专题2.1 平方根【导图+知识卡片+知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦平方根核心知识点，系统梳理算术平方根（定义、表示及非负性）、平方根（定义、表示及性质）、开平方运算，构建从概念理解到运算应用的学习支架，衔接乘方知识，为二次根式学习奠定基础。 资料以思维导图直观呈现知识结构，通过10个题型讲练（如非负性应用、规律探索）培养数学思维，结合中考真题与分层训练（基础+培优）提升应用能力，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，发展抽象能力与推理意识。

专题2.1 平方根『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 算术平方根 2 知识点二 平方根 3 知识点三 开平方 3 题型讲练 3 题型一 求一个数的算术平方根 3 题型二 利用算术平方根的非负性解题 4 题型三 估计算术平方根的取值范围 4 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 5 题型五 算术平方根的实际应用 6 题型六 平方根概念理解 6 题型七 求一个数的平方根 7 题型八 求代数式的平方根 7 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 8 题型十 利用平方根解方程 9 中考真题演练 10 难度分层训练 17 【基础夯实】 17 【培优拔高】 21 知识点一 算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即：，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0. 【要点提示】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 2、 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【要点提示】： （1） 被开方数a0; (2）其本身非负； （2） 只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根； （3） 即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 知识点二 平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根. 2.表示方法：一个数a(a ≽0）的正的平方根，用符号“”表示，a叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，a的负的平方根记做读作“负根号a”，因此非负数a的平方根常常记作，读作：“正负根号a” 3.平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【要点提示】平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根有两个，它们互为相反数； 联系：一个正数的算术平方根是其平方根中的一个，0的算术平方根与平方根都是0. 知识点三 开平方 求一个数a()的平方根的运算，叫做开平方，a()开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 题型一 求一个数的算术平方根 【典例精讲】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：________． 【答案】3 【分析】本题可先计算根号内有理数的乘方，再计算算术平方根即可得到结果． 【详解】解：． 【变式训练】（25-26八年级上·广东深圳·期中）________． 【答案】2 【详解】解：． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（25-26八年级上·广东梅州·期末）若，则______． 【答案】 【分析】先由绝对值非负性，算术平方根非负性得出，再求出，的值，最后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c是的三边，其中，且三角形的周长为奇数．求c的值． 【答案】或 【分析】利用算术平方根和平方的非负性求出的值，再利用三角形三边关系求出的范围，结合三角形的周长为奇数即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， ∵a，b，c是的三边， ∴， ∴， 又∵周长为奇数，即为奇数， ∴或． 题型三 估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·福建漳州·期中）设为正整数，且，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算，通过寻找与30相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定其范围. 【详解】解：∵， ∴数据30的算术平方根在5~6之间. 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 【答案】B 【分析】算术平方根的小数点向右移动n位，被开方数的小数点向右移动位，据此即可求出x的值． 【详解】解：∵，， ∴是将的小数点向右移动1位得到的， 根据算术平方根的移动规律，被开方数的小数点应向右移动2位， ∴将的小数点向右移动2位，可得． 【变式训练】（25-26八年级上·广东清远·期末）已知，，那么的算术平方根约是____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质，核心知识点是被开方数与算术平方根的小数点移动规律：当被开方数的小数点向左或向右移动位时，对应的算术平方根的小数点向左或向右移动位 【详解】解：∵， 又∵， ∴； 故答案为：． 题型五 算术平方根的实际应用 【典例精讲】手工课上，每人需要制作一张面积为的正方形卡纸，则它的边长为_____． 【答案】4 【分析】根据正方形的面积公式，求出面积的算术平方根即可得到边长． 【详解】解：由题意得：正方形的边长为． 【变式训练】（24-25八年级上·四川眉山·期末）竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 【答案】10 【分析】根据题意，将已知条件代入计算公式，求解算术平方根即可． 【详解】解：把，代入公式中，得 解得：米/秒，（负值舍去）． 题型六 平方根概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·江西吉安·期末）16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根概念理解，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据平方根的定义，一个数的平方根是平方后等于该数的数． 【详解】解：∵ ， ∴ 16的平方根是， 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·河南周口·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 【答案】25 【分析】本题主要考查了根据一个数的平方根求这个数，平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，则，解方程求出x的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴这个正数是， 故答案为：． 题型七 求一个数的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·福建泉州·期中）4的平方根是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：的平方根是. 【变式训练】（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）4的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：4的平方根是． 题型八 求代数式的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的平方根即可； （2）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的算术平方根即可． 【详解】解：（1） . （2） ， ∴， . 【变式训练】（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·山东聊城·期末）一个正数的平方根是与，则这个正数等于_____． 【答案】 【分析】本题考查平方根，解题的关键是理解平方根的概念：一个正数的平方根有两个且互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．据此列出方程求出的值，可得答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴和互为相反数， ∴， 解得：， ∴，， ∴这个正数为：． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是_____________． 【答案】 【分析】根据平方根性质，列方程解方程即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：． 题型十 利用平方根解方程 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 【变式训练】（25-26八年级上·河南南阳·期末）小强发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和．为了说明这一“发现”的正确性，他进行了验证．如：为偶数，的一半为． (1)【探究】设“发现”中的两个已知正整数为，请论证“发现”中的结论正确； (2)【运用】若正整数为满足，则_____． 【答案】(1)论证见解析 (2) 【分析】（1）根据题中材料里的“发现”，将文字描述转化为代数式，再运用完全平方公式及整式混合运算计算即可论证“发现”中的结论正确性； （2）由（1）中“发现”可知，将条件代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：“发现”中的结论正确 设“发现”中的两个已知正整数为， ， 为偶数、为偶数， 是偶数， 即两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数； ， 该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和； （2）解：由（1）中“发现”可知， 正整数为满足， ， 则， ， 为正整数， ， 则， 故答案为：． 【真题演练1】（2025·贵州遵义·中考真题）若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． E．2023 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点为非负数的性质以及解二元一次方程组．本题先依据非负数的性质(算术平方根和绝对值均为非负数，其和为时各自为)列出关于的二元一次方程组，再求解方程组得到的值，最后将其代入结合负数奇次幂的性质算出结果． 【详解】解：∵ 又∵，， ∴， ①＋②，得：， 把代入方程①： ， 解得：， 将，代入． 故选：A． 【真题演练2】（2025·重庆·中考真题）有个依次排列的整式：第项是，用第项减去得到，将乘以得到第项，再将第项减去得到，将乘以得到第项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（   ） 方程的实数解为； ；第项；若为整数，且值为整数，则的取值个数为个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式运算、求一个数的平方根、数字规律探究，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意探索出，的规律所在，然后根据规律逐一验证即可解答． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 当， 即， 解得：或，故错误； ，故正确； ，故正确； ， 为整数，且值为整数， 的值为，，，，，，，， 的取值为，，，，，，，， 整数的取值为，，，，的取值个数为个，故正确； 综上，正确的有，共个， 故选：B． 【真题演练3】（2025·广东佛山·中考真题）将，，，，……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为________． 【答案】9 【分析】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解题意，正确找出数字的规律． 观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可． 【详解】观察式子可得， 第1排的个数为1，前1排的总数为， 第2排的个数为3，前2排的总数为，从右到左依次增大排列， 第3排的个数为5，前3排的总数为，从左到右依次增大排列， 第4排的个数为7，前4排的总数为，从右到左依次增大排列， …… 第排的个数为，前排的总数为， 奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列， 因为，， 所以2023是在第45排，即， 第45排，为奇数排，从左向右依次增大， 因为，所以， 将，代入得， ． 故答案为：9． 【真题演练4】（2025·湖北武汉·中考真题）下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5； 其中真命题是：___________．（请填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识逐项判断即可． 【详解】解：①对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，所以①是假命题； ②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1，即②是真命题． ③解方程组可得：，则， 所以不论取什么有理数，的值始终不变，③是真命题． ④因为正实数的平方根是和， 所以，即，且， 因为， 所以，即， 因为正实数，则，④是真命题． ⑤：设， 当时，； 当时，； 当时，． 所以的最小值是3， 若不等式对一切实数a都成立，则，即m的最大值是3，则⑤是假命题． 故答案为：②③④． 【真题演练5】（2025·福建厦门·中考真题）如图，点，点分别为y轴正半轴、x轴负半轴上的点，以点B为直角顶点在第二象限作等腰 (1)如图1，若a、b满足，则点C的坐标是______； (2)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，且，求的度数； (3)如图3，延长交y轴负半轴于点E，若，求的值用含a、b的式子表示 【答案】(1) (2) (3) 【分析】过点C作轴于，求出，证明，则，求出即可得到答案； 过点B作，使，连接，再证明，可得，证明进而可得是等腰直角三角形，可得，再根据，即可求出，即可解答； 作点E关于x轴的对称点，连接，设，结合已知条件可得，则有为等边三角形，可得，即则有，再根据等积面积法可求得，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 过点C作轴于 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点C的坐标为：， 故答案为：； （2）解：过点B作，使，连接、， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ， 即； （3）解：， 作点E关于x轴的对称点，连接，设， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题利用正数的平方根的性质解题，即正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到答案． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数. ∴ 解得 则9的算术平方根是3． 2．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题利用非负数的性质求出a，b的值，再结合三角形三边关系确定c的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：， 则， 解得， 由于是三角形的最长边， 则， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得， 因此c的取值范围是， 只有符合条件， 故选：C． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．7 D．16 【答案】A 【分析】根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0和正数）才有平方根，据此解答即可． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根． 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若实数与满足，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】利用非负数的和为则每个非负数都为的性质列方程组，解出，的值，再计算并求其平方根． 【详解】解：， 则， 解得， 则，其平方根为． 5．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，下面是一个按某种规律排列的数阵： （1）根据数阵排列的规律，第5行的第6个数（从左向右数）是________； （2）第n行的第个数（从左向右数）是__________（用含n的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：第1行有2个数，第1行的第1个数是， 第2行有4个数，第2行的第2个数是， 第3行有6个数，第3行的第3个数是， ， ∴第n行有个数，第n行的第n个数是， ∴第5行的第5个数是， ∴第6个数为， ∴第n行的第个数是， 故答案为：①；②． 6．（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 7．（25-26八年级上·山西运城·期末）若实数x，y满足，则的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查的是非负数的性质，求解代数式的值，利用非负数的性质，算术平方根和绝对值均非负，和为零则每个部分为零，求出x和y的值，再代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴且． 解得，． ∴， ∴． 故答案为：1 8．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）先化简，再求值：，其中与互为相反数． 【答案】，1 【分析】先根据多项式乘多项式法则将所求式子展开，然后合并同类项，再根据相反数的定义得，然后根据非负数的性质可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组，再代值计算即可． 【详解】解： ， ∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴原式 ． ． 9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用平方根的非负性列不等式求解； （2）依据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 解得：； （2）解：根据题意可知，， 解得：， 将代入，得其中一个平方根为， 所以． 10．（25-26八年级上·福建福州·期末）在学习“整式的乘法”时，我们归纳并推导了整式的乘法法则和乘法公式，并借助几何图形的面积关系对法则和公式进行直观解释，感受了代数与几何的内在联系．如图，现有正方形A，B纸片，将纸片分别放在纸片上（两邻边重合），得到图1和图2，设正方形的边长为，正方形的边长为，且． (1)请用含a，b的代数式表示： 图1中阴影部分的面积为________________； 图2中阴影部分的面积为________________； (2)若图1，图2中阴影部分的面积分别为9，21，求与的值 【答案】(1)图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为 (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的应用，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据图形列出代数式即可； （2）根据图形的面积以及平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为； 图2中阴影部分的面积为； 故答案为：，； （2）解：∵图1中阴影部分的面积为9， ， 又， ， ∵图2中阴影部分的面积为21， ， ， ， ， ． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两边及一角分别相等的两个三角形全等 C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，平行线的基本事实，全等三角形的判定，等边三角形的判定，平方根定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．结合平行线的基本事实、三角形全等的判定定理、等边三角形的判定、平方根的定义，逐一判断各选项命题的真假，进而确定真命题 ． 【详解】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则无法作出平行线，∴选项A是假命题； ∵只有两边及夹角分别相等的两个三角形才全等，SSA不能判定三角形全等，∴选项B是假命题； ∵分两种情况：①若等腰三角形顶角为，则底角为，三个角均为；②若等腰三角形底角为，则顶角为，三个角均为，∴该三角形是等边三角形，选项C是真命题； ∵若，则，并非只有，∴选项D是假命题； 综上，真命题是选项C． 故选：C． 2．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）对于五个整式：，，，，，有以下几个结论： ①若实数满足，则或； ②若实数，满足，则为任意实数，； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定为正数； ④若实数，满足，则． 上述结论中，正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，平方根的定义解方程，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． ①由，代入，，即可解出；②由，代入，，可得的取值范围；③由，代入，，当不含一次项时，将代入即可判断；④由，代入各整式化简得，即可解得的值． 【详解】解：①，，， ， 或， 解得或． 故①正确． ②，，， ，即， ， ，且为任意实数． 故②正确． ③，，， ． 当不含一次项时， ，即． ． 当时，，不是正数， 故③错误． ④， ， ， ， 化简得，，． 故④正确． 综上，正确结论为①②④，共3个． 故选：B． 3．（24-25七年级下·重庆大足·期末）已知都为整式． ①若且，则或； ②若，当时，则； ③若（为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的概念理解，整式的加减运算，解三元一次方程组等知识点． 对于①，由题意，，即，代入得，再分类讨论求解；对于②，联立方程组，由第二个方程解出，代入第一个方程得：，再化简求解；对于③，由于为非负整数且，所有可能的组合整式为：若和为0：则；若和为1：则或或；若和为2：或或或或或，再进行合并同类项计算． 【详解】解：对于①，由题意，，即， 代入得， 当时，，解得，但此时，矛盾，舍去； 当时，，解得，但此时，矛盾，舍去。 故原方程无解，故①错误； 对于②，联立方程组， 由第二个方程解出， 代入第一个方程得：， 化简得，即，故②正确； 对于③，为非负整数且， 所有可能的组合整式为： 若和为0：则； 若和为1：则或或； 若和为2：或或或或或， 则所有满足条件的整式M的和为：，故③正确； ∴正确的有2个， 故选：C. 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】1014 【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． 根据已知等式总结规律，然后化简并计算即可． 【详解】解：， ， ， … ． 原式． 故答案为：1014． 5．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ； ， 以此类推可得，当为奇数时， 当为偶数时； ∴； 故答案为：． 6．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值∶① ；② ；③ ；④ ． 观察计算的结果，由发现的规律得出 _____(用含 的代数式表示)． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，规律探索，掌握二次根式的性质和化简方法，发现代数式所呈现的规律是正确解答的关键．先计算出四个代数式的值，发现规律后进行求解即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段检测）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是_______． 【答案】20 【分析】本题主要考查与算术平方根有关的规律问题，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为． 由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案． 【详解】解：第1行最后一个数为， 第2行最后一个数为， 第3行最后一个数为， ...， ∴第n行最后一个数为， ∵第28行最后一个数为， ∴第28行从左至右第22个数是． 故答案为：20． 8．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，且实数a，b满足，点B在x轴正半轴上，点P是y轴正半轴上一点，且为等边三角形． (1)如图1，直接写出A、B两点的坐标：A ，B ； (2)如图2，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交y轴于点D，求证：； (3)如图1，若Q为y轴上一动点，求周长的最小值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质和非负数的性质进行解答即可； （2）易证得，得出，进而得到，从而得出结论； （3）作点关于轴的对称点F，则，连接与轴的交点即为Q，此时的周长最小，易证得在中，，进而得到，从而得出周长的最小值． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， 点A的坐标为， 过点A作于点H， 为等边三角形， ， 点B的坐标为； （2）证明：和均为等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：作点关于轴的对称点F，则，连接与轴的交点即为Q， ∴， ∴，此时的周长最小， 由（1）知，，，， ， ， ， ∵， ， 在中，， ， 周长最小值为：． 9．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）综合与实践： 在中，，，，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，． (1)【观察猜想】如图1，当点P在边上，且满足时，______； (2)【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断“”是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展应用】若点Q到的距离为2，求出线段的长． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）证明，利用勾股定理，旋转性质解答即可； （2）仿照（1）的证明解答即可． （3）分类解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴； ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：成立．理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴； ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴ ∴． （3）解：根据前面证明可得， ∴，． 当点Q在点的上方时，过点Q作于点F，延长交于点H， ∵点Q到的距离为2， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点Q在点的下方时， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴线段的长为或． 10．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）平面直角坐标系中，点，，且，满足：，点，关于轴对称，点为轴上的一个动点． (1)求点，两点的坐标； (2)如图1，若，，且，连接交轴于点，求证：； (3)如图2，若，且，在射线上是否存在点，使为等腰直角三角形（点，，按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点的坐标______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由，可得，再由非负数的性质列出方程求出、的值即可； （2）作，交轴于点，先证明，再证明，即可证明； （3）过点作轴于点，先证明△为等腰直角三角形，再证明，则，，按照当点与点重合、点与点重合时，则为等腰直角三角形和若，分两类来讨论，分别求出相应的的值，然后确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：由，可得， ，， ，， 解得，， ，； （2）证明：如图1，作，交轴于点，则， ，， ， 点、关于轴对称， 点，轴是线段的垂直平分线， ， ， ， ； ，，且， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图2， ， ， ， 为等腰直角三角形， 当点与点重合、点与点重合时，则为等腰直角三角形， ， 过点作轴于点，则， ，， ， ，， ， ，． 如图3，若，， 由题意可得，， 过点作轴交轴于点，作于点，于点， 则， ， ， ， ， 由可得，， 解得，， ，， ， ， ； 综上，点的坐标为或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题2.1 平方根『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 算术平方根 2 知识点二 平方根 3 知识点三 开平方 3 题型讲练 3 题型一 求一个数的算术平方根 3 题型二 利用算术平方根的非负性解题 3 题型三 估计算术平方根的取值范围 4 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 4 题型五 算术平方根的实际应用 4 题型六 平方根概念理解 4 题型七 求一个数的平方根 4 题型八 求代数式的平方根 4 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 5 题型十 利用平方根解方程 5 中考真题演练 5 难度分层训练 7 【基础夯实】 7 【培优拔高】 9 知识点一 算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即：，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0. 【要点提示】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 2、 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【要点提示】： （1） 被开方数a0; (2）其本身非负； （2） 只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根； （3） 即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 知识点二 平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根. 2.表示方法：一个数a(a ≽0）的正的平方根，用符号“”表示，a叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，a的负的平方根记做读作“负根号a”，因此非负数a的平方根常常记作，读作：“正负根号a” 3.平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【要点提示】平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根有两个，它们互为相反数； 联系：一个正数的算术平方根是其平方根中的一个，0的算术平方根与平方根都是0. 知识点三 开平方 求一个数a()的平方根的运算，叫做开平方，a()开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 题型一 求一个数的算术平方根 【典例精讲】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：________． 【变式训练】（25-26八年级上·广东深圳·期中）________． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（25-26八年级上·广东梅州·期末）若，则______． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c是的三边，其中，且三角形的周长为奇数．求c的值． 题型三 估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·福建漳州·期中）设为正整数，且，则的值为______． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 【变式训练】（25-26八年级上·广东清远·期末）已知，，那么的算术平方根约是____． 题型五 算术平方根的实际应用 【典例精讲】手工课上，每人需要制作一张面积为的正方形卡纸，则它的边长为_____． 【变式训练】（24-25八年级上·四川眉山·期末）竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 题型六 平方根概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·江西吉安·期末）16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 【变式训练】（25-26八年级上·河南周口·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 题型七 求一个数的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·福建泉州·期中）4的平方根是（   ） A． B．2 C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）4的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 题型八 求代数式的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【变式训练】（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·山东聊城·期末）一个正数的平方根是与，则这个正数等于_____． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是_____________． 题型十 利用平方根解方程 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）解方程：． 【变式训练】（25-26八年级上·河南南阳·期末）小强发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和．为了说明这一“发现”的正确性，他进行了验证．如：为偶数，的一半为． (1)【探究】设“发现”中的两个已知正整数为，请论证“发现”中的结论正确； (2)【运用】若正整数为满足，则_____． 【真题演练1】（2025·贵州遵义·中考真题）若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． E．2023 【真题演练2】（2025·重庆·中考真题）有个依次排列的整式：第项是，用第项减去得到，将乘以得到第项，再将第项减去得到，将乘以得到第项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（   ） 方程的实数解为； ；第项；若为整数，且值为整数，则的取值个数为个． A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·广东佛山·中考真题）将，，，，……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为________． 【真题演练4】（2025·湖北武汉·中考真题）下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5； 其中真命题是：___________．（请填序号） 【真题演练5】（2025·福建厦门·中考真题）如图，点，点分别为y轴正半轴、x轴负半轴上的点，以点B为直角顶点在第二象限作等腰 (1)如图1，若a、b满足，则点C的坐标是______； (2)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，且，求的度数； (3)如图3，延长交y轴负半轴于点E，若，求的值用含a、b的式子表示 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 2．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．7 D．16 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若实数与满足，则的平方根为__________． 5．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，下面是一个按某种规律排列的数阵： （1）根据数阵排列的规律，第5行的第6个数（从左向右数）是________； （2）第n行的第个数（从左向右数）是__________（用含n的代数式表示）． 6．（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 7．（25-26八年级上·山西运城·期末）若实数x，y满足，则的值为_________． 8．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）先化简，再求值：，其中与互为相反数． 9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 10．（25-26八年级上·福建福州·期末）在学习“整式的乘法”时，我们归纳并推导了整式的乘法法则和乘法公式，并借助几何图形的面积关系对法则和公式进行直观解释，感受了代数与几何的内在联系．如图，现有正方形A，B纸片，将纸片分别放在纸片上（两邻边重合），得到图1和图2，设正方形的边长为，正方形的边长为，且． (1)请用含a，b的代数式表示： 图1中阴影部分的面积为________________； 图2中阴影部分的面积为________________； (2)若图1，图2中阴影部分的面积分别为9，21，求与的值 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两边及一角分别相等的两个三角形全等 C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D．若，则 2．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）对于五个整式：，，，，，有以下几个结论： ①若实数满足，则或； ②若实数，满足，则为任意实数，； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定为正数； ④若实数，满足，则． 上述结论中，正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25七年级下·重庆大足·期末）已知都为整式． ①若且，则或； ②若，当时，则； ③若（为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 5．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 6．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值∶① ；② ；③ ；④ ． 观察计算的结果，由发现的规律得出 _____(用含 的代数式表示)． 7．（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段检测）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是_______． 8．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，且实数a，b满足，点B在x轴正半轴上，点P是y轴正半轴上一点，且为等边三角形． (1)如图1，直接写出A、B两点的坐标：A ，B ； (2)如图2，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交y轴于点D，求证：； (3)如图1，若Q为y轴上一动点，求周长的最小值． 9．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）综合与实践： 在中，，，，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，． (1)【观察猜想】如图1，当点P在边上，且满足时，______； (2)【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断“”是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展应用】若点Q到的距离为2，求出线段的长． 10．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）平面直角坐标系中，点，，且，满足：，点，关于轴对称，点为轴上的一个动点． (1)求点，两点的坐标； (2)如图1，若，，且，连接交轴于点，求证：； (3)如图2，若，且，在射线上是否存在点，使为等腰直角三角形（点，，按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点的坐标______． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null