第5章特殊平行四边形 单元同步练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档综合、拔高探究三层设计，覆盖特殊平行四边形定义、性质、判定及综合应用，梯度合理，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|矩形/菱形定义与性质、面积计算|单选1-3辨析判定定理，填空8-10强化对角线与边长关系，夯实概念理解| |中档层|折叠/旋转结合性质、简单证明|单选4-6涉及梯形与菱形综合计算，解答15-16尺规作图与矩形判定，培养推理意识| |拔高层|动态几何与多结论探究|解答19-20含旋转动点问题，填空14最值问题，发展空间观念与创新意识|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《第5章特殊平行四边形》单元同步练习题（附答 案) 一、单选题 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,则下列说法正确的是() A.若ABCD且AC=BD,则四边形ABCD是矩形 B.若AB=AD且CB=CD,则四边形ABCD是菱形 C.若OA=OC且OB=OD,则四边形ABCD是平行四边形 D.若AC⊥BD且AC=BD,则四边形ABCD是正方形 2.某公园规划菱形绿化区域，该菱形绿化区域的两条对角线长度分别为10和12，结合 菱形面积计算公式，这块绿化区域的总面积为() A.60 B.80 C.100 D.120 3.如图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，且DE=DC,连接BD,若∠C=70°，则 ∠BDE的度数为()， A.30° B.250 C.20° D.15° 4.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,∠B=90°，AD=3,BC=9,∠BCD=45°， 点E为CD中点，连接AE,并延长交BC的延长线于点F,则线段AF的长度为() E A.10 B.6V3 C.12 D.6V5 5.如图，正方形ABCD的对角线AC为菱形AEFC的一边，则∠AB的度数为() A.30° B.67.5° C.15° D.22.5° 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以BC为边向上作正方形BCDE,以AC为边作正 方形ACFG,点D落在GF上，连结AE,EG.若DG=2,BC=6,则△AEG的面积为 () A.4 B.6 C.8 D.10 7.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F, 连接EF,给出下列五个结论：其中正确的结论是() ①AP=EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形：④∠PEF=∠BAP;⑤ PD=2EC B A.①② B.①②③ C.①②③④ D.①②③④⑤ 二、填空题 8.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°，AB=4,则矩形的 对角线长为 9.如图，矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知DE=5, EC=4,则AD的长为 D 10.如图，在菱形ABCD中，顶点A到BC,CD的距离分别为AE,AF且都为5，EF=6, 那么菱形ABCD的边长为 11.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作BE⊥CD于点E,连接 OE.若AC=8,菱形ABCD的面积为24，则OE的长为 12.如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E为边AD上一点，过点E分别作BD、 AC的垂线，垂足分别为F、G,则EF+EG的值为 G 13.如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED=CD,连接AE,交BD于点F,连接CE, CF.若∠CDE=40°，则∠BFC的度数为 B 14.在正方形ABCD中，AB=3,点E,F分别为AD、AB上一点，且AE=AF,连接 BE、CF,则BE+CF的最小值是 三、解答题 15.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. D (备用图)》 (1)尺规作图：在平面内确定一点E,使得四边形AODE是菱形： (2)在(1)的条件下，若AD=8,四边形AODE的面积为24，求AB的长， 16.如图，菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,点F是BC的中点，AC=10,BD=6, 连接OF 1)求OF的长 (2)延长OF到点E,使得EF=OF,连接BE,CE.求证：四边形OBEC是矩形 17.如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线AC,垂足为O,连接AF,CE. B (1)求证：四边形AFCE是菱形： (2)取AB边中点G,连接OG,若AB=OG=8,求四边形AFCE的面积. 18.【综合与探究】 问题情境：将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形 ABCD,点A,B,D的对应点分别为点A,B,D,设直线AD与直线AD交于点 E E D A'(E) B D' 图① 图② 猜想证明： (1)猜想DE与DE的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点B恰好落在矩形ABCD的对角线BD上时，点A恰好落 在AD的延长线上（即点A与点E重合），连接AC,求证：四边形ADBC是平行四边形. 19.综合与探究 【问题情境】 如图，在菱形ABCD中，AD=6,∠ADC=60°，M是射线BC上一动点，将线段MC绕 着点M逆时针方向旋转120°到达MC的位置，连接CB,AC,N是CB的中点. B(M) 图 图2 图3 (1)【操作发现】如图1，当点M与点B重合时，连接AN,BD,BD交AC于点O,试猜 想四边形AOBN的形状，并说明理由， (2)【操作探究】如图2，当点M在线段BC上，点C在线段BC的垂直平分线上，连接MN, 求MN的长 (B)【拓展探充】如图3，当点M在BC边的延长线上时，连接CN,MN,若CNCM, 请直接写出线段CN的长. 20.已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别 交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,AH⊥MN于点H. 图① 图② 图③ 【初步感知】(1)如图(1)，当BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：一： 【问题探究】 (2)如图(2)，小罗同学发现，当BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系仍然 成立.为了证明这个猜想，小组成员们展开了讨论，得到了下面两条思路： 思路1：延长CB至E,使得BE=DN,连接AE 思路2：以A点为旋转中心，将△∧乙顺时针旋转90°得到△ABE 请你从中任意选择一个思路进行证明. 【拓展提升】 3)如图(3)，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的 长 参考答案 1.C 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断 即可. 【详解】解：A、ABCD且AC=BD,不能得到四边形ABCD是矩形，故A错误： B、AB=AD且CB=CD,仅能说明邻边相等，对边关系不确定， 则四边形ABCD不一定是菱形，故B错误； C、OA=OC且OB=OD,则对角线互相平分，四边形ABCD是平行四边形，故C正确： D、AC⊥BD且AC=BD,未强调对角线互相平分， 则不能判定四边形ABCD是正方形，故D错误. 2.A 【分析】已知菱形两条对角线长度，直接利用菱形面积公式计算即可得到结果。 【详解】解：菱形面积公式为S三号d,d,其中d1,d,为菱形两条对角线的长度 d1=10,d2=12 S=号×10×12=60. 2 故选A. 3.D 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角形内角和定理等知识 点。 根据菱形的性质得到∠BDC=55°，根据等腰三角形的判定和性质得到∠EDC=40°， 继而得到∠BDE=15° 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， .DC=BC. ∠DBC=∠BDC=180°-∠C=55°， DE=DC, ∴.∠DEC=∠C=70°， .∠EDC=180°-2∠C=40°， ∴.∠BDE=∠BDC-∠EDC=55°-40°=15°. 4.D 【分析】首先利用平行线的性质和中点条件证明△ADE≌△FCE，从而得出 CF=AD=3,进而求出BF的长；其次通过作辅助线构造直角三角形，利用 ∠BCD=45°求出梯形的高AB,最后在Rt△ABF中利用勾股定理计算AF的长度即可. 【详解】解：，AD‖BC, ∴.∠D=∠ECF, ,点E为CD中点， ∴.DE=CE 在△ADE和△FCE中， ∠D=∠ECF DE=CE ∠AED=∠FEC ∴△ADE≌△FCE|ASA, AD=3, ∴.CF=AD=3, .∴.BF=BC+CF=9+3=12, 过点D作DG⊥BC于点G, D .∠B=90°，AD‖BC G ∴.∠BAD=90, ∴.∠BAD=∠B=∠BGD=90°， .四边形ABGD是矩形， ∴.AB=DG,BG=AD=3, ,BC=9, .∴.GC=BC-BG=9-3=6, 在Rt△DGC中，∠DGC=90°，∠GCD=45°， .∴.DG=GC=6, ∴.AB=6 在Rt△ABF中，∠B=90°， ∴.AF=VAB2+BF=V62+122=/36+144=9180=6/5 5.D 【分析】根据正方形的性质可知∠ACD=∠ACB=45°，由菱形的性质即可求解. 【详解】解：，四边形ABCD为正方形，AC为对角线， ∴.AC平分∠DAB,∠DAB=90 ∠ACD=∠ACB=专∠DAB=459 ,四边形ACFE为菱形， ∠FAB=∠CAB=22.5 6.C 【分析】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等 知识，掌握相关知识是解题关键 过点E作EH⊥AG于点H,过点E作EH⊥EK,垂足为E,交FG的延长线于点K,先 证明四边形EHGK是矩形，再证明Rt△ABC≌Rt△FDC(HL),继而解得 ∠BAC+∠CAG=180°，证明B、A、G三点同在一条直线上，再证明 △EKD≌△EHB(AAS),Rt△EKD中，由勾股定理解得EK的长，证明 △EKD≌△DFC(AAS)得到KD=FC,最后由三角形面积公式解答， 【详解】解：过点E作EH⊥AG于点H,过点E作EH⊥EK,垂足为E,交FG的延长 线于点K K E F.∠EHB=∠EHG=90°，∠KEH=90° 在正方形BCDE中， BE=DE=BC=CD=6,∠EBC=∠BCD=∠EDC=90 正方形ACFG中， AC=FC=AG,∠ACF=∠CAG=∠AGF=∠F=90 .∴.∠KGH=180°-∠AGF=90° ∴.四边形EHGK是矩形 在Rt△ABC和Rt△FDC中， BC=DC,AC=FC .Rt△ABC≌Rt△FDC(HL),, .∴.∠1=∠2 ,∠2+∠3=180°-∠EDC=90°，∠1+∠4=∠EBC=90° ∴.∠3=∠4 .∠BAC+∠CAG=180° ∴.B、A、G三点同在一条直线上， .四边形EHGK是矩形 ∴∠K=90° ∴.∠K=∠EHB 在△EKD与△EHB中 :∠K=∠EHB,∠3=∠4，DE=BE .'△EKD≌△EHB(AAS ∴.EK=EH .四边形EHGK是正方形 设正方形EHGK的边长为X 则EK=EH=KG=X Rt△EKD,EK2+DK2=ED2 DK=DG+KG=2+x ..x2+(2+x2=36 x=V17-1,x,=-17-1（舍去) ∴.DK=2+V17-1=V17+1,EH=V17-1 .∠2+∠5=90°，∠2+∠3=90° ∴.∠3=∠5 在△EKD与△DFC中 .∠K=∠F=90°，∠3=∠5，ED=DC ∴△EKD≌△DFC(AAS) ∴.KD=FC ∴.AG=KD=V17+1 5号AGm-7+17-1×17-1=8 故选：C. 7.A 【分析】过点P作PN⊥AB于点N,延长AP,交EF于点M,连接PC,可证 △ABP≌△CBPSAS),得AP=CP,再证明四边形PECF是矩形，得CP=EF,即得 AP=EF,即可判定①；证明Rt△FEP≌Rt△APN HL,可得∠EFP=∠PAN,进 而由∠PAN+∠APN=90°，∠APN=∠FPM,得∠EFP+∠FPM=90°，即可 判定②；由P是正方形ABCD的对角线BD上一点，可知△APD不一定是等腰三角形，即 可判定③：由Rt△FEP≌Rt△APN得∠PEF=∠APN,进而得到 ∠PEF+∠BAP=90°，即可判定④；由等腰直角三角形的性质得PD=V2PF,进而 得到PD=2EC,即可判定⑤，综上即可求解. 【详解】解：如图，过点P作PN⊥AB于点N,延长AP,交EF于点M,连接PC, B .∠ANP=∠PNB=90°， ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABP=∠CBP=45°，∠BCD=90°，AB=CB, 又BP=BP, .△ABP≌△CBP SAS, ..AP=CP, ,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F, .∠PEC=∠PFC=90°， “.四边形PECF是矩形， ..CP=EF .AP=EF,故①正确： ,四边形PECF是矩形， ∴.∠FPE=∠ANP=90° ,∠PNB=∠NBE=∠BEP=90°， ∴四边形BEPN是矩形， .∠EPB=45, ∴，△BEP是等腰直角三角形， ..BE=PE, ∴.四边形BEPN是正方形， .EP=PN ..FE=AP, :.Rt△FEP≌Rt△APN HL, .∠EFP=∠PAN, ,∠PAN+∠APN=90°，∠APN=∠FPM. ∴.∠EFP+∠FPM=90°， .∠PMF=90°，即AP⊥EF,故②正确： P是正方形ABCD的对角线BD上一点， ∴，△APD不一定是等腰三角形，故③错误； .Rt△FEP≌Rt△APN, .∠PEF=∠APN, ∠APN+∠BAP=90°， .∠PEF+∠BAP=90°，但无法证明∠PEF=∠BAP,故④错误： ,∠PFD=90°，∠PDF=45°， △PDF是等腰直角三角形， .PD=2PF, ..PF=EC, :PD=V2EC,故⑤错误： 综上，正确的结论是①②. 8.8 【分析】根据矩形的性质推出AC=BD,OA=OC=OB=OD,结合已知∠AOB=60°， 证明△AOB为等边三角形，得出OB=AB=4,根据BD=2OB得出答案即可. 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， .AC=BD,OA=OC=OB=OD. ∴.OA=OB :∠AOB=60°， ∴.△ABO是等边三角形， ..OB=AB=4. .BD=2OB=8. 9.15 【分析】根据折叠性质得到DE=EF=5,在Rt△EFC中先求出FC的长度，再设AD=x, 利用勾股定理在Rt△ABF中建立方程求解. 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， .∠B=∠C=90°，AB=CD,AD=BC, 由折叠的性质可知：△ADE≌△AFE, .DE=EF=5,AD=AF, 已知DE=5,EC=4, ∴.CD=DE+EC=5+4=9, .AB=CD=9. 在Rt△EFC中，由勾股定理得：FC=VEF2-EC-V5-4=Vg=3' 设AD=AF=BC=X,则BF=BC-FC=X-3, 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB+BF2=AF2, 即g+x-3=X2 解得：x=15, 即AD的长为15. o要 【分析】连接AC,交EF于点G,通过全等三角形得出线段的垂直平分线，然后通过等面 积，勾股定理以及完全平方公式等求出CG=},假设AB=BC=X,利用勾股定理列出方 程求解。 【详解】解：如图所示，连接AC,交EF于点G, :∠AEC=∠AFC=90°，且AE=AF,AC=AC, .△AEC≌△AFC HL, ∴.CE=CF, ∴.AC垂直平分线段EF, :.EG=号EF=3,∠AGE=∠EGC=90, 由勾股定理得AG=AE2-EG-25-9=4'CE=EG2+CG=9+CG 由等面积得}AECE=AC~EC, 即5V9+CG=3×4+CG' 解cc-号 ,四边形ABCD是菱形， ∴.假设AB=BC=X, ÷BE=x-15 由勾股定理得AE2+BE2=AB2, x=152 即25+x-4 =x2 解得x=125 24 25 ∴，菱形ABCD的边长为 24 11. 3 【分析】由菱形的面积公式可得BD的长，由菱形的性质可得O为BD的中点，然后根据直 角三角形斜边上的中线性质即可解答， 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， ..OB=OD=-BD, 2 SSWABCD-ACX BD=24.AC=8 8×m=24, .∴.BD=6. BE⊥CD, .∴.∠BED=90°， 在Rt△BED中，O为BD的中点， 05=号D-*6=3. 12.24148 【分析】过点D作DM⊥AC于点M,设矩形对角线的交点为点O,连接OE,根据矩形 的性质，勾股定理，三角形的面积求解即可： 【详解】解：过点D作DM⊥AC于点M,设矩形对角线的交点为点O,连接OE, E D G 矩形ABCD中，AB=6,BC=8, 则∠ABC=90°，DC=AB=6,AD=BC=8, ..AC=AB2+BC2=10 ..OA=OC=OB=OD=AC=5, 根据题意，得号AC~DM=支AD:DC, 故DM=AD:DC=6×8_24 AC10-59 根据题意，得S△AOE+SADOE=S△AOD ∴号A0EG+5D0EF-号a0DM, 2 “号A0EG+A0-ER=3A0-DM. 2 .EF+EG=DM=24 5 13.70°/70度 【分析】根据正方形性质和已知得AD=DE,求出∠DAE=25°，由三角形外角的性质 得∠AFB=70°，通过证明△ABF≌△CBF SAS得到∠BFC=∠BFA=70. 【详解】解：四边形ABCD是正方形， :,AB=BC=AD=DC,∠ADC=90°，∠ADB=∠ABD=∠CBD=45°， .DC=DE, ∴.AD=DE ∴.∠DAE=∠DEA, .∠ADE=90°+40°=130°， ·∠DAE=∠DEA=180-∠ADE=25°， .∠AFB=∠DAF+∠ADF=25°+45°=70°， .AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°，BF=BF, ∴.△ABF≌△CBF SAS .∠BFC=∠BFA=70°. 14.3/5 【分析】过点D作关于直线AB的对称点D,连接DF,通过证明△ABE≌△ADF得到 BE=DF,结合轴对称性质得到BE=DF,将BE+CF转化为DF+CF,利用两点之间 线段最短可知当C、F、D三点共线时和最小，利用勾股定理求解即可； 【详解】过点D作关于直线AB的对称点D,连接DF,DF,D'C, D B∴.DF=DFAD=AD ,四边形ABCD是正方形 ∴.AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC=90, :∠BAE=∠DAF=90°，AB=AD,AE=AF, .△ABE≌△ADF SAS, ∴BE=DF, ∴.BE=DF, .∴.BE+CF=DF+CF, .当C、F、D三点共线时，DF+CF有最小值，最小值为CD, AD=AD=3, ∴.DD=AD+AD=6, 在Rt△DDC中，由勾股定理得：CD=VDD+CD=/6+3=V45=35 ∴BE+CF的最小值为35. 15.(1)见解析 (2)AB=6 【分析】(1)由菱形四边相等，在AD的上侧作AE=AO,DE=DO即可： (2)由四边形AODE是菱形，面积为24，可得OE=6.则OF=0E=3.由四边形 ABCD是平行四边形，AB=2OF=6. 【详解】(1)解：方法不唯一： 如：分别以A、D为圆心，AO长为半径作弧，交于点E,点E即为所求， B (2)解：如图，连接EO, E D AODE 四边形 是菱形， 号AD-0E=24,A证IBD.AE=0D. AD=8, .OE=6 ,四边形ABCD是矩形， ∴.DO=OB. ∴.AE=BO. .AE‖BD .∴.四边形ABOE是平行四边形. ∴.AB=OE=6. 34 16.(1)2 (2)见解析 【分析】(1)根据菱形的性质得到OC=5,BO=3,∠BOC=90°，根据勾股定理得到 BC=V34,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知OF的长： (2)先证明四边形OBEC是平行四边形，再根据∠BOC=90°即可证明四边形OBEC是 矩形 【详解】(1)解：菱形ABCD中，AC=10,BD=6, .OC=5,BO=3,∠BOC=90° ..BC=34 ,点F是BC的中点， 0F-8c= 2 (2)证明：，F是BC中点， .BF=CF, .EF=OF, ∴四边形OBEC是平行四边形， ∠BOC=90°， .平行四边形OBEC是矩形. 17.(1)见解析 (2)80 【分析】(1)利用对角线垂直的平行四边形是菱形进行论证即可； (2)先利用三角形中位线定理得出BC,设CF=X,利用勾股定理列方程求出x的值，则 面积可求。 【详解】(1)证明：，EF垂直平分AC, .OA=OC,EF⊥AC, :矩形ABCD中，AD‖BC, ∴.∠EAC=∠FCA,∠AEF=∠CFE, .△AOE≌△COF AAS, ..EO=FO .四边形AFCE是平行四边形， ,EF⊥AC, “.口AFCE是菱形； (2)解：设CF=X, .口AFCE是菱形， ∴.CF=AF=X, .G为AB的中点，AO=CO, 0Gsc,0G-号Bc, .BC=20G=2×8=16, .BF=BC-CF=16-x, ,矩形ABCD中∠B=90°， 六AB2+BF2=AF2即：82+16-x=X2 解得：x=10, ∴.CF=10, ∴.S荟形ArCE=CF×AB=8O. 18.(1)DE=DE,见解析 (2)见解析 【分析】(1)连接CE,根据旋转和矩形的性质得出∠ADC=∠CDE=90°， CD=CD,推出∠CDE=∠CDE'证明Rt△CDE兰Rt△CD'ElHL:即可得到 DE=DE: (2)连接AC,根据旋转的性质得出AC=A'C,根据矩形的性质得出AD‖BC, AD=BC,∠ADC=90°，根据等腰三角形三线合一的性质得出AD=AD,推得 AD=BC,根据平行四边形的判定定理即可证明. 【详解】(1)解：DE=DE,理由如下： 如图，连接CE, A D ABCD B B 图① 将矩形 绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置 时，得到矩形ABCD, .∠ADC=∠CDE=90°，CD=CD, ∴.∠CDE=180°-∠ADC=90°，即∠CDE=∠CDE, 又CE=CE .∴.Rt△CDE≌Rt△CD EHL' ∴.DE=DE: (2)证明：如图，连接AC, D A'(E) D B C 根据旋转的性质可得：AC=AC, ,四边形ABCD是矩形， ∴.ADBC,AD=BC,∠ADC=90°，即CD⊥AA, 又.AC=AC, ∴.AD=AD, ∴.AD=BC, .AD‖BC, ∴.四边形ADBC是平行四边形 19.(1)四边形AOBN是矩形，理由见解析 (2)MN=V7 BCN的长为号或： 【分析】(1)根据菱形的性质结合已知条件可得△ABC是等边三角形，进而得出 ∴.∠CBC=120°，由旋转的性质得BC=BC,进而得出BN=AO,即可证明四边形 AOBN是平行四边形，根据∠AOB=90°，即可得出四边形AOBN是矩形. (2)连接CC,根据点C在BC的垂直平分线上，得出∠CBC=∠CCB,由旋转的性 质得CM=MC,∠CMC=120°，进而得出∠MCC=30°， ∠CBC=30°，∠BCC=120°，证明BC=3CM,进而勾股定理即可求解. (3)分两种情况讨论，当∠BCN=120时，当∠BCN=60°时，分别求解即可. 【详解】(1)解：四边形AOBN是矩形， 理由：，四边形ABCD是菱形， AB=BC,∠ABC=∠ADC=60°，AC⊥BD,AO=AC, 2 ∴.∠CBD=∠ABD=号∠ABC=30°，△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC=AC. 点M与点B重合， ∴.∠CBC=120°， ∴.∠DBC=90, .AO‖BC. 由旋转的性质得BC=BC, .∴.BC=AC .N是BC的中点， :BN=BC, 2 ∴.BN=AO, ∴.四边形AOBN是平行四边形. ,∠AOB=90°， .∴.四边形AOBN是矩形 (2)如图1，连接CC, D ABCD ∠ABC=60° M C 图1 四边形 是菱形， ∴.AD=BC=6,∠ACB=60°， ,点C在BC的垂直平分线上， ∴.BC=CC, .∠CBC=∠CCB. 由旋转的性质得CM=MC,∠CMC=120°， ÷2McC=2CCM=×180-120=30, ∴.∠CBC=30°，∠BCC=120°， .∴.∠BCM=90°，BM=2MC, .∴.BC=3CM. BC=6. ..CM=2,BC=CC=23, :N是CB的中点， .C'N=3, ∴.MN=VCM2+CN2=7 3)线段CN附长为号或： 解：①当∠BCN=120°时，如图2， M .·∠BCN=∠CMC=120° N 图2 ∴.CN‖MC. ,N为BC的中点， CN=CM-号CM,HC为BM的中点， .BC=AD=6, .CM=6, ∴.CN=3. ②当∠BCN=60°时，如图3， A 图3 取BM的中点为E,连接EN. ,N为BC的中点， .∴.EN为△BMC的中位线， ..EN=1C'M. CM=CM,CN=-CM, ∴.EN=CN ∠BCN=60°， ∴.△CEN是等边三角形， ∴.CE=EN=CN 设CN=x,则CM=2X,BE=6-X,BM=6+2x. ,E为BM的中点， ∴.BM=2BE,即6+2x=26-x, 3 解得x=2 .Cw=3 踪上所述，CN的长为或3 20.(1)AH=AB (2)见解析 (3)6 【分析】(1)先证明△ABM≌△ADN,可得AM=AN,∠BAM=∠DAN,再证明 △ABM≌△AHM即可得到答案： (2)思路1：延长CB至E,使BE=DN,先证明△AEB≌△A乙，得到AE=AN, ∠EAB=∠NAD,再证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB: 思路2：由旋转的性质可得AE=AN,∠EAN=90°，∠ABE=∠D=90°，可证明 E、B、C三点共线；证明△AEB≌△∧i,得到AE=AN,∠EAB=∠NAD,再证明 △AEM≌△ANM,能得到AH=AB: (3)将△AHM,△AHN分别沿AM、AN翻折得到△ABM,△∧i,然后分别延长 BM和DN交于点C,得正方形ABCE,设AH=x,则MC=X-2,NC=x-3,在 Rt△MCN中，由勾股定理建立方程求解即可. 【详解】(1)解：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠B=∠BAD=∠D=90°，AB=AD, 在△ABM和△ADN中， AB=AD ∠B=∠D BM=DN .△ABM≌△ADN|SAS, ∴.AM=AN,∠BAM=∠DAN, ∴.△AMN是等腰三角形， 又.'AH⊥MN, .∴.∠AHM=90°，∠HAM=∠HAN, .:∠MAN=45°， .∴.∠HAM=∠HAN=22.5°，∠BAM+∠DAN=90°-45°=45°， .∴.∠BAM=22.5°=∠HAM, 在△ABM和△AHM中， ∠BAM=∠HAM ∠B=∠AHM=90° AM-AM ∴.△ABM≌△AHM AAS, .'AH=AB: (2)解：选择思路1，证明如下： 如图所示，延长CB至E,使BE=DN,连接AE, 图② ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠D=∠ABC=∠BAD=90°， .∠ABE=180°-∠ABC=90, .∠ABE=∠D, 在△AEB和△∧U中， AB=AD ∠ABE=∠ADN BE=DN .△AEB≌△ASAS, .AE=AN,∠EAB=∠NAD, ∠MAN=45°， .∠DAN+∠BAM=45° .∴.∠EAB+∠BAM=45°， ∠EAM=45°=∠NAM, 在△AEM和△ANM中， AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM ..△AEM≌△ANM SAS. '.S△ABM=S△AM,EM=MN, :号AB-EM=AH·MN, .'AB=AH; 选择思路2，证明如下： 以A点为旋转中心，将△∧乙顺时针旋转90°得到△ABE, B M 图② ,四边形ABCD是正方形， .∠ABC=∠D=90°， 由旋转的性质可得AE=AN,∠EAN=90°，∠ABE=∠D=90°， ∴.∠ABE+∠ABC=180°， ∴E、B、C三点共线： .∠MAN=45°， ∴.∠MAE=∠EAN-∠MAN=45°， .∠EAM=∠NAM, 在△AEM和△ANM中， AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM .∴.△AEM≌△ANM SAS. .'SAAEM=SAANM,EM=MN, ÷AB-EM-=号AH-M, .'AB=AH: (3)解：如图③所示，将△AHM,△AHN分别沿AM、AN翻折得到△ABM,△∧乙， D .'AB=AH=AD DN=NH=3 BM=MH=2 图③ ∠B=∠AHM=90°，∠D=AHN=90°， ∠BAM=∠HAM,∠DAN=∠HAN, .∠MAN=∠HAM+∠HAN=45°， ∴.∠BAD=∠BAM+∠HAM+∠DAN+∠HAN=90 如图所示，延长BM和DN于交点C,则四边形ABCD是正方形， BC=CD=AB=AH,∠C=90°， 设BC=CD=AB=AH=X,则MC=X-2,NC=X-3, 在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN=MC2+NC2, .2+32=x-22+x-32, x2-5x-6=0, .x+1x-6=0, .x+1=0或x-6=0, 解得x=-1(舍去)或x=6, ∴.AH=6