精品解析：辽宁省阜新市第四中学2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

2025—2026学年度（下）第四中学质量检测（月清二） 八年级数学试卷 一、选择题（每小题给出的四个选项中只有一个是正确的．每小题3分共30分） 1. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，，则不成立，不符合题意，选项错误； 、∵，∴，符合题意，选项正确； 、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误； 、，，，则不成立，不符合题意，选项错误． 故选：． 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，且需要等式左右两边恒等，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵因式分解需要满足：等式右边为几个整式的乘积，且等式左右恒等， ∴逐项判断如下： A 选项，等式右边为，不是整式乘积的形式，因此不是因式分解，不符合题意； B 选项，从左到右是整式的乘法运算，是将乘积展开为多项式，不是因式分解，不符合题意； C 选项，等式右边，与左边不相等，变形错误，不是因式分解，不符合题意； D 选项，，符合因式分解的定义，满足要求，因此此项符合题意． 3. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： A、 是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 4. 式子有意义，则实数a的取值范围是（ ） A. a≥-1 B. a≠2 C. a≥-1且a≠2 D. a＞2 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可. 【详解】解：由题意得， 解得，a≥-1且a≠2， 故答案为：C. 【点睛】本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围，属于基础题目，比较容易掌握. 5. 在中，，，分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交、于点M、N，连接，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可得的长及，进而推导出为中点，利用勾股定理求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线 ，， 在中， ， 在中， 的周长 6. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 7. 关于的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式， 移项得， 系数化为1得； 解不等式， 去分母得， 移项得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ． 8. 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和求出，可知，即可求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，为等腰三角形，，是边上异于的任意一点，于点，于点．则的值为（ ） A. B. 12 C. 15 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】连接，作于点H，先求出，再根据求出结论即可． 【详解】解：连接，作于点H， ， ， ， ， ， ， ． 10. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 二、填空题（每题3分，共计15分） 11. 多项式x2﹣9因式分解的结果是____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式（）因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用公式法因式分解．熟记平方差公式是解题关键． 12. 如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据图象解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， ∴不等式组的解集是， 故答案为：． 13. 若分式方程有增根，则的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫做分式方程的增根，解分式方程，可得，因为分式方程有增根，可得． 【详解】解：分式方程两边都乘，得 ． 解方程，得 ． 因为分式方程有增根，可得 ． 解方程，得 ． 所以． 解方程，得 ． 14. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可以打_____折． 【答案】8.8 【解析】 【分析】设打x折，则售价是500×元．根据利润率不低于10%就可以列出不等式，求出x的范围． 【详解】解：要保持利润率不低于10%，设可打x折． 则500×-400≥400×10%， 解得x≥8.8． 故答案是：8.8． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润=进价×利润率，是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，点在的垂直平分线上，是上一动点，沿折叠得到，当是直角三角形时，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定了，先判断出当是直角三角形时，只能是，再推出，求出，，在中，利用勾股定理列方程解方程即可求出的长． 【详解】解：点在的垂直平分线上，沿折叠得到， ， ， 是直角三角形， 只能是，如图， ， 在中，，，， ，， ， ， ， ， 在中，，由勾股定理得：，即， 解得：， 在中，由勾股定理得：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， 故答案为：或． 三、解答题（共75分．16题10分，17题5分，18题8分，19题9分，20题8分，21题10分，22题13分，23题12分） 16. 分解因式及解不等式组 （1）分解因式： （2）解不等式组并在数轴上表示不等式组的解集． 【答案】（1） （2） ，数轴表示解集如图： 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式① 得； 解不等式② 得； ∴不等式组的解集为； 略. 17. 解分式方程： 【答案】是原分式方程的解 【解析】 【详解】解：， 去分母，得：， 解整式方程，得：， 经检验，是原分式方程的解． 18. 先化简，再从，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从，0，1，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当，0，1时原分式无意义， ， 当时，原式． 19. 如图，已知点的坐标分别为，，． （1）将沿着轴向左平移5个单位长度后得到，请画出； （2）将绕着点顺时针旋转后得到，请画出； （3）线段在轴上运动（点在点左边），且，请求出的最小值． 【答案】（1）解：如图，即为所求； ． （2）解：如图，即为所求； ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）连接，，取点左侧一格点，连接，作点关于轴的对称点，连接，当共线时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，， 取点左侧一格的点，连接，则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点关于轴的对称点，则，连接， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵ ∴， ∴的最小值为． 20. 如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再由，，可得． （2）先根据证明，即可得到，然后证明即可得到结论． 【小问1详解】 是等边三角形 ， ， 由旋转的性质得 ∴ ． 【小问2详解】 由旋转的性质得， 是等边三角形， ，， ， ， 21. 某单位为美化环境，计划对面积为平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？ （2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为元，付给乙队的费用为元，要使这次的绿化总费用不超过元，至少安排甲队工作多少天？ 【答案】（1）乙队每天绿化面积为40平方米，甲队为60平方米；（2）至少安排甲队工作天． 【解析】 【分析】（1）由题意设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为360平方米区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据题意设安排甲队工作y天，则需安排乙队工作天，根据总费用=700×甲队工作时间+500×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过14500元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设乙队每天绿化面积为平方米，甲队为平方米，于是得： 解得： 经检验，是原方程的解，， 答：甲、乙两队每天绿化的面积分别是平方米、平方米； （2）设至少安排甲队工作天， 于是得： 解得： 答：至少安排甲队工作天． 【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程以及根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数． 为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长． （3）能力提升 如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，可求，由勾股定理可求解； （3）由，可得，，，即可求解． 【详解】解：（1）和都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ，， ， ， ， ； （2）如图②，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （3）当点与点重合时，线段绕点顺时针旋转， ，， 是等边三角形， ， ，， 为直角三角形， ， ，，， ， 如图③，延长至，使，连接，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，，， 又， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的性质，旋转的性质，利用旋转的性质添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 阅读材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：用换元法对多项式进行因式分解． 解：把“”看成一个整体，令， 则． 把代入得，原式． （1）请你用换元法对下列多项式进行因式分解： ①___________．（填空） ②．（写过程） （2）小聪发现也可以用换元法因式分解． 解：原式 … 请帮小聪同学把过程补充完整． （3）请直接写出因式分解的结果： ①___________． ②___________． 【答案】（1）①；②； （2）解：原式 令， 则原式 ， ∵， ∴原式. （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用换元法进行求解即可； （2）先利用多项式乘以多项式的法则进行展开，再利用换元法进行因式分解即可； （3）仿照（2）的思路进行求解即可. 【小问1详解】 解：①令， 则 ； ∵， ∴原式； ②令， 则 ； ∵， ∴原式； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：① ； ② . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度（下）第四中学质量检测（月清二） 八年级数学试卷 一、选择题（每小题给出的四个选项中只有一个是正确的．每小题3分共30分） 1. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 式子有意义，则实数a的取值范围是（ ） A. a≥-1 B. a≠2 C. a≥-1且a≠2 D. a＞2 5. 在中，，，分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交、于点M、N，连接，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 6. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 关于的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为等腰三角形，，是边上异于的任意一点，于点，于点．则的值为（ ） A. B. 12 C. 15 D. 10 10. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共计15分） 11. 多项式x2﹣9因式分解的结果是____． 12. 如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式组的解集是______． 13. 若分式方程有增根，则的值为_______． 14. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可以打_____折． 15. 如图，在中，，，，点在的垂直平分线上，是上一动点，沿折叠得到，当是直角三角形时，则的长为______． 三、解答题（共75分．16题10分，17题5分，18题8分，19题9分，20题8分，21题10分，22题13分，23题12分） 16. 分解因式及解不等式组 （1）分解因式： （2）解不等式组并在数轴上表示不等式组的解集． 17. 解分式方程： 18. 先化简，再从，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值． 19. 如图，已知点的坐标分别为，，． （1）将沿着轴向左平移5个单位长度后得到，请画出； （2）将绕着点顺时针旋转后得到，请画出； （3）线段在轴上运动（点在点左边），且，请求出的最小值． 20. 如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：． 21. 某单位为美化环境，计划对面积为平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？ （2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为元，付给乙队的费用为元，要使这次的绿化总费用不超过元，至少安排甲队工作多少天？ 22. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数． 为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长． （3）能力提升 如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积． 23. 阅读材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：用换元法对多项式进行因式分解． 解：把“”看成一个整体，令， 则． 把代入得，原式． （1）请你用换元法对下列多项式进行因式分解： ①___________．（填空） ②．（写过程） （2）小聪发现也可以用换元法因式分解． 解：原式 … 请帮小聪同学把过程补充完整． （3）请直接写出因式分解的结果： ①___________． ②___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $