精品解析：2025年黑龙江省绥化市海伦市市直学校中考三模数学试题

初四学年数学试题2024—2025学年度第二学期第三次考试 考生注意： 1．考试时间110分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 的倒数的相反数为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数、相反数的定义计算即可． 【详解】解：根据相反数和倒数的定义得：的倒数为 ， 的相反数为 3． 故选：B． 【点睛】本题考查了倒数即乘积为1的两个数，相反数即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键． 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B． 该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C． 该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D． 该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选C． 3. 一张水平故置的桌子上摆故着若干个盘子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有盘子为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的基本知识以及在现实生活中的应用从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有 个，右侧有 个，根据三视图的思路可解答该题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子， 主视图可知左侧碟子有 个，右侧有 个， 而左视图可知左侧有 个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计 个， 故选： ． 4. 函数的自变量 的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据零指数幂，二次根式，分式有意义的条件即可求解，解题的关键是正确理解（ ）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（ ）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 ；（ ）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负；（ ）当函数是零指数幂时，底数不能等于 ． 【详解】解：函数的自变量 的取值范围是， 解得：， 故选： ． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，算术平方根，单项式乘单项式，根据合并同类项，积的乘方，算术平方根，单项式乘单项式运算法则逐一排除即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、 ，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 6. 已知和是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 6 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选： ． 7. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩/米 人数 2 5 3 1 其中的两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的（ ） A. 方差 B. 中位数和平均数 C. 众数和中位数 D. 平均数 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知先求出这组数据中和的人数和，继而依据众数和中位数的定义可得答案． 本题主要考查众数、中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 【详解】解：由题意知，这组数据中 和的人数和为（人）， 所以这组数据的众数为米，中位数为米，平均数和方差无法确定， 故选：C 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到 里远的城市，所需时间比规定时间多 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为 天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为 天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为 天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 9. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为 ）平行于投影面时，在点光源 的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为 ）平行于投影面时，在点光源 的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为 ， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 10. 下列关于命题的说法中，不正确的是（ ） A. 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 平行四边形是中心对称图形 C. 垂线段最短 D. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用角平分线的定义、中心对称的定义、垂线的性质和平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、在角的内部，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，原命题不正确，本选项符合题意； B、平行四边形是中心对称图形，正确，本选项不符合题意； C、垂线段最短，正确，本选项不符合题意； D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，本选项不符合题意； 故选：A． 11. 如图，在正方形 中，点P在对角线 上，分别为垂足，连接，若，则（ ）. A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、正方形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识点，掌握矩形和正方形的判定方法成为解题的关键. 如图：延长 交 于G，则,由正方形的性质可得，易证四边形是矩形、四边形是矩形、四边形是矩形，则 、；再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理可得、,即四边形是正方形，进而得到，最后运用勾股定理即可解答. 【详解】解：如图：延长 交 于G，则, ∵正方形 中，点P在对角线 上， ∴, ∵分别为垂足， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴ ,, ∵，， ∴,即四边形是正方形， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴,解得, ∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴, ∴. 故选A. 12. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ， 两点，，，与 轴交点 的纵坐标在 与 之间，根据图象判断以下结论： ①； ②； ③若且，则； ④直线与抛物线 的一个交点，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由于抛物线与 轴交于，，因而设抛物线的解析式为，于是可得，，进而可得，再结合 ，即可判断结论①；令 ，则，于是可得抛物线与 轴交点 的坐标为，由于抛物线与 轴交点 的纵坐标在 与 之间，因而，进而可得，根据不等式的性质可得，由此即可判断结论②；由可得，进而可得，分解因式，可得，结合，可得，由此即可判断结论③；令 相等，则，进而可得，解方程即可求出 的值，于是可得 的值，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解： 抛物线与 轴交于，， 设抛物线的解析式为： ， ，， ， ，故结论①正确； 令 ，则， 抛物线与 轴交点 的坐标为， 抛物线与 轴交点 的纵坐标在 与 之间， ， ， ， ，故结论②正确； ， ， ， ， 又， ， ，故结论③错误； 令 相等，则， ， 解得： （不符合题意，故舍去），， ，故结论④正确； 综上，正确的结论有：，共 个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与 轴的交点问题，求抛物线与 轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，综合提公因式和公式法分解因式，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺．7纳米毫米，将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 14. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，原式后三项结合后写成完全平方，然后再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 15. 如图，已知， 是等腰直角三角形， ，顶点分别在上，当 时， ______． 【答案】 ##65度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到 ，再根据角的和差关系求出 的度数即可． 【详解】解：∵ 是等腰直角三角形， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴； 故答案为： ． 16. 如图，坡角 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树 ，当太阳光线与水平线成 角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影 长为4米，则大树 的高为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与坡角有关的解直角三角形的应用；过点C作 ，交 的延长线于点D；在 中，由三角函数求得，再在 中，求得，即可求得结果． 【详解】解：如图，过点C作 ，交 的延长线于点D， 则． 在 中， 米， 米，（米）． 在 中， ， 则， 米， 米． 故答案为：． 17. 计算：的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 18. 若将一个半径为 ，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为______． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了扇形的面积和弧长，圆锥的高，先利用扇形的面积求出圆心角度数，再求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面圆半径，最后根据勾股定理即可求出圆锥的高，掌握扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长是解题的关键． 解：设扇形的圆心角度数为 ，则， ∴， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为 ，则， ∴ ， ∴此圆锥的高， 故答案为： ． 19. 如图，在直角坐标系中， 的边 在y轴正半轴上，点A在第一象限，，，点C在 上，，且，若双曲线经过点C，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及待定系数法求函数的解析式，正确求得C点坐标是关键．首先证明，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求得 的长，即C的纵坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值． 【详解】解： 在直角 和直角中，，， ， ， ，， ∴， ，即C的横坐标是1， ∴C的坐标是，代入，解得． 20. 如图，点P是 内任意一点，，点M和点N分别是射线 和射线 上的动点，，则周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接． ∵点P关于 的对称点为C，关于 的对称点为D， ∴； ∵点P关于 的对称点为D， ∴， ∴，， ∴ 是等边三角形， ∴． ∴的周长的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在． 21. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 中，已知，，对角线：交点D，将菱形 绕点O顺时针方向旋转，每次旋转 ，则旋转2025次后，点D的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、点的坐标变化规律，勾股定理，利用菱形的性质求出点 的坐标，再根据菱形每次顺时针旋转 ，相当于对点 每次顺时针旋转 ，根据周期性，求出点 的坐标的变化规律，据此即可求解，求出点 的坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：如下图所示，作轴交于点 ， ∵四边形 是菱形， ∴，点 是 的中点， ∵点 的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴点 的坐标为， ∴， ∵点 是 的中点， ∴点 的坐标为， ∴， 菱形每次顺时针旋转 ，相当于对点 每次顺时针旋转 ， 根据图形变化可得， 旋转 次坐标为， 旋转 次坐标为， 旋转 次坐标为， 旋转 次坐标为， 旋转 次坐标为， 旋转 次坐标为， ， 坐标的变化具有周期性， 次旋转一个周期， ∵， ∴旋转次后，点 的坐标是 故答案为：． 22. 在矩形 中，边是边 的中点，点 在射线 上运动，若为等腰三角形，则线段 的长度等于__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据矩形的性质及中点的定义得出∠BAD=90°，AE=DE=1，那么△ABE是等腰直角三角形，BE=AB=．再分三种情况讨论：①BP=BE；②PB=PE；③EB=EP． 【详解】∵矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点， ∴∠BAD=90°，AE=DE=1，BD=， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴BE=AB=， 若为等腰三角形，则分：三种情况： ①当时，显然BP=， ∴DP=； ②当PB=PE时，如图，连结AP， ∵PB=PE，AB=AE， ∴AP垂直平分BE， ∵△ABE是等腰直角三角形， ∴∠BAP=∠EAP=45°， 作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N， ∴PM= PN， 设PM= ， ∵， ∴， 解得：， ∴PM=PN=， ∵PN⊥AD， ∴∠BND=90°， ∵∠BAD=90°， ∴PN∥AB， ∴∠NPD=∠ABD=90°， ∴DP=； ③当时， 如图，过点 作于点 ，过点 作于点 ， 在中，， ∵AE=ED，EG∥AF， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵EB=EP，EG⊥BP， ∴， ∴． 综上所述，线段DP的长度等于或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，综合性较强，有一定难度．进行分类讨论与数形结合是解题的关键． 三、解答题 23. （1）尺规作图，如图作出△ABC 的外接圆⊙O； （2）若AB=AC=10,BC=12,则△ABC 的外接圆半径R= ,△ABC 的内切圆半径r= ． 【答案】 （1）如图所示，⊙O为所作， （2）；3． 【解析】 【分析】（1）分别作BC和AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，然后以点O为圆心，OC为半径作圆即可； （2）过A作AD⊥BC于D，连接OB，可知O在直线AD上，然后在Rt△OBD中，利用勾股定理即可求出外接圆半径R；过A作AM⊥BC于M，由条件可知内心P在直线AM上，过P作PN⊥AB于N，利用△ANP∽△AMB，对应边成比例即可求出△ABC 的内切圆半径． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过A作AD⊥BC于D， 由AB=AC=10可知，AD垂直平分BC，BD=CD=BC=6， 又∵圆心O在BC的垂直平分线上， ∴O在直线AD上， 在Rt△ABD中， ， 连接OB，设OA=OB=R，则OD=8-R， 在Rt△OBD中，∵OD2+BD2=OB2， ∴（8-R）2+62=R2， 解得， 即△ABC外接圆的半径为； 如下图，过A作AM⊥BC于M， 由于AB=AC=10，BC=12， ∴BM=CM=6，AM为∠BAC的角平分线上， ∴△ABC的内心在直线AM上， 取点P为△ABC的内心，过P作PN⊥AB于N， 可知，PN=PM， 在Rt△ABM中， ， 设PN=PM =r，则AP=8-r， ∵∠AMB=∠ANP=90°，∠NAP=∠MAB， ∴△ANP∽△AMB， ∴，即， ∴ 即△ABC内切圆的半径为3； 答案为：；3． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了三角形的外心和内心，题目比较综合． 24. 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验： ．高锰酸钾制取氧气； ．电解水； ．木炭还原氧化铜； ．高温煅烧石灰石； ．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： （1） ________， 所对应的扇形圆心角是________ ； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级 名学生中有________人最喜欢的实验是“ ．高温煅烧石灰石” （3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键． （1）先通过“ 实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到 ；利用“ 实验人数总人数 ”计算对应的扇形圆心角； （2）先算出样本中“ 实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数； （3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）， 选择 的学生人数为（人） ， 所对应的扇形圆心角是； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级 名学生中有人最喜欢的实验是“ ．高温煅烧石灰石”． 【小问3详解】 解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳， 列表如下， 由列表可知，共有 种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有 种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 25. 甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度 （米）与登山时间 （分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，结合图象信息解答下列问题： （1）甲登山的速度是每分钟_______米，_______； （2）请直接写出乙距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；求出点E的坐标，并解释点E的实际意义； （3）求登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米． 【答案】（1）10；11 （2），点E的坐标为，点E的实际意义：登山6.5分钟时，乙追上了甲； （3）登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为50米． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据速度 高度 时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度 速度 时间即可算出乙在 地时距地面的高度的值；据此求得的值； （2）利用待定系数法求解即可；联立得，据此即可求得点E的坐标； （3）根据函数图象和题意可以得到登山多长时间时，甲．乙在距地面的高度差50米． 【小问1详解】 解：甲登山的速度是：（米 分钟）， 乙在 地时距地面的高度， 则乙提速后，乙的登山速度是 （米 分钟）， ∴， 故答案为：10；11； 【小问2详解】 解：当时，设乙对应的函数解析式为， 则，解得， ∴乙对应的函数解析式为， 当时，设乙对应的函数解析式为 ， 则，解得， ∴乙对应的函数解析式为， 乙距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式为， 同理，求得甲对应的函数关系式为：， 联立得， 解得． 点E的坐标为，点E的实际意义：登山6.5分钟时，乙追上了甲； 【小问3详解】 解：当，解得 ， 当，解得， 当，解得， 故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为50米． 26. 如图，为 的切线，A为切点，过点A作 的垂线 ，垂足为C，交 于点B，延长 与 交于点D，连接 交 于点E． （1）求证：为 的切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ， 为 的切线， ， ， ， ， 是 的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 是 的切线； （2） 证明：由（1）得， ，， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ，可推出 ， 是 的垂直平分线，从而，进而推出，从而，进一步得出是 的切线； （2）可证明，进而推出； （3）可推出，，从而，，，进而推出，，，从而，设，则..， ，根据列出方程，求得 的值，进一步得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接 ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， 是 的直径， ， ， 由（2）知：， ， ，，， ，， ， ， ， 设，则， ， 由（2）得：， ， ，（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是设未知数，列出一元二次方程． 27. 某数学兴趣小组在学完《特殊的平行四边形》一章后，对特殊平行四边形进行了探究，探究过程如下： 【特例感知】 如图1，在正方形 中， 是对角线 上一点，满足 ，过点 作交 延长线于点 ， 是线段 上一点， 是射线 上一点，．求证：． 【深入理解】 如图2，在菱形 中，点 ， 分别在射线 和射线 上，满足，点 ， 分别在线段 和线段 上，．探究 和 之间的数量关系，并说明理由． 【感悟应用】 如图3，将【特例感知】中的“正方形 ”更换为“矩形 ”，其他条件保持不变．若 ， ，当点 在直线 上时，求 的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形 是正方形，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形 是菱形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质结合垂线的定义得，再根据可得，结合证明，即可证明结论； （2），根据菱形的性质可得， ，再结合，利用等边对等角可得，由三角形内角和定理可证，根据可得，证明，即可证明结论； （3）同理（1）（2）可得：，易证是等腰三角形，推出，设，则，，求出，利用勾股定理求出；证明，利用相似三角形的性质求出，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，点 在直线 上， 同理（1）（2）可得：， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形，矩形，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点 在抛物线上，过 作轴，交直线于点 ，若以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的横坐标； （3）抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）1或3或或 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，将点 、点 代入抛物线解析式，解关于、的一元一次方程，即可求得抛物线的解析式； （2）通过点、求出直线的解析式，设点 、 的坐标，结合轴，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形得，解一元二次方程即可． （3）过点 作于点 ，过点 作轴，过点 作于点，过点 作于点 ．设点，当 在右侧时，证明，得、，故可推出，解二元一次方程组可得，即，结合点推出直线 的解析式为，联立解一元二次方程即可得；当 在左侧时，同理可得． 【小问1详解】 解：将点、代入 ，得：， 解得： ， 抛物线的解析式为 ． 【小问2详解】 解：设点， 抛物线 与 轴交于点， ． 设直线的解析式为 ， 将点、代入，得：， 解得： ， ， 直线的解析式为． 设， ， 轴， ， 当时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形， ， 解得 或或或． 【小问3详解】 解：抛物线上存在点，使，理由如下： 过点 作于点 ，过点 作轴，过点 作于点，过点 作于点 ． 设点． ①当 在右侧时，如图： ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， 解得：， ， 由，可得直线 的解析式为， 联立， 解得：（此时点 ，点重合，舍去）或， ． ②当 在左侧时，如图： 同理可得：， 解得：， ，直线 的解析式为， 联立，解得：（此时点 ，点重合，舍去）或， ． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，一线三垂直模型判定三角形全等和全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，解二元一次方程组等，用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度且利用待定系数法求函数的解析式是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四学年数学试题2024—2025学年度第二学期第三次考试 考生注意： 1．考试时间110分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 的倒数的相反数为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一张水平故置的桌子上摆故着若干个盘子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有盘子为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 函数的自变量 的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知和是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 6 B. 2 C. D. 3 7. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩/米 人数 2 5 3 1 其中的两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的（ ） A. 方差 B. 中位数和平均数 C. 众数和中位数 D. 平均数 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到 里远的城市，所需时间比规定时间多 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为 天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为 ）平行于投影面时，在点光源 的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于命题的说法中，不正确的是（ ） A. 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 平行四边形是中心对称图形 C. 垂线段最短 D. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 11. 如图，在正方形 中，点P在对角线 上，分别为垂足，连接，若，则（ ）. A. B. C. D. 5 12. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ，两点，，，与 轴交点的纵坐标在 与 之间，根据图象判断以下结论： ①； ②； ③若且，则； ④直线与抛物线 的一个交点，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺．7纳米毫米，将数据用科学记数法表示为______． 14. 因式分解：_______． 15. 如图，已知， 是等腰直角三角形， ，顶点分别在上，当 时， ______． 16. 如图，坡角 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树 ，当太阳光线与水平线成 角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影 长为4米，则大树 的高为_____米． 17. 计算：的结果是________． 18. 若将一个半径为 ，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为______． 19. 如图，在直角坐标系中， 的边 在y轴正半轴上，点A在第一象限，，，点C在 上，，且，若双曲线经过点C，则___________． 20. 如图，点P是 内任意一点，，点M和点N分别是射线 和射线 上的动点，，则周长的最小值是______． 21. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 中，已知，，对角线：交点D，将菱形 绕点O顺时针方向旋转，每次旋转 ，则旋转2025次后，点D的坐标是______． 22. 在矩形 中，边是边 的中点，点 在射线 上运动，若为等腰三角形，则线段 的长度等于__________． 三、解答题 23. （1）尺规作图，如图作出△ABC 的外接圆⊙O； （2）若AB=AC=10,BC=12,则△ABC 的外接圆半径R= ,△ABC 的内切圆半径r= ． 24. 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验： ．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜； ．高温煅烧石灰石； ．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： （1）________， 所对应的扇形圆心角是________ ； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级 名学生中有________人最喜欢的实验是“ ．高温煅烧石灰石” （3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 25. 甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度 （米）与登山时间 （分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，结合图象信息解答下列问题： （1）甲登山的速度是每分钟_______米，_______； （2）请直接写出乙距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；求出点E的坐标，并解释点E的实际意义； （3）求登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米． 26. 如图，为 的切线，A为切点，过点A作 的垂线 ，垂足为C，交 于点B，延长 与 交于点D，连接 交 于点E． （1）求证：为 的切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 27. 某数学兴趣小组在学完《特殊的平行四边形》一章后，对特殊平行四边形进行了探究，探究过程如下： 【特例感知】 如图1，在正方形 中， 是对角线 上一点，满足 ，过点 作交 延长线于点 ， 是线段 上一点， 是射线 上一点，．求证：． 【深入理解】 如图2，在菱形 中，点 ， 分别在射线 和射线 上，满足，点 ， 分别在线段 和线段 上，．探究 和 之间的数量关系，并说明理由． 【感悟应用】 如图3，将【特例感知】中的“正方形 ”更换为“矩形 ”，其他条件保持不变．若 ， ，当点 在直线 上时，求 的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、两点，与 轴交于点，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点 在抛物线上，过 作轴，交直线 于点 ，若以 、 、 、为顶点的四边形是平行四边形，求点 的横坐标； （3）抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $