精品解析：2026年黑龙江省绥化市九年级中考前测试数学试题

二0二六年绥化市升学模拟大考卷（三） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 被誉为“古都明珠，华夏宝库”的陕西历史博物馆以171万件藏品展示着陕西历史文化和中国古代文明．数据“171万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人均投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（ ） A. 男生投篮水平比女生投篮水平高 B. 男生、女生投篮命中次数的极差相等 C. 男生、女生投篮命中次数的中位数均为6 D. 男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定 8. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是上的一点，且，点是的中点，连接，若，．则的长是( ) A. 6 B. C. D. 9. 如图，，是的半径，点是劣弧上的点，连接，若，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 10. 某市为应对人口老龄化，计划在老旧社区改建养老服务中心，让老人真正感觉到“老有所依，幸福常伴”．现有甲、乙两个施工队，已知甲队单独完成所需时间比规定时间多10天，乙队单独完成所需时间是规定时间的倍．若两队合作，恰好按规定时间完成．求规定时间是多少天？设规定时间是天，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，将一个的直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 计算：_______． 14. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 15. 分解因式：______． 16. 已知是方程的两个根，则的值为_____． 17. 如图，与关于点B位似，其中，，则与的面积之比是___________ ． 18. 计算：_______． 19. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________米． 20. 如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 21. 如图，这是用黑白两色正方形瓷砖按一定规律铺设地板的图案，则第20个图案中白色瓷砖的块数是__________块． 22. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，中，，点为边中点，且，． （1）请用尺规作图在上作一点D，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的面积． 24. 某校为了解学生对课后延时服务的满意程度，在九年级中随机调查了m名学生的满意程度，将调查结果分为不满意、一般、满意、非常满意四类（必选且只选一类），得到下列不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1） ，扇形统计图中的 ； （2）请补全条形统计图； （3）已知选择“不满意”的同学中有3名男生和1名女生，现从中任意抽取两名学生为代表，用画树状图法或列表法求恰好抽中一男一女的概率． 25. 为了让老百姓吃到放心的食品，A市农业生态园积极响应国家发展有机农业的号召，大力种植有机蔬菜，宜家连锁超市调查发现该农业生态园种植的甲、乙两种有机蔬菜销量大，深受老百姓喜爱，其中甲种蔬菜售价每千克16元，乙种蔬菜售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求甲、乙两种有机蔬菜的进价分别是多少元； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，当每天购进甲种蔬菜多少千克时，超市获利最大？最大利润是多少元？ （3）该农业生态园调运M，N两车蔬菜运往B市的宜家超市．M，N两车同时从A市出发前往B 市，N车行驶途中发生故障原地维修，此时M车刚好到达B市宜家超市．M车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应N车，把N车的蔬菜装上M车后立即原路原速又运往B市宜家超市．N车维修完毕后立即返回农业生态园．两车离A市的距离s（单位：）与N车所用时间t（单位：h）之间的函数图象如图所示． ①M车的速度是 ，N车出发时的速度是 ； ②当两车之间的距离是时，直接写出t的值． 26. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）求证 27. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 28. 综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值； （3）在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二0二六年绥化市升学模拟大考卷（三） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； 2. 被誉为“古都明珠，华夏宝库”的陕西历史博物馆以171万件藏品展示着陕西历史文化和中国古代文明．数据“171万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵万， 故选：B． 3. 一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键．结合主视图(从正面看的图形)和俯视图(从上面看的图形)，分析每一列、每一行小立方体的可能层数，从而确定小立方体的最多个数． 【详解】解：第列(主视图最高层) 俯视图中第列有个位置(第行)，每个位置最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； 第列(主视图最高层) 俯视图中第列有个位置(第行)每个位置最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； 第列(主视图最高层俯视图中第列有个位置(第行)，最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； ∴总个数将三列的最多个数相加：． 故选：C． 4. 如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，结合两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角相等即可得解． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， 即，选项符合题意． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，，A错误； B、，B正确； C、，，C错误； D、，，D错误． 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由，可得四边形是平行四边形，于是可得，由可得，由平行线分线段成比例定理可得，即，进而可得，然后由即可得出答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 故选：． 7. 在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人均投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（ ） A. 男生投篮水平比女生投篮水平高 B. 男生、女生投篮命中次数的极差相等 C. 男生、女生投篮命中次数的中位数均为6 D. 男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出男生、女生投篮命中次数的平均数、方差、中位数、极差，再逐项判断即可得． 【详解】解：男生投篮命中次数按从小到大进行排列为， 女生投篮命中次数按从小到大进行排列为， 则男生投篮命中次数的平均数为， 男生投篮命中次数的方差为， 女生投篮命中次数的平均数为， 女生投篮命中次数的方差为， 男生投篮命中次数的极差为，女生投篮命中次数的极差为， 所以选项B说法错误； 男生投篮命中次数的中位数为5，女生投篮命中次数的中位数为5， 所以选项C说法错误； 由平均数相等可知男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定，故选项A说法错误，选项D说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数、极差，熟记各量的定义、计算公式、意义是解题关键． 8. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是上的一点，且，点是的中点，连接，若，．则的长是( ) A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造以为斜边的直角三角形从而运用勾股定理求解是解题的关键．过作于点，根据矩形的性质得到，从而判定，再根据相似三角形的对应边成比例求出和，继而求出，最后用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴，， 在四边形中，， ， ， ， 又∵点是的中点， ∴， 在Rt中，， 故选：B． 9. 如图，，是的半径，点是劣弧上的点，连接，若，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理得到，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， 则， ∴劣弧的长． 10. 某市为应对人口老龄化，计划在老旧社区改建养老服务中心，让老人真正感觉到“老有所依，幸福常伴”．现有甲、乙两个施工队，已知甲队单独完成所需时间比规定时间多10天，乙队单独完成所需时间是规定时间的倍．若两队合作，恰好按规定时间完成．求规定时间是多少天？设规定时间是天，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键． 设规定时间为天，甲队单独完成需天，乙队单独完成需天．两队合作的工作效率之和应等于规定时间内的总效率，据此列出方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天，甲队单独完成需天，乙队单独完成需天． 由题意可得：． 对应选项B． 故选：B． 11. 在平面直角坐标系中，将一个的直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的几何意义等知识，过A作轴于C，过B作轴于D，证明，得出，根据反比例函数的几何意义得出，，代入化简即可求解． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， 则， 又， ∴， ∴， ∴， ∵顶点A、B恰好分别落在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 12. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题分母为非零常数，只需满足二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， 二次根式的被开方数满足， 解得 15. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 16. 已知是方程的两个根，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的应用等知识，先根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据完全平方公式变形得出，将代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ 故答案为：1 17. 如图，与关于点B位似，其中，，则与的面积之比是___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两点之间的距离、位似三角形的性质，熟练掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据两点之间的距离，得出和的长，再根据三角形位似，得出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与关于点B位似，且相似比为， ∴与的面积之比是， 故答案为． 18. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把括号里面的通分计算，再把分式除法转换成乘法计算即可． 【详解】解： 19. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________米． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，由题意得：斜坡的坡度：米，， ， 米， ∴在中， （米） 故答案为：． 【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义． 20. 如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 【答案】13 【解析】 【分析】连接，，易得，，由翻折可得，由可知，当，，三点共线时，最小，进而可得出答案． 【详解】解：连接，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 由翻折可得， ， ， 当，，三点共线时，最小， ． 21. 如图，这是用黑白两色正方形瓷砖按一定规律铺设地板的图案，则第20个图案中白色瓷砖的块数是__________块． 【答案】62 【解析】 【分析】本题主要考查了图形规律，结合图形根据已有的特殊数据找到一般规律，再利用一般规律解决问题成为解题的关键．由图形可知：第个图案中白色瓷砖块数是，最后将代入计算即可． 【详解】解：∵第1个图案中白色瓷砖是块， 第2个图案中白色瓷砖有块， 第3个图案中白色瓷砖有块， ∴第个图案中白色瓷砖有块． 第20个图案中白色瓷砖块数是． 故答案为：62． 22. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可． 【详解】解：当时， ∵四边形矩形， ∴，则， 由平行线分线段成比例可得：， 又∵M为对角线的中点， ∴， ∴， 即：， ∴， 当时， ∵M为对角线的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵四边形矩形， ∴，则， ∴ ∴， 综上，的长为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，中，，点为边中点，且，． （1）请用尺规作图在上作一点D，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）的面积为24． 【解析】 【分析】（1）在延长线上截取，然后作的垂直平分线交于点D，即可解决问题； （2）连接，证明是的中位线，可得，解直角三角形可得，利用勾股定理求出，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求； 【小问2详解】 解：连接，， ∵，，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的面积为24． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角形的面积，三角形中位线定理，解直角三角形，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 24. 某校为了解学生对课后延时服务的满意程度，在九年级中随机调查了m名学生的满意程度，将调查结果分为不满意、一般、满意、非常满意四类（必选且只选一类），得到下列不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1） ，扇形统计图中的 ； （2）请补全条形统计图； （3）已知选择“不满意”的同学中有3名男生和1名女生，现从中任意抽取两名学生为代表，用画树状图法或列表法求恰好抽中一男一女的概率． 【答案】（1）， （2）补全统计图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）用非常满意的人数除以占比即可求出调查的总人数m；用不满意的人数除以总数即可求出占比n的值； （2）首先求出满意的人数，然后补全统计图即可； （3）设3名男生为，，，1名女生为，画树状图列举出所有可能的情况和恰好是一男一女的情况，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：由图可知，非常满意的人数为人，占总数的， ∴调查的学生总数（人）， ∴,即； 【小问2详解】 解：满意的人数为：（人）， 补全统计图略； 【小问3详解】 解：设3名男生分别为，，，1名女生为， 画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，恰好是一男一女的有种情况， ∴恰好是一男一女的概率为． 25. 为了让老百姓吃到放心的食品，A市农业生态园积极响应国家发展有机农业的号召，大力种植有机蔬菜，宜家连锁超市调查发现该农业生态园种植的甲、乙两种有机蔬菜销量大，深受老百姓喜爱，其中甲种蔬菜售价每千克16元，乙种蔬菜售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求甲、乙两种有机蔬菜的进价分别是多少元； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，当每天购进甲种蔬菜多少千克时，超市获利最大？最大利润是多少元？ （3）该农业生态园调运M，N两车蔬菜运往B市的宜家超市．M，N两车同时从A市出发前往B 市，N车行驶途中发生故障原地维修，此时M车刚好到达B市宜家超市．M车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应N车，把N车的蔬菜装上M车后立即原路原速又运往B市宜家超市．N车维修完毕后立即返回农业生态园．两车离A市的距离s（单位：）与N车所用时间t（单位：h）之间的函数图象如图所示． ①M车的速度是 ，N车出发时的速度是 ； ②当两车之间的距离是时，直接写出t的值． 【答案】（1）甲种蔬菜进价为元/千克，乙种为元/千克 （2）购进甲60千克时获利最大，最大利润为520元 （3）①100，60；②或或 【解析】 【分析】（1）设甲种蔬菜进价为元/千克，乙种为元/千克，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲种蔬菜千克，则购进乙千克，设总利润为元，根据题意，列出不等式组，求出的范围，再列出一次函数关系式，求最值即可； （3）①从图象获取信息，利用速度等于路程除以时间进行求解即可；②分3种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：设甲种蔬菜进价为元/千克，乙种为元/千克， 根据题意得， 解得， 答：甲种蔬菜进价为元/千克，乙种为元/千克； 【小问2详解】 解：设购进甲种蔬菜千克，则购进乙千克，设总利润为元， 由题意，得， 解得； 总利润， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，， 答：购进甲60千克时获利最大，最大利润为520元； 【小问3详解】 解：①由图象可知，M车的速度是；N车出发时的速度是； ②当时，，解得； 当M车从超市返回时，； 当时，两车相距，此时N车往回返，速度变为， ∴； 综上：或或. 26. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）求证 【答案】（1）证明：连接， ， ． 平分， ． ． ∴ ， ∴ ． 是的半径， ∴直线是的切线； （2）证明：∵线段是的直径， ． ． 平分， ． ∵ ． 是等腰三角形， ． 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可； （2）首先推导出，是等腰三角形，进而得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）四边形是正方形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． 【小问1详解】 解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； 【小问3详解】 解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图： 当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 28. 综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值； （3）在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值； （3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧）， ，， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， 点的横坐标为， ， ， ， ， 当时，的最大值为； 【小问3详解】 解：存在， 当点在点左侧时，是钝角， 当点在点，点之间时，点与点关于直线对称， 点的坐标为， 当点在点右侧时， 如图，过点作直线， 令，则， 解得或， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点在点右侧， 点的横坐标大于， 舍去， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $