6.1.4方差的应用（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦方差的应用，衔接上节方差计算知识，通过成绩稳定性、运动员选拔等实际场景导入，构建从概念理解到实际应用的学习支架，帮助学生掌握先比平均再比方差的分析方法。 其亮点在于结合四大应用场景与组内离差平方和分组原则，以数据观念和模型意识为核心，通过经典例题和规范答题模板培养学生分析能力。学生能提升用数学语言解决问题的能力，教师可借助分层练习高效开展教学。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 6.1.4方差的应用 第六章 数据的分析 6.1.4 方差的应用 同步知识点+练习题 【核心知识点精讲】 上一节我们学会了计算方差、标准差，本节重点掌握方差的实际应用。在实际问题中，平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的稳定性、整齐程度，二者结合是考试必考答题模板。 一、方差应用核心结论（答题万能依据） 在两组数据平均数相同或相近的前提下： 1. 方差越小 → 数据波动越小、越稳定、成绩越整齐、发挥越平稳； 2. 方差越大 → 数据波动越大、起伏越大、不稳定、忽高忽低。 关键前提：必须先对比平均数！平均数差距大时，优先看平均水平，不能只看方差。 二、四大必考应用场景 场景1：成绩稳定性对比（考试最常考） 对比两名学生多次考试成绩，选成绩稳定、发挥平稳的学生。 答题话术：两人平均分相近，某人方差更小，成绩更稳定，更适合。 场景2：运动员选拔（射击、跑步、投篮） 竞技比赛优先选择发挥稳定、失误少的选手，优先选方差小的。 场景3：产品质量检测 工厂生产零件、产品尺寸，要求数据整齐、误差小，方差越小，产品质量越稳定、合格率越高。 场景4：数据整体评价（综合分析） 既要比较平均水平（平均数），又要比较稳定性（方差），综合评判优劣。 三、两种特殊选拔规则（重难点） 1. 求稳场景（常规） 平均数相同，选方差小：稳定、整齐、风险小。 2. 冲刺突破场景（少数考题） 平均数略低，但方差大：数据起伏大，爆发力强、上限高，适合需要冲刺、突破的选拔。 四、标准满分答题模板（直接背诵） 第一步：计算两组数据的平均数，对比平均水平； 第二步：计算两组数据的方差，对比波动大小； 第三步：结合题意下结论： ① 平均数相同、方差小：数据更稳定，发挥更平稳，推荐选择； ② 平均数不同：优先选择平均数更高的一组，兼顾稳定性。 五、高频易错扣分点 1. 不对比平均数，直接凭方差下结论（逻辑不完整，必扣分）； 2. 概念混淆：误以为方差越大越优秀； 3. 答题缺少文字说明，只写数据，没有总结性话术； 4. 忽略特殊场景：部分冲刺选拔题，方差大代表潜力大。 --- 【经典满分例题】 例题1：常规稳定选拔（必考真题） 甲乙两名同学5次数学测试成绩： 甲：88、90、92、89、91 乙：85、95、90、88、92 经计算：$$\bar{x}_甲=90，\bar{x}_乙=90$$，$$S^2_甲=2，S^2_乙=10.4$$ 请分析谁的成绩更好，适合参加竞赛。 解： ① 平均水平：甲乙平均分相等，整体水平一致； ② 稳定性：$$S^2_甲 < S^2_乙$$，甲的成绩波动更小； ③ 结论：甲的成绩更稳定，发挥更平稳，更适合参加竞赛。 例题2：产品质量应用 甲乙两台机器生产同一种零件，零件标准尺寸为10mm，两台机器产品平均数均为10mm，方差分别为$$S^2_甲=0.01$$，$$S^2_乙=0.05$$，哪台机器生产质量更好？ 解： 甲乙产品平均尺寸均符合标准，$$S^2_甲 < S^2_乙$$； 甲机器产品波动更小，尺寸更整齐，误差更小； ∴ 甲机器生产质量更好、更稳定。 例题3：平均数不同的综合判断 甲平均分92，方差3；乙平均分90，方差1.5。 结论：甲平均水平更高，整体成绩更优；乙成绩更稳定。选拔优生选甲，选拔稳定选手选乙。 --- 【同步专项练习题】 一、填空题（基础概念） 1. 平均数反映数据的________，方差反映数据的________。 2. 平均数相同时，方差越小，数据越________。 3. 产品质量检测中，方差越小，代表产品误差越________，质量越稳定。 二、解答题（规范答题） 1. 甲乙两名射击运动员射击成绩平均数相同，$$S^2_甲=0.3$$，$$S^2_乙=0.8$$，请问应该选派谁参加比赛？说明理由。 2. 甲乙两名学生五次英语成绩： 甲：82、84、85、86、88 乙：79、83、86、87、90 已知两人平均分相同，甲方差小于乙方差，请分析两人成绩特点，推荐参赛人选。 三、拓展应用题 工厂有A、B两台设备生产配件，均值均为标准值，$$S^2_A=0.02$$，$$S^2_B=0.08$$，长期生产应选用哪台设备？为什么？ --- 【参考答案与解析】 一、填空题 1. 平均水平、波动程度（稳定性） 2. 稳定 3. 小 二、解答题 1. 解：选派甲参赛。 理由：甲乙平均射击水平相同，$$S^2_甲 < S^2_乙$$，甲的射击成绩波动更小，发挥更稳定，更适合参赛。 2. 解： 甲乙两人平均成绩一致，甲的方差更小，成绩波动小、分数整齐稳定；乙的方差大，成绩起伏大、不稳定。 结论：推荐甲参赛，成绩更稳定，发挥更可靠。 三、拓展应用题 解：选用A设备。 两台设备生产的配件平均尺寸均达标，A设备方差更小，产品尺寸波动小、误差小，生产质量更稳定，适合长期生产。 【本节满分总结】 1. 做题核心：先比平均，再比方差，缺一不可； 2. 常规选拔：均值相同，方差小=稳定、优秀、质量好； 3. 答题套路：均值对比+方差对比+稳定性结论； 4. 方差应用全覆盖：成绩、体育、工业质量、数据评价。 经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法，发展数据观念. 通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系． 某日，A，B两地的气温如图所示. 知识点1 数据的分组 (1) 不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点. A地的日温差较大，B地的日温差较小，但平均气温相近. 知识点1 数据的分组 (2) 分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，与你刚才的看法一致吗? A地24时气温(单位： ℃)分别是18，17.5，17，16，16.5，18，19，20.5， 22，23，23.5， 24，25，25.5， 24.5，23，22，20.5，20，19.5， 19.5， 19，18.5，18. B地24时气温(单位： ℃)分别是20，19.5，19，18，19，19.5，20.5，22，22.5， 23，23， 23.5，24，24，23，22.5，22.5，22，21.5，21，21.5， 20.5，20.5，20. 知识点1 数据的分组 (18+17.5+…+18)≈20.42(℃)； (20+19.5+…+20)≈21.35(℃)； s2≈[(18-20.42)2+…+(18-20.42)2]≈7.76； ≈[(20-21.35)2+…+(20-21.35)2]≈2.78. A，B两地平均气温相近，但A地日温差较大，B地日温差较小，因此与刚才看法一致. 知识点1 数据的分组 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛.在最近的10次选拔赛中，他们的成绩(单位：cm)如下： 知识点1 数据的分组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 (1)甲、乙的平均成绩分别是多少? (1)甲的平均成绩为601.6cm， 乙的平均成绩为599.3cm. 知识点1 数据的分组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 (2) 甲、乙这10次选拔赛成绩的方差分别是多少? (2) 甲这10次比赛的方差为65.84， 乙这10次比赛的方差为284.21. 知识点1 数据的分组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 (3) 这两名运动员的选拔赛成绩各有什么特点? (3) 甲这10次的平均成绩更好，成绩更稳定，但没有单次超过615cm的成绩， 乙这10次成绩不稳定，但有3次超过615cm的好成绩，其中有1次可以达到624cm. 知识点1 数据的分组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 (4) 历届比赛成绩表明，成绩达到5.96m就很有可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛?如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢? (4) 为了夺冠应该选甲参加比赛，甲10次中有9次成绩达到5.96m，而乙只有5次. 为了破纪录应该选乙参加比赛，甲10次中有3次成绩达到6.10m，而乙有4次且乙有6.24 m的成绩. 知识点1 数据的分组 方差越小表示这组数据越稳定，但依据统计量进行数据的分析，比较和判断的时候，依据不同的统计量，得到的结果不一定相同，不要认为方差小的成绩就好，应根据实际问题进行分析推断. 知识点1 数据的分组 10个苹果的直径如图所示. (1) 若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分?说说你分组的理由. 知识点1 数据的分组 知识点1 数据的分组 第一组苹果编号1、3、4、7；第二组苹果编号2、5、6、8、9、10 . 理由是将直径数值集中在一定范围、较为接近的苹果分为一组，使每组内苹果“个头”(直径)差不多. (2) 一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则? 在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”. 多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和. 知识点1 数据的分组 例1 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把上述的10个苹果按直径大小分成两组. 解：将10个数据由小到大排序： 65，69，70，75，76，76，78，80，80，81. 把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69，…，81}；第一组2个数据{65，69}，第二组8个数据{70，…81}；……；第一组9个数据{65，…，80}，第二组1个数据 {81}. 知识点1 数据的分组 以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和. 其中，第一组有2个数据{65，69}，这2个数据的平均数是67， 故第一组数据的组内离差平方和S21=(65-67)2+(69-67)2=8； 第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80， 80，81}， 这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和 S22=(70-77)2+(75-77)2+…+(81-77)2=90. 因此，第2种分组情况的组内离差平方和S23=S21+S22=8+90=98. 知识点1 数据的分组 同理，计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下： 知识点1 数据的分组 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组9个 146.889 第一组2个，第二组8个 98 第一组3个，第二组7个 48 第一组4个，第二组6个 74.25 第一组5个，第二组5个 98 第一组6个，第二组4个 107.583 第一组7个，第三组3个 136.095 第一组8个，第二组2个 182.375 第一组9个，第二组1个 218 计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小. 因此，把10个苹果按直径大小分成的两组是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}. 知识点1 数据的分组 知识点1 方差的应用 1.［2025泸州］某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差如下表所示： 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(　　) A.甲　　 B.乙　　 C.丙　　 D.丁 返回   甲 乙 丙 丁 平均数/个 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 B 基础提优题 2.小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位：m)，此时这组成绩的平均数是 20 m，方差是.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则　(“＞”“＝”或“＜”). 返回 ＞ 基础提优题 知识点2 数据的分组 3.将数据分为两组时，组内离差平方和越小，说明(　　) A.两组数据的平均数差距越大　 B.每组数据内部越集中 C.数据的总数越少　 D.中位数越接近平均数 返回 B 基础提优题 4.［2026郑州期中］把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是(　　) A.{2}，{4，8，10，12}　　　 B.{2，4}，{8，10，12} C.{2，4，8}，{10，12}　　　 D.{2，4，8，10}，{12} 返回 B 基础提优题 5.某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示： 现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程队员工月工资的方差　　　.(填“变小”“不变”或“变大”) 返回 工种 人数 每人每月工资/元 电工 5 7 000 木工 4 6 000 瓦工 5 5 000 变大 综合应用题 【点拨】因为减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，所以这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大. 返回 工种 人数 每人每月工资/元 电工 5 7 000 木工 4 6 000 瓦工 5 5 000 综合应用题 6. 某班要从甲、乙两名同学中选拔出一人，代表班级参加学校的1 min踢毽子体能素质比赛，在一段时间内的相同条件下，甲、乙两人进行了六场1 min踢毽子的选拔测试，根据他们的成绩绘制出如下的统计表. 甲、乙两人选拔测试成绩统计表 小红计算出乙同学六场选拔测试成绩的方差：＝. 返回   第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数 甲成绩/(次/min) 87 94 91 85 91 92 m 乙成绩/(次/min) 87 98 87 89 100 85 91 综合应用题 (1)m＝　　. 返回   第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数 甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m 乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91 90 综合应用题 (2)求甲同学六场选拔测试成绩的方差.   第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数 甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m 乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91 【解】因为m＝90， 所以＝×［(87－90)2＋(94－90)2＋2×(91－90)2＋(85－90)2＋(92－90)2］＝. 返回 综合应用题 (3)分别从平均数和方差的角度分析比较甲、乙的成绩. 返回   第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数 甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m 乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91 【解】从平均数看，乙成绩的平均数大于甲成绩的平均数，说明乙成绩的平均水平比甲高；从方差看，甲成绩的方差小于乙成绩的方差，说明甲的成绩比乙更稳定. 综合应用题 (4)经查阅该校以往本项比赛的资料可知： ①成绩若达到90次/min，就有可能夺得冠军，你认为选谁参赛更有把握夺冠？为什么？ 返回   第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数 甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m 乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91 综合应用题 【解】选甲参赛更有把握夺冠.理由：在六场比赛中，甲有四场比赛成绩超过90次/min，而乙只有二场，且甲的成绩更稳定，故选甲参赛更有把握夺冠. 返回   第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数 甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m 乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91 综合应用题 ②该项比赛成绩的最高纪录是95次/min，若超过95次/min，就有可能夺得冠军，你认为选谁参赛更有把握夺冠？为什么？ 返回   第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数 甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m 乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91 综合应用题 【解】选乙参赛更有把握夺冠.理由：在六场比赛中，乙有二场比赛成绩超过95次/min，而甲一次也没有，故选乙参赛更有把握夺冠.   第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 平均数 甲成绩/ (次/min) 87 94 91 85 91 92 m 乙成绩/ (次/min) 87 98 87 89 100 85 91 返回 综合应用题 方差越小表示这组数据越稳定，但不是方差越小就表示这组数据越好，而是对具体的情况进行具体分析才能得出正确的结论 数据的选择 反映数据的离散程度 离差平方和 利用离差平方和将数据分组 $