第五章 二元一次方程组【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了二元一次方程组的核心知识，以消元思想为统领，涵盖解法（代入、加减消元及三元一次方程组）、实际应用（古算、增收节支等）、数形结合（方程与一次函数关系）三大板块，通过知识结构表串联相关概念、解法步骤与应用模型，构建完整知识网络。 其亮点在于采用分层练习设计，基础题巩固计算能力，能力题结合《九章算术》古算等现实情境培养数学眼光，综合题通过函数交点问题发展数学思维，搭配易错总结精准突破难点。这种设计既让学生扎实掌握知识，又帮助教师实施分层教学，提升复习效率。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 章末复习 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册第五章 二元一次方程组 全章练习题 一、全章核心知识梳理 本章核心思想为消元思想，即把多元方程转化为一元一次方程求解，主要包含两大板块：方程组解法与实际应用、函数数形结合。1. 基础解法：代入消元法、加减消元法，适用于所有二元一次方程组；2. 拓展解法：三元一次方程组，通过两次消元化为一元方程求解；3. 实际应用：古算问题、增收节支、几何与行程问题，核心是找准两组等量关系建模；4. 数形结合：二元一次方程与一次函数互通，函数交点坐标即为对应方程组的解，可利用方程组求解函数表达式。 二、基础过关题（方程组计算） 1. 用代入消元法解方程组：$$\begin{cases} y=2x-1 \\ 3x+2y=12 \end{cases}$$ 2. 用加减消元法解方程组：$$\begin{cases} 2x+3y=11 \\ 4x-3y=7 \end{cases}$$ 3. 解三元一次方程组：$$\begin{cases} x+y+z=9 \\ x-y=1 \\ z=2x \end{cases}$$ 4. 已知一次函数过点(1,3)、(2,5)，用二元一次方程组求函数表达式。 三、能力提升题（实际应用） 1. 古算问题：《九章算术》古题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？ 2. 增收节支问题：某店铺去年利润5万元，今年收入增长10%，支出降低8%，利润增至7.6万元，求去年的收入和支出。 3. 行程几何问题：长方形周长36cm，长增加2cm、宽增加3cm后，周长变为46cm，求原长方形的长和宽。 四、综合压轴题（数形结合） 已知一次函数$$y=kx+b$$与$$y=-x+2$$的图象交于点(1,1)，且$$y=kx+b$$过点(0,-1)。（1）求该一次函数表达式；（2）直接写出方程组$$\begin{cases} y=kx+b \\ y=-x+2 \end{cases}$$的解。 五、参考答案与详细解析 （一）基础过关 1. 代入$$y=2x-1$$得$$3x+2(2x-1)=12$$，解得$$x=2$$，$$y=3$$，解为$$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$$。 2. 两式相加消去y，得$$6x=18$$，$$x=3$$，回代得$$y=\frac{5}{3}$$。 3. 由$$x-y=1$$得$$y=x-1$$，结合$$z=2x$$代入一式，解得$$x=2，y=1，z=4$$。 4. 设$$y=kx+b$$，代入两点得$$\begin{cases} k+b=3 \\ 2k+b=5 \end{cases}$$，解得$$k=2，b=1$$，表达式为$$y=2x+1$$。 （二）能力提升 1. 设人数x，物价y，列方程组$$\begin{cases} 8x-y=3 \\ y-7x=4 \end{cases}$$，解得$$x=7，y=53$$。答：7人，物价53。 2. 设去年收入x万元，支出y万元，$$\begin{cases} x-y=5 \\ 1.1x-0.92y=7.6 \end{cases}$$，解得$$x=20，y=15$$。 3. 设原长x cm，宽y cm，$$\begin{cases} 2(x+y)=36 \\ 2(x+2+y+3)=46 \end{cases}$$，解得$$x=10，y=8$$。 （三）综合压轴 （1）代入(1,1)(0,-1)得方程组，解得$$k=2，b=-1$$，表达式为$$y=2x-1$$；（2）方程组的解为$$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$$。 六、全章易错总结 1. 消元计算易错：加减消元漏乘常数项、符号混淆，代入消元代错未知数；2. 应用题建模易错：找错等量关系，增长率、盈亏、行程速度关系理解偏差；3. 数形结合易错：混淆函数点与方程解的对应关系；4. 三元一次方程组需固定消去同一个未知数，避免步骤混乱。 举出生活中运用二元一次方程组解决问题的两个例子. 在列二元一次方程组解决实际问题的过程中，你认为最关键的是什么？你积累了哪些经验？ 解二元一次方程组的基本思路是什么？有哪些方法？举例说明解二元一次方程组的过程．解三元一次方程组呢？ 举例说明二元一次方程与一次函数有什么关系. 知识结构 相关概念 解法 应用 二元一次方程组 二元一次方程 二元一次方程组 二元一次方程的一个解 二元一次方程组的解 代入消元法 加减消元法 建立二元一次方程组模型解决实际问题的一般步骤 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数 三元一次方程组 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程组与一次函数的关系 待定系数法 实际应用 三元一次方程 三元一次方程组 三元一次方程组的解 解三元一次方程组 知识结构 知识回顾 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程. 知识点一：二元一次方程的有关概念 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组. 使这个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作二元一次方程的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. 知识点二：二元一次方程组的解法 代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法. 加减消元法：通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法. （1）审题； （2）找等量关系； （3）设未知数； （4）列方程组； （5）解方程组； （6）检验结果； （7）作答. 知识点三：二元一次方程组的应用 建立二元一次方程组模型解决实际问题的一般步骤: 有直接设未知数，也有间接设未知数. 二元一次方程与一次函数的关系： 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线. 知识点四：二元一次方程（组）与一次函数 知识点四：二元一次方程（组）与一次函数 二元一次方程组与一次函数的关系： 一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解； 解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标. 知识点五：用二元一次方程组确定一次函数表达式 待定系数法： 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法 用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 设 设出函数表达式：y = kx + b 代 把已知条件代入，得到关于k，b的方程组 解 解方程组，求出k，b的值 写 写出一次函数表达式 知识点六：三元一次方程（组） 三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程. 解三元一次方程组的基本思路： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 “代入”或“加减” “代入”或“加减” 三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程. 三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解. 1. 解下列方程组： 【选自教材P141 复习题 第1题】 随堂练习 2. 已知 和 都是方程 ax－y=b 的解，求 a 与 b 的值. 【选自教材P141 复习题 第2题】 解：由题意，得 解得 随堂练习 3. 在代数式 ax2+bx+c 中，当 x=1，2，3 时，代数式的值依此是 0，3，28. （1）当 a，b，c 的值； （2）当 x=-1 时，求这个代数式的值. 【选自教材P141 复习题 第3题】 解：（1）a=11，b=-30，c=19. （2）11×(-1)2-30×(-1)+19=60. 随堂练习 4. 如图，直线 l1 与 l2 的交点坐标可以看作哪个方程组的解？ 【选自教材P142 复习题 第4题】 解：直线 l1 与 l2 的交点坐标可以 看作方程组 的解. 随堂练习 5. 如图，直线 l1，l2 相交于点 A，试求点 A 的坐标. 【选自教材P142 复习题 第5题】 解：设 l1 的表达式为 y=mx. 因为 l1 过点（2,2），所以2=2m，解得m=1，所以 l1 的表达式为y=x. 设 l2 的表达式为y=kx+b. 因为 l2 过点（0,5）和（1,3）， 所以 l2 的表达式为y=-2x+5. 所以 解得 联立，得 解得 所以点A的坐标为（， ）. 随堂练习 6. 编一个二元一次方程组，使它的解是 【选自教材P142 复习题 第6题】 解： （答案不唯一） 随堂练习 7. 尝试用多种方法解方程组 并对这 些方法进行比较. 【选自教材P142 复习题 第7题】 解：方法一：令a= ，b= ，则 解得 所以 解得 随堂练习 7. 尝试用多种方法解方程组 并对这 些方法进行比较. 【选自教材P142 复习题 第7题】 方法二：化简原方程组，得 解得 随堂练习 8. 《九章算术》在“盈不足”章中给出了 20 道类似的题目. 将这类问题抽象成一般问题：若干人合伙买某物品，若每人出 a1 钱，则多出 b1 钱；若每人出 a2 钱，则又少 b2 钱. 求人数和物价. 如果设人数为 x，物价为 y，那么可列出二元一次方程组 （1）解这个二元一次方程组； （2）查阅资料，了解《九章算术》的求解方法，并解释其中的道理. 【选自教材P142 复习题 第8题】 随堂练习 9. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上，CE//AD，且BE=CE，∠B－∠A=30°，求 ∠A，∠B 的度数. 【选自教材P142 复习题 第9题】 A E B D C 解：因为AD// CE，所以∠A=∠CEB. 因为BE=CE，所以∠B=∠ECB. 又因为∠B-∠A=30°，所以∠B-∠CEB=30°. 设∠B=∠ECB=x°，∠CEB=y°. 因为在△ECB中，∠ECB+∠CEB+∠B=180°， 所以 解得 所以∠A=∠CEB=40°，∠B=70°. 随堂练习 10. 某厂由甲、乙两个小组共同生产某种产品. 若甲组先生产 1 天，然后两组又各生产 5 天，则两组产量一样多.若甲组先生产 300 件产品，然后两组又各生产 4 天，则乙组比甲组多生产 100 件产品. 两组每天各生产多少件产品？ 6x = 5y， x = 500 300 + 4x +100 = 4y y = 600 解：设甲组每天生产x件产品，乙组每天生产y件产品. 根据题意，得 得 答：甲组每天生产500件产品，乙组每天生产600件产品. 【选自教材P143 复习题 第10题】 随堂练习 11. 某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共 15 t，实际生产了 17 t，其中水稻超产 15%，小麦超产 10%. 该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？ 【选自教材P143 复习题 第11题】 解：设该专业户去年计划生产水稻 x t，小麦 y t， 解这个方程组，得 根据题意，得 (1+15%)x=11.5，(1+10%)y=5.5 所以，该专业户去年实际生产水稻 11.5 t，小麦 5.5 t. 随堂练习 12. 某商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利 45元；当按定价的八五折销售时，销售 8 件所获利润与将定价降低 35 元销售 12 件所获利润相同. 该商品的进价、定价分别是多少？ 【选自教材P143 复习题 第12题】 解：设该商品的进价是 x 元，定价是 y 元， 解这个方程组，得 根据题意，得 所以，该商品的进价是 155 元，定价是 200 元. 随堂练习 13. 某商场购进甲、乙两种商品后，均加价 40% 作为销售 价. 商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣. 某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款 399 元，两种商品原销售价之和是 490 元. 两种商品的进价分别是多少元？ 【选自教材P143 复习题 第13题】 解：设甲、乙两种商品的进价分别是 x 元， y 元， 解这个方程组，得 根据题意，得 所以，甲商品的进价是 150 元，乙商品的进价是 200 元. 随堂练习 14. 今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢. 有雀、 燕二十五只，并重二斤一十三铢. 问：燕、雀各几何？（选自《张丘建算经》） 题目大意：1 只雀重 1 两 9 铢，1 只燕重 1 两 5 铢. 雀和燕一共有 25 只，共重 2 斤 13 铢. 燕、雀各有多少只？（注：这里的“斤”“两”“铢”是我国古代质量单位，1斤=16两，1两=24铢） 【选自教材P143 复习题 第14题】 随堂练习 解：设燕有 x 只，雀有 y 只. 解这个方程组，得 根据题意，得 所以，燕有 14 只，雀有 11 只. 随堂练习 15. 在干燥的空气中，声速 v（单位：m/s）可以近似看成温 度 t（单位：℃）的一次函数. 已知近地处 v 与 t 之间的关系如图所示，试写出这个一次函数的表达式，并估计当 t=50 ℃ 时的声速. 【选自教材P143 复习题 第15题】 随堂练习 解：设这个一次函数的表达式为 v=kt+b. 所以，这个一次函数的表达式为v= t +. 所以，当 t=50 ℃时的声速为 360m/s. 解这个方程组，得 根据题意，得 当 t=50 时，v= ×50 +=360. 随堂练习 16. 某景点的门票价格见下表： 【选自教材P144 复习题 第16题】 购票人数 x/人 1 ≤ x ≤ 50 51 ≤ x ≤ 100 x ＞ 100 票价/（元/人） 12 10 8 某校八（1）班、八（2）班师生共 102 人去该景点游览，其中八（1）班人数较少，不足 50 人；入（2）班人数较多，超过50 人但不超过 100 人. 如果两个班都以班级为单位分别购票，那么一共应付 1118 元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，那么可以节省不少钱. 两个班人数各是多少？联合起来购票能省多少钱？ 随堂练习 解：设八（1）班有 x 名学生，八（2）班有 y 名学生， 解这个方程组，得 根据题意，得 所以，八（1）班有 49 名学生，八（2）班有 53 名学生. 联合起来购票能省1118－102×8=302（元）. 随堂练习 17. 如图（单位：cm），规格相同的某种盘子整齐地摞在一起.（1）设 x 个这种盘子摞在一起的高度为 y cm，求 y 与 x 之间的关系式； （2）求 10 个这种盘子摞在一起的高度. 【选自教材P144 复习题 第17题】 随堂练习 解：（1）设 y=kx+b， 所以，y 与 x 之间的关系式为 y= x+2. 所以，10 个这种盘子摞在一起的高度为 12 cm. 解这个方程组，得 根据题意，得 （2）当 x=10 时，y=10+2=12. 随堂练习 18. 如图所示的是由 6 个颜色不同的正方形组成的长方形. 已知中间小正方形的边长是1，求这个长方形的面积. 【选自教材P144 复习题 第18题】 ① ② ③ ④ ⑤ 解：如图，设①⑤两个正方形的边长分别为 x 和 y，则正方形②③④的边长依次为 x，x+1，y-1， 解这个方程组，得 根据题意，得 所以 2x+x+1=13，x+y=11. 13×11=143. 所以，这个长方形的面积为 143. 随堂练习 19. 将一个长方形的长减少 4 cm、宽增加 2 cm 后，得到一个正方形，并且这个正方形的面积与原长方形的面积相等. 求原长方形的长和宽. 【选自教材P144 复习题 第19题】 解：设原长方形的长为 x cm，宽为 y cm， 解这个方程组，得 根据题意，得 所以，原长方形的长为 8 cm，宽为 2 cm. 随堂练习 20. 通过本章的学习，你对二元一次方程组及其应用有哪些感悟？请以此为主题写一篇小短文. 【选自教材P144 复习题 第20题】 随堂练习 21. 方程组 的解是什么？两个方程对应的 两个一次函数的图象有怎样的位置关系？你能从中悟出什么？ 【选自教材P144 复习题 第21题】 解：该方程组有无数解，两个方程对应的两个一次函数的图象在同一平面直角坐标系内重合. 悟出的道理：如果二元一次方程组有无数解，那么对应的两个一次函数的图象重合. 随堂练习 $