第5章 特殊平行四边形 单元演练卷 2025-2026学年 浙教版八年级下册数学

**基本信息** 本卷聚焦特殊平行四边形单元，覆盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查几何直观与推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行四边形性质（1）、中点四边形（2）、矩形动态问题（3）|基础概念辨析与空间观念结合| |填空题|6/18|菱形对角线与最值（11）、正方形存在性问题（12）|几何直观与转化思想应用| |解答题|7/52|矩形菱形性质应用（17）、新定义“等积点”综合题（23）|推理能力与模型意识考查|

第5章 特殊平行四边形 单元演练卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题是假命题的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线互相垂直平分 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 2． 如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 3．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　） A． B．3 C． D． 4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 5．如图，正比例函数的图象与矩形有公共点，，，轴，且点A的坐标为，则k的值可能是（　　） A． B．3 C． D． 6．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 7．如图：矩形ABCD，AB＞AD，AB＝4，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 8．如图，在正方形中，、、H分别是、、的中点，、交于点G，连接，下列结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D．是等边三角形 9．如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，与对角线交于点，且，，，则的长为（　　） A． B． C． D．6 10．如图，在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，MN=2，设AM=x，在下列关于△PMN是等腰三角形和对应P点个数的说法中， ①当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个； ②当P点有8个时，x=2 ﹣2； ③当△PMN是等边三角形时，P点有4个； ④当0＜x＜4 ﹣2时，P点最多有9个． 其中结论正确是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为　 　． 12．如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边 OC上一点，E 是正方形边上一点.已知B（－3，3），D（0，1），当 AD=CE 时，点E坐标为　 　 . 13．如图，在中，，，，是斜边上一动点，于点，于点，与相交于点，则的最小值为　 　． 14．如图，在正方形ABCD中， 的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM= ， AB=　 　，MN=　 　 15．杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m，宽为1.5m，对角线为2.15m，则这个桌面　 　.（填“合格”或“不合格”）. 16．如图，在 中， ， ， ， 的中垂线 与 的角平分线 交于点 ，则四边形 的面积为　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，C是直线l上的点，，点B是直线l上的一个动点，且在C点右侧，以为边在直线l的上方作，若，，． （1）若四边形为矩形时，求的长； （2）若四边形为菱形时，求的长． 18．如图，方格纸上每个小正方形的面积为1． ⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积． ⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上． 19．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接交于点，连接、． （1）求证：； （2）若菱形的边长为，，求． 20．如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21．如图，是的角平分线，、分别是和的高。 （1）求证：垂直平分。 （2）若，，，求的长。 22．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形和矩形均为木质平台的横截面，点G在上，点C在上，点D在上，经过现场测量得知米，米． （1）求立柱的长度； （2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． 23．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点． （1）在，，中，点P的等积点是 ． （2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． （3）已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题是假命题的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线互相垂直平分 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】B 【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，不符合； B、应该是矩形的对角线相等且互相平分，符合； C、菱形的对角线互相垂直且平分，不符合； D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，不符合； 故答案为：B． 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可. 2． 如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【解析】【解答】解：设AC交BD于点O，EF交BD于点M， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴EF∥AC且EF=AC，GH∥AC且GH=AC， EH∥BD且EH=BD，GF∥BD且GF=BD， ∴EF∥GH，EH∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠FEH=∠FPD=∠CQD=90°， ∴四边形EFGH是矩形， 故答案为： A. 【分析】根据三角形中位线定理可得EF∥AC且EF=AC，GH∥AC且GH=AC， EH∥BD且EH=BD，GF∥BD且GF=BD，进而得出四边形EFGH是平行四边形，再结合AC与BD互相垂直即可得出结论. 3．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接CM， ∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q， ∴∠CPM＝∠CQM＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°， ∴四边形PCQM是矩形， ∴PQ＝CM， 由勾股定理得：BD＝＝5， 当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小， 此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD， ∴CM＝＝， ∴PQ的最小值为， 故答案为：A． 【分析】如图，连接CM，结合已知根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形PCQM是矩形，由矩形的性质可得PQ=CM，在直角三角形BCD中，用勾股定理可求得BD的值，根据垂线段最短可得：当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，在直角三角形BCD中，用面积法可求得CM的值，即为PQ的最小值. 4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 【答案】C 【解析】【解答】解：连接B′C，如图所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC平分∠BAD， ∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°， ∴B′在对角线AC上， ∴∠B'CO=45°， 由旋转的性质得：，AB'=AB=1， ∴ ∴ 故答案为：C． 【分析】连接B′C，由正方形的性质及旋转的性质可得∠B'CO=45°，，利用三角形内角和求出，由平角的定义即可求出 ∠DOB'的度数 . 5．如图，正比例函数的图象与矩形有公共点，，，轴，且点A的坐标为，则k的值可能是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：点的坐标为，，，轴 ， 把点的坐标代入得， 把点的坐标代入得， 正比例函数的图象与矩形有公共点，则， 故答案为：D 【分析】先根据题意得到点的坐标，再根据待定系数法求出函数k的值，进而结合题意即可求解。 6．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【解析】【解答】解：由图可知，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， ∵两条纸条宽度相等， ∴AE=AF． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵SABCD=BC×AE=CD•AF． 又∵AE=AF， ∴BC=CD， ∴四边形ABCD为菱形． 故答案为：B． 【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同，再由平行四边形性质可得邻边相等，则重叠部分为菱形。 7．如图：矩形ABCD，AB＞AD，AB＝4，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，∠DAB=∠ADC=90°， ∵AN平分∠DAB，DM⊥AN，CN⊥AN， ∴∠ADM＝∠MDC＝∠MED＝∠NEC＝∠NCD＝45°， ∴MD=ME，NE=NC， ∴ ， ， ∵DE+CE=CD=4， ∴ ， ∴DM+CN＝ ． 故答案为：B． 【分析】根据“AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．”得到∠ADM＝∠MDC＝∠MED＝∠NEC＝∠NCD＝45°，再利用三角函数求出DE和CN的长度，最后相加即可。 8．如图，在正方形中，、、H分别是、、的中点，、交于点G，连接，下列结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵四边形是正方形， ∴，， ∵E，F是中点， ∴， ∴， ∴，， 故不符合题意，A错误； B、∵， ∴， ∴， ∴， 故不符合题意，B错误； C、∵H是中点， ∴， 故不符合题意，C错误； D、∵是直角三角形， ∴，即， ∴不是等边三角形， 故符合题意，D正确． 故答案为： 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定．先根据正方形的性质可推出，，利用全等三角形的判定定理可得：，利用全等三角形的性质可得：，，据此可判断A选项；根据，利用等量代换可得：，进而可推出，据此可判断B选项；利用中点的定义可推出：，据此可判断C选项；根据是直角三角形，利用直角三角形的性质可得：，进而可推出，利用等边三角形的定义可得：不是等边三角形，据此可判断D选项； 9．如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，与对角线交于点，且，，，则的长为（　　） A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】【解答】解：连接OB，如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴ AB∥CD， ∴ ∠EAO=∠FCO， ∵ ∠AOE=∠COF，AE=CF， ∴ △AOE≌△COF（AAS）， ∴ EO=FO， ∵ BE=BF， ∴ ∠EBO=∠FBO，∠BOF=90°， ∵ ∠BEF=2∠BAC，∠BEF=∠BAC+∠AOE， ∴ ∠BAC=∠AOE， ∴ AE=EO， ∴ OF=FC， ∴ Rt△BOF≌Rt△BCF（HL）， ∴ ∠FBO=∠CBF， ∵ ∠FBO+∠CBF+∠EBO=90°， ∴ ∠EBO=30°， ∴ 2EO=BE，即2AE=2FC=BE=， ∴ AB=AE+BE=. 故答案为：B. 【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据AAS判定△AOE≌△COF推出EO=FO，根据等腰三角形的性质可得∠BOF=90°，∠EBO=∠FBO，依据外角的性质可推出∠BAC=∠AOE得到OF=FC，根据HL判定Rt△BOF≌Rt△BCF推出 ∠EBO=30°，计算出BE=2FC，即可求得. 10．如图，在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，MN=2，设AM=x，在下列关于△PMN是等腰三角形和对应P点个数的说法中， ①当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个； ②当P点有8个时，x=2 ﹣2； ③当△PMN是等边三角形时，P点有4个； ④当0＜x＜4 ﹣2时，P点最多有9个． 其中结论正确是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【解析】【解答】①如图，当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个；故符合题意； ②如图，当P点有8个时，0＜x＜4 ﹣2，故不符合题意； ③如图，当△PMN是等边三角形时，有两个P点关于BD对称的位置，共有4个；故符合题意； ④当0＜x＜4 ﹣2时，P点最多有8个．故不符合题意． 故答案为：B． 【分析】利用图象法即可解决问题； 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，AD=CD， ∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G， ∴四边形OGEF是矩形， 连接OE，则OE=GF， 当OE⊥DC时，GF的值最小， ∵BD=6，AC=8， ∴OD=3，OC=4， ∴CD= ， ∵ ， ∴ ， ∴FG的最小值为 ， 故答案为： ． 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AD=CD，可证四边形OGEF是矩形，连接OE，则OE=GF，当OE⊥DC时，OE的值最小，即GF的值最小，由勾股定理求出CD=5，再利用△COD的面积求出OE的长，从而得解. 12．如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边 OC上一点，E 是正方形边上一点.已知B（－3，3），D（0，1），当 AD=CE 时，点E坐标为　 　 . 【答案】(-3，2)或（-1，0） 【解析】【解答】解：①当点E在正方形的边AB上时， ∵AD=CE，如图， ∴点E是正方形AB边上一点， ∵四边形ABCO是正方形， ∴ ，∠AOD=∠B=90 ， 在Rt△ADO和Rt△CEB中， ， ∴Rt△ADO Rt△CEB(HL)， ∴BE=OD， ∵B（-3，3），D（0，1）， ∴点E的坐标为(-3，2). ②当点E在正方形的边OA上时， 同理可证：Rt△AOD≅Rt△COE(HL)， ∴OD=OE， ∴点E的坐标为(-1，0). 故答案为：(-3，2)或(-1，0). 【分析】分点E在在正方形的边AB上或在正方形的边OA上两种情况，根据正方形性质及AD=CE，利用“HL”证得Rt△ADO Rt△CEB或Rt△AOD≅Rt△COE，从而推出BE=OD或OD=OE，即可求得点E的坐标. 13．如图，在中，，，，是斜边上一动点，于点，于点，与相交于点，则的最小值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴当最小时，最小，最小，即当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【分析】先证明四边形是矩形， 再利用矩形的对角线相等，可知当最小时，也最小，再利用面积法，得到关于AP的方程求解． 14．如图，在正方形ABCD中， 的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM= ， AB=　 　，MN=　 　 【答案】12； 【解析】【解答】解：如图，连接MG、NG， 在 和 中， ， ∴ ， 同理 ， ∴ ， ， ∴ ， 设 ，则 ， ， 在 中， ，即 ， 解得 ， （舍去）， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， 同理 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ . 故答案为：12， . 【分析】连接MG、NG，由题意用HL定理可证Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGE，由全等三角形的性质可得BE=EG，FD=FG，∠BAM=∠GAM，结合线段的构成得EF=EG+GF可求得EF的值；设AB=x，则CE=x-4，CF=x-6， 在Rt△CEF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值（即为AB的值）；于是BD=AB=x；用边角边可证△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，由全等三角形的性质可得BM=GM，∠ABM=∠AGM，ND=NG，∠ADN=∠AGN，结合已知易证△MGN是直角三角形，设MN=y，在直角三角形MGN中，用勾股定理可得关于y的方程，解方程即可求解. 15．杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m，宽为1.5m，对角线为2.15m，则这个桌面　 　.（填“合格”或“不合格”）. 【答案】不合格 【解析】【解答】解：如图： ∵22+1.52=6.25 2.152， 即：AD2+DC2 AC2， ∴∠D 90°， ∴四边形ABCD不是矩形， ∴这个桌面不合格. 故答案为：不合格. 【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果不相等，长、宽、对角线构成的就不是直角三角形，可得此桌面不合格. 16．如图，在 中， ， ， ， 的中垂线 与 的角平分线 交于点 ，则四边形 的面积为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AB交AB延长线于G，作EH⊥AC于H， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴EG＝EH， ∵DE是线段BC的垂直平分线， ∴EB＝EC， 在Rt△EGB和Rt△EHC中， ， ∴Rt△EGB≌Rt△EHC（HL）， ∴BG＝CH，S△EGB＝S△EHC， 在Rt△AGE和Rt△AHE中， ， ∴Rt△AGE≌Rt△AHE（HL）， ∴AG＝AH， ∴AB＋BG＝AC－CH， ∴3＋BG＝4－BG， ∴BG＝ ， ∴AG＝AB＋BG＝ ， ∵∠GAC＝∠AGE＝∠AHE＝90°， ∴四边形AGEH是矩形， ∵AG＝AH， ∴矩形AGEH是正方形， ∴S四边形ABEC＝S四边形ABEH＋S△EHC＝S四边形ABEH＋S△EGB＝S正方形AGEH＝AG2＝ ， 故答案为： . 【分析】过点E作EG⊥AB交AB延长线于G，作EH⊥AC于H，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得到EG＝EH，EB＝EC，然后证明Rt△EGB≌Rt△EHC，Rt△AGE≌Rt△AHE，求出S△EGB＝S△EHC，BG＝ ，得到AG＝ ，然后证明四边形AGEH是正方形，根据四边形ABEC的面积等于正方形AGEH的面积计算即可. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，C是直线l上的点，，点B是直线l上的一个动点，且在C点右侧，以为边在直线l的上方作，若，，． （1）若四边形为矩形时，求的长； （2）若四边形为菱形时，求的长． 【答案】（1）解：∵矩形， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：， ∴. （2）解：∵菱形， ∴， 设， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， ∴． 【解析】【分析】（1）设，则，利用勾股定理可得，再求出x的值即可； （2）设，利用勾股定理可得，再求出x的值即可. （1）解：∵矩形， ∴， 设，则， 由勾股定理得： ， 解得， ∴； （2）解：∵菱形， ∴， 设， 由勾股定理得： ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 18．如图，方格纸上每个小正方形的面积为1． ⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积． ⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上． 【答案】解：（1）由网格可得： ， 则正方形ABCD的面积为 ，正方形ABCD如图所示： （2）由面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A2B2C2D2，可得正方形A1B1C1D1的边长为 ，正方形A2B2C2D2的边长为 ，则如图所示 【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB，根据正方形的性质及网格特点画出正方形并求出其面积即可； （2） 先分别求出正方形A1B1C1D1的边长为 ，正方形A2B2C2D2的边长为 ，根据正方形的性质及网格特点分别画出正方形即可. 19．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接交于点，连接、． （1）求证：； （2）若菱形的边长为，，求． 【答案】（1）解：（1）证明：四边形是菱形，∠DOC=90° ， ， ， 四边形是平行四边形， ∠EDO=∠DOC=90° ∴四边形是矩形， ； （2）连接． ， 四边形是矩形， ， 在菱形中，， 三角形ACD是的等边三角形 ， 在三角形ACD中， 在中， ． 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，先证明四边形是平行四边形，再证四边形是矩形，从而得到OE=CD （2）先证三角形ACD是等边三角形，求出AF。同理求出OD即CE，在直角三角形ACE中利用勾股定理求出AE。问题得到解决。 （1）证明：四边形是菱形， ，， 且， ， 四边形、四边形都是平行四边形， ， ； （2）解：连接． ， 四边形是矩形， ， 在菱形中，， ， ， ， 在矩形中，， 在中，， ． 20．如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC 四边形OCED是平行四边形， 又四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD ∴∠COD=90° 四边形OCED是矩形. （2）解： 四边形ABCD是菱形 ， ∴AB=BC=CD=4 ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=4， ， ∴在Rt△OCD中，， ∵四边形OCED是矩形 ， ∴CE=OD=. 【解析】【分析】 本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形判定与性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟知矩形的判定方法及菱形的性质是解题的关键．（1）根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知：四边形OCED是平行四边形；再由菱形的性质：对角线互相垂直可得：AC⊥BD，即∠COD=90°，最后根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形可得：四边形OCED为矩形，即可证得结论； （2）根据菱形的性质：四条边相等可知：AB=BC=CD=4，再根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得：△ABC是等边三角形；从而得到AC=4， 再由菱形的性质：对角线互相垂直平分可得：，再根据勾股定理：在Rt△OCD中，，最后根据矩形的性质：对边相等可知：CE=OD=，由此即可得到答案． （1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； （2）解：在菱形中，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， 在矩形中，． 21．如图，是的角平分线，、分别是和的高。 （1）求证：垂直平分。 （2）若，，，求的长。 【答案】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 而， ∴垂直平分 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【解析】【分析】（1）先利用角平分线的性质得，利用“”证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论； （2）先利用三角形的面积和可求得的长，根据（1）中的全等可得，可得的长． 22．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形和矩形均为木质平台的横截面，点G在上，点C在上，点D在上，经过现场测量得知米，米． （1）求立柱的长度； （2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． 【答案】（1）解：由题意得米，米，AB+BC=26米.. 设米，则米， ∵在中，， ∴， 解得：． ∴米． ∴米． ∴立柱AB的长度为9米． （2）由题意得米， ∴米． ∴在中，米． 【解析】【分析】（1）根据题意得米，米，设米，则米，在Rt△BGC中利用勾股定理，可得出关于x的方程，求解得BG的长，即可求出AB的长． （2）由题意得米，从而可求出米．在Rt△BGF中利用勾股定理，即可求出BF的长． （1）（1）由题意得米，米， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， 即，解得． ∴米． ∴米． ∴立柱的长度为9米． （2）由题意得米， ∴米． 在中，由勾股定理得米． 23．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点． （1）在，，中，点P的等积点是 ． （2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． （3）已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）解：设点， ∵，点Q是P点的等积点， ∴即， 故点Q在直线上， ∴点， 当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C， ∴点， ∵点在x轴上， ∴点， 解得， ∴点； 当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C， ∴点， ∵点在x轴上， ∴点， 解得， ∴点； 综上所述，点或． （3） 【解析】【解答】解：（1）∵，，，， ∴，，， ∴点P的等积点是， 故答案为：． （3）设点， ∵，点Q是P点的等积点， ∴即， 故点Q在直线上， 设点B的等积点坐标， ∵， ∴即， 故点B的等积点在直线上， ∵点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点， 设该正方形为，则， ∵为的等积点，在上， ∴每一点A在直线与直线在第一象限交成的锐角内部或边上， 当在直线上时，m取得最小值， 故， 解得； 当在直线上时，m取得最大值， 故， 解得； 故m的取值范围是． 【分析】（1）根据等积点的定义即可求出答案. （2）设点，根据等积点定义可得即，故点Q在直线上，则点，分情况讨论：当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案；当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得点，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案. （3）设点，根据等积点定义可得即，故点Q在直线上，设点B的等积点坐标，则点B的等积点在直线上，设该正方形为，则，根据题意可得当在直线上时，m取得最小值，建立方程，解方程可得m=4，当在直线上时，m取得最大值，建立方程，解方程可得m=4. （1）∵，，，， ∴，，， ∴点P的等积点是， 故答案为：． （2）设点， ∵，点Q是P点的等积点， ∴即， 故点Q在直线上， ∴点， 当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C， ∴点， ∵点在x轴上， ∴点， 解得， ∴点； 当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C， ∴点， ∵点在x轴上， ∴点， 解得， ∴点； 综上所述，点或． （3）设点， ∵，点Q是P点的等积点， ∴即， 故点Q在直线上， 设点B的等积点坐标， ∵， ∴即， 故点B的等积点在直线上， ∵点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点， 设该正方形为，则， ∵为的等积点，在上， ∴每一点A在直线与直线在第一象限交成的锐角内部或边上， 当在直线上时，m取得最小值， 故， 解得； 当在直线上时，m取得最大值， 故， 解得； 故m的取值范围是． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $