精品解析：2026年黑龙江省龙东地区中考第三次阶段测试数学试题

二〇二六年升学模拟大考卷（三） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 适量的运动有助于身体健康，经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分~80次/分．某班的班主任随机测量了15名学生的心率，统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数 3 4 5 1 2 这15名学生的心率数据的中位数是（ ） A. 70 B. 68 C. 69 D. 71 5. 某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的分式方程的解是正数，则（ ） A. 且 B. C. 且 D. 7. 小杰买了单价分别为2元和3元的练习本若干本（每种至少买一本），总共花了20元，则有（ ）种购买方案． A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 8. 如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，．若反比例函数的图象经过、两点，则的值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 9. 如图，在四边形中，，，，分别是，的中点，则的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，在正方形中，对角线，交于点，点在对角线上，延长交于点，交于点，连接，，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为________． 13. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是___________． 14. 平行四边形的对角线、相交于点，要使平行四边形是矩形请添加一个条件______． 15. 关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是______． 16. 如图，在中，延长直径至点C，是的切线，D为切点，若，则的度数为______度． 17. 若某个圆锥底面半径为3，侧面展开图的面积为，则这个圆锥的高为_______． 18. 如图，是等边三角形，，是中点，是边上的一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交射线于点，连接，则的最小值为___________． 19. 在中，，，，是的中点，为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，当与垂直时，的长为___________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线：与轴交于点，以为边作等边三角形，过点作轴，交直线于点，连接与交于点，得到；以为边作等边三角形，过点作轴，交直线于点，连接与交于点，得到；以为边作等边三角形，过点作轴，交直线于点，连接与交于点，得到……以此类推，得到，则的面积是___________． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中x=4cos30°+2tan45°． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）将先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； （2）将绕原点顺时针旋转得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； （3）在（2）的条件下，求出线段在旋转过程中扫过的面积． 23. 如图，抛物线经过点，，． （1）求此抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，，直接写出点的坐标． 24. 某校团委发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食．为了让同学们理解这次活动的重要性，团委在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． （1）这次被调查的同学共有___________名，请把条形统计图补充完整； （2）求在扇形统计图中，“剩一半左右”对应的扇形的圆心角的度数； （3）团委通过数据分析，这次被调查的所有学生一餐浪费的食物价值可以供20名学生一周伙食支出．据此估算，该校4000名学生一餐浪费的食物价值可供多少名学生一周伙食支出？ 25. 小明骑自行车从家里出发去离家路程为4500米的科技馆参观．出发10分钟后，他开始休息，出发12分钟爸爸发现小明身份证没有带，于是爸爸立即骑摩托车以每分钟500米的速度送过去，拿到身份证后小明以原速继续骑行，爸爸则不着急慢慢返回．两人离家的距离s（单位：米）与小明出发时间t（单位：分钟）的函数关系的图象如图所示． （1）求a与b的值； （2）在爸爸返回的过程中，求爸爸离家的距离s与小明出发时间t之间的函数解析式； （3）直接写出爸爸出发后小明与爸爸相距1000米时t的值． 26. 已知和都是直角三角形，，点E在内部，直线交于点F，连接． （1）如图①，当点D，F重合时，且，线段，，之间的数量关系为___________； （2）如图②，当点D，F不重合时，且，线段，，之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不必证明； （3）如图③，若，线段，，之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 27. 有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表： 单价 运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米） 甲运输队 40 35 乙运输队 38 36 设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元． （1）用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围） 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 （2）求总费用y的最大值； （3）在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小． 28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴重合，与y轴重合，，的长是一元二次方程两个根（），点P从点O出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点O出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t秒（）．连接，，． （1）求点C的坐标； （2）设的面积为S，求S与t的函数解析式； （3）当时，点M在直线上，平面内是否存在点N，使以P，M，B，N为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年升学模拟大考卷（三） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】它的左视图，即从该几何体的左侧看到的是两列，左边一列两层，右边一列一层，因此选项A的图形符合题意． 【详解】解：从该几何体的左侧看到的是两列，左边一列两层，右边一列一层，因此选项A的图形符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确三视图的形状是正确判断的前提． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，∴A计算错误； 选项B：，∴B计算错误； 选项C：，∴C计算错误； 选项D：，∴D计算正确． 4. 适量的运动有助于身体健康，经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分~80次/分．某班的班主任随机测量了15名学生的心率，统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数 3 4 5 1 2 这15名学生的心率数据的中位数是（ ） A. 70 B. 68 C. 69 D. 71 【答案】A 【解析】 【分析】将所有数据排序后，位于中间的一个数据或中间2个数据的平均数为中位数，据此进行计算即可． 【详解】解：一共有15名学生，心率的数据由低到高排序后，第8个数据为70次／分， ∴这15名学生的心率的中位数为70次／分． 5. 某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“总利润=每件利润×销售量”，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件涨价元， ∴涨价后每件售价为元，每件利润为元， ∵每件涨价1元，销售量就减少30件， ∴涨价元后，销售量为件， 结合总利润为1920元，可得方程． 6. 若关于的分式方程的解是正数，则（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式方程得到用表示的式子，再结合解为正数、分式分母不为0两个条件列不等式求解，得到的取值范围． 【详解】解：原方程变形为， ∵方程两边同乘得：， 整理得， ∵分式方程的解是正数，且分母不能为0， ∴， 即， 解得且． 7. 小杰买了单价分别为2元和3元的练习本若干本（每种至少买一本），总共花了20元，则有（ ）种购买方案． A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解在实际购买问题中的应用．解题的关键是根据题意列出方程，结合“每种至少买一本”的条件确定未知数的取值范围，进而找出所有符合题意的整数解． 设单价2元、3元的练习本分别买了x本、y本，列出方程；根据且均为正整数，求出方程的所有整数解，即可确定购买方案的数量． 【详解】解：设单价为2元的练习本买了x本，单价为3元的练习本买了y本，其中x、y为正整数． 根据题意，得，则． 因为，所以，解得； 又因为且为偶数，x为整数，所以为偶数，即y为偶数． 则y可取2、4、6： 当时，； 当时，； 当时，． 共3种购买方案． 故选：B． 8. 如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，．若反比例函数的图象经过、两点，则的值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】作交的延长线于点E，作轴于点F，计算出长度，证明，得出长度，设出点的坐标，表示出点的坐标，据此计算出值． 【详解】解：作交的延长线于点E，作轴于点F， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设点，， ∴， 解得：， ∴． 9. 如图，在四边形中，，，，分别是，的中点，则的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，结合求出，得出，过点作，则，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 过点作， 则， 在中， ∴． 10. 如图，在正方形中，对角线，交于点，点在对角线上，延长交于点，交于点，连接，，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，于点，可证，则可得， 所以为等腰直角三角形，则可判断①；延长至，使，连接，可证，进而证明，通过线段代换可证明②；证明，则，因为，代换线段可证明③；证明，可得，进而可证明④正确． 【详解】解：过点作于点，于点，如图， 四边形为正方形， ，， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ． 在△和△中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ①的结论正确； 延长至，使，连接，如图 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ，， ， ， ， ， ， ． ③的结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故④正确． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 12. 太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：数据700000用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别用A，B，C表示开关，，，根据题意，画出树状图，可得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光的有2种等可能性，再由概率公式解答即可． 【详解】解：分别用A，B，C表示开关，，，根据题意，画出树状图，如图， 共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光的有2种等可能性， 所以能让两个小灯泡同时发光的概率是． 14. 平行四边形的对角线、相交于点，要使平行四边形是矩形请添加一个条件______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出答案，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：要使平行四边形是矩形，可添加的条件是（对角线相等的平行四边形是矩形）或者（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，即可得出的取值范围． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∵不等式组有3个整数解， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键． 16. 如图，在中，延长直径至点C，是的切线，D为切点，若，则的度数为______度． 【答案】40 【解析】 【分析】此题考查了等边对等角，切线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，首先由等边对等角求出，然后由切线得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵ ∴ ∵是的切线 ∴ ∴． 故答案为：40． 17. 若某个圆锥底面半径为3，侧面展开图的面积为，则这个圆锥的高为_______． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求得圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】设圆锥的母线长为l，12π=πl×3， 解得l=4， 所以圆锥的高为： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查圆锥侧面积，解题的关键是牢记有关的计算公式． 18. 如图，是等边三角形，，是中点，是边上的一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交射线于点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，连接，先得出，，则，再根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵是等边三角形，，， ∴，，， ∴在中，， ∵在中，，是中点， ∴， ∴在中，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点三点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题的难点在于将求的最小值问题进行转化． 19. 在中，，，，是的中点，为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，当与垂直时，的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，根据点P位置的不同，分两种情况讨论，结合勾股定理，角所对的直角边是斜边的一半，求出的长度． 【详解】解：沿翻折，得到， ， ，，， 有两种情况， ①点P在左侧，延长，交于点E，如下图 是的中点， ，， 与垂直，， ， ， 在中，，， ，即点E是中点， ， ②点P在右侧，如下图 ，， ，， 是的中点， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 综上所述，的长为或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线：与轴交于点，以为边作等边三角形，过点作轴，交直线于点，连接与交于点，得到；以为边作等边三角形，过点作轴，交直线于点，连接与交于点，得到；以为边作等边三角形，过点作轴，交直线于点，连接与交于点，得到……以此类推，得到，则的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，的纵坐标是，，求出直线方程为和直线方程为，联立求出交点坐标，以此类推求出规律式即可求出． 【详解】解：作的边高，如图： ∵直线与轴交于点， 当时，，解得， ∴， ∵，是等边三角形，， ∴，， ∴的边高是， ∴， ∵， ∴的纵坐标是， 把的纵坐标代入， 解得， ∴， ∴， 解设方程为， 把，代入得到， 解得， ∴直线方程为， 同理可得直线方程为， 与联立， 得到 解得， ∴点纵坐标是， 同理可得，同理得，，的纵坐标， ∴的面积为 同理可得，的面积为， 同理可得，的面积为， …… 则的面积是． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中x=4cos30°+2tan45°． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】原式=== ∵x=4cos30°+2tan45°=， ∴当x=时，原式== 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）将先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； （2）将绕原点顺时针旋转得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； （3）在（2）的条件下，求出线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）先作出点A，B，C平移后的点，，，再顺次连接成三角形即可； （2）先作出点A，B，C绕原点顺时针旋转后的点，，，再顺次连接成三角形即可； （3）先求出，的长，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，，， 线段在旋转过程中扫过的面积为． 23. 如图，抛物线经过点，，． （1）求此抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2） 由B、C坐标证明等腰直角，得；设横坐标为，作竖直线交于E，用纵坐标差表示；由、得等腰，； 代入列方程求，回代得坐标。 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，，， ∴设抛物线的解析式为． 将代入，得． ． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 设直线的解析式为，，， ∴， 解得， ∴， ， ，， ，是等腰直角三角形 ． 设，过作轴交直线于， ． ∴ ， 为等腰直角三角形 ． ， ． 当时，，； 当时，，． 综上：或． 24. 某校团委发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食．为了让同学们理解这次活动的重要性，团委在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． （1）这次被调查的同学共有___________名，请把条形统计图补充完整； （2）求在扇形统计图中，“剩一半左右”对应的扇形的圆心角的度数； （3）团委通过数据分析，这次被调查的所有学生一餐浪费的食物价值可以供20名学生一周伙食支出．据此估算，该校4000名学生一餐浪费的食物价值可供多少名学生一周伙食支出？ 【答案】（1）100， 条形统计图补充完整如图： （2） （3）800名 【解析】 【分析】（1）总人数某一部分的频数该部分所占的百分比；“剩少量”的人数总人数其他三类人数之和； （2）扇形统计图中，某一部分对应的圆心角该部分人数占总人数的比例； （3）利用样本估计总体的思想． 【小问1详解】 解：这次被调查的同学共有名， 剩少量的同学有（名）， 图略； 【小问2详解】 解：“剩一半左右”对应的扇形的圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：（名）． 即该校4000名学生一餐浪费的食物价值可供800名学生一周伙食支出． 25. 小明骑自行车从家里出发去离家路程为4500米的科技馆参观．出发10分钟后，他开始休息，出发12分钟爸爸发现小明身份证没有带，于是爸爸立即骑摩托车以每分钟500米的速度送过去，拿到身份证后小明以原速继续骑行，爸爸则不着急慢慢返回．两人离家的距离s（单位：米）与小明出发时间t（单位：分钟）的函数关系的图象如图所示． （1）求a与b的值； （2）在爸爸返回的过程中，求爸爸离家的距离s与小明出发时间t之间的函数解析式； （3）直接写出爸爸出发后小明与爸爸相距1000米时t的值． 【答案】（1）， （2） （3）14或 【解析】 【分析】（1）用12加上小明爸爸到达小明休息的地点所用时间，求出的值，求出小明骑车的速度，进而求出的值即可； （2）求出小明爸爸返回时的速度，进而求出小明爸爸到家时，的值，设出函数关系式，利用待定系数法进行求解即可； （3）分小明爸爸追上小明之前和之后两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：． ∵小明的速度为（米/分钟）， ∴． 【小问2详解】 解：爸爸回家的速度为（米/分钟）， 则爸爸回到家所用时间为（分钟）． （分钟）． 设爸爸返回的过程中，爸爸离家的距离与小明出发时间之间的函数解析式为． 将，代入，得 解得 ∴所求函数解析式为． 【小问3详解】 解：由（1）知：， ∴小明爸爸从与小明相距2000米到追上小明用了（分钟）， ∴在追小明过程中距离小明1000米用时（分钟）， ∴当时，； 当两人分开时，. 故爸爸出发后小明与爸爸相距1000米时t的值为14或. 26. 已知和都是直角三角形，，点E在内部，直线交于点F，连接． （1）如图①，当点D，F重合时，且，线段，，之间的数量关系为___________； （2）如图②，当点D，F不重合时，且，线段，，之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不必证明； （3）如图③，若，线段，，之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 【答案】（1） （2） （3），证明如下： ，， ． ， ， ， ， 如图③，过点作交于点，则， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理，得， ， ． 【解析】 【分析】（1）先利用推导角的关系，得到，结合已知的角相等条件，判断和的全等关系，因为D、F重合，结合全等三角形性质得到对应边、角的关系，再将三条线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理推导数量关系； （2）类比（1）的和的全等关系，再通过构造直角三角形的方法，参照（1）的推导逻辑得到线段关系； （3）先根据直角三角形的边的比例关系，证明与相似，得到边的比例和角的关系，再证明，最后构造含的直角三角形，结合相似比和勾股定理推导三条线段的数量关系． 【小问1详解】 由题意得，和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵点重合， ∴， 在等腰中，， ∴； 【小问2详解】 如图所示，在上截取一点H，使得，连接， ∵由题意得，和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， 且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, 即； 【小问3详解】 略 27. 有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表： 单价 运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米） 甲运输队 40 35 乙运输队 38 36 设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元． （1）用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围） 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 （2）求总费用y的最大值； （3）在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小． 【答案】（1）见解析 （2）1914万元 （3）当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少；当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少． 【解析】 【分析】（1）根据A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，甲运输队可以清运土方20万立方米即可填写表格，结合甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用即可求得y与x的函数关系式； （2）根据一次函数的性质即可求解； （3）由题意得， ，根据函数的增减性分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：填表如下： 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 由题意，列函数关系式得， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知，总费用， ∵， ∴当时，y的最大值为万元． 【小问3详解】 解：由题意可得，， ∴， ∴， ∴， 当时，，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米； 当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元； 当时，，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值， 此时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米； 综上所述，当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少； 当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元； 当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少． 28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴重合，与y轴重合，，的长是一元二次方程两个根（），点P从点O出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点O出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t秒（）．连接，，． （1）求点C的坐标； （2）设的面积为S，求S与t的函数解析式； （3）当时，点M在直线上，平面内是否存在点N，使以P，M，B，N为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）求出方程的解，可得，的长，即可求解； （2）分三种情况：当点P在边上时，此时；当点P在边上时，此时；当点P在边上时，此时，即可求解； （3）求出直线的解析式，然后设点M的坐标为，点N的坐标为，再分三种情况，结合矩形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：， 解得：， ∵，的长是一元二次方程两个根（）， ∴， ∵矩形的边与x轴重合，与y轴重合， ∴点； 【小问2详解】 解：当点P在边上时，此时，则， ∴ 当点P在边上时，此时，则， ∴； 当点P在边上时，此时，则，， ∴； 综上所述，S与t的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由（1）得：点， 当时，点P在上，此时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标为，点N的坐标为， 当为对角线时，此时 ，解得：（舍去）； 当为对角线时，此时 ，解得：或， 此时点N的坐标为； 当为对角线时，此时 ，解得： ， 此时点N的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $