精品解析：辽宁省阜新市第四中学2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题

2024—2025学年度（下）第四中学质量检测（月清三） 八年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列垃圾分类标志分别是可回收垃圾、有害垃圾、厨余垃圾和其他垃圾，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则的周长为（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 20 3. 如图，已知点O是等边三角形三条高的交点，现将绕点O旋转，使其和重合，则至少应旋转（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，都在直线上，则，大小关系（ ） A. B. C. D. 不能比较 5. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（　　） A. ①②③⑤ B. ①②④⑤ C. ①②④⑥ D. ①③④⑥ 6. 若将分式中的a与b的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将( ) A. 扩大为原来的2倍 B. 分式的值不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 7. 矩形纸片两邻边长分别为a，b（），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为（　　） A B. C. D. 8. 在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（ ） A. B. C. D. 10. 定义一种新运算：，，例如：当时，，．下列说法正确的有（ ） ①；②当时，；③当，时，． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 不等式6﹣2x＞0的解集是_____． 12. 若分式的值为零，则______． 13. 如图，点A、B坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为______． 14. 在中，，，的平分线分别与、射线交于点E，F，则的长度为______． 15. 如图，正方形的边长为，点为对角线上的两个动点，，则四边形周长的最小值为_____． 三、解答题（16题8分，17题6分，18题8分，19题9分，20、21题每题10分，22题、23题每题12分，共75分） 16. （1）分解因式：； （2）解分式方程：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）在网格中，将向左平移5个单位，画出平移后得到的（点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点）； （2）在网格中，将绕着点O顺时针旋转，画出旋转后得到的（点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点）； （3）在平面内有一点D，当以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标为______． 19. 在平面直角坐标系中，正方形GHMN的顶点分别是，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：将线段绕点P旋转可以得到线段（分别为A，B的对应点），如果点在正方形的边上（包括顶点），则称线段为正方形以点P为中心的“关联线段”． （1）如图1，已知点，在线段，，中，正方形以点P为中心的“关联线段”是_______； （2）已知点，线段是正方形以点P为中心的“关联线段”． ①求点P的坐标； ②直接写出点F的横坐标m的取值范围． 20. 如图，已知和都等边三角形，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 21. 因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求k的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； （3）在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 22. 某学校为筹备初三同学们的毕业活动，准备为该校300名毕业生购进A，B两款衬衫，每件A款衬衫比每件B款衬衫多5元，用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同． （1）求A款衬衫和B款衬衫每件各多少元？ （2）学校计划用不多于13000元购买衬衫，那么最多可以购买A款衬衫多少件？ （3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款八折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，求m值． 23. 如图，正方形和正方形（其中），的延长线与直线交于点H． （1）如图1，当点G在上时，求证：，； （2）将正方形绕点C旋转一周． ①如图2，当点E在直线右侧时，求证：； ②若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度（下）第四中学质量检测（月清三） 八年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列垃圾分类标志分别是可回收垃圾、有害垃圾、厨余垃圾和其他垃圾，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心）逐项判断即可得． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 在中，，，则的周长为（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，利用平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ， 的周长为：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形的两组对边分别相等是解题的关键． 3. 如图，已知点O是等边三角形三条高的交点，现将绕点O旋转，使其和重合，则至少应旋转（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及旋转的性质，等边对等角和三角形内角和定理，掌握等边三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线相互重合是解题的关键． 根据题意得到、平分和，求出，，当A与B重合时则B与C重合，可得到答案． 【详解】解：∵点O是等边三角形三条高的交点， ∴、平分和， ∴， ∴， ∴绕点O旋转可与重合， ∴至少应旋转． 故选B． 4. 已知点，都在直线上，则，大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到y随x的增大而减小，比较判断选择即可． 【详解】∵点，都在直线上，且，， ∴y随x的增大而减小，， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 5. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（　　） A. ①②③⑤ B. ①②④⑤ C. ①②④⑥ D. ①③④⑥ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ②∵AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确； ③∵AB∥CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故③不正确； ④∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∵∠ADC=∠ABC， ∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确； ⑤∵AB∥CD， ∴∠ABO=∠CDO， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AO=CO， 又∵OB=OD， ∴四边形ABCD为平行四边形，故⑤正确； ∵∠BCD+∠ADC=180°， ∴AD∥BC， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； ⑥∵∠DBA=∠CAB， ∴OA=OB， ∵AB∥CD， ∴∠DBA=∠CDB，∠CAB=∠ACD， ∵∠DBA=∠CAB， ∴∠CDB=∠ACD， ∴OC=OD， 不能得出四边形ABCD是平行四边形，故⑥不正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 6. 若将分式中的a与b的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将( ) A. 扩大为原来的2倍 B. 分式的值不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【详解】分别用2a和2b去代换原分式中的a和b， 原式= ， 可见新分式是原分式的倍． 故选C． 7. 矩形纸片两邻边的长分别为a，b（），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，完全平方公式， 首先根据勾股定理得到，然后利用正方形，正方形和正方形的面积之和为：代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴正方形，正方形和正方形的面积之和为： ． 故选：C． 8. 在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设实际每天铺xm管道，则原计划每天铺m管道， 根据题意，得， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 9. 若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案. 【详解】等式的两边都乘以(x - 2)，得 x = 2(x-2)+ m， 解得x=4-m，且x≠2， 由关于x的分式方程的解为正数， ∴4-m＞0，4-m≠2 ∴m<4且m≠2 则满足条件的正整数 m 的值为m=1，m=3， 故选: D 【点睛】本题考查了分式方程的解，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，注意要检验分式方程的根. 10. 定义一种新运算：，，例如：当时，，．下列说法正确的有（ ） ①；②当时，；③当，时，． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，①把分别代入求出与的值，代入原式检验即可；②根据的值，求出m的值，代入计算求出的值，即可作出判断；③把各式代入已知等式，相加减求出与的值，代入原式计算得到结果，判断即可． 详解】解：①当时，，因此该项错误，不符合题意； ②由题意得：，即， 解一元二次方程得， ∴，因此该项错误，不符合题意； ③∵， ∴， 同理可得， ∴得：，即， 得：，即， ∴，因此该项正确，符合题意， 综上，正确的有③，一共1个， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 不等式6﹣2x＞0的解集是_____． 【答案】x＜3． 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质：先移项合并同类项，再系数化1即可求得不等式的解集． 【详解】移项得，﹣2x＞﹣6， 两边同时除以﹣2得，x＜3． 故答案为：x＜3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错． 12. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了使分式的值为0时，求的值，要保证分子为0的同时，分母不为0，计算出结果即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 又， ∴取． 故答案为：． 13. 如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中平移的性质，根据平移的特征可知点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点，则将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点，即可求解． 【详解】解：根据点平移到点，可知横坐标增加2，纵坐标增加1， ∴将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴点，即． 故答案为：． 14. 在中，，，的平分线分别与、射线交于点E，F，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得出，，得出，结合角平分线得出，则可得，利用线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为，点为对角线上的两个动点，，则四边形周长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，截取，过点作于点，交于点，利用四边形是平行四边形，得出，利用四边形是正方形，得出，，则四边形周长，由，得出当、、依次共线时，最小，最小值为，证明四边形是矩形，得出，，，证明是等腰直角三角形，得出，则，，可得，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过点作，截取，过点作于点，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形周长， ∵， ∴当、、依次共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在，， 即最小值为， ∴四边形周长的最小值，即的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，轴对称最值问题，熟练掌握造桥选址型最值问题的解法是解题的关键． 三、解答题（16题8分，17题6分，18题8分，19题9分，20、21题每题10分，22题、23题每题12分，共75分） 16. （1）分解因式：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解分式方程，熟练掌握因式分解的运算法则和解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解； （2）利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 检验：当时，， ∴ 分式方程无解． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算及求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先利用分式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）在网格中，将向左平移5个单位，画出平移后得到的（点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点）； （2）在网格中，将绕着点O顺时针旋转，画出旋转后得到的（点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点）； （3）在平面内有一点D，当以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，并连线作图即可； （2）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2，并连线作图即可； （3）有三种情形，画出平行四边形，并根据平移坐标的变化求解即可． 【小问1详解】 解：如下图所示： 【小问2详解】 解：如下图所示： 【小问3详解】 解：如下图： ①当为对角线时，， 平移到是向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 经过平移，可得； ②当为对角线时，， 平移到是向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度， 经过平移，可得； ③当为对角线时，， 平移到是向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度， 经过平移，可得； 综上，D的坐标是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查作图——旋转变换、平移变换，平移坐标的变化，平行四边形的判定和性质等知识，根据平移、旋转的性质找出对应点的位置是解题的关键，第三问注意分情况讨论，避免漏解． 19. 在平面直角坐标系中，正方形GHMN的顶点分别是，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：将线段绕点P旋转可以得到线段（分别为A，B的对应点），如果点在正方形的边上（包括顶点），则称线段为正方形以点P为中心的“关联线段”． （1）如图1，已知点，在线段，，中，正方形以点P为中心的“关联线段”是_______； （2）已知点，线段是正方形以点P为中心的“关联线段”． ①求点P的坐标； ②直接写出点F的横坐标m的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了新定义，中心对称图形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是： （1）由题知“关联线段”是关于P点成中心对称的，根据中心对称的性质判断即可； （2）①由E与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上，点在正方形上，可得点的坐标，然后利用中点坐标公式即可求解； ②由点在正方形上可得，根据与F点关于P对称，可得F点的横坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：∵线段与线段关于点成中心对称，且G、M在正方形的边上， ∴线段是正方形以为中心的“关联线段”； ∵线段与线段关于点成中心对称，且N、M在正方形的边上， ∴线段是正方形以为中心的“关联线段”； 若线段是正方形以P为中心的“关联线段”，则， ∵，P在x轴上， ∴、的纵坐标为， 而正方形终只有点M的纵坐标为， ∴线段不是正方形以P为中心的“关联线段”， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵点，线段是正方形以点P为中心的“关联线段” ∴与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上， ∴点的纵坐标为． 又∵点在正方形上， ∴点的坐标为， ∴P点坐标为，即． ②∵点在正方形上 ∴， ∵与F点关于对称， ∴． 20. 如图，已知和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】考查等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （2）连接，先根据旋转的性质证明是等边三角形，再证明，得，由①得，得，即可证明四边形是平行四边形 【小问1详解】 证明：和都是等边三角形， ，，， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接，    由旋转得，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）， ， ， 四边形是平行四边形； 21. 因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求k的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； （3）在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【答案】（1） （2）的值为，的值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可． 小问1详解】 解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，得， 解得：； 【小问2详解】 解：∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得， 即的值为，的值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知，的值为，的值为， ∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1， ∴设， 右边展开式常数项为，左边的常数项为， ∴， 解得：， ∴． 22. 某学校为筹备初三同学们的毕业活动，准备为该校300名毕业生购进A，B两款衬衫，每件A款衬衫比每件B款衬衫多5元，用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同． （1）求A款衬衫和B款衬衫每件各多少元？ （2）学校计划用不多于13000元购买衬衫，那么最多可以购买A款衬衫多少件？ （3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款八折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，求m值． 【答案】（1）A款衬衫每件45元，则B款衬衫每件40元； （2）最多可以购买A款衬衫200件； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式加减的应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设A款衬衫每件x元，则B款衬衫每件元，然后根据用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同列出方程求解即可； （2）设购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件，然后根据“学校计划不多于13000元购买衬衫”，列出不等式求解即可； （3）设购买资金为W元，购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件，求出，根据题中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出结果． 【小问1详解】 解：设A款衬衫每件x元，则B款衬衫每件元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴， ∴A款衬衫每件45元，则B款衬衫每件40元； 【小问2详解】 设购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件， 由题意得，， 解得， ∴最多可以购买A款衬衫200件； 【小问3详解】 设购买资金为W元，购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件， 由题意得， ， ∵购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，， ∴W的取值与a的值无关， ∴， ∴． 23. 如图，正方形和正方形（其中），的延长线与直线交于点H． （1）如图1，当点G在上时，求证：，； （2）将正方形绕点C旋转一周． ①如图2，当点E在直线右侧时，求证：； ②若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②线段长为和 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到，，再由角的等量代换即可证明； （2）①在线段上截取，连接，证明，得到为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得到结论； ②分两种情况，第一种情况：当点E在直线右侧时，同①可得为等腰直角三角形．得出，则可得,利用，；第二种情况：当点E在直线左侧时，同理可求． 【小问1详解】 证明：∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图所示，在线段上截取，连接． ∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形． ∴； ②第一种情况：当点E在直线右侧时， 同①可得为等腰直角三角形． ∴，， ∵， ∴, 同①可得， ∴； 第二种情况：当点E在直线左侧时， 在线段延长线上截取，连接． ∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形． ∴，， ∵， ∴, ∴； 综上所述，线段的长为和． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等知识点，解题的关键是熟知上述知识点，并正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$