5.3.3几何问题与行程问题（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组解决几何与行程问题，核心知识点含长方形边长周长计算及相遇、追及、航行模型。课堂导入通过8块小长方形墙砖拼图问题，引导学生设未知数列方程组，衔接基础建模到综合应用，构建学习支架。 其亮点在于融合几何直观与模型意识，如火车过隧道问题用线段图梳理路程关系，行程题借助表格分析时间速度，培养数学眼光与思维。分层练习从基础到压轴题，助力学生提升问题转化能力，教师可直接使用分层设计与详细解析，提高教学效率。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 5.3.3几何问题与行程问题 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.3.3应用二元一次方程组——几何问题与行程问题练习题 核心知识点回顾 本节主要利用二元一次方程组解决几何图形问题和行程问题，是本册重难点应用题型。几何问题以长方形、正方形边长、周长、角度计算为主，核心依据周长公式、角度和差关系找等量；行程问题包含相遇、追及、航行三类模型，核心公式：路程=速度×时间。解题关键：几何题从边长、周长、角度固定关系列等式；行程题区分同向追及、相向相遇、顺水逆水的速度关系，设两个未知量构建方程组求解。 一、基础夯实题（共3题，侧重基础建模） 1. 一个长方形的长与宽的和是18cm，长比宽多4cm，设长为x cm，宽为y cm，列出二元一次方程组。 2. 甲乙两人匀速行走，相向而行2分钟相遇，已知两人每分钟路程和为120米，总路程240米，请根据题意梳理基础等量关系。 3. 一个长方形周长为40cm，长增加2cm，宽不变，周长变为44cm，求长方形原长和宽。 二、能力提升题（共2题，常考题型） 1. 几何题型：长方形长、宽各增加3cm，周长比原来增加12cm，已知原长是宽的2倍，求原长方形的长和宽。 2. 行程相遇题：甲、乙两车从相距360km的两地相向而行，3小时相遇。已知甲车每小时比乙车快20km，求甲乙两车的速度。 三、经典压轴应用题（1题，航行追及综合） 一艘船往返于A、B两个码头之间，顺水航行需要3小时，逆水航行需要5小时。已知船在静水中的速度比水流速度快20km/h，求船在静水中的速度和水流速度，以及A、B两码头的距离。 参考答案与解析 一、基础夯实 1. 根据题意列方程组：$$\begin{cases} x+y=18 \\ x-y=4 \end{cases}$$。 2. 等量关系：甲路程+乙路程=总路程；(甲速度+乙速度)×相遇时间=总路程。 3. 设原长x cm，宽y cm，$$2(x+y)=40$$，化简得$$x+y=20$$，结合条件解得原长12cm，宽8cm。 二、能力提升 1. 设宽为x cm，长为y cm，列方程组：$$\begin{cases} y=2x \\ 2[(y+3)+(x+3)]-2(x+y)=12 \end{cases}$$，解得$$x=6，y=12$$。答：原长12cm，宽6cm。 2. 设甲速度x km/h，乙速度y km/h，方程组：$$\begin{cases} x-y=20 \\ 3(x+y)=360 \end{cases}$$，解得$$x=80，y=60$$。答：甲车80km/h，乙车60km/h。 三、经典压轴应用 设静水速度为x km/h，水流速度为y km/h，顺水速度$$x+y$$，逆水速度$$x-y$$。列方程组：$$\begin{cases} x-y=20 \\ 3(x+y)=5(x-y) \end{cases}$$，解得$$x=40，y=20$$。码头距离：$$3\times(40+20)=180$$km。答：静水速度40km/h，水流速度20km/h，两码头相距180km。 易错总结：几何问题牢记周长、边长变化规律，避免漏算边数；行程问题分清顺水/逆水、同向/相向速度关系，不要混淆公式；解题优先找准两组不变等量关系，再列方程组求解。 学会利用二元一次方程组解决图形、行程问题，提高综合素养能力，加强用数学语言描述现实世界的能力，培养模型意识和观念. 自主学习，小组合作交流，通过构建等量关系解决实际问题. 在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，同时培养学生克服困难的意志和勇气，树立自信心，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神． 新课导入 如图(单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 40 （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能列方程组解决这个问题吗？ 设小长方形墙砖长为xcm，宽为ycm. x=3y x+y=40 新课导入 40 设小长方形墙砖长为xcm，宽为ycm. x=3y x+y=40 解： 根据题意，得 解此方程组得 所以，小长方形墙砖长为30cm，宽为10cm. 如图(单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 典例精析 火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是 20 s，求隧道和火车的长度. 分析：可以通过画图来说明火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间的数量关系. 例3 设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m. x - y=40×20 x+y=40×30 火车用时30s 火车用时20s 典例精析 设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m. x - y=40×20 x+y=40×30 解：“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用下图表示. 根据题意，得 解这个方程组，得 所以，隧道和火车的长度分别是1000m和200m. 方法总结 小结：对较复杂的问题可以借助线段图来疏理题中的未知量、已知量以及等量关系，使其条理清楚，将复杂问题转化为简单问题. 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴进行交流. 审题 设元 列方程 解方程 检验作答 直接设元、间接设元和设辅助未知数 明确题目中的数量关系 找出等量关系 写出答案 思考·交流 练一练 状状从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路平均速度 60 m/min，下坡路平均速度 80 m/min，上坡路平均速度 40 m/min，则他从家里到学校需 10 min，从学校到家里需 15 min.问状状家离学校多远? 平路：60m/min 下坡路：80m/min 上坡路：40m/min 方法一：直接设元法 解：设状状家到学校平路长 x m，坡路长 y m. 平路时间 坡路时间 总时间 上学 放学 平路：60m/min 下坡路：80m/min 上坡路：40m/min 10 15 解方程组，得 所以，状状家到学校的距离为700米. 根据题意，可列方程组： 方法二：间接设元法 解：设状状下坡路所花时间为x min， 上坡路所花时间为y min. 平路距离 坡路距离 上学 放学 平路：60m/min 下坡路：80m/min 上坡路：40m/min 60(10 - x) 60(15 - y) 解方程组，得 故平路距离：60×（10 - 5）= 300(米) 80x 40y 根据题意，可列方程组： 坡路距离：80×5 = 400（米） 所以，状状家到学校的距离为700米. 回顾·反思 回顾列方程组解决实际问题的学习过程，你对如何列方程有哪些新的认识？积累了哪些经验？ 随堂演练 1.如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为2.4m，则每一块长方形墙砖的面积为（ ） A. 0.36 m² B. 0.9 m² C. 0.4 m² D. 2.4 m² A 随堂练习 2. 在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，求图中大长方形 ABCD 的面积. 解：设小长方形的长为 x cm，宽为 y cm. 解这个方程组，得 所以AB=2×2+6=10（cm）. 根据题意，得 所以，大长方形ABCD的面积为BC·AB=14×10=140（cm2）. 随堂练习 3. 由甲地到乙地的公路全程为200km，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路.已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是60km/h和100km/h，从甲地到乙地用时3h，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米？ 【选自教材P125 随堂练习】 解：设汽车在普通公路上行驶了x km，在高速公路上行驶了y km. 解这个方程组，得 所以，汽车在普通公路上行驶了150 km， 在高速公路上行驶了50 km. 根据题意，得 随堂练习 1.在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为x cm，y cm，则下列方程组正确的是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 返回 A 知识点1 几何图形问题 基础提优题 2. 古代中国是世界中心，诸多技艺均领先世界水平，榫卯(sǔn mǎo)结构就是其中最为华丽的一点.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.已知有若干个相同的木构件，其形状如图①所示.当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为17 cm，当9个木构件紧密拼成一列时，总长度为50 cm，如图②所示，则图①中的木构件长度为　　　　. 返回 6 cm 基础提优题 【点拨】设题图①中，去掉凸起部分的木构件长度为x cm，凸起部分的长度为y cm，由题意得解得所以题图①中的木构件长度为5.5＋0.5＝6(cm). 基础提优题 知识点2 行程问题 3.滨德高速是连通滨州德州的重要路线，全长约144 km.一辆小汽车、一辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出，经过45分钟相遇，……设小汽车和货车的速度分别为x km/h，y km/h.可以列出方程组为则“……”处省略的条件为(　　) A.相遇时货车比小汽车多行12 km B.相遇45分钟后货车比小汽车多行12 km C.相遇时小汽车比货车多行12 km D.相遇45分钟后小汽车比货车多行12 km 返回 C 基础提优题 4. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事.现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1 000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，则风的速度为　　　　里/分钟. 返回 50 基础提优题 5.一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需5秒.若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是　　 　　，动车组的速度是　　　　　　. 返回 90千米/时 180千米/时 综合应用题 6.甲、乙两地相距74千米，途中有上坡路、平路和下坡路.一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地.已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡路每小时行驶40千米，则甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡路、下坡路分别是　　　　　　　　　　　　. 返回 30千米、16千米、28千米 综合应用题 7. ［2026武汉江岸区期中］如图，从A至B，步行走粗线道A－D－B需要35分钟，坐车走曲细线道A－C－D－E－B需要22.5分钟， D－E－B车行驶的路程是D至B步行路程的3倍，A－C－D车行驶的路程是A至D步行路程的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至D步行，再从D－E－B坐车所需要的总时间是　　　　分钟. 返回 25 综合应用题 课堂小结 实际问题 二元一次方程组 抽象建模 检验求解 要抓住关键的词语，挖掘各类问题中的基本数量关系. 关键词语 复杂问题借助图形或表格分析 列表或画图 审 设 列 解 验 答 $