精品解析：2026年山东省淄博市沂源县二模数学试题

初四数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，算术平方根与立方根，根据无理数就是无限不循环小数，即可求解． 【详解】解：，，都是有理数， 是无理数， 故选：D． 2. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 3. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），EF为后下叉，已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，，求出，进一步计算即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∵， ， 故选：B． 4. 小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、弄清楚量之间的关系成为解题的关键． 设甲原有钱，乙原有钱，根据乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50列二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 由题意可得：． 故选C． 5. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：在反比例函数中，， 此函数图象在二、四象限， ， 点，在第二象限， ，， 函数图象在第二象限内为增函数，， ． ，点在第四象限， ， ，，的大小关系为． 故选：C． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 6. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：； ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴且， 故选：C 7. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率， 先列出表格，可得所有可能出现的结果，即可得出符合条件的结果，再根据概率公式计算即可. 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 火药 印刷术 造纸术 指南针 火药 （印刷术，火药） （造纸术，火药） （指南针，火药） 印刷术 （火药，印刷术） （造纸术，印刷术） （指南针，印刷术） 造纸术 （火药，造纸术） （印刷术，造纸术） （指南针，造纸术） 指南针 （火药，指南针） （印刷术，指南针） （造纸术，指南针） 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有6种，所以这两张卡片中有“指南针”的概率是. 故选：A. 8. 如图，菱形中，点坐标为，点坐标为，点在轴正半轴上，以点为位似中心，在轴的下方作菱形的位似图形菱形，并把菱形的边长放大到原来的倍，则点的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，根据题意求出位似比，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于， 则， ， 把菱形的边长放大到原来的倍得到菱形， ， 点坐标为，点坐标为， ， ， ， 点的横坐标是， 故选： D． 【点睛】本题考查的是位似图形，平行线分线段成比例，掌握位似比的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 9. 如图矩形中，，，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线交于点，连接，点关于的对称点为点，作射线交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、矩形的性质等知识，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．连接，根据对称的性质和垂直平分线的性质求出，从而推出，然后设，则，，在中，根据勾股定理建立方程求解，则可解决问题． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，， 如图，连接， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 由作图可知，为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得，即． 故选：C． 10. 如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， ； 当时，，， ； ， ； 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 12. 若一个正多边形的内角是外角的3倍还多，则这个多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理和一元一次方程的应用，熟练掌握相关概念是解题的关键，设该正多边形的外角为度，则其相邻的一个内角为度，列出方程即可求得该正多边形的外角度数，再根据多边形外角和定理即可求解． 【详解】解：设该正多边形的一个外角为度，则其相邻的一个内角为度， ， 解得， 该正多边形的外角为， 该正多边形的边数为：， 故答案为：9． 13. 关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解： 方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1， 解得 ， ，且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键． 14. 如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求、，再根据三角函数的意义可求出的值． 【详解】解：如图，连接，由网格的特点可得，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 15. 如图，直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点 按此作法进行下去，点的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，根据坐标规律，找出点的规律是解题关键．根据一次函数的性质，得到，，再由勾股定理得到，同理得到，，，，观察发现点得坐标为（正整数），即可求出点的坐标． 【详解】解：当时，，解得：， ， 点坐标为， , 把代入直线得， ， ， 在中，， 以点A为圆心，长为半径画弧交轴于点； ， ， 把代入直线得， ， ， ， ， ，， …… 观察发现，点坐标为（正整数）， 点的坐标为，即， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组，并写出它的最大整数解． 【答案】，最大整数解为1． 【解析】 【分析】求得不等式组解集后，根据解集即可得出最大整数解． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的最大整数解为1． 【点睛】本题考查解不等式组．掌握取不等式组解集的口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小是无解”是解题关键． 17. 【阅读材料】 老师的问题：如图，在中，点E在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的作法： （1）连接，，相交于点O； （2）连接并延长，交于点F； （3）连接．四边形即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 【答案】 解：小明的作图方法正确，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质． 由平行四边形的性质可得，，得，进而证明，得到，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】略 18. 为进一步提高学生学习数学的兴趣，月日（国际数学日）当天，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了部分学生的竞赛成绩，经过整理数据得到以下信息（单位：分）： 信息一：所抽取学生成绩分组整理成如图所示的扇形统计图，其中第Ⅰ组，第Ⅱ组，第Ⅲ组，第Ⅳ组，第Ⅴ组； 信息二：第Ⅲ组的成绩为． 根据信息解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为________人，第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为：________； （2）第Ⅲ组竞赛成绩的众数是________分，本次抽取的所有学生竞赛成绩的中位数是________分； （3）若该校共有名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于分的学生人数． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据第Ⅲ组人数及第Ⅲ组所占的百分数可得到抽样总人数，第Ⅱ组的所占百分数为即可解答； （2）根据第Ⅲ组的成绩及中位数和众数的定义即可解答； （3）根据样本成绩不低于分的学生人数即可解答． 【小问1详解】 解：∵第Ⅲ组为人，第Ⅲ组所占的百分数为， ∴本次抽取的学生人数为（人）， ∵第Ⅰ组所占百分数为，第Ⅲ组所占百分数，第Ⅳ组所占百分数，第Ⅴ组所占百分数； ∴第Ⅱ组的所占百分数为， ∴第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵第Ⅲ组的成绩为， ∴第Ⅲ组竞赛成绩的众数是分， ∵第Ⅰ组人数为（人），第Ⅲ组人数为（人），第Ⅴ组的人数为（人），第Ⅱ组的人数为（人），第Ⅳ组人数（人）， ∴第个数成绩和个成绩在第Ⅲ组， ∵第Ⅲ组成绩的排序：， ∴中位数为（分）， 故答案为，； 【小问3详解】 解：∵样本中成绩不低于分的学生人数为（人）， ∴该校成绩不低于分的学生人数为（人）． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数及众数的定义，读懂统计图明确题意是解题的关键． 19. 某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多5000元． （1）求A型空调和B型空调每台各需多少元； （2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？ 【答案】（1）A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元 （2）该校共有三种采购方案： 方案一：采购A型空调10台，则采购B型空调20台； 方案二：采购A型空调11台，则采购B型空调19台； 方案三：采购A型空调12台，则采购B型空调18台 【解析】 【分析】（1）设型空调每台需元，型空调每台需元，根据题意列出方程组解答即可求解； （2）设采购型空调台，则采购型空调台，根据题意列出不等式组，求出的取值范围即可求解； 根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设型空调每台需元，型空调每台需元． 由题意得，，2分 解得， 答：A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元； 【小问2详解】 解：设采购型空调台，则采购型空调台， 由题意得，， 解得， 为整数， 或11或12， ∴该校共有三种采购方案： 方案一：采购A型空调10台，则采购B型空调20台； 方案二：采购A型空调11台，则采购B型空调19台； 方案三：采购A型空调12台，则采购B型空调18台． 20. 如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点． （1）求m、n的值； （2）求一次函数的表达式； （3）设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） （4），或，或 【解析】 【分析】（1）点和分别代入反比例函数，即可求得m、n的值； （2）将点和分别代入一次函数，解方程组求出k、b的值即得； （3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点，设的表达式为，将点、分别代入求得，得到的表达式为，当时，，即得点P的坐标； （4）设点D的坐标为，根据点A、B、P的坐标分别为、、，当是边时，则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到，得到或；当AB是对角线时，根据中点公式得到；得到点D的坐标为，或，或． 【小问1详解】 将点代入反比例函数， 得，，， ∴， 将代入， 得，，， ∴，； 【小问2详解】 将点和分别代入一次函数， 得，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点， 理由：的周长为最小， 设的表达式为 ∵点、， ∴， 解得，， ∴的表达式为， ∴时，， 故点P的坐标为； 【小问4详解】 D的坐标为，或，或．理由： 由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、， 设点D的坐标为， ①当是边时， 则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到， 则0+2=s，5﹣4=t或0﹣2=s，5+4=t， 解得或； ②当AB是对角线时， 由中点公式得：， ， 解得； 故点D的坐标为，或，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，轴对称，平行四边形等，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，轴对称产生最小值，平行四边形的性质． 21. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点作于点， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； 【小问2详解】 过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 22. 如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F． （1）如图1，求证：AE＝DF； （2）如图2，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由； （3）如图3，若AB＝，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G． ①直接写出线段AE长度的取值范围； ②判断△GEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①＜AE≤；②△GEF是等边三角形，见解析； 【解析】 【分析】（1）由条件可以得出AM=DM，∠A=∠ADF=90°，∠AME=∠DMF，可以证明△AEM≌△DFM，就可以得出结论． （2）过点G作GH⊥AD于H，通过条件可以证明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，进而得出∠EGM=45°，再由（1）的结论可以得出∠EGF=90°，从而得出结论． （3）①当点G、C重合时利用三角形相似就可以求出AE的值，从而求出AE的取值范围． ②过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，证明△AEM∽△HMG，可以得出，从而求出tan∠MEG=，就可以求出∠MEG=60°，就可以得出结论． 【详解】解：（1）如图1， 证明：在矩形ABCD中，∠EAM＝∠FDM＝90°，∠AME＝∠FMD． ∵AM＝DM， ∴△AEM≌△DFM． ∴AE＝DF． （2）答：△GEF是等腰直角三角形． 证明：过点G作GH⊥AD于H，如图2， ∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°， ∴四边形ABGH是矩形． ∴GH＝AB＝2． ∵MG⊥EF， ∴∠GME＝90°． ∴∠AME+∠GMH＝90°． ∵∠AME+∠AEM＝90°， ∴∠AEM＝∠GMH． ∴△AEM≌△HMG． ∴ME＝MG． ∴∠EGM＝45°． 由（1）得△AEM≌△DFM， ∴ME＝MF． ∵MG⊥EF， ∴GE＝GF． ∴∠EGF＝2∠EGM＝90°． ∴△GEF是等腰直角三角形． （3）①当C、G重合时，如图3 ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝90°， ∴∠AME+∠AEM＝90°． ∵MG⊥EF， ∴∠EMG＝90°． ∴∠AME+∠DMC＝90°， ∴∠AEM＝∠DMC， ∴△AEM∽△DMC ∴， ∴， ∴AE＝ ∴＜AE≤． ②△GEF是等边三角形． 证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，如图4， ∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°， ∴四边形ABGH是矩形． ∴GH＝AB＝2． ∵MG⊥EF， ∴∠GME＝90°． ∴∠AME+∠GMH＝90°． ∵∠AME+∠AEM＝90°， ∴∠AEM＝∠GMH． 又∵∠A＝∠GHM＝90°， ∴△AEM∽△HMG． ∴． 在Rt△GME中， ∴tan∠MEG＝＝． ∴∠MEG＝60°． 　由（1）得△AEM≌△DFM． ∴ME＝MF． ∵MG⊥EF， ∴GE＝GF． ∴△GEF是等边三角形． 【点睛】本题是一道相似形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定．在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键． 23. 小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 【答案】（1）①②；（2）最小值为；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）①在直角三角形中，求斜边上一点到直角顶点线段的最小值，需根据“点到直线的距离，垂线段最短”这一原理，利用三角形面积公式求解； ②先确定点绕点旋转后的轨迹，再根据“点到圆的距离”相关原理求最小值； （2）通过作辅助线构造等腰直角三角形，将的长度与建立联系，利用二次函数的性质求最小值，进而得到最小值； （3）先通过三角形全等证明四边形是平行四边形，再利用“将军饮马”模型或勾股定理结合几何直观求其周长最小值． 【详解】解：（1）①在中，当时，最短， 由三角形面积公式， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：； ②∵点为中点，， ∴， 线段绕点顺时针旋转，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．当，，三点共线且在线段上时，最小， 此时，由①知最小值为， ∴最小值为； 故答案为： （2）过点作轴，交直线于点， 由题意得，点， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， 设的横坐标为，则，则， ∴， ∴，当时，取最小值为， 此时，取最小值，值为． （3）∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形周长为邻边之和的2倍， ∴平行四边形周长最小时，即是邻边之和最小． 作点关于的对称点，连接，则， ∴当三点共线时，取最小值， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形周长最小值为20． 【点睛】本题综合考查了初中几何中距离相关的多个知识点，包括点到直线的距离、点到圆的距离，三角形全等、等腰直角三角形的性质、二次函数的最值以及平行四边形的判定和“将军饮马”模型等．解题关键在于准确理解各种距离的基本原理，合理运用几何图形的性质和判定定理，通过作辅助线、建立函数关系等方法将问题转化为可求解的形式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 3. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），EF为后下叉，已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　） A. B. C. D. 6. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，点坐标为，点坐标为，点在轴正半轴上，以点为位似中心，在轴的下方作菱形的位似图形菱形，并把菱形的边长放大到原来的倍，则点的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图矩形中，，，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线交于点，连接，点关于的对称点为点，作射线交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 10. 如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ③④ D. ①②④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 若一个正多边形的内角是外角的3倍还多，则这个多边形的边数是_______． 13. 关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________． 14. 如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为______. 15. 如图，直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点 按此作法进行下去，点的横坐标为______． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组，并写出它的最大整数解． 17. 【阅读材料】 老师的问题：如图，在中，点E在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的作法： （1）连接，，相交于点O； （2）连接并延长，交于点F； （3）连接．四边形即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 18. 为进一步提高学生学习数学的兴趣，月日（国际数学日）当天，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了部分学生的竞赛成绩，经过整理数据得到以下信息（单位：分）： 信息一：所抽取学生成绩分组整理成如图所示的扇形统计图，其中第Ⅰ组，第Ⅱ组，第Ⅲ组，第Ⅳ组，第Ⅴ组； 信息二：第Ⅲ组的成绩为． 根据信息解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为________人，第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为：________； （2）第Ⅲ组竞赛成绩的众数是________分，本次抽取的所有学生竞赛成绩的中位数是________分； （3）若该校共有名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于分的学生人数． 19. 某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多5000元． （1）求A型空调和B型空调每台各需多少元； （2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？ 20. 如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点． （1）求m、n的值； （2）求一次函数的表达式； （3）设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 21. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 22. 如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F． （1）如图1，求证：AE＝DF； （2）如图2，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由； （3）如图3，若AB＝，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G． ①直接写出线段AE长度的取值范围； ②判断△GEF的形状，并说明理由． 23. 小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $