专题 3 负数、因数与倍数(专项训练）-2026年四升五数学暑假专项提升（青岛版五四制）

**基本信息** 聚焦负数概念与因数倍数体系，通过22道区域期末真题构建"概念辨析-性质应用-实际建模"的三阶训练逻辑，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|----|----|----| |负数|4题|以标准量为基准的正负数表示，结合海拔、质量误差等情境|从负数定义（小于0的数）延伸至实际意义的数学表达，培养符号意识| |因数倍数|9题|因数个数确定、倍数特征判断、分解质因数|从因数倍数相互依存关系出发，构建"定义-性质（有限/无限性）-特殊数（2/3/5倍数）"的逻辑链| |质数合数|9题|质数合数分类、连续数问题、实际应用（长方形边长）|以因数个数为分类标准，衔接倍数特征解决实际问题，发展模型意识|

专题 3 负数、因数与倍数 知识点一、负数 1.负数是数学术语，指小于0的数，如-3。 2.任何正数前加上负号都等于负数。负数都在0的左侧，所有的负数都比自然数小。负数用负号“-”标记，如-2，-5.33，-45，-0.6等。 知识点二、因数、倍数 大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。 注意 1.数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 2.一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3.一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 知识点三、2、3、5的倍数特征 1.个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 2.一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 3.个位上是0或5的数，是5的倍数。 4.能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。 知识点四、质数、合数. 1.质数：只有1和它本身两个因数。 2.合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。 一、选择题 1．（25-26四年级下·山东济南·期末）有一种记分方法，以90分为标准，85分记作﹣5分，97分应记作（    ）。 A．﹣7分 B．﹢7分 C．以上选项都不对 2．（24-25四年级下·山东淄博·期末）淄博是足球的起源地。检测足球的轻重，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，下面3个足球最接近标准的是（    ）。 A．﹣0.5克 B．﹢0.8克 C．﹢1.2克 3．（25-26四年级下·山东东营·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．所有的质数都是奇数 B．质数的因数比合数的因数少 C．4的倍数一定是偶数 4．（25-26四年级下·山东威海·期末）妈妈买了12个苹果，让明明分装在盘子里，既不能每个盘子放一个，也不能全部放在一个盘子里。明明一共有（    ）种不同的分装方法。 A．6 B．4 C．2 5．（25-26四年级下·山东济南·期末）下面数中，既是2、5的倍数，又是3的倍数的是（    ）。 A．123 B．312 C．150 6．（25-26四年级下·山东泰安·期末）把36分解质因数（    ）。 A．36＝4×3×3 B．36＝2×2×3×3 C．36＝2×2×3×3×1 二、填空题 7．（25-26四年级下·山东东营·期末）如果高出海平面450米，记作﹢450米，那么低于海平面60米，记作( )米，读作( )米。 8．（25-26四年级下·山东烟台·期末）一瓶饮料的容量是500±25毫升，这瓶饮料最多( )毫升，最少( )毫升。 9．（25-26四年级下·山东烟台·期末）25的因数有( )个，分别是( )。 10．（25-26四年级下·山东烟台·期末）一个三位数，个位是最小的合数，十位是一位数中最大的奇数，百位是最小的质数，这个三位数是( )。 11．（25-26四年级下·山东烟台·期末）一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。如243各个数位上数的和为2＋4＋3，即和是9，因为9是3的倍数，所以243就是3的倍数。画线式子中的4表示4个( )。 12．（24-25五年级下·湖南永州·期末）三个连续偶数的和是216，这三个偶数的平均数是( )，其中最大一个数是( )。 三、判断题 13．（24-25四年级下·山东威海·期末）如果向北运动50米记作﹢50米，那么﹣30米表示向东运动30米。( ) 14．（24-25四年级下·山东泰安·期末）奶粉袋上标有“净重（500±5）克”字样，表示这种奶粉最重不超过505克，最轻不低于495克。( ) 15．（24-25四年级下·山东威海·期末）10的倍数一定是5的倍数，也一定是2的倍数。( ) 16．（25-26四年级下·山东泰安·期末）20的因数有：2、4、5、10、20……( ) 17．（2022·辽宁盘锦·小升初真题）一个数的倍数的个数是无限的，因数的个数是有限的。( ) 四、解答题 18．（21-22四年级下·山东·单元测试）某工厂规定每人每天要做100个零件，如果某人生产了105个零件，记作：﹢5个；如果某人生产了98个零件，记作：﹣2个。 下面是小张一周的生产零件的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 ﹣6 ﹢12 ﹢9 ﹣3 ﹢8 （1）记录中你能看出他在星期几生产的零件个数最多？是多少个？ （2）小张这周一共生产多少个零件？ （3）从表中你还能知道哪些信息？ 19．（24-25四年级下·山东济南·期末）王爷爷要围出一个面积为35平方米的长方形的小菜园，要求小菜园的长和宽都是整数且都是质数。围出这个小菜园需要多少米的篱笆？若每米篱笆的价格为12元，王爷爷准备300元够吗？ 20．（23-24四年级下·山东淄博·期末）四年级举行趣味行走比赛。 （1）如果3人一组，下面哪些班的报名人数分组后没有剩余，为什么？ 四年级 一班 二班 三班 四班 人数 24人 25人 36人 39人 （2）如果6人一组，哪些班的报名人数分组后没有剩余？你发现了什么？请写出一条你的发现。 21．（23-24四年级下·山东泰安·期末）姐姐的年龄是两位数中最小的质数，爸爸的年龄比姐姐的3倍多6岁，爸爸今年是多少岁？ 22．（21-22四年级上·山东济宁·期末）三个连续的奇数的和比其中最大的一个奇数大44。这三个连续奇数分别是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题 3 负数、因数与倍数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A A B C B 1．B 【分析】根据题意，确定标准分为90分，低于标准分记为负数，高于标准分记为正数。通过计算97分与标准分的差值，确定其记作正数还是负数及具体数值，从而选择正确选项。 【详解】根据题意，记分方法以90分为标准。 由“85分记作﹣5分”可知，85比90分少5分，记为负数，说明低于标准分记为负数，高于标准分记为正数。 计算97分与标准分的差值：（分） 因为97分高于90分，所以应记作正数； 即97分应记作﹢分。 2．A 【分析】由题意得，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数。那么﹣0.5克表示比标准克数轻0.5克，﹢0.8克表示比标准克数重0.8克，﹢1.2克表示比标准克数重1.2克。要想知道哪个足球最接近标准，直接比较几个小数的大小即可。 【详解】0.5，0.8和1.2比较大小，整数部分0＝0＜1，所以1.2最大。0.5和0.8比较大小，十分位上5＜8，所以0.5＜0.8。即0.5克最小，那么第一个足球最接近标准。 故答案为：A 3．A 【分析】2是质数，但它是偶数，它是唯一的偶质数。是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。质数：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数，即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。合数是指一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能被其他自然数整除的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此解答。 【详解】A．2是质数，但它是偶数，它是唯一的偶质数，则所有的质数都是奇数，错误。 B．质数的因数比合数的因数少，质数和合数的区别在于因数的个数，质数只有2个因数，合数至少有3个因数，正确。 C．4的倍数一定是偶数，4÷2＝2，4是2的倍数，则4的倍数一定是偶数，正确。 所以所有的质数都是奇数是错误的。 4．B 【分析】根据题意，将个苹果分装在盘子里，隐含每盘苹果数量相同，即求的因数。找出的所有因数后，根据题目中的限制条件排除不符合的情况，剩下的因数个数即为不同的分装方法种数。 【详解】 排除不合格的和，一共有种不同的分装方法。 5．C 【分析】根据2、3、5 的倍数的特征进行判断。既是2的倍数又是5的倍数，个位上必须是0；又是3的倍数，各位上的数字之和必须是3的倍数。 【详解】既是2又是5的倍数的特征：个位必须是0（2的倍数个位是偶数，5的倍数个位是0或5，同时满足的只有个位是0）。 A．123个位上是3，不是2和5的倍数，此选项错误。 B．312个位上是2，是2的倍数，不是5的倍数，此选项错误。 C．150个位上是0，是2和5的倍数，各位上的数字之和 1＋5＋0＝6，6是3的倍数，所以150是3的倍数，此选项正确。 既是2、5的倍数，又是3的倍数的是150。 6．B 【分析】分解质因数是指把一个合数写成几个质数相乘的形式，其中每个因数都必须是质数，且不能包含1或合数。 【详解】A．在36＝4×3×3中，4是合数（4＝2×2），不符合“质数相乘”的要求，A选项错误； B．在36＝2×2×3×3中，2和3均为质数，且2×2×3×3＝36，符合分解质因数的定义，B选项正确； C．在36＝2×2×3×3×1中，1既不是质数也不是合数，C选项错误。 7． ﹣60 负六十 【分析】把海平面看作分界线，用0表示，高出海平面用正数表示，低于海平面就用负数表示。表示低于海平面的高度时在这个高度前面加上负号即可。读的时候把负号读作“负”，后面的数按正数读法读出即可。 【详解】低于海平面60米记作“﹣60米”，读作“负六十米”。 8． 525 475 【分析】一瓶饮料的容量是500±25毫升，表示这瓶饮料最多容量比500毫升多25毫升，是（500＋25）毫升。这瓶饮料最少容量比500毫升少25毫升，是（500－25）毫升。 【详解】500＋25＝525（毫升） 500－25＝475（毫升） 所以，一瓶饮料的容量是500±25毫升，这瓶饮料最多525毫升，最少475毫升。 9． 3 1，5，25 【分析】在整数除法中，如果商是整数而且没有余数，那么除数和商都是被除数的因数。 【详解】25÷5＝5 25÷25＝1 所以，25的因数有3个，分别是1，5，25。 10．294 【分析】只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数，不能被2整除的数是奇数。其中最小质数是2，最小合数是4，一位数范围内最大奇数是9，依据定义确定各个数位数字即可组数。 【详解】最小的质数是2，确定百位数字为2；一位数中最大的奇数是9，确定十位数字为9；最小的合数是4，确定个位数字为4；按照百位、十位、个位顺序组合，得出这个三位数是294。 11．十 【分析】整数数位从右至左依次为个位、十位、百位，不同数位对应不同计数单位；3的倍数判定方法为一个数所有数位上数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，结合数位位置判断数字代表的含义即可解题。 【详解】在数字243中，数字4位于十位，十位的计数单位是十，所以这个4表示4个十。 12． 72 74 【分析】连续的偶数中，相邻的偶数相差2，平均数＝总和÷个数，三个连续偶数的平均数就是中间数。 【详解】216÷3＝72 72＋2＝74 13． × 【分析】正负数表示相反意义的量，向北记为正，则向南应记为负，而东西方向与北方向无关。 【详解】根据题意，向北运动50米记作＋50米，则﹣30米应表示向南运动30米。题干中“向东运动30米”的说法错误，因为东西方向与北方向不是相反关系。 故答案为：× 14．√ 【分析】根据正负数的意义，“净重（500±5）克”表示以500克为标准，允许误差范围为±5克。最重为（500＋5）克，最轻为（500－5）克，据此解答。 【详解】根据题意，500克为标准质量，±5克为允许误差范围。 最重质量：500＋5＝505（克） 最轻质量：500－5＝495（克） 所以，“最重不超过505克，最轻不低于495克”与计算结果完全一致，因此原题干说法正确。 故答案为：√ 15．√ 【分析】个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数（0除外），个位上是0，5的数是5的倍数（0除外）。据此解答。 【详解】由题意得，一个数是10的倍数，那么这个数的个位上一定是0。这个数的个位上是0，那么这个数一定是5的倍数，也一定是2的倍数。原题说法正确。 故答案为：√ 16．× 【分析】一个数的最小因数是1，一个数的因数个数是有限的。 【详解】1×20＝20 2×10＝20 4×5＝20 所以20的因数有：1、2、4、5、10、20。 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，原题漏掉了因数1，且错误使用了省略号，所以原题说法错误。 故答案为：× 17．√ 【分析】求一个数的倍数，就把这个数依次乘1、2、3、4……；求一个数的因数，可以找出乘积是这个数的所有整数，都是它的因数；一个数的因数的个数是有限的，一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的；一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；据此解答。 【详解】例如：5的倍数有：5、10、15、20…… 40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40 所以，一个数的倍数的个数是无限的，因数的个数是有限的。原题说法正确。 故答案为：√ 18．（1）星期二，112个； （2）520个； （3）答：从图中还可以看出小张在星期一生产的零件最少。（答案不唯一） 【分析】（1）从超过100个零件的多少进行大小比较即可判断； （2）把每天生产的个数算出来，再相加即可； （3）根据表格说出合理的信息即可。 【详解】（1）﹢12＞﹢9＞﹢8，100＋12＝112（个） 答：星期二生产的零件个数最多，是112个。 （2）（100－6）＋（100＋12）＋（100＋9）＋（100－3）＋（100＋8） ＝94＋112＋109＋97＋108 ＝206＋109＋97＋108 ＝315＋97＋108 ＝412＋108 ＝520（个） 答：小张这一周生产了520个零件。 （3）答：从图中还可以看出小张在星期一生产的零件最少。 【点睛】本题考查学生根据数据和图表分析问题的能力，同时考查了对正负数的理解能力。 19．24米；够 【分析】先把35分解质因数35＝5×7，5和7都是质数（只有1和它本身两个因数的数是质数），即7是长，5是宽，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2求出围出这个小菜园需要多少米的篱笆；再乘每米篱笆的价格为12元求出总价，再与300元比较。 【详解】35＝5×7 （5＋7）×2 ＝12×2 ＝24（米） 24×12＝288（元） 288＜300 答：围出这个小菜园需要24米的篱笆，王爷爷准备300元够。 20．（1）一班、三班、四班；24、36、39都是3的倍数 （2）一班、三班；6的倍数一定是3的倍数 【分析】（1）用每个班的人数除以3，没有余数的就是分组后没有剩余。观察哪些班的报名人数分组后没有剩余，再找出规律。 （2）用每个班的人数除以6，没有余数的就是分组后没有剩余。观察哪些班的报名人数分组后没有剩余，再找出规律。 【详解】（1）24÷3＝8（组） 25÷3＝8（组）……1（人） 36÷3＝12（组） 39÷3＝13（组） 答：一班、三班、四班的报名人数分组后没有剩余。因为24、36、39都是3的倍数。 （2）24÷6＝4（组） 25÷6＝4（组）……1（人） 36÷6＝6（组） 39÷6＝6（组）……3（人） 答：一班、三班的报名人数分组后没有剩余。24、36都是6的倍数，6的倍数一定是3的倍数。（答案不唯一） 21．39岁 【分析】两位数中最小的质数是11，所以姐姐的年龄是11岁，姐姐的年龄乘3，再加6等于爸爸的年龄，据此即可解答。 【详解】两位数中最小的质数是11。 11×3＋6 ＝33＋6 ＝39（岁） 答：爸爸今年是39岁。 22．21、23、25 【分析】根据两个连续奇数相差2，可设最小的奇数为x，再依次表示出另外两个较大的奇数，最后根据等量关系：三个连续的奇数的和＝最大的奇数＋44，列出方程即可解答。 【详解】解：设最小的奇数是x，中间的奇数是（x＋2），最大的奇数是（x＋4）。 中间的奇数：21＋2＝23 最大的奇数：21＋4＝25 【点睛】本题主要考查列方程解决实际问题，注意掌握两个连续奇数相差2。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3 负数、因数与倍数 知识点一、负数 1.负数是数学术语，指小于0的数，如-3。 2.任何正数前加上负号都等于负数。负数都在0的左侧，所有的负数都比自然数小。负数用负号“-”标记，如-2，-5.33，-45，-0.6等。 知识点二、因数、倍数 大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。 注意 1.数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 2.一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3.一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 知识点三、2、3、5的倍数特征 1.个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 2.一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 3.个位上是0或5的数，是5的倍数。 4.能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。 知识点四、质数、合数. 1.质数：只有1和它本身两个因数。 2.合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。 一、选择题 1．（25-26四年级下·山东济南·期末）有一种记分方法，以90分为标准，85分记作﹣5分，97分应记作（    ）。 A．﹣7分 B．﹢7分 C．以上选项都不对 2．（24-25四年级下·山东淄博·期末）淄博是足球的起源地。检测足球的轻重，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，下面3个足球最接近标准的是（    ）。 A．﹣0.5克 B．﹢0.8克 C．﹢1.2克 3．（25-26四年级下·山东东营·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．所有的质数都是奇数 B．质数的因数比合数的因数少 C．4的倍数一定是偶数 4．（25-26四年级下·山东威海·期末）妈妈买了12个苹果，让明明分装在盘子里，既不能每个盘子放一个，也不能全部放在一个盘子里。明明一共有（    ）种不同的分装方法。 A．6 B．4 C．2 5．（25-26四年级下·山东济南·期末）下面数中，既是2、5的倍数，又是3的倍数的是（    ）。 A．123 B．312 C．150 6．（25-26四年级下·山东泰安·期末）把36分解质因数（    ）。 A．36＝4×3×3 B．36＝2×2×3×3 C．36＝2×2×3×3×1 二、填空题 7．（25-26四年级下·山东东营·期末）如果高出海平面450米，记作﹢450米，那么低于海平面60米，记作( )米，读作( )米。 8．（25-26四年级下·山东烟台·期末）一瓶饮料的容量是500±25毫升，这瓶饮料最多( )毫升，最少( )毫升。 9．（25-26四年级下·山东烟台·期末）25的因数有( )个，分别是( )。 10．（25-26四年级下·山东烟台·期末）一个三位数，个位是最小的合数，十位是一位数中最大的奇数，百位是最小的质数，这个三位数是( )。 11．（25-26四年级下·山东烟台·期末）一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。如243各个数位上数的和为2＋4＋3，即和是9，因为9是3的倍数，所以243就是3的倍数。画线式子中的4表示4个( )。 12．（24-25五年级下·湖南永州·期末）三个连续偶数的和是216，这三个偶数的平均数是( )，其中最大一个数是( )。 三、判断题 13．（24-25四年级下·山东威海·期末）如果向北运动50米记作﹢50米，那么﹣30米表示向东运动30米。( ) 14．（24-25四年级下·山东泰安·期末）奶粉袋上标有“净重（500±5）克”字样，表示这种奶粉最重不超过505克，最轻不低于495克。( ) 15．（24-25四年级下·山东威海·期末）10的倍数一定是5的倍数，也一定是2的倍数。( ) 16．（25-26四年级下·山东泰安·期末）20的因数有：2、4、5、10、20……( ) 17．（2022·辽宁盘锦·小升初真题）一个数的倍数的个数是无限的，因数的个数是有限的。( ) 四、解答题 18．（21-22四年级下·山东·单元测试）某工厂规定每人每天要做100个零件，如果某人生产了105个零件，记作：﹢5个；如果某人生产了98个零件，记作：﹣2个。 下面是小张一周的生产零件的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 ﹣6 ﹢12 ﹢9 ﹣3 ﹢8 （1）记录中你能看出他在星期几生产的零件个数最多？是多少个？ （2）小张这周一共生产多少个零件？ （3）从表中你还能知道哪些信息？ 19．（24-25四年级下·山东济南·期末）王爷爷要围出一个面积为35平方米的长方形的小菜园，要求小菜园的长和宽都是整数且都是质数。围出这个小菜园需要多少米的篱笆？若每米篱笆的价格为12元，王爷爷准备300元够吗？ 20．（23-24四年级下·山东淄博·期末）四年级举行趣味行走比赛。 （1）如果3人一组，下面哪些班的报名人数分组后没有剩余，为什么？ 四年级 一班 二班 三班 四班 人数 24人 25人 36人 39人 （2）如果6人一组，哪些班的报名人数分组后没有剩余？你发现了什么？请写出一条你的发现。 21．（23-24四年级下·山东泰安·期末）姐姐的年龄是两位数中最小的质数，爸爸的年龄比姐姐的3倍多6岁，爸爸今年是多少岁？ 22．（21-22四年级上·山东济宁·期末）三个连续的奇数的和比其中最大的一个奇数大44。这三个连续奇数分别是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $