精品解析：2026年宁夏回族自治区固原市弘文中学第三次学情自测数学试题

弘文中学2025—2026学年九年级第三次模拟 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，共26个小题，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前考生务必将姓名、班级、学号写在答题卡上． 3．考生答卷一律用黑色中性笔答题． 4．答卷时有残、破、缺、损及印刷不清晰的试卷及时更换． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，绝对值的运算及相反数运算，根据几个定义逐个求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 是负数，符合题意， 是正数，不符合题意， 是正数，不符合题意， 是正数，不符合题意， 故选：A． 2. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，移走其中一个小正方体后，左视图发生了变化，则移走的小正方体是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此解答即可． 【详解】解：单独移开①或②或④，得到的几何体的左视图与原来的几何体的左视图相同，均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 移走③，得到的几何体的左视图为一层两列两个小正方形， ∴若移走一块小正方体，几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是③． 故选：C． 3. 如图是深圳市2024年4月日的天气情况，这5天中最低气温（单位：）的中位数与众数分别是（ ） A. 19，19 B. 19，18 C. 18，19 D. 20，19 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义即可求解． 【详解】解：这5天中最低气温从低到高排列是：18，19，19，20，23， 故中位数是19， 这5天中最低气温出现次数最多是19，共计2次， 故众数是19． 4. 如图，有，，三地，地在地北偏西方向上，，则地在地的（ ） A. 北偏东方向 B. 南偏西方向 C. 南偏西方向 D. 北偏东方向 【答案】D 【解析】 【分析】过点、分别作南北方向的辅助线，利用平行线的性质得到内错角相等，结合垂直的定义计算出相关角度，从而确定地相对于地的方向． 【详解】解：如图，过点作，过点作，则指向正南方向，指向正北方向． ∵地在地北偏西方向上， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴地在地的北偏东方向． 5. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 6. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设运输这批公粮原计划每日行，根据运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站，列出分式方程，即可求解． 【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，放置直角三角板，，点，，，在轴上，点，在轴正半轴上，其中，，，．把沿轴向右平移，当恰好经过点时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用直角三角形的三角函数求出点、点的坐标．再使用待定系数法求解直线的解析式．然后根据平移前后一次函数不变设平移后的直线解析式，代入点坐标求出参数．最后依据平移时点纵坐标不变，求出平移后点的横坐标． 【详解】解：，， ， ， ， ． ． 设直线的解析式为． ， 解得， ． 设直线平移后的解析式为． 平移后的直线经过点， ． ∴直线平移后的解析式为． 平移过程中点纵坐标保持不变，始终为． ， ． 平移后点坐标为 8. 如图，在矩形中，，取的中点，以为圆心，为半径画半圆，再以为圆心，为半径画扇形，两条弧交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积，连接，证明三角形为等边三角形，再利用面积之差即可解答，熟知扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， 根据题意可得， 三角形为等边三角形， ，， ， ， ， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分24分）． 9. 小米汽车采用0.0000000048米制程技术打造的全新旗舰车规级芯片—高通8295芯片，其算力、性能、渲染性能大幅提升．把0.0000000048用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法表示绝对值小于1的数时，形式为，其中，为负整数，的绝对值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数，包括小数点前面的那个零． 【详解】解：． 10. 写出不等式组的一个整数解为_____． 【答案】（或） 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再确定不等式组的解集.最后在解集中找出一个整数解即可． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：，即， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为1和2，任取一个即可． 11. 如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵点是劣弧中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 12. 如图，在正五边形中，连接，则的度数是 ________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了正五边形的内角和、等腰三角形的性质等知识点．根据多边形的内角和公式求出正五边形五个内角的度数，在中，根据等腰三角形两底角相等求出的度数，从而得到的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， 故答案为：． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 14. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与轴交点问题．抛物线与轴有两个交点，即对应二次方程有两个不相等的实数根，判别式需大于零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵抛物线 与轴有两个交点， ∴二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： ． 15. 点A在函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，点C、D在x轴上．若四边形ABCD是正方形且面积为9，则k＝______． 【答案】15或-3##-3或15 【解析】 【分析】由四边形ABCD是正方形得AB//x轴，，延长AB交y轴于E，根据反比例系数k的意义得，，即，即，时，，即求解以上两种情况即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB//CD， 即AB//x轴， 当， 如图所示，延长BA交y轴于E， ∵，，正方形ABCD的面积为9， ∴， 即， ， 当，此时反比例函数的图象分布在第二象限才会存在正方形ABCD. 如图所示， ∵，，正方形ABCD的面积为9， ∴， 即， ，此时 ∴ 故答案为：15或-3 【点睛】本题考查了反比例系数k的意义，正方形的性质，解题的关键是掌握反比例系数k的意义并合理分类讨论． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，…，均为等边三角形，点A，，…，在x轴上，，点B在y轴上，轴，C为中点，为中点……为中点，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，先推导出，得到是等边三角形，求出，，进而推导出，得到，继而求出，，按此规律，，即可解答． 【详解】解：连接，，如图 轴，是等边三角形， ， ， 轴，是等边三角形， ， ， 是等边三角形，， ，， 点为的中点， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 同理可得，，，， ，， ， ， ， 同理可得， 按此规律，． 三、解答题（共10小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题先分别计算负整数指数幂、化简绝对值、计算有理数的乘方以及特殊角的三角函数值，再按照实数的加减混合运算顺序进行计算． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，点E在平行四边形的边上． （1）只用无刻度直尺在上作出点F，使得（保留作图痕迹）； （2）依据你的作图，证明：． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，能灵活运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键． （1）连接交于点O连接并延长交于F即可； （2）根据平行四边形的性质得出，，求出，根据去三角形的判定得出即可． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点O连接并延长交于F，点F即为所求； 【小问2详解】 证明：∵在平行四边形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 某商店销售甲、乙两种书包，进价分别为40元/个、30元/个，售价不变． 近两周销售情况如下： 第一周：卖出甲3个，乙5个，总收入410元 第二周：卖出甲2个，乙6个，总收入380元 请解答： （1）求甲、乙两种书包的销售单价． （2）若商店计划一共卖出甲、乙共25个，想盈利500元，能否实现？说明理由． （3）某人带600元同时购买甲、乙两种书包（两种都买，钱刚好用完），请你帮他设计一下所有购买方案． 【答案】（1）甲书包销售单价为70元/个，乙书包销售单价为40元/个． （2）不能实现． （3）共有2种购买方案：方案1，购买甲书包4个，乙书包8个；方案2，购买甲书包8个，乙书包1个． 【解析】 【分析】本题是二元一次方程(组)的实际应用问题， （1）设甲、乙单价为未知数，根据两周总收入可列二元一次方程组，求解即可得到结果； （2）设甲的销售数量，根据总盈利列一元一次方程，然后根据销售数量为正整数判断是否能实现； （3）设两种书包的购买数量，根据总费用列二元一次方程，结合数量为正整数、两种都买的限制条件，找出所有符合的解得到购买方案． 【小问1详解】 解：设甲书包销售单价为元/个，乙书包销售单价为元/个． 根据题意得：   ， 解得：  ， 答：甲书包销售单价为70元/个，乙书包销售单价为40元/个． 【小问2详解】 解：设卖出甲书包个，则卖出乙书包个． 甲书包每个盈利为(元)，乙书包每个盈利为(元)． 根据题意得：   解得．  销售个数必须为正整数，不是正整数 ， 不能实现盈利500元的目标． 答：不能实现． 【小问3详解】 解：设购买甲书包个，乙书包个，均为正整数． 根据题意得： ，整理得 ， ∴．  是正整数，即， ∴， 又∵，   是正整数， ∴或． ∴时，； 时，． 答：共有2种购买方案：方案1，购买甲书包4个，乙书包8个；方案2，购买甲书包8个，乙书包1个． 21. 【数据收集】 某教育集团为了从两支篮球校队中选拔队员参加青少年投篮比赛，现组织两支队伍各名篮球运动员在相同的条件下进行投篮比赛，每位运动员投篮次，并对两支队伍的运动员选手投中次数进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将两支队伍选手依次投中次数绘制成如下条形统计图． 【数据分析】 （1）小华同学利用图表对两队进行分析，请完成下列表格． 球队 平均数 中位数 最大值 方差 次 ________次 次 ________次 次 次 （2）根据小华的分析，你认为两支队伍中谁的成绩更稳定，为什么？ （3）集团决定从队投中次数最高的同学和队投中次数最高的同学中各选一人参加投篮比赛，请用列表或画树状图的方法，求两队都选中七号队员的概率是多少？ 【答案】（1）； （2）队成绩更稳定，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查分析统计图中的数据，中位数，平均数，方差等数值的概念，利用方差对两组数据进行比较与评价，等可能事件的概率和画树状图求概率． （1）根据中位数，平均数的概念，分析统计图中的数据，得出队的中位数和队平均数． （2）根据方差可以用来评价数据的稳定程度，可得队成绩更稳定． （3）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到两队都选中七号队员的次数，根据等可能事件的概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵队中投中次数排序为，共个人， ∴中位数为第与第个数的平均值：， ∵队中投中次数排序为，共个人， ∴平均数为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：队成绩更稳定，理由如下， ∵，，方差越小数据越稳定， ∴队成绩更稳定； 【小问3详解】 解：队投中次数最高的同学有两位，为五号和七号，队投中次数最高的同学有三位，为二号、七号和八号， 根据题意绘制树状图如下， ∴共有六种等可能情况，其中两队都选七号的结果只有一种， ∴两队都选七号的概率． 22. 今年是《全民阅读促进条例》施行的第一年，全民阅读热情持续高涨．小彤某次去汉中市图书馆阅读时，运用所学知识测量了图书馆大楼某一位置距离地面的高度，如图，在地面上的点处竖立一根标杆，发现地面上的点、标杆顶端和大楼此位置恰好在一条直线上；在木桩的顶端处放置一面平面镜（大小不计），小彤站在地面上的点处，眼睛位于点处时，恰好可以从平面镜中看到大楼此位置的像．已知米，米，米，米，米，在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内．请你求出大楼此位置到地面的高度． 【答案】13米 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，构造矩形和矩形，利用矩形的性质得到对应的边相等，再根据题意得到和相似，与和相似，最后联立两个相似比求解． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，如图， 则四边形和四边形均为矩形， 米，米． ， ，即①． ， ，即②． 结合①②解得米，即大楼此位置到地面的高度为13米． 23. 随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛．某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试，测试路线如图1所示（图中各角均为直角）．机器人（抽象为一点）从点出发，沿的路线匀速运动，并能够监测区域内的实时情况． 的面积与机器人运动的时间之间的关系如图2所示．若， 请根据图象问答下列问题： （1）求机器人的运动速度； （2）求的值； （3）当时，求的值． 【答案】（1） （2）的值为30 （3）的值为4.5 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图像获取信息是解题的关键； （1）由图2的第一段折线可知，机器人经过到达点处，进而根据速度等于路程除以时间，即可求解； （2）由图2的第三段折线可知，机器人从点到达点需要，根据三角形的面积公式，即可求解； （3）由图2可知，当时，机器人位于点和点之间，设此时机器人到的距离为．进而根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【小问1详解】 解：由图2的第一段折线可知，机器人经过到达点处， 因为，， 所以． 所以． 所以机器人的运动速度． 【小问2详解】 由图2的第三段折线可知，机器人从点到达点需要， 所以． 因为图中各角均为直角， 所以． 所以． 所以的值为30． 【小问3详解】 由图2可知，当时，机器人位于点和点之间，设此时机器人到的距离为． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 因为， 所以． 所以当时，的值为 24. 如图，在中，，，为的弦，圆心在内部，连接并延长分别交及于点，，为的切线，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，的半径为，求的长． 【答案】（1）证明：连接， 是切线，为半径， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线性质得，结合推出，由平行线性质与的等边对等角完成角等量代换，证 （2）由（1）得，连接，是直径得，结合半径算出长，在中求；再由为等腰直角三角形得，过作，设未知数结合三角函数列方程求解 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：过作于， 是直径， ， 半径 ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． （1）请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． （2）如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】（1）， （2）存在，Q的坐标为或或或 （3）3 【解析】 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 26. 如图，在矩形中，． （1）如图1，过点作，垂足为，求证：； （2）如图2，在（1）条件下，点为上一点，连接并延长至点，交于点，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，平面内一点，满足，，，连接并延长至点，使，连接，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴； ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点F为上一点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据垂直的定义得到，则，通过证明，得到，再利用比例的性质即可证明； （2）先证明，得到，结合（1）中的结论得到，再证明，得到，结合垂直的定义得到，则有，即可得出结论； （3）根据题意可知点在以为圆心，半径为1的圆上运动，作交延长线于点，与交于点，连接，先证明，得到，再证明，得到，得出，则点在过点且与垂直的直线上运动，当时，线段取最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴点在以为圆心，半径为1的圆上运动， 作交延长线于点，与交于点，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点在过点且与垂直的直线上运动， ∴当时，线段取最小值， ∵矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴此时 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弘文中学2025—2026学年九年级第三次模拟 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，共26个小题，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前考生务必将姓名、班级、学号写在答题卡上． 3．考生答卷一律用黑色中性笔答题． 4．答卷时有残、破、缺、损及印刷不清晰的试卷及时更换． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，移走其中一个小正方体后，左视图发生了变化，则移走的小正方体是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 如图是深圳市2024年4月日的天气情况，这5天中最低气温（单位：）的中位数与众数分别是（ ） A. 19，19 B. 19，18 C. 18，19 D. 20，19 4. 如图，有，，三地，地在地北偏西方向上，，则地在地的（ ） A. 北偏东方向 B. 南偏西方向 C. 南偏西方向 D. 北偏东方向 5. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，放置直角三角板，，点，，，在轴上，点，在轴正半轴上，其中，，，．把沿轴向右平移，当恰好经过点时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，取的中点，以为圆心，为半径画半圆，再以为圆心，为半径画扇形，两条弧交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分24分）． 9. 小米汽车采用0.0000000048米制程技术打造的全新旗舰车规级芯片—高通8295芯片，其算力、性能、渲染性能大幅提升．把0.0000000048用科学记数法表示为__________． 10. 写出不等式组的一个整数解为_____． 11. 如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 12. 如图，在正五边形中，连接，则的度数是 ________． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 14. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 15. 点A在函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，点C、D在x轴上．若四边形ABCD是正方形且面积为9，则k＝______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，…，均为等边三角形，点A，，…，在x轴上，，点B在y轴上，轴，C为中点，为中点……为中点，则的面积为________． 三、解答题（共10小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点E在平行四边形的边上． （1）只用无刻度直尺在上作出点F，使得（保留作图痕迹）； （2）依据你的作图，证明：． 20. 某商店销售甲、乙两种书包，进价分别为40元/个、30元/个，售价不变． 近两周销售情况如下： 第一周：卖出甲3个，乙5个，总收入410元 第二周：卖出甲2个，乙6个，总收入380元 请解答： （1）求甲、乙两种书包的销售单价． （2）若商店计划一共卖出甲、乙共25个，想盈利500元，能否实现？说明理由． （3）某人带600元同时购买甲、乙两种书包（两种都买，钱刚好用完），请你帮他设计一下所有购买方案． 21. 【数据收集】 某教育集团为了从两支篮球校队中选拔队员参加青少年投篮比赛，现组织两支队伍各名篮球运动员在相同的条件下进行投篮比赛，每位运动员投篮次，并对两支队伍的运动员选手投中次数进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将两支队伍选手依次投中次数绘制成如下条形统计图． 【数据分析】 （1）小华同学利用图表对两队进行分析，请完成下列表格． 球队 平均数 中位数 最大值 方差 次 ________次 次 ________次 次 次 （2）根据小华的分析，你认为两支队伍中谁的成绩更稳定，为什么？ （3）集团决定从队投中次数最高的同学和队投中次数最高的同学中各选一人参加投篮比赛，请用列表或画树状图的方法，求两队都选中七号队员的概率是多少？ 22. 今年是《全民阅读促进条例》施行的第一年，全民阅读热情持续高涨．小彤某次去汉中市图书馆阅读时，运用所学知识测量了图书馆大楼某一位置距离地面的高度，如图，在地面上的点处竖立一根标杆，发现地面上的点、标杆顶端和大楼此位置恰好在一条直线上；在木桩的顶端处放置一面平面镜（大小不计），小彤站在地面上的点处，眼睛位于点处时，恰好可以从平面镜中看到大楼此位置的像．已知米，米，米，米，米，在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内．请你求出大楼此位置到地面的高度． 23. 随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛．某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试，测试路线如图1所示（图中各角均为直角）．机器人（抽象为一点）从点出发，沿的路线匀速运动，并能够监测区域内的实时情况． 的面积与机器人运动的时间之间的关系如图2所示．若， 请根据图象问答下列问题： （1）求机器人的运动速度； （2）求的值； （3）当时，求的值． 24. 如图，在中，，，为的弦，圆心在内部，连接并延长分别交及于点，，为的切线，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，的半径为，求的长． 25. 2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． （1）请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． （2）如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 26. 如图，在矩形中，． （1）如图1，过点作，垂足为，求证：； （2）如图2，在（1）条件下，点为上一点，连接并延长至点，交于点，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，平面内一点，满足，，，连接并延长至点，使，连接，直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $