2025-2026学年苏科版数学八年级上册专题提优——全等三角形中的“手拉手”模型

该初中数学讲义通过“基础形式-模型推广-应用实践”的递进框架构建全等三角形“手拉手”模型知识体系，明确模型三要素及核心结论，分类型梳理等腰直角三角形、等边三角形中的推广模型，呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“模型应用-分层巩固”的练习设计，如例1利用模型证明△AMN为等边三角形，例2探究MN与BC位置关系，培养推理意识与几何直观。基础题夯实模型应用，综合题提升逻辑推理，助力不同层次学生发展，支持教师精准教学与学生自主复习。

全等三角形中的“手拉手”模型 “手拉手”模型是涉及了初中数学众多知识的重要模型之一，这些知识包含了全等三角形、相似三角形、正方形、旋转以及圆.此前，同学们已经学习了北师大版七年级下册《全等三角形》和《生活中的轴对称》，下面我们一起来探究全等三角形中的“手拉手”模型吧. 一、“手拉手”模型的基本形式 如图1，等腰三角形和等腰三角形有公共顶点A，且.边AB、AC、AD以及AE可以看作同学们的两双“手臂”，而点B和点D可以看作你们的“左手”，点C和点D则可以看作你们的“右手”，先用左手拉左手，即连接BD，再用右手拉右手，即连接CE，所得到的模型即为“手拉手”模型.所以构建“手拉手”模型需要满足三个要素：两个三角形有公共顶点、两个三角形均为等腰三角形、两个三角形的顶角相等. 结论： (1)△A； (2)由△可知，我们称BD和CE为“第三组对应边”；点F是BD和CE所在直线的交点，我们称为“第三组对应边所在直线的交点”；“第三组对应边”所在直线的夹角由或来体现，如果α，那么α或°−α. 注：“手拉手”模型的其他结论将在北师大版八年级下册课本中与同学们深入探究. 【分析】(1)因为在等腰和等腰中，所以，， 因为∠CA，所以，即， 所以△AB. 由(1)知，所以， 因为在△AGB和中， 所以∠CA°−−，°−−， 因为∠AG，α，所以α， 因为，所以。 二、“手拉手”模型的推广 1. 等腰直角三角形中的“手拉手”模型 如图2，等腰三角形和等腰三角形有公共顶点，且。 同理可以证明以下结论： 1. ； 2. 由可知，我们称和为“第三组对应边”；点是和所在直线的交点，我们称为“第三组对应边所在直线的交点”；“第三组对应边”所在直线的夹角由或来体现，如果，那么或。 其实等腰直角三角形可以看作正方形的一半，我们还可以将“手拉手”模型应用于以后学习正方形的知识中。 2. 等边三角形中的“手拉手”模型 如图3，等边三角形和等边三角形有公共顶点（左手形）。 同理可以证明以下结论： 1. ； 2. 由可知，我们称和为“第三组对应边”；点是和所在直线的交点，我们称为“第三组对应边所在直线的交点”；“第三组对应边”所在直线的夹角由或来体现，如果，那么或。 三、“手拉手”模型的运用 例1. 如图4，已知等边和等边共顶点。 1. 连接、交于点，则。 （2）在（1）的条件下，分别取BD、CE的中点M、N， 求证：△AMN为等边三角形. 【分析】本题的条件满足构建“手拉手”模型需要的三个要素：两个三角形有公共顶点、两个三角 形均为等边三角形、两个三角形的顶角为.所以本题可利用“手拉手”模型的相关结论，所提供的思路进行解答. 由等边三角形的性质得，，，可推导出 ，即可证明，得，则，所以 ； 由，，且，得，即可证明，得 ，，则，所以是等边三角形. （1）解：如图5，因为和都是等边三角形， 所以，，， 所以， 所以，所以， 所以，因为在和中， 所以， ， 因为，所以， 所以. （2）证明：如图6，因为M、N分别是BD、CE的中点， 所以，，由（1）知， 所以，又因为，， ， 所以，所以， 所以，， 所以 ，所以是等边三角形. 例2.如图7，B，C，E三点在一条直线上，和 均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N. （1）求证：； （2）如图8，连接MN，试探究MN与BC的位置关系，并证明你的结论. 【分析】本题的条件满足构建“手拉手”模型的三个要素.1.两个三角形有公共顶点；2.两个三角形均为等边三角形；3.两个三角形的顶角为.所以本题可利用“手拉手”模型的相关结论进行解答. （1）由等边三角形的性质得出，，，再根据SAS证明即可得出结论； （2）由ASA证明得出，从而得出是等边三角形，即可推出. （1）证明：因为和均为等边三角形， 所以，，， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以； （2），理由如下： 由（1）知，所以，因为，，所以，所以， 因为，所以是等边三角形，所以， 因为，所以，所以. 四、巩固“手拉手”模型 1. 已知：如图9，在中，，在中，，且，连接，交于点. （1）求证：； （2）求的度数. 2. 如图10，已知和都是等边三角形，且，，在一条直线上，连接，相交于点，点，分别是线段，上的两点，且，，则下列结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确的结论是______．（填序号） 3.如图11，已知，分别以AB，AC为边作和，且AD＝AB，AC＝AE，＝，连接DC与BE．G，F分别是DC与BE的中点． （1）求证：DC＝BE； (2)当∠DAB＝80°，求的度数； (3)若∠DAB＝α，则与α的数量关系是____． 巩固“手拉手”模型的参考答案： 1.(1)证明：因为＝，所以＝， 所以∠BAD＝，所以，所以BD＝CE； (2)解：由(1)知，所以＝， 因为在△AFB和中， 所以∠BA°－－，°－－， 所以∠BP，因为＝36°，所以＝36°． 2. ①②④． 3.解：(1)因为＝，所以＝， 所以∠DAC＝，因为AD＝AB，AC＝AE，所以， 所以DC＝BE． （2）如图12，连接AG． 由(1)知，DC＝BE，所以＝．AD＝AB． 因为G，F分别是DC与BE的中点， 所以，，所以DG＝BF． 所以△AD，所以AG＝AF，＝， 所以∠AGF＝，－＝－， 所以∠DAB＝．因为＝80°，所以＝80°， 因为∠GA＝180°，所以＝50°． （3）． 学科网（北京）股份有限公司 $