c=2 sin 2A tan B+1 (1)求角C的大小： (2)求b的取值范围： (3)边AB的中点为D,求中线CD的长度的取值范围 例2.(25-26高一下·江苏连云港期中)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 3bcosA+bsinA =3a+3c (1)求B: (2)若b=√万， ABC的面积S= ,线段AC中点为D,求BD的长 【技巧总结】 1、在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成 角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 10/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2、将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 函数法：利用角平分线公式，将其表达为两边长及夹角（或半角）的式子，再根据已知条件将变量统一为 同一个角（或边），转化为三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何视角分析，角平分线夹在两边之间，其长度受两边长度和夹角的约束。通过长度的取值范 围，从而得所求的取值范围。 适用要点：注意三角形的隐含约束（两边之和大于第三边、角度范围），这些限制直接影响取值区间的端 点是否可取。 【变式训练2-1】(25-26高一下·江苏无锡期中)在锐角ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 满足csinA-5 SasinC+2) =0 (1)求角C: 2求4+公的取值范围， c2 (3)若D点为AB边上的中点，c=√5，求线段CD的最大值 【变式训练2-2】(25-26高一下·江苏无锡阶段检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 a=√7，b=2,A=60 (1)求sinB的值： (2)求c的值 (3)若∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长 04 综合通关 1.(25-26高一下江苏淮安期中)在ABC中，sinA:sinB:sinC=5:7:8,则sinB= 2.(25-26高一下全国·课堂例题)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为Q,b,C.已知A=45°， a=2,b=√2，符合上述条件的ABC有 个 3.(25-26高一下河北邯郸·阶段检测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 bcosC=ccosB,a=√2b则ABC为() A.等腰直角三角形 B.钝角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰非直角三角形 4.(2026江苏模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bc=4,b+2 ccosA=0,则当 角B取得最大值时，ABC的周长为() A.6 B.4+23 C.4+22 D.6+2√2 5.(25-26高一下·江苏徐州期中)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sinA+2 sinBcosC=0,b=1,当角A最大时，ABC的面积是 11/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(25-26高一下·江苏淮安阶段检测)ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 bcos B+C=asin B. 2 (1)求角A的大小： AC (2)已知点P是ABC所在平面内的动点，且满足OP=OA+入 AB 2>O),射线AP与边BC交于点 AB AC D,且AD=1,求BC的最小值： (3)E是边BC上一点，且BE=2EC,AE=2,求ABC面积的最大值. 7.(25-26高一下.吉林期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-b)CosC=c.cosB. (1)求角C的大小： (2)若c=4,ABC的面积为4√5，求该三角形的周长 (3)若a=5,b=3,CD为∠ACB的平分线，求CD的长 8.(25-26高一下·江苏南京·阶段检测)已知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边，满足 asinB =3bcosA. (1)求A, (2)若a=2,且ABC的面积为V3,求ABC的周长； (3)若ABC是锐角三角形，且a=2,求ABC面积S的取值范围. 9.(25-26高一下江苏南京期中)在ABC中，己知a,b,c分别三个内角A,B,C的对边，且 2 a cosC+bcosC+cc0sB=0,点D为边AB上一点. (1)求角C: (2)已知D是边AB上一点，c=4V5. ①若D=AB,求C可的最小值； CA ②若存在λ∈R,使得CD=入 CB 且CD=2,求ABC的周长. CAcos A CBcos B 10. (25-26高一下江苏南京·期中)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,asinC=3(b-acosC) (1)求角A的大小 (2)若b+c=6,△ABC的面积为√5，求a的值 (3)若b=1,AB.AC=1,点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长 05 错题留痕 12/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13/13 专题03 解三角形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 正余弦定理解三角形 题型2 正余弦定理边角互化的应用 题型3 三角形解的个数 题型4 正余弦定理判断三角形形状 题型5 求三角形的面积及最值 题型6 求三角形的周长及最值 题型7 求三角形的中线、角分线、高线 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 正余弦定理解三角形 已知两角一边、两边及夹角、两边及对角、三边，利用正弦定理或余弦定理求其余边角。注意“两边及对角”可能有两解。 2. 正余弦定理边角互化的应用 将边的关系转化为角的正弦关系（用正弦定理），或将角的正弦化为边的关系（用正弦定理反向），余弦定理用于边的平方关系。常用于化简或证明。 3. 三角形解的个数 已知两边及其中一边的对角，用正弦定理求另一对角，根据大边对大角、内角和定理、正弦值范围判断解的个数（一解、两解或无解）。 4. 正余弦定理判断三角形形状 通过边角互化，将条件转化为边的关系或角的关系，注意等边、等腰、直角、钝角等判定。 5. 求三角形的面积及最值 面积公式，结合正余弦定理、基本不等式或辅助角公式，在给定条件下求面积的最值（如已知一边及其对角，求面积最大值）。 6. 求三角形的周长及最值 周长，利用边角关系消元转化为函数或不等式，常见已知两边及夹角、已知一边及其对角等条件下求周长最值。 7. 求三角形的中线、角分线、高线 中线用向量法或中线公式；角分线用角平分线定理（比例）或长度公式；高线用面积法。常与最值结合。 考情解码：解三角形的核心是统一边角关系：正弦定理实现边与对角正弦的互换，余弦定理建立边与角的余弦联系。通过边角互化，将几何条件转化为代数方程或函数，进而求解边长、角度、面积、周长，并利用基本不等式或三角函数性质求最值。解题时需注意三角形内角和为π、大边对大角、解的个数检验。 知识点一 余弦定理 1、对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为 余弦定理公式：；；． 推论： 2、余弦定理适用范围 （1）已知两边及它们的夹角，求第三边，可用余弦定理求解 （2）已知三边，求三角形的三个角.可用余弦定理.由于余弦函数在)上单调，所以得到的角的大小是唯一的。 3、余弦定理与勾股定理的关系 将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。 若 ，则 （勾股定理逆定理）。 若 ，则 （锐角）。 若 ，则 （钝角）。 4、三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 【易错提醒】 已知两边及其中一边的对角（SSA）用余弦定理求第三边时，得到两个正根未检验是否均满足三角形存在条件。 即时即练（25-26高一下·陕西渭南·期中）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】展开原式得，移项整理得. 根据余弦定理，代入得， 因为是三角形内角，范围为，故满足的角为. 知识点二 正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 4、正弦定理适用范围 0. 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 0. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者的齐次式，可以考虑用正弦定理。 5、利用正弦定理讨论三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 【易错提醒】 两边一对角：已知两边和其中一边的对角时，忽略解的多重性（可能无解、一解或两解）。 大边对大角混淆：用正弦定理求角时，忘记判断角是锐角还是钝角，直接取锐角导致漏解。 即时即练（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得，所以. 知识点三 三角形的面积与周长 1、三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） (三角形的底乘高) 2、求三角形周长、边长或面积的最值 （1）利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等式来求最值。 （2）利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。 即时即练（25-26高一下·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】如图，连接，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当时，取等号， 所以. 所以面积的最大值为. 知识点四 三角形的中线、角分线 1、三角形的中线 （1）在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： 换成三角形的中线，则有 （2）可以通过向量法,两边平方后可得) 2、三角形的角分线 （1）面积法：如图三角形中， 化简有 （2）角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有 （3）斯库顿定理：若为角分线，有 即时即练（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知在中，角，，所对的边分别为，，，，则__________；若线段为的中线，且，，则__________. 【答案】 【分析】根据正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式及辅助角公式即可求解；由平面向量的线性运算用表示出，再根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】， 由正弦定理得，， 因为， 所以， 整理得，， 因为，所以， 所以， 所以，即； 因为线段为的中线，所以， 又，， 所以． 题型1 正余弦定理解三角形 例1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）内角､､的对边分别为，满足，且，以下说法正确的是（    ） A．是锐角 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，根据余弦定理： 代入条件得，， 即， 又因为，所以（当且仅当时等号成立）， 所以，得，又因为已知， 所以且. ， 选项A：因为，，故是钝角，A错误. 选项B：，， 函数在单调递减，故，B错误. 选项C：由得，又，故， 由半角公式： ​， 因为为锐角，且函数在单调递增，故，C错误. 选项D：由，且由C选项分析知，所以，D正确. 例2．（2026高一·全国·专题练习）中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意和余弦定理，在中求出AC的长，再求出AD的长，再由余弦定理在中求出BD的长． 【详解】设，由余弦定理得，， 即，整理得，解得或， ∵为中最大角，∴，又∵，∴， 在中，由余弦定理得，， 即，∴. 【技巧总结】 1、边角互化：正弦定理将边化为角的正弦，或将角的正弦化为边，常用于齐次式、比例式。余弦定理将边与角余弦联系，适合已知三边或两边及夹角。 2、方程联立：面积公式常与正余弦定理联立，形成关于边或角的方程组。 3、多解判断：已知两边及对角时，用正弦定理先求角，注意可能对应一解、两解或无解。 【变式训练1-1】（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，已知是边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，， 因为，所以， 在中，. 【变式训练1-2】（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为__________. 【答案】 【分析】在中，由余弦定理可得，,从而可得，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】如图所示： 由余弦定理可得 , 所以，又因为， 所以，在中，, 在中，由余弦定理可得：, 所以. 题型2 正余弦定理边角互化的应用 例1．（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则的值为________． 【答案】2 【详解】由得， 所以，所以，所以. 例2．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B．9 C． D．1 【答案】C 【分析】利用正弦定理可得，结合三角恒等变换运算求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得，所以. 【技巧总结】 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 （1）利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 （2）利用余弦定理，化角为边。 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏南京·期中）已知的内角的对边分别为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系及辅助角公式得到，即，结合正余弦定理得到，与联立解得，，结合余弦定理求解即可. 【详解】由，得 则，所以. 与联立，解得，. 所以. 又，所以. 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏盐城·期中）在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________． 【答案】 【分析】根据三角恒等变换得，再根据余弦定理，正弦定理角化边得，最后根据已知条件即可求得答案. 【详解】因为，所以 所以 因为，，为外接圆半径， 所以 因为， 所以， 题型3 三角形解的个数 例1．（25-26高一下·江苏泰州·期中）在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意或即可求解. 【详解】如图，在平面内作出角，在其中一条边上取点，以点为圆心，为半径画圆， 若满足条件的恰有一解， 则或，已知，， 当时， ； 当时，， 所以边长的取值范围为. 例2．（25-26高一下·河南驻马店·期中）在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，. 有两解的充要条件是： 得 ，即. 【技巧总结】 在中，已知和时，求角的时，解的情况如下： 若为锐角时：根据 若为钝角或直角时：根据 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏镇江·期中）在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】 如图所示，在中，内角，作于， 要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，其中， 即，因此边长的取值范围为，故A正确. 【变式训练2-2】（25-26高一下·陕西延安·阶段检测）（多选）在中，内角所对的边分别为，，，且恰有一个解，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】CD 【详解】在中，过点作于点，则为中边上的高，记为. . 根据三角形解的个数判断法则，当时或者时，恰有一个解，即或，故选项C和选项D符合题意. 题型4 正余弦定理判断三角形形状 例1．（多选）（25-26高一下·江苏无锡·期中）（多选）对于，有如下命题，其中错误的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，，，则面积为 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理推理判断A；利用正弦定理求出，再利用三角形面积公式计算判断B；利用数量积的定义求解判断C；利用诱导公式推理判断D. 【详解】对于A，，由正弦定理， 得，由余弦定理得，是钝角，为钝角三角形，A错误； 对于B，由正弦定理，得，解得或， 当时，， 当时，，B错误； 对于C，由，得， 则，而，因此，为等腰三角形，C正确； 对于D，在中，由，， 得或， 解得或，为等腰三角形或直角三角形，D错误. 例2．（多选）（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）（多选）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若，，，则有两解 D．若为锐角三角形，则 【答案】BD 【分析】对于A：利用正弦定理结合倍角公式可得，举反例说明即可；对于B：由正弦定理可得，结合余弦定理运算求解；对于C：利用正弦定理运算求解即可；对于D：根据锐角三角形可得，，，结合正弦函数性质运算求解. 【详解】对于选项A：因为，由正弦定理可得，即， 例如，，则，， 满足，但为直角三角形，故A错误； 对于选项B：若，由正弦定理可得， 设，，，，且角为最大角， 则， 且，可知角为钝角，所以为钝角三角形，故B正确； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，，所以有且仅有一个解，故C错误； 对于选项D：若为锐角三角形，则，， 可得，，所以，故D正确. 【技巧总结】 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式 ,尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函数, 尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： （1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 （2）若，则（勾股定理逆定理）。 （3）若，则（锐角）。 （4）若，则（钝角）。 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】由，利用二倍角公式得到，再利用正弦定理求解. 【详解】由， 得，即， 由正弦定理得， 即，因为， 所以，解得， 所以一定为直角三角形. 【变式训练2-2】（25-26高一下·湖南·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据二倍角公式以及正弦定理化简求解即可. 【详解】，化简得. 根据正弦定理得，. 因为在中，进而，故. 因为，所以，进而，解得. 所以为直角三角形. 题型5 求三角形的面积及最值 例1．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间； (3)若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量积运算结合三角恒等变换化简表达式，结合周期公式求解； （2）根据正弦函数的单调性求解； （3）先求出，然后用正弦定理得出，利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由已知 又的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 可得，可得，解得， 所以； （2）令 解得 即函数的单调递减区间为； （3）因为， 所以， 又，则，解得. 由余弦定理可得， 因为，所以，即，当且仅当时成立，此时为等边三角形符合题意， . 面积的最大值为. 例2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知向量，设函数. (1)求函数的周期及单调递增区间； (2)在中，内角的对边分别为，且，求的面积. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由平面向量的坐标运算求解，由二倍角公式以及辅助角公式化简，即可求解函数的周期及单调递增区间； （2）由求解，方法一：由正弦定理求解，再由三角形的面积公式求解即可；方法二：由余弦定理求解，再由三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1） 所以函数的周期； 解得， 函数的单调递增区间为 （2）由得.因为，解得或. 若，由正弦定理得，无解，舍去， （方法1）若，由正弦定理得， 因为，所以有两解：或， 当时，， 当时，， 因此三角形的面积为或. （方法2）若，由余弦定理得 解得：或 当时， 当时， 因此三角形的面积为或. 【技巧总结】 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用 2、已知三边 ，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，结合三角形内角范围即可求得； （2）将代入题设条件，利用辅助角公式，解出，进而推得，再使用余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 即， 因， 代入可得 ，，则，即， 又，. （2）由（1）知，，即， 可得， 即，即， ，所以，解得，则，所以， 由余弦定理得，，解得，则， 所以的面积为. 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； （3）由题意知，进而根据等面积法得，再结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，最后根据面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以，所以或， （2）解：因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设， 在中， 所以 因为，， 所以，当时，取得最大值.    （3）解：由为钝角得，因为的角平分线交于点， 所以 因为，即， 所以，整理得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以    题型6 求三角形的周长及最值 例1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； (3)若，求△ABC的周长取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换进行化简即可求解 (2)利用三角形面积公式，结合等面积法列方程求解 (3)利用正弦定理化简，构造新的函数，求函数的值域 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为，所以，故，即， 又，所以； （2）由（1）知，， 又为的平分线，故， 其中， 由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即，解得. （3）∵ ∴ ∴ ∴ 由是锐角三角形得，， ， ∴ ∴ ∴周长. 例2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行的坐标表示和正弦定理边化角得到，再结合，化简求解即可； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，即可求解. 【详解】（1）由得：， 边化角得：， 在中，， 故， 代入上式得：， 展开化简得：， 因为，， 两边同除以得：​， 又， 因此：； （2）由三角形面积公式， 代入， 得： 由，代入，， 得， 即， 因为，故， 故的周长为​. 【技巧总结】 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 1、 若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。 2、 若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、 若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 注意：运用基本不等式时，看是否满足取等条件。如题有角度限制比如锐角或钝角，可以考虑转化成三角函数问题，这时要先求得被限制的角的取值范围。 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长. 【详解】（1）因为及正弦定理，得， 而，则， 所以， 即， 因为、，则，所以，可得，故. （2）因为，即， 可得①， 由余弦定理可得②， 联立①②可得，即， 因为，解得，故的周长为. 题型7 求三角形的中线、角分线、高线 例1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦公式进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 所以， 所以. （2）由正弦定理得， 因为锐角，所以， 所以，所以； （3）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 由（2）知，则， 所以， 则， 则， 故中线的长度的取值范围为. 例2．（25-26高一下·江苏连云港·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的面积，线段中点为，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将条件式利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换化简求得答案； （2）由（1）结合三角形面积公式求得，再由余弦定理得，根据，利用向量运算得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，又， 所以， 所以， 所以，又，， 所以，即，所以， 又，所以，故. （2）由（1），， 因为，所以，所以， 又因为，所以，得， 又，所以， 所以，所以. 【技巧总结】 1、在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 2、将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 函数法：利用角平分线公式，将其表达为两边长及夹角（或半角）的式子，再根据已知条件将变量统一为同一个角（或边），转化为三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何视角分析，角平分线夹在两边之间，其长度受两边长度和夹角的约束。通过长度的取值范围，从而得所求的取值范围。 适用要点：注意三角形的隐含约束（两边之和大于第三边、角度范围），这些限制直接影响取值区间的端点是否可取。 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏无锡·期中）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围； (3)若点为边上的中点，，求线段的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），即， 化简可得，根据正弦定理可得， 又，所以，所以， 因为，解得. （2）根据正弦定理可得，，， 所以， ，代入可得， 因为，所以， 因为是锐角三角形，所以，解得， ， 代入可得， ， 即， 因为，所以，即， 因此， . （3）在中，是中点，则， 因为，， 由余弦定理可得， 代入可得， 根据基本不等式，即，当且仅当时取等号， 因此，所以的最大值为. 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. (1)求sin B的值； (2)求c的值. (3)若的平分线交BC于点D，求AD的长. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据正弦定理求的值； （2）方法一，根据（1）的结果求，再根据正弦定理求的值；方法二，根据余弦定理求； （3）根据，代入面积公式，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理=， 可得，所以sin B=. （2）方法一　根据条件，b<a，∴B为锐角， 由（1）sin B=，所以cos B=， 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =×+×=， 由正弦定理=可得c=3. 方法二　由余弦定理， 得(， 整理得， 解得或(舍去)， 所以. （3）， 即，得. 1．（25-26高一下·江苏淮安·期中）在中，，则______． 【答案】 【详解】在中，，由正弦定理可得， 设， 由余弦定理可得， 因为，所以. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 【答案】1 【分析】根据正弦定理及已知条件求出角，即可确定三角形个数. 【详解】由正弦定理，可得． 因为，所以，所以，故， 所以符合条件的只有一个． 故答案为：1． 3．（25-26高一下·河北邯郸·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 【答案】A 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 所以，即. 所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 方法二： 因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 4．（2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，将角化边，可得，再由余弦定理结合不等式，可求得角的最大值为，再根据已知条件和余弦定理，可分别求得三角形的三边长，进而得到三角形的周长. 【详解】由题意，， 根据余弦定理，可得，化简得，即， 所以， 根据基本不等式，可得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，由余弦函数的性质，可知单调递减，所以， 所以角的最大值为，且， 又由余弦定理得，， 所以，又，所以，所以， 所以的周长为，所以B正确. 5．（25-26高一下·江苏徐州·期中）记的内角的对边分别为，已知，当角最大时，的面积是__________. 【答案】 【分析】借助正弦定理及余弦定理可得，再利用余弦定理表示出，利用基本不等式可求出角最大值及此时的值，再利用面积公式计算即可得. 【详解】由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，故， 化简得，又，则， ， 当且仅当，即时，等号成立，故， 当角最大时，取最小，即角最大值为，此时， 则. 6．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，且，求的最小值； (3)是边上一点，且，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角形内角和化简已知等式中的角，再通过正弦定理完成边化角，结合三角形内角的取值范围求出角的大小； （2）先根据向量表达式判断出是的角平分线，利用得到与的关系，再结合余弦定理和基本不等式求出的最小值； （3）根据的共线条件将用、线性表示，两边平方得到的约束关系，再结合三角形面积公式和基本不等式求出面积的最大值. 【详解】（1） 在，，故，因此， 原等式化为，由正弦定理得， 因为，，又，代入得， 又，，故，得，即； （2） 由得，说明是的角平分线， 故为的平分线，， 由面积关系，代入得， 化简得，由余弦定理， 由基本不等式，得，函数在时单调递增， 当时，最小为，故最小值为； （3） 由，根据向量分点公式得， 所以，又，， 所以，即，面积， 由基本不等式，得，解得， 当且仅当时取等号，故，即面积最大值为。 7．（25-26高一下·吉林·期中）在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长 (3)若，，为的平分线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，即可求解； （2）利用三角形的面积公式，，再由余弦定理，求得，即可求解； （3）根据题意，得到，利用，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 整理得， 所以，即， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. （2）解：由（1）知：且的面积为， 可得，可得， 因为，由余弦定理知， 可得，可得， 解得，所以的周长为. （3）解：因为为的平分线且，可得， 由，可得， 又因为，可得， 整理得，所以. 8．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案； （3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为. （3）因为是锐角三角形，， 所以，解得， 由正弦定理，，则， 所以， ， 由得，所以， 所以， 即面积的取值范围为. 9．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． (1)求角C； (2)已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用正弦定理边化角，代入已知等式化简得到，从而得到角C； （2）①为中点，将表示为 ，对其平方后结合余弦定理、基本不等式即可求 的最小值； ②先根据向量性质判断为边上的高，结合①和面积公式求出，即可得到三角形周长. 【详解】（1）由正弦定理得， 即有，又三角形内角和为，所以， 即有，因为，所以，即. （2）①由余弦定理得， 又基本不等式得，故有，当且仅当时取等， 由得， 即， 所以的最小值是2； ②由已知得， 即，即， 即，即，又，所以可知三角形边AB上的高为2， 由等面积法得，即，即， 由①知，所以有，即， 所以，因此三角形的周长为． 10．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知的三个内角所对的边分别为. (1)求角的大小. (2)若的面积为，求a的值. (3)若，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据正弦定理边化角，再根据对上式进行化简，最后求出的值. （2）根据三角形面积公式可求出的值，再结合余弦定理以及的值求解出的值. （3）先根据求解出的值，再利用面积法求解出角平分线的长度. 【详解】（1）. 在中，， ，可得， ，又，可得. （2）由，解得， 由余弦定理得，故. （3）由， 设的长为，由， 解得，即. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $