专题01二次根式期末易错压轴题型专练(20大题型共计82道)2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦二次根式全章高频易错与压轴题型，通过20个专项模块系统梳理解题思路，培养运算能力与推理意识，构建从概念理解到综合应用的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错01-06|3-5题/模块|被开方数非负性判断、性质化简步骤、参数求解验证|从二次根式定义到性质应用，形成概念-性质-运算基础逻辑| |易错07-13|3-6题/模块|最简根式判断标准、同类根式合并法则、大小比较方法|运算技能进阶，衔接代数变形与数感培养| |压轴14-20|3-5题/模块|数轴与绝对值综合化简、非负性应用、规律探究策略|知识迁移与综合应用，发展创新意识与模型观念|

专题01二次根式期末易错压轴题型专练 本专练聚焦全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.二次根式有意义的条件 易错02.利用二次根式性质化简 易错03.求二次根式的参数 易错04.二次根式乘除混合运算 易错05.最简二次根式的判断 易错06.化为最简二次根式 易错07.由最简二次根式求参数 易错08.同类二次根式 易错09.二次根式的加减运算 易错10.二次根式的混合运算 易错11.分母有理化 易错12.已知条件式化简求值 易错13.比较二次根式的大小 压轴14.数轴结合根式与绝对值化简 压轴15.三角形三边关系化简根式 压轴16.二次根式双重非负性求值 压轴17.复合二次根式化简 压轴18.条件整体代入求值 压轴19.二次根式规律探究 压轴20.新定义运算 易错01.二次根式有意义的条件 题型特征：式子包含单个/多个二次根式，常搭配分式、零次幂；题干要求求自变量字母的取值范围。 解题思路：1. 二次根式部分：被开方数必须大于等于0；2. 分式部分：分母不能等于0；3. 多个限制条件联立成不等式组，求出解集即可。 1．若代数式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．若实数x、y同时满足，则的值为________． 3．若，则等于（   ） A．1 B．5 C． D． 易错02.利用二次根式性质化简 题型特征：式子为形式，被开方数是数字、单项式或简单多项式，单纯利用根式性质化简。 解题思路：1. 套用公式=|a|，把根式转化为绝对值；2. 判断绝对值内部式子的正负；3. 正数直接去绝对值，负数改为相反数，最后整理结果。 4．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．若，则_____． 6．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 7．若（为两个连续奇数，），则下列对的描述中正确的是（   ） A．总是偶数 B．总是奇数 C．总是无理数 D．可能是有理数，可能是无理数 8．化简：__________． 易错03.求二次根式的参数 题型特征：根式中含有未知参数，结合根式有意义、化简结果、取值限制等条件，求参数的值或取值范围。 解题思路：1. 根据题干条件列出等式或不等式；2. 结合二次根式定义、性质列式计算；3. 检验结果是否符合根式成立要求。 9．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．18 10．若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 11．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 12．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 易错04.二次根式乘除混合运算 题型特征：连续多个根式相乘、相除，根式可带整数系数，纯计算类题目，无复杂附加条件。 解题思路：1. 系数与系数单独运算，被开方数与被开方数按乘除法则合并；2. 统一整合后分解被开方数；3. 提取平方因数开方，化为最简二次根式。 13．计算：． 14．计算：． 15．计算：． 16．计算：． 易错05.最简二次根式的判断 题型特征：给出若干个二次根式，要求逐一判断是否为最简二次根式。 解题思路：同时满足两条即为最简：1. 被开方数里面不含分数、小数；2. 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 17．下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 18．若是最简二次根式，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 19．下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错06.化为最简二次根式 题型特征：给出普通根式、含分数/小数的根式，要求将原式转化为最简二次根式。 解题思路：1. 被开方数是整数：分解因数，把平方数开方移出根号；2. 被开方数含分母：先做分母有理化；3. 最终保证无分母、无开得尽方的因数。 20．将化为最简二次根式为___________． 21．化简：_____． 22．若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 23．把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 易错07.由最简二次根式求参数 题型特征：题干明确几个根式是最简二次根式，根据此条件求解字母参数。 解题思路：1. 依据最简根式定义，确定被开方数不能有开得尽方的因数；2. 列出对应方程；3. 解方程求出参数，回代验证。 24．若与最简二次根式能合并，则的值为________． 25．若是最简二次根式，则m的最小整数值为_____ ． 26．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 易错08.同类二次根式 题型特征：分两类考法：①判断几组根式是否为同类二次根式；②已知根式为同类二次根式，求参数。 解题思路：1. 先把所有根式全部化成最简形式；2. 最简后被开方数完全相同，就是同类二次根式；3. 求参数时，根据被开方数相等列方程求解。 27．已知最简二次根式与可以合并，则的值为（     ） A．26 B．11 C．8 D．5 28．下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 29．如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 30．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 31．已知最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D． 32．最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 易错09.二次根式的加减运算 题型特征：多个二次根式相加、相减，原式大多不是最简形式，需要先化简再计算。 解题思路：1. 将每一个根式都化为最简二次根式；2. 找出同类二次根式；3. 同类根式合并：系数相加减，根号和被开方数保持不变。 33．计算：＝____________________． 34．估计的值在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 35．计算：． 36．化简： (1)． (2)． 易错10.二次根式的混合运算 题型特征：同时包含加、减、乘、除、乘方运算，常搭配平方差、完全平方公式出题。 解题思路：1. 遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内；2. 能使用乘法公式的优先套用公式简化计算；3. 计算结束统一化为最简根式。 37．若，，则________． 38．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 39．计算： (1) (2) 40．计算： (1) (2) 易错11.分母有理化 题型特征：分式的分母中含有二次根式，要求把分母中的根号去掉。 解题思路：1. 分母是单项根式：分子、分母同时乘分母本身；2. 分母是两项根式：分子、分母同乘它的共轭根式（改变中间符号）；3. 约分、整理至分母无根号。 41．化简：＝__________． 42．的小数部分是（    ） A． B． C． D． 43．化简：结果是（   ） A．1 B． C． D． 44．先化简，再求值：，其中． 易错12.已知条件式化简求值 题型特征：给出字母的取值或简单关系式，代数式含根式，要求先化简、再代入数值计算。 解题思路：1. 先对含根式的代数式进行化简，简化式子结构；2. 将题干给出的字母数值代入化简后的式子；3. 分步计算得出最终结果。 45．已知，求的值． 46．化简求值，其中． 47．已知，，求的值． 易错13.比较二次根式的大小 题型特征：给出两个或多个二次根式，直接比较数值大小。 解题思路：1. 正数根式优先用平方法：两边同时平方，比较平方后的数；2. 也可用作差法、作商法；3. 负数根式先判断符号，再比较绝对值大小。 48．已知，，，用“”连接它们得______． 49．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 50．比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 51．比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 52．比较大小： (1)______； (2)______． 53．已知 ，，，比较的大小关系． 压轴14.数轴结合根式与绝对值化简 题型特征：给出数轴，标注字母位置，化简同时含和绝对值的混合式子。 解题思路：1. 根据数轴判断字母、代数式的正负与大小；2. 根式转为绝对值；3. 依据正负去掉绝对值符号，合并同类项化简。 54．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 55．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 56．实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ）． A． B． C． D． 57．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 压轴15.三角形三边关系化简根式 题型特征：已知三角形三边长，化简含根式、绝对值的代数式。 解题思路：1. 利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，判断式内代数式正负；2. 根式转绝对值；3. 根据正负去掉绝对值，合并化简。 58．若是的三边长，则化简的结果是_______． 59．若a、b、c是三角形的三条边，则 _________________． 60．若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果_____． 61．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 压轴16.二次根式双重非负性求值 题型特征：二次根式、绝对值、平方数相加，和等于0，求字母或代数式的值。 解题思路：1. 二次根式、绝对值、平方数都属于非负数；2. 几个非负数相加和为0，则每一项都等于0；3. 列方程组求出字母，再代入计算。 62．已知，则的值为_________． 63．若一个等腰三角形的两条边长，满足，则这个三角形的周长为________． 64．已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 65．已知，且，则______． 压轴17.复合二次根式化简 题型特征：根号内部还包含二次根式，结构多层嵌套，属于拓展化简题型。 解题思路：1. 把最内层的被开方数配成完全平方形式；2. 利用根式性质开方，逐层去掉外层根号；3. 整理为最简形式。 66．当时，化简二次根式的正确结果是_____________． 67．化简的结果是______________． 68．化简的结果为______． 69．_____． 压轴18.条件整体代入求值 题型特征：已知两数的和、积、倒数等关系，不单独求字母，直接整体代入根式式子计算。 解题思路：1. 对所求代数式变形，凑出题干给出的整体形式；2. 不拆分未知数，直接整体替换；3. 按照根式运算法则计算结果。 70．若，则代数式的值为______． 71．已知，，则式子的值为_________． 72．若，，则的值为（     ） A．25 B．10 C．5 D．2 73．若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 74．已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 压轴19.二次根式规律探究 题型特征：给出一组根式等式、数列，要求续写式子、总结通用规律。 解题思路：1. 观察每组式子中数字、符号、根式结构的变化；2. 归纳出通用规律表达式；3. 代入序号验证规律是否成立。 75．观察下列各等式，并用含n（n为整数，且）的式子表示其中体现的规律______． ；；…… 76．观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为_____________． 77．在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 78．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 压轴20.新定义运算 题型特征：题目临时规定根式相关的全新运算法则，按新规则列式计算、化简。 解题思路：1. 读懂题干给出的运算定义，明确运算步骤；2. 严格按照新规则列式，转化为常规二次根式运算；3. 逐步计算、化简得出答案。 79．2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（   ） A．1 B．4 C．－2 D．9 80．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 81．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________． 82．定义：形如“”的数称为“族数”（其中m，n为有理数，），并规定：两个“族数”之间可以进行“，，，”等运算，运算法则符合二次根式的相关要求． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在和中，属于“族数”的是_________； (2)已知（其中b为有理数，）均为“族数”，判断是否为“族数”，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式期末易错压轴题型专练 本专练聚焦全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.二次根式有意义的条件 易错02.利用二次根式性质化简 易错03.求二次根式的参数 易错04.二次根式乘除混合运算 易错05.最简二次根式的判断 易错06.化为最简二次根式 易错07.由最简二次根式求参数 易错08.同类二次根式 易错09.二次根式的加减运算 易错10.二次根式的混合运算 易错11.分母有理化 易错12.已知条件式化简求值 易错13.比较二次根式的大小 压轴14.数轴结合根式与绝对值化简 压轴15.三角形三边关系化简根式 压轴16.二次根式双重非负性求值 压轴17.复合二次根式化简 压轴18.条件整体代入求值 压轴19.二次根式规律探究 压轴20.新定义运算 易错01.二次根式有意义的条件 题型特征：式子包含单个/多个二次根式，常搭配分式、零次幂；题干要求求自变量字母的取值范围。 解题思路：1. 二次根式部分：被开方数必须大于等于0；2. 分式部分：分母不能等于0；3. 多个限制条件联立成不等式组，求出解集即可。 1．若代数式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，分别列式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，， 解得，， ∴实数的取值范围是且． 2．若实数x、y同时满足，则的值为________． 【答案】/0.2 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可求出y的值，再计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 3．若，则等于（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题． 【详解】解：， ，， ，， ， ， ． 易错02.利用二次根式性质化简 题型特征：式子为形式，被开方数是数字、单项式或简单多项式，单纯利用根式性质化简。 解题思路：1. 套用公式=|a|，把根式转化为绝对值；2. 判断绝对值内部式子的正负；3. 正数直接去绝对值，负数改为相反数，最后整理结果。 4．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 即， ， ． 5．若，则_____． 【答案】3或 【分析】根据，解方程求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． 6．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的正负，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简，得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 7．若（为两个连续奇数，），则下列对的描述中正确的是（   ） A．总是偶数 B．总是奇数 C．总是无理数 D．可能是有理数，可能是无理数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，设，，进而得到，整体代入中求出，进行判断即可． 【详解】解：∵为两个连续奇数，， ∴设，，且为整数， ∴， ∴ ； ∵为偶数， ∴为奇数且总是有理数； 故选B． 8．化简：__________． 【答案】2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 易错03.求二次根式的参数 题型特征：根式中含有未知参数，结合根式有意义、化简结果、取值限制等条件，求参数的值或取值范围。 解题思路：1. 根据题干条件列出等式或不等式；2. 结合二次根式定义、性质列式计算；3. 检验结果是否符合根式成立要求。 9．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．18 【答案】B 【分析】根据二次根式为整数的条件，即被开方数为完全平方数，即可求出最小正整数． 【详解】解：，且是整数，n是正整数． 是整数，即为完全平方数． 当取最小正整数时，，此时． 因此的最小值为． 10．若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设为正整数，将等式平方整理得到关于的表达式，根据为正整数，即可找出符合条件的的取值． 【详解】解：设，其中为正整数， 等式两边平方得：， 整理得：， 为正整数， 为正整数，且为的倍数， 令，得，是正整数，符合题意， 正整数可能取值为（答案不唯一）． 11．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 12．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 易错04.二次根式乘除混合运算 题型特征：连续多个根式相乘、相除，根式可带整数系数，纯计算类题目，无复杂附加条件。 解题思路：1. 系数与系数单独运算，被开方数与被开方数按乘除法则合并；2. 统一整合后分解被开方数；3. 提取平方因数开方，化为最简二次根式。 13．计算：． 【答案】 【分析】把二次根式的除法化为乘法，计算即可． 【详解】解： =． 14．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 15．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 16．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 易错05.最简二次根式的判断 题型特征：给出若干个二次根式，要求逐一判断是否为最简二次根式。 解题思路：同时满足两条即为最简：1. 被开方数里面不含分数、小数；2. 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 17．下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断选项，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽的因数或因式。 【详解】解： A选项：，被开方数含能开得尽的因数，不是最简二次根式； B选项：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； C选项：的被开方数含分母，不是最简二次根式； D选项：，被开方数含能开得尽的因数，不是最简二次根式 ． 18．若是最简二次根式，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式， 对A选项，，被开方数含分母，不符合要求； 对B选项，，是能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，不符合要求； 对C选项，，被开方数含分母，不符合要求； 对D选项，，19是质数，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合要求． ∴选D． 19．下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．能理解最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简根式；②，故不是最简根式；③是最简根式；④，故不是最简根式；⑤，故不是最简根式．所以最简根式有：①、③，共2个． 故选：B． 易错06.化为最简二次根式 题型特征：给出普通根式、含分数/小数的根式，要求将原式转化为最简二次根式。 解题思路：1. 被开方数是整数：分解因数，把平方数开方移出根号；2. 被开方数含分母：先做分母有理化；3. 最终保证无分母、无开得尽方的因数。 20．将化为最简二次根式为___________． 【答案】 【详解】解： ． 21．化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化简，最后进行分母有理化得到最简结果． 【详解】， 故答案为：． 22．若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、二次根式有意义的条件、不等式的性质，先根据二次根式有意义的条件以及得到，再将根号内的表达式分解为平方因子和非平方因子，并处理符号问题，得到结果即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选C． 23．把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 易错07.由最简二次根式求参数 题型特征：题干明确几个根式是最简二次根式，根据此条件求解字母参数。 解题思路：1. 依据最简根式定义，确定被开方数不能有开得尽方的因数；2. 列出对应方程；3. 解方程求出参数，回代验证。 24．若与最简二次根式能合并，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念． 先将化简为，被开方数为，因此的被开方数也应为2，即可得出结果． 【详解】解：， ∴被开方数为2， ∵与最简二次根式能合并， 又∵是最简二次根式， ∴的被开方数与2相同， 即，解得， 故答案为：1． 25．若是最简二次根式，则m的最小整数值为_____ ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，先确定被开方数为非负数，再结合为整数，验证被开方数不含能开得尽方的因数，即可得到满足条件的最小整数. 【详解】解：由题意，， 解得， 因为是整数，因此的最小取值从开始， 当时，，不含能开得尽方的因数， 因此是最简二次根式，满足条件； 故的最小整数值为． 26．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 易错08.同类二次根式 题型特征：分两类考法：①判断几组根式是否为同类二次根式；②已知根式为同类二次根式，求参数。 解题思路：1. 先把所有根式全部化成最简形式；2. 最简后被开方数完全相同，就是同类二次根式；3. 求参数时，根据被开方数相等列方程求解。 27．已知最简二次根式与可以合并，则的值为（     ） A．26 B．11 C．8 D．5 【答案】B 【详解】解：∵，最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得． 28．下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】先将各二次根式化简为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故A不符合题意； B选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故B不符合题意； C选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故C不符合题意； D选项，是最简二次根式，被开方数为，，被开方数为，， ∴不是同类二次根式，故D符合题意． 29．如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式（可合并二次根式）的定义，先化简，再根据同类二次根式的定义求的最小正整数值即可． 【详解】解：∵，与可以合并， ∴正整数的最小值是． 30．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 31．已知最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，同类二次根式，掌握相关知识是解决问题的关键．最简二次根式与可以合并，说明与是同类二次根式，先将化为最简二次根式，然后让两式的被开方数相等即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， 即， ． 故选：A． 32．最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式．根据同类二次根式的定义，它们的根指数和被开方数均相同，据此列方程组求出的值，即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，则， ∴， 故选：C． 易错09.二次根式的加减运算 题型特征：多个二次根式相加、相减，原式大多不是最简形式，需要先化简再计算。 解题思路：1. 将每一个根式都化为最简二次根式；2. 找出同类二次根式；3. 同类根式合并：系数相加减，根号和被开方数保持不变。 33．计算：＝____________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的二次根式化简的方法．加减法法则， 是解决本题的关键． 先把 ， ，化简，再合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 34．估计的值在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减运算，先进行二次根式的加减计算，然后再估算出的值的范围即可解答． 【详解】解： 而， ∵， ∴， ∴估计的值在9和10之间， 故选：D． 35．计算：． 【答案】 【分析】先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， ． 36．化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先进行分母有理化，再相加即可求解； （）把原式转化为，再进行分母有理化，最后相加即可求解； 本题考查了分式的化简求值，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 易错10.二次根式的混合运算 题型特征：同时包含加、减、乘、除、乘方运算，常搭配平方差、完全平方公式出题。 解题思路：1. 遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内；2. 能使用乘法公式的优先套用公式简化计算；3. 计算结束统一化为最简根式。 37．若，，则________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 38．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式加减乘运算法则和算术平方根的非负性，逐个计算选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 39．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算； （1）根据立方根、二次根式的性质、绝对值、零指数幂进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 原式 ； （2）解： ． 易错11.分母有理化 题型特征：分式的分母中含有二次根式，要求把分母中的根号去掉。 解题思路：1. 分母是单项根式：分子、分母同时乘分母本身；2. 分母是两项根式：分子、分母同乘它的共轭根式（改变中间符号）；3. 约分、整理至分母无根号。 41．化简：＝__________． 【答案】4 【分析】本题考查了分母有理化、利用二次根式的性质化简，通过分母有理化，将每一项化为差的形式，再利用裂项相消即可求解． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：4． 42．的小数部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分母有理化、无理数的大小估计，先将二次根式分母有理化，判断无理数部分的范围，然后根据不等式的性质，求出整个式子值的范围，求出其整数部分，最后即可求出其小数部分得到答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为0，小数部分为， 故选：A． 43．化简：结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将每个分式进行分母有理化，再计算加减即可得出答案． 【详解】解：， 同理可得， 故选B． 44．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 易错12.已知条件式化简求值 题型特征：给出字母的取值或简单关系式，代数式含根式，要求先化简、再代入数值计算。 解题思路：1. 先对含根式的代数式进行化简，简化式子结构；2. 将题干给出的字母数值代入化简后的式子；3. 分步计算得出最终结果。 45．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键．先化简，再分、同正或同负两种情况作答． 【详解】解：， 、同号， 原式， 当时，原式； 当时，原式； 故原式． 46．化简求值，其中． 【答案】， 【分析】先将要求的式子的括号内进行通分，把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 将代入，得：原式． 47．已知，，求的值． 【答案】970 【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则． 易错13.比较二次根式的大小 题型特征：给出两个或多个二次根式，直接比较数值大小。 解题思路：1. 正数根式优先用平方法：两边同时平方，比较平方后的数；2. 也可用作差法、作商法；3. 负数根式先判断符号，再比较绝对值大小。 48．已知，，，用“”连接它们得______． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用作差法和估算法比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 49．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为再结合从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 50．比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 【答案】D 【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可． 【详解】A、由于5<7，则＜，故正确； B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确； C、由于，则，故正确； D、由于，故错误． 故选：D 【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键． 51．比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的大小比较．对于正数，被开方数越大，平方根越大；对于负数，被开方数越大，负平方根越小（即更负）．比较时，可通过比较被开方数或通分后比较分子来判断大小． （1）根据二次根式的大小比较方法判断即可； （2）根据二次根式的大小比较方法判断即可； （3）根据二次根式的大小比较方法判断即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 即； （2）解：∵和分母相同，分子， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴． 52．比较大小： (1)______； (2)______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别计算两个无理数的平方，比较平方的大小，即可得解； （2）对两个无理数进行分子有理化，得到分子相同的分数，比较分母的大小，即可得解． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， ∵，， ∴， ∴． 53．已知 ，，，比较的大小关系． 【答案】 【分析】此题考查二次根式比较大小，分母有理化，先将a、b、c分别进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， ． 压轴14.数轴结合根式与绝对值化简 题型特征：给出数轴，标注字母位置，化简同时含和绝对值的混合式子。 解题思路：1. 根据数轴判断字母、代数式的正负与大小；2. 根式转为绝对值；3. 依据正负去掉绝对值符号，合并同类项化简。 54．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【分析】根据数轴可得，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图得， ∴， 则． 55．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】由数轴可知：，得到，进而化简代数式即可. 【详解】解：由数轴可知：， ∴ ∴原式 . 56．实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上实数的大小关系，不等式的性质，绝对值的化简和二次根式的性质． 根据实数在数轴上的位置得到的取值范围，根据不等式的性质得到，进而根据绝对值和二次根式的运算法则计算后得到答案． 【详解】解：由实数在数轴上的位置可知，，，， ， 原式． 57．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值．根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴； 故选：C． 压轴15.三角形三边关系化简根式 题型特征：已知三角形三边长，化简含根式、绝对值的代数式。 解题思路：1. 利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，判断式内代数式正负；2. 根式转绝对值；3. 根据正负去掉绝对值，合并化简。 58．若是的三边长，则化简的结果是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，整式的加减计算，先根据三角形三边的关系得到，据此化简绝对值，然后根据整式的加减计算法则化简即可． 【详解】∵a，b，c为三角形三边长， ∴， ∴ ， 故答案为：． 59．若a、b、c是三角形的三条边，则 _________________． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可． 【详解】解：由三角形的三边关系定理得： 则 故答案为：． 60．若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握绝对值、二次根式的性质是解题的关键． 先根据三角形三边关系确定x的取值范围，再根据绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得，即， ∴ ， ． 故答案为． 61．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 压轴16.二次根式双重非负性求值 题型特征：二次根式、绝对值、平方数相加，和等于0，求字母或代数式的值。 解题思路：1. 二次根式、绝对值、平方数都属于非负数；2. 几个非负数相加和为0，则每一项都等于0；3. 列方程组求出字母，再代入计算。 62．已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据非负数的和为的条件，求出的值，进而求出结果. 【详解】解：∵， ∴， 即：， 解得：， ∴ ． 63．若一个等腰三角形的两条边长，满足，则这个三角形的周长为________． 【答案】 【分析】先根据题意，求得，，分情况讨论①当为等腰三角形的腰时，②当为等腰三角形的腰时，再利用三角形三边关系进行验证，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 当为等腰三角形的腰时，等腰三角形的三边长分别为：，，， ∵，， ∴， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 当为等腰三角形的腰时，等腰三角形的三边长分别为：，，， ∵， ∴满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴这个三角形的周长为． 64．已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，正确掌握非负性的性质得到a、b的值是解题的关键． 先根据，得出，再逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， A．∵，∴，此时算式无意义，故不正确； B．∵，∴，，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，∴无意义，故不正确； 故选：C． 65．已知，且，则______． 【答案】 【分析】先对等式左边配方变形，再利用非负数的性质得到关于，的关系式，结合确定，的取值，最后代入计算． 【详解】解：原等式变形得：， 由算术平方根的性质得， 因为绝对值和平方数都是非负数，若几个非负数的和为， 则每个非负数都为， 因此可得方程组：， ∴或， 当时，代入得，不符合绝对值的非负性，故舍去， 当时，代入得，即或， 已知，， 因此，即， 代入计算得： ． 压轴17.复合二次根式化简 题型特征：根号内部还包含二次根式，结构多层嵌套，属于拓展化简题型。 解题思路：1. 把最内层的被开方数配成完全平方形式；2. 利用根式性质开方，逐层去掉外层根号；3. 整理为最简形式。 66．当时，化简二次根式的正确结果是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先将改写成，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 67．化简的结果是______________． 【答案】 【分析】先将第一个根号内的被开方数配方为完全平方形式，根据二次根式的性质化简，再通分求解即可． 【详解】解：原式 ． 68．化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 69．_____． 【答案】 【分析】本题考查了初中数学中的二次方程求解、平方根的性质以及无限嵌套结构的理解．解题的关键在于设未知数 x 表示无限嵌套的平方根式．设 ，通过平方化简为二次方程进行求解，根据算术平方根的非负性确定答案． 【详解】解：设所求的值为x，则原式可表示为： ， ， 解得，， 算术平方根的结果非负， ， 故答案为：1 压轴18.条件整体代入求值 题型特征：已知两数的和、积、倒数等关系，不单独求字母，直接整体代入根式式子计算。 解题思路：1. 对所求代数式变形，凑出题干给出的整体形式；2. 不拆分未知数，直接整体替换；3. 按照根式运算法则计算结果。 70．若，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】由已知可得，即得，得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 71．已知，，则式子的值为_________． 【答案】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： 已知，， ∴ ， ∴． 72．若，，则的值为（     ） A．25 B．10 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算，用到提取公因式法和完全平方公式． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 73．若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，由已知条件得出x满足方程，然后利用该方程简化表达式并求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴原式 ． 故选：D． 74．已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，根式的化简，熟练掌握根式的化简是解答本题的关键．先求的值，再求和的值，最后代入，根据根式运算法则求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 压轴19.二次根式规律探究 题型特征：给出一组根式等式、数列，要求续写式子、总结通用规律。 解题思路：1. 观察每组式子中数字、符号、根式结构的变化；2. 归纳出通用规律表达式；3. 代入序号验证规律是否成立。 75．观察下列各等式，并用含n（n为整数，且）的式子表示其中体现的规律______． ；；…… 【答案】 【分析】分别观察已知等式中，根号内带分数的整数部分，分子，分母的数量关系，归纳总结得到一般性规律． 【详解】解：观察已知等式： 当整数为时，带分数的整数部分与分子相等，均为，分母为，满足； 当整数为时，带分数的整数部分与分子相等，均为，分母为，满足； 当整数为时，带分数的整数部分与分子相等，均为，分母为，满足； ∴，其中为整数，且． 76．观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的应用，根据已知规律，每个根式可化为的形式，然后求和，利用裂项相消法计算即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由规律可知，，其中从开始， 故 ， 故答案为：． 77．在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 【答案】B 【分析】将二次根式分母有理化并找到规律进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ． 78．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 压轴20.新定义运算 题型特征：题目临时规定根式相关的全新运算法则，按新规则列式计算、化简。 解题思路：1. 读懂题干给出的运算定义，明确运算步骤；2. 严格按照新规则列式，转化为常规二次根式运算；3. 逐步计算、化简得出答案。 79．2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（   ） A．1 B．4 C．－2 D．9 【答案】B 【分析】根据定义的运算，先利用平方差公式简化表达式，再代入数值计算. 本题考查了二次根式的计算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵ , 且 , ∴ . 代入 : ∴ ， 故选：B． 80．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 81．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 82．定义：形如“”的数称为“族数”（其中m，n为有理数，），并规定：两个“族数”之间可以进行“，，，”等运算，运算法则符合二次根式的相关要求． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在和中，属于“族数”的是_________； (2)已知（其中b为有理数，）均为“族数”，判断是否为“族数”，并说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】（1）化简二次根式，再根据定义判断即可．              （2）把代入，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在和中，属于“族数”的是； （2）解： ，              ∵b为有理数，， 是有理数，且不为0， 是“族数”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $