第1章三角形 专题提优4：直角三角形与特殊角 讲义 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦直角三角形与特殊角核心知识点，系统梳理等腰直角三角形中手拉手模型构造、8字型旋转全等应用，到含30°角直角三角形的连接两点、延长补形、作垂线等辅助线技巧，构建递进式学习支架。 该资料以问题链驱动，通过作垂线构手拉手模型、补形造30°角等多样化辅助线方法，培养几何直观与推理能力，例题分层设计。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固思路，查漏补缺，提升解决特殊角相关问题的能力。

专题提优4：直角三角形与特殊角 等腰直角三角形与45°角 一、作垂线构造手拉手模型解题 1.如图，△ABC中，∠ABC=45°，D是△ABC外一点，DC⊥AC,连接 BD当∠DBC=45时，求证：DC=AC 2.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC,D是AC上 一点 (I)若∠AEB=45,求证：CE⊥BD: (2)若∠AEC=135,求证：CE⊥BD. 1/6 二、利用8字型构造旋转型全等解题 3.如图①，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，点D在AC上，连接BE, 取BE的中点M,连接AM,DM (I)AM与DM具有怎样的位置关系和数量关系？请说明理由.经过探究，小 李得到了一种解题思路：如图②，延长DM交AB于点N,利用“三线合一”可 证AM⊥DM,且AM=DM.请利用小李的思路将完整的解题过程写出来. (2)如图③，若将△DCE绕，点C逆时针旋转45，即恰好使AC⊥CE,DC平 分∠ACE.则AM与DM具有怎样的位置关系和数量关系？请说明理由， (3)若将△DCE绕，点C逆时针旋转任意角度，如图④，则AM与DM具有怎 样的位置关系和数量关系？（直接写出结果） 2/6 作辅助线巧构含30°角的直角三角形 一、连接两，点构造含30°的直角三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°.分别以，点A和C为圆心，以 大于号AC的长度为半径作孤，两孤相交于点P和，点Q,作直线PQ分别交 BC,AC于点D和点E若CD=3,则BD的长为（) A.4B.5C.6D.7 PY E D B C 和 2.如图，点B为线段AQ上的动，点，AQ=4,以AB为边作等边△ABC,以 BC为底边作等腰三角形PCB,则PQ的最小值为一 B O 3/6 二、延长线段（补形）构造含30°的直角三角形 3.如图，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1, ∠A=30',∠B=90',∠ADC=120,则CD的长为 4.如图，Rt△ABC中， ∠ACB=90',CA=CB,∠BAD=∠ADE=60,DE=3,AB=10,CE平分 ∠ACB,DE与CE相交于点E,则AD的长为 三、作垂线构造含30°的直角三角形 5.如图，∠AOB=60°，点P在OA上，PC=PD,若OC=5cm,OD=8cm, 则OP的长是() A.13cm B.12cm C.8cm D.5cm 4/6 C DB 6.如图，在△ABC中，AB=AC=6,∠B=∠C=15°，则△ABC的面积为 15 C 7.已知CD是△ABC的高，∠BAC=2∠BCD,P是直线BC上一点. (1)当，点P在CB的延长线上，且∠APC=60°时，如图①，求证： PB+PC=PA (2)当，点P在边BC上，且∠APC=60时，如图②：当点P在边BC上，且 ∠APC=120时，如图③，请直接写出线段PB,PC,PA之间的数量关系，不 需要证明. D B PB B ① ② ③ 5/6 616专题提优4：直角三角形与特殊角 等腰直角三角形与45°角 一、作垂线构造手拉手模型解题 1.如图，△ABC中，∠ABC=45°，D是△ABC外一点，DC⊥AC,连接BD.当 ∠DBC=45时，求证：DC=AC 答案：如图，过点C作CE⊥AB于点E,作CF⊥BD交BD的延长线于点 F:∠ABC=∠DBC=45°，·BC为∠ABD的平分线，：CE=CF,在四边形BECP中， :∠EBF=∠ABC+∠0BC=90°，∠BEC=90°，∠BFC=90°，∠ECF=90°：∠ACD=90°，÷∠ACE+4 即 ∠ACE=∠FCD.:CE=CF,∠CEA=∠CFD=90°，·△ACE≌△DCF(ASA),·DC=AC. 2.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC,D是AC上一点 (1)若∠AEB=45°，求证：CE⊥BD: (2)若∠AEC=135°，求证：CE1BD. 1/10 答案： (1)如图①，过点A作AF⊥AE交BE于点F:∠AB=45°， ·AFE=180°-90°-45°=45°，÷△AEP是等腰直角三角形，易证得 △ABF≌△ACE(SAS),·∠ABE=∠ACE.又 :∠ADB=∠EDC,∠ABE+∠ADB=90°，：∠ACE+∠EDC=90°，·∠BEC=90°，：CE⊥BD. ① ② (2)如图②，过点A作AP⊥AE交CE的延长线于点F, :∠AEC=135°，÷∠AEF=45°，÷∠AFE=180°-90°-45°=45°，÷△AEF是等腰 直角三角形，易证得△ABE兰△ACF(SAS),·∠ABE=∠ACE.又 :∠ADB=∠EDC,∠ABE+∠ADB=90°，·∠ACE+∠EDC=90°， ∠BEC=90°，÷CE⊥BD 注意： (1)已知：AB=AC,∠BAC=90°，∠APB=45 解题方法：过点A作AD⊥AP,构造等腰直角三角形ADP 结论：△ABD兰△ACP,CP⊥BP (2)已知：AB=AC,∠BAC=90°，∠APC=135° 2/10 解题方法：过点A作AD⊥AP,构造等腰直角三角形ADP 结论：△ABP兰△ACD,CP⊥BP (3)已知：AB=AC,∠BAC=90°.∠APC=45 459 解题方法：过点A作AD⊥AP,构造等腰直角三角形ADP 结论：△ABD兰△ACP,PD⊥BD 二、利用8字型构造旋转型全等解题 3.如图①，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，点D在AC上，连接BE, 取BE的中点M,连接AM,DM (1)AM与DM具有怎样的位置关系和数量关系？请说明理由.经过探究，小李 得到了一种解题思路：如图②，延长DM交AB于点N,利用“三线合一”可证 AM⊥DM,且AM=DM.请利用小李的思路将完整的解题过程写出来， (2)如图③，若将△DCE绕点C逆时针旋转45°，即恰好使AC⊥CE,DC平分 ∠ACE.则AM与DM具有怎样的位置关系和数量关系？请说明理由， (3)若将△DCE绕点C逆时针旋转任意角度，如图④，则AM与DM具有怎样 的位置关系和数量关系？（直接写出结果） 3/10 3 ④ 答案： (I):△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，：DE//AB.又：M为BE的中 点，.易证△MDE≌△MNB(ASA),DE=BN=DC,DM=MN:△ABC为等腰直 角三角形，·AC=AB,:AN=AD.在等腰直角△ADN中，M为DN的中点， AM⊥DM,AM=DM (2)AM⊥DM,AM=DM. 理由：延长DM交BC于N,连接AN,AD.如图①， :∠DEC+∠BCE=180°，·DE//BC,·易证 △MDE≌△MNB(ASA),:BN=DE=DC,DM=MN,·△ABN≌△ACD(SAS),·∠BAN=∠O 则LCAD+∠CAN=90°，：△ADN为等腰直角三角形.在等腰直角三角形ADN中， M为DN的中点，：AM⊥DM,AM=DM. (3)AM⊥DM,AM=DM, 解析：过点B作BN//DE,交DM的延长线于点N,连接AN,AD.如图②，·易 证△MDE兰△MNB(ASA),:∠BNM=∠EDM,DM=MN,BN=DE=DC.记AC与 DM的交点为F,在四边形ABNF和四边形CEDF中， ∠BNF=∠EDF,∠AFN=∠CFD,·∠ABN+∠BAF=∠DEC+∠FCE,则 4/10 45°+∠FCE=∠ABN+90°：∠BCE=∠F℃E+∠BCA=∠FCE+45°，·∠ABN+90°=∠BCE, 且∠BCE=∠ACD+∠ECD+∠BCA=∠ACD+90°，·LABN=LACD, ·△ABN≌△ACD(SAS),·AD=AN,∠CAD=∠BAN,·∠DAN=∠CAD+∠CAN=∠CAN+∠BA 为等腰直角三角形在等腰直角三角形ADN中，M为DN的中点， :AM⊥DM,AM=DM. 作辅助线巧构含30°角的直角三角形 一、连接两点构造含30°的直角三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC,A=120°.分别以点A和C为圆心，以大 于AC的长度为半径作孤，两孤相交于点P和点Q,作直线PQ分别交BC,AC于点D 和点E若CD=3,则BD的长为（) A.4B.5C.6D.7 D B 答案：C 解析：连接AD,:AB=AC,∠BAC=120°，：∠B=∠C=30°.由作法得DE垂直 平分AC,·DA=DC=3,·∠DAC=∠C=30°，·∠BAD=120°-30°=90°.在Rt △ABD中，：∠B=30°，÷BD=2AD=6.故选C. 2.如图，点B为线段AQ上的动点，AQ=4,以AB为边作等边△ABC,以 BC为底边作等腰三角形PCB,则PQ的最小值为 5/10 答案：2 解析：如图，连接AP,:△ABC是等边三角形，·AB=AC,∠CAB=60°.在 △ABP和△ACP中， (AB=AC, BP=CP,A△ABP≈△AC(SSB),∠CAP=LBAP,∠PAQ=30,·点P AP≠AP, 在射线AP上运动，当QP⊥AP时，PQ的值最小，：PQ=专AQ=×4=2 二、延长线段（补形）构造含30°的直角三角形 3.如图，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1, ∠A=30°，B=90°，∠ADC=120°，则CD的长为 B 答案：2 解析：如图，延长AB,DC交于点E,:A=30,∠D=120°，. ∠E=30°，·∠A=∠E,·AD=DE.在Rt△BCE中， CE=2BC=2,÷CD=DE-CE=4-2=2. 6/10 4.如图，Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CA=CB,∠BAD=∠ADE=60°，DE=3,AB=10,CE平分∠ACB,DE 与CE相交于点E,则AD的长为 答案：7 解析：延长DE交AB于F,延长CE交AB于G,如图所示 :∠BAD=LADE=60°，LAF=DF,、△ADF是等边三角形， :AD=AF=DF,∠AFD=60°：CA=CB,CE平分∠ACB,:CG⊥AB,即 LCGB=90°，AG=AB=5.设AD=AP=DF=x,在Rt△GEF中， ∠GFE=60°，∠GEF=30°，EF=DF-DE=x-3,则GF=专(x-3).由AF-GF=AG 得，8-寺(x-3)=5,解得x=7. 三、作垂线构造含30°的直角三角形 5.如图，∠A0B=60°，点P在0A上，PC=PD,若0C=5Cm,0D=8Cm ,则0P的长是（) A.13 cm B.12 cm C8 cm D.5 cm 7/10 A OC DB 答案：A 解析：过点P作PE⊥OB于点E,则PE⊥CD,:PC=PD,·△PCD为等腰三角形， :点E为CD的中点. :0C=5cm,0D=8cm,÷CD=3cm,0E=6.5cm.:∠A0B=60°，÷∠0PE=90-60°= 故选A. 6.如图，在△ABC中，AB=AC=6,∠B=∠C=15°，则△ABC的面积 为 B15 15o 答案：9 解析：如图，延长CA,过点B作BD⊥AC于点 D,:AC=AB=6,∠BAD=∠ABC+∠ACB=30°，：BD=专AB=3,·△ABC的面 积=专×ACBD=专X6X3=9. 15 7.已知CD是△ABC的高，∠BAC=2∠BCD,P是直线BC上一点 (1)当点P在CB的延长线上，且∠APC=60时，如图①，求证： PB+PC=PA (2)当点P在边BC上，且∠APC=60时，如图②：当点P在边BC上，且 8/10 ∠APC=120时，如图③，请直接写出线段PB,PC,PA之间的数量关系，不需要 证明， ③ 答案： (I)如图①，过点A作AH⊥BC,垂足为H,:CD是△ABC的高，· ∠AHB=∠AHC=∠BDC=90°，·∠BAH+∠ABC=90°，∠BCD+∠ABC=90°，÷∠BAH=∠BCD.:∠B 在△ABH和△ACH中， I∠AHB=∠AHC, AH=AH,·△ABH≌△ACH,·BH=CH:∠APC=60° ,∠BAH=∠CAH, PAH=90°-60°=30°，·PA=2PH:PB=PH-BH,PC=PH+HC,PB+PC=PH-BH+PH ① (2)题图②：PC-PB=PA. 题图③：PB-PC=PA, 解析：当，点P在边BC上，且∠APC=60时，如图②，过点A作AH⊥BC,垂足 为H:CD是△ABC的高，÷∠AHB=∠AHC=∠BDC=90°， :∠BAH+∠ABC=90°，∠BCD+∠ABC=90°，·∠BAH=∠BCD.:∠BAC=2∠BCD, ·∠BAC=2∠BAH,·∠BAH=∠CAH 在△ABH和△ACH中， IAHB=∠AHC, AH=AH, ·△ABH≌△ACH,.BH=CH:∠APC=60° N∠BAH=∠CAH, :∠PAH=90°-60°=30°，PA=2PH:PB=BH-PH,PC=PH+HC,PC-PB=PH+HC-BH 即PC-PB=PA 9/10 D B H ② ③ 当点P在边BC上，且∠APC=120°时，如图①，过点A作AH1BC,垂足为 H·CD是△ABC的高，∠AHB=∠AHC=∠BDC=90°， :∠BAH+∠ABC=90°，∠BCD+∠ABC=90°，·∠BAH=∠BCD :∠BAC=2∠BCD,·∠BAH=∠CAH.在△ABH和△ACH中， LAHB=ZAHC, AH=AH, ·△ABH兰△ACH,:BH=CH:∠APC=120° N∠BAH=∠CAH, ∠APB=60°，÷∠HAP=30°，÷PA=2PH:PB=BH+PH,PC=HC-PH,÷PB-PC=BH+P 即PB-PC=PA: 10/10