考点13.12带电小球在复合场中的运动-2027高考物理一轮复习100考点精练

**基本信息** 聚焦带电小球在复合场中的运动，通过20道选择与计算题，系统覆盖受力分析、运动判断及能量综合，强化物理观念与科学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础辨析|8道选择|运动图像分析、状态判断|从单一力到多力平衡，建立“受力分析-运动形式”对应关系| |综合应用|12道计算|多过程运动、临界条件|结合能量转化与边界约束，深化“运动规律-定量计算”推理链条|

2027高考物理一轮复习100考点精练 第十三章 磁场 考点13.12 带电小球在复合场中的运动 【考点精练】 1.（2026陕西西安模拟） 如图所示，质量为的带正电小球，套在粗糙水平细杆上，空间中存在水平向右的匀强电场和垂直平面向里的匀强磁场，给小球一初速度，关于小球的加速度和速度大小的变化图像可能正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】．对小球受力分析，小球受向下的重力、向右的电场力、向上的洛伦兹力、向左的摩擦力、杆的弹力方向可能向上也可能向下，当电场力大于滑动摩擦力，且弹力向下，根据牛顿第二定律有，可知随着小球速度的增大，小球的加速度逐渐减小，最后加速度减小到零，做匀速直线运动； A正确； 当电场力大于滑动摩擦力，且弹力向上，根据牛顿第二定律有，可知随着小球速度的增大，小球受到的摩擦力先减小后增大，小球的加速度先增大后减小到零，速度一直增大后匀速，但图线的斜率先增加后减小，B错误； 当电场力小于滑动摩擦力，且弹力向上，根据牛顿第二定律有， 可知随着小球速度的减小，摩擦力逐渐增大，小球的加速度逐渐增大，速度减小直至停止，C正确； 当电场力小于滑动摩擦力，且弹力向下，根据牛顿第二定律有 加速度减小，速度减小，直至摩擦力等于电场力，小球做匀速直线运动，D错误； 2 . （2025届江苏泰州高三年级二模联考）如图所示，竖直平面内有一固定的光滑绝缘大圆环，直径AC水平、直径ED竖直。轻弹簧一端固定在大环的E点处，另一端连接一个可视为质点的带正电的小环，小环刚好套在大环上，整个装置处在一个水平向里的匀强磁场中，将小环从A点由静止释放，已知小环在A、D两点时弹簧的形变量大小相等。则（　　） A. 小环不可能滑到C点 B. 刚释放时，小环的加速度为g C. 弹簧原长时，小环的速度最大 D. 小环滑到D点时的速度与其质量无关 【答案】D 【解析】．小环下滑过程中只有重力和弹簧弹力做功，洛伦兹力不做功，由对称性可知，小环从A点由静止释放可以滑到C点，选项A错误； 刚释放时，竖直方向小环受向下的重力和弹力向下的分力作用，可知小环的加速度大于g，选项B错误； 小环在A、D两点时弹簧的形变量大小相等，可知在A点时弹簧压缩，在D点时弹簧伸长，弹簧在原长时小环在AD之间的某位置，此时弹力为零，但小环受合力不可能为零，加速度不可能为零，即小环的速度不可能最大，选项C错误； 小环在A、D两点时弹簧的形变量大小相等，则弹性势能相等，从A到D由能量关系可知 可得 即小环滑到D点时的速度与其质量无关，选项D正确。 3 (2024·安徽卷，10)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示;当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则(　　) A.油滴a带负电，所带电量的大小为 B.油滴a做圆周运动的速度大小为 C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 答案　ABD 解析　油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有mg＝qE，解得q＝，故A正确;根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，得R＝，解得油滴a做圆周运动的速度大小为v＝，故B正确;设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，得3R＝，解得v1＝，周期为T＝，故C错误;带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得mv＝v1＋v2，解得v2＝－，由于分离后的小油滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。 4 .如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度大小为E、方向竖直向下;该磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则(　　) A.液滴带正电 B.液滴比荷 C.液滴沿顺时针方向运动 D.液滴运动速度大小v＝ 答案　C 解析　液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的叠加场中做匀速圆周运动，可知qE＝mg，得，选项B错误;静电力方向竖直向上，液滴带负电，选项A错误;由左手定则可判断液滴沿顺时针方向运动，选项C正确;对液滴有qE＝mg，qvB＝m，联立得v＝，选项D错误。 5. （2025年5月山东省模拟演练）如图所示，竖直虚线MN将真空空间分割成I、II两个区域，I、II区域内存在范围足够大、大小为、垂直纸面且方向相反的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为+q的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为μ。现使圆环从杆的底部以初速度向上运动，经时间后圆环回到出发位置，杆的底部有个光滑的拐角，长度忽略不计，其能够使圆环无能量损失的水平向左脱离杆，并在一段时间后恰好能够进入II区域。已知重力加速度为g，圆环完成周期性运动的个数为n。下列说法正确的是（　　） A. 当圆环回到出发位置时速度v的大小为 B. 第一次通过MN边界时的速度大小 C. 在圆环未离开I区域内达到最高点前的位移大小为 D. 在圆环第二次通过MN边界前，从O点脱离杆后回到最高点的位移大小 【答案】BCD 【解析】．①上升阶段，对环受力分析 规定向下为正，对竖直方向列动量定理可得 ，Σ ②下降阶段，对环受力分析 规定向下为正，对竖直方向列动量定理可得 ，Σ， t=t上+t下， 联立以上两式可得 解得 ，A错误； 由受力分析知，物体只受重力及洛伦兹力，又因为物体初速度往左，故分解一个向右的速度且满足 即 则另一个速度 ，方向向左。 所以物体在mg和产生的洛伦兹力作用下向右做匀速直线运动，在v2产生的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，物体的实际运动为这两运动之和。 由题意可知，第一次通过MN边界时圆环的轨迹与其相切，速度竖直向上，则此时的速度方向如图所示 由图可知，当物体的速度竖直向上时，的速度方向与水平方向向左成θ角，且 所以 所以 ，B正确； 易知圆环在I区域内做周期性运动，且此时的运动无法影响竖直方向，所以回到最高点的时间由决定。 ①在圆环还未出I区域内达到最高点 设圆环已经完成了n个周期运动， 则有， ， 解得 ②在圆环出I区域后达到最高点 I、II区域磁场大小相等，方向相反，且圆环进入II区域时速度竖直向上， 所以圆环在II区域达到最高点的轨迹就是这个周期内剩下轨迹的对称图形，如图所示 则 ，， CD均正确。 6. （2025年4月东北三省部分高中联盟第二次模拟联合调研）如图所示，倾角为37°的光滑斜面ABC固定在水平地面上，一个质量为m，电荷量为的小球从斜面底端A点以初速度v沿斜面向上运动。整个装置处于水平向右的匀强电场中，场强，斜面竖直边BC所在直线右侧空间中充满垂直于纸面向里的磁感应强度为的匀强磁场，重力加速度为g，则小球运动过程中与AC所在直线的最大距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为沿斜面方向有 可知小球沿斜面向上做匀速运动到C点，若以斜面竖直边BC所在直线为分界线，在其右侧空间再加的匀强磁场，小球受到的洛伦兹力大小 （方向垂直于AC向上） 小球受到的电场力和重力的合力（方向垂直于AC向下） 利用“配速法”，将小球的速度分成，其中 则小球运动可以看作是沿AC做匀速直线运动，垂直于AC做匀速圆周运动的两个分运动的合成，则小球在运动过程中与AC所在直线的最大距离为 联立解得，故选A。 7. （深圳市高级中学高中园2025届高三下学期第三次模拟考试）如图所示，已知匀强电场方向向下，边界为矩形ABGH，匀强磁场方向垂直纸面向里，边界为矩形BCDG，GD长为L，磁感应强度为B。电量为q，质量为m的粒子，从AH中点以垂直电场的速度（未知量）进入电场，然后从边界BG进入磁场，轨迹恰好和磁场另外三个边界相切，运动个圆周后返回电场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A. 粒子一定带正电 B. AB长为2L C. D. 若电场强度减弱，粒子在磁场中运动时间将变长 【答案】B 【解析】．由题意可知，若粒子带正电，运动轨迹如图所示，若粒子带负电，由对称性，粒子在电场中向上偏转，磁场中运动的圆轨迹与正粒子圆轨迹相重合，故不论带何种电荷，都符合题意，A错误； 如图所示，取正粒子运动轨迹，轨迹恰好和磁场另外三个边界相切，运动个圆周后返回电场,所以圆弧对应的圆心角为，可知图中设定的，设粒子在磁场中运动轨道半径为r,由几何关系 设P点速度为,根据速度的分解可得 ， 粒子在电场中做类平抛运动，设粒子在电场中运动时间为，则有 ， 由几何关系 联立解得 B正确； 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦磁力提供向心力，可得 代入数据解得 C错误； 若电场强度减弱，粒子进入磁场的偏转角减小，粒子在磁场中运动的轨道半径减小，圆轨道对应的圆心角变小，所以在磁场中运动时间将变短，D错误。 8. (2025高考宝鸡三模)如图所示，光滑水平面上有一足够长绝缘木板b，木板中间放一带正电物块a，电荷量为q，物块与木板接触面间动摩擦因数为μ。木板与物块的质量均为m，整个空间存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B。现给木板一水平初速度，重力加速度为g。在以后的运动过程中，下列分析正确的是（ ） A. 当向左时，最终a、b一定共速 B. 当向左时，最终a在b上划痕的长度为 C. 当向右时，最终a、b一定共速 D. 当向右时，若，全过程摩擦生热为 【答案】AD 【解析】．当v0向左时，a受向左的滑动摩擦力作用向左加速，洛伦兹力向下增加，a、b间压力增加，滑动摩擦力增加，a向左做加速度逐渐增加的加速运动，b向左做加速度逐渐增加的减速运动，当二者速度相等时，二者一起向左匀速运动，故A正确。 当v0向左时，设最终a在b上划痕的长度为s，若没有磁场，由能量守恒，可得 由动量守恒得mv0=2mv 解得 有磁场时，a、b间压力在增加，滑动摩擦力比μmg大，所以划痕的长度小于，故B错误。 当v0向右时，a受向右的滑动摩擦力作用向右加速，洛伦兹力向上增加，a、b间压力减小，滑动摩擦力减小，a向右做加速度逐渐减小的加速运动，b向右做加速度逐渐减小的减速运动，当v0较小时，二者的加速度还没减小到0，速度就相等了，以后二者一起向右匀速运动。当v0较大时，洛伦兹力增加到等于mg，即a悬浮在b的上方接触而不挤压，摩擦力减为0，以后二者以不同速度向右匀速运动，故C错误。 若，向右时，假设最终二者以不同速度向右匀速运动，最后匀速时速度分别为va，vb，a、b系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，有mv0=mva+mvb 又有qvaB=mg 可得， 假设成立，说明以后二者确实以不同速度向右匀速运动。由能量守恒，可得全过程摩擦生热 得，故D正确。 9 （山西大同2025学年高三5月质量检测卷）如图所示，在平面直角坐标系中，虚线垂直于x轴，在y轴和虚线之间的区域空间有沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小未知，磁感应强度大小；在虚线的右侧区域空间有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于坐标平面向外的匀强磁场，电场强度，磁感应强度。将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从坐标原点以与x轴正方向成角斜向上的速度射入第一象限，粒子刚好在第一次过x轴时进入虚线右侧区域，且速度方向与x轴正方向的夹角为37°，不计粒子的重力，，．求： （1）粒子在y轴和虚线之间运动的时间； （2）电场强度的大小； （3）粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）粒子射入第一象限后，在垂直磁感应强度平面内做匀速圆周运动，有 运动到第一次过x轴的时间刚好是一个周期，则 解得 （2）粒子在y轴与虚线之间沿电场方向做匀加速直线运动，初速度大小为 粒子经过虚线时，沿x轴方向的分速度大小 根据牛顿第二定律有 根据运动学公式有 解得 （3）粒子进入虚线右侧区域时，由于 因此粒子的运动可以看成是沿x轴正方向以速度做匀速直线运动和以速度做匀速圆周运动的合运动，设做圆周运动的半径为R，则有 解得 因此粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离为 10. （2025年5月成都三诊）如图所示，空间直角坐标系Oxyz中，Oz方向竖直向上，M点坐标为，N点坐标为，H点坐标为。已知质量为m、电荷量为q的带正电小球以初速度从N点沿y轴正方向分别射入三种不同情况的复合场（均未画出）。小球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 （1）情况Ⅰ：在原点O固定一电荷量未知的负点电荷，小球能运动到M点，求小球到达M点的动能； （2）情况Ⅱ：空间同时存在沿z轴正方向、场强大小的匀强电场和沿x轴正方向的匀强磁场，小球能运动到H点，求小球从N到H的运动时间t； （3）情况Ⅲ：空间同时存在沿z轴正方向、场强大小的匀强电场和从N指向M方向的匀强磁场，小球能运动到M点，求磁感应强度的最小值。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）N、M两点电势相等，从N到M电场力做功为零，对小球由动能定理得 解得 （2）小球所受电场力等于重力 如图所示，小球在yOz平面内从N运动到H做匀速圆周运动，O′为轨迹圆圆心，设小球运动的半径为r，由几何关系可得： 解得：、 小球从N到H的运动时间为： 解得 （3）小球将做等距螺旋运动，将小球速度分解到垂直于磁场和平行于磁场的方向 平行磁场方向有： 运动时间： 小球在垂直磁场方向做匀速圆周运动，设周期为T，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律及周期公式，得 粒子运动的周期为 解得 当小球垂直于磁场方向完成一次圆周运动到M点时，磁感应强度有最小值，即 解得 11. （天津市九校联考高三年级模拟考试2）如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） （1）求电场强度的大小； （2）求磁感应强度的大小； （3）求斜面的长度。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）根据题意，当小球沿斜面下滑距离时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，说明电场力与重力的合力为零 由电场力与重力平衡得 代入数据解得电场强度的大小 （2）由题意知，当小球沿斜面下滑距离时与斜面脱离，分析小球此时受力情况可知，斜面对小球弹力恰为零，小球仅受重力、电场力和洛伦兹力作用 在垂直于斜面方向上 由平衡知识可得 下滑距离的过程只有重力和电场力做功 由动能定理得 联立并代入数据解得， （3）设脱离点距斜面底端距离为x，小球圆周运动的轨道半径为R 由洛伦兹力提供向心力得 代入数据解得 由几何关系可得 故斜面的长度 12. (山东德州2025年5月冲刺模拟)如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量，电荷量，绝缘管长为。在管口所在水平面的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，上下的整个区域还存在着竖直向上、场强的匀强电场。现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面的距离为。取，不计其它阻力。求： （1）小圆柱体刚进入磁场时的加速度大小； （2）小圆柱体的加速度为时的速度大小； （3）小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量； （4）小圆柱体第二次经过水平面时的速度大小。 【答案】（1）6m/s2 （2）m/s （3）0.2J （4）m/s 【解析】(1)小圆柱体刚进入磁场B1时，受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，其中重力和电场力二力平衡 所以洛伦兹力就是小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得 解得 (2)一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，则有 其中 解得 竖直方向的洛伦兹力和摩擦力的合力等于小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得 将代入得 此时小圆柱体的速度大小为 (3)由题意知，小圆柱体离开绝缘管时的速度为 小圆柱体在绝缘管内运动的过程中，根据动能定理有 解得小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量 (4)设某时刻速度为，方向与竖直方向夹角为，竖直方向根据动量定理有 即 解得 水平方向根据动量定理有 即 解得 所以小圆柱体第二次经过水平面ab时的速度大小为 13. (四川雅安市高2025年4月第二次诊断)如图所示，水平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；水平面下方有竖直放置的半径为R的圆筒，圆筒上下表面圆心、处各开有一个小孔，其内部有竖直向上的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度B未知。处于水平面内的粒子源O沿与水平方向成30°角发出的带电粒子，从处进入圆筒，恰好与筒壁不碰撞，最后从处射出。已知粒子质量为m，电荷量为q（q<0），粒子源O到圆心的水平距离为L。忽略粒子重力，不考虑边界效应。求 （1）粒子从粒子源射出时的速度大小； （2）粒子在圆筒内旋转周期T； （3）圆筒高度H满足的条件。 【答案】（1） （2） （3）（n=1，2，3……） 【解析】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径为r，则 由洛伦兹力提供向心力有 解得 (2)粒子从处进入圆筒，速度方向与水平方向成30°角，水平方向做匀速圆周运动，竖直方向做匀加速直线运动，有， 粒子恰好与筒壁不发生碰撞，则粒子做圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力有 粒子做圆周运动的周期 解得 (3)粒子在竖直方向做匀加速直线运动，有 运动时间满足（n=1，2，3……） 根据 解得（n=1，2，3……） 14．（2026河北保定质检）光滑绝缘水平桌面上存在着竖直向下、磁感应强度大小B=0.1T的匀强磁场，俯视图如图所示。在桌面上建立直角坐标系xOy，长L=3m的光滑绝缘空心细管初始时平行于y轴且底端与坐标原点O重合，细管底端处静止有带电小球甲（视为点电荷）。现使细管以大小v0=4m/s、沿x轴正方向的速度匀速平移，小球甲离开细管顶端时的速度大小v=8m/s，小球甲离开细管顶端时另一不带电小球乙（图中未画出，可视为质点）从坐标原点处以方向未知的速度做匀速直线运动，小球甲、乙恰能迎面相撞（即相撞时二者速度方向相反）。取求： (1)小球甲电荷量与质量的比值k； (2)小球甲第一次穿过y轴时的坐标； (3)小球乙的最大初速度vmax（计算结果可保留分数及π）。 答案．(1) (2)坐标为 (3) 【解析】（1）设小球甲的电荷量为q、质量为m，小球甲在细管中沿x轴正方向做匀速直线运动时，沿y轴方向受到的洛伦兹力 由动能定理有 解得 （2）设小球甲离开细管顶端时速度方向与x轴正方向的夹角为 则有 小球甲离开细管顶端时沿y轴正方向的分速度大小 又有 小球甲离开细管顶端时细管到y轴的距离 解得 小球甲离开细管后在磁场中做匀速圆周运动，有 解得 由于，可知小球甲做圆周运动的圆心落在y轴上，小球甲第一次穿过y轴时有 解得，即坐标为 （3）小球甲做圆周运动的圆心到x轴的距离 小球甲、乙能迎面相撞，说明小球乙做直线运动的轨迹与小球甲做圆周运动的轨迹在第二象限内相切，设该切点为C点且C、O点连线与x轴负方向的夹角为 则C、O点间距离 又有 解得 小球甲从离开细管到与小球乙相撞瞬间的最短时间 小球乙的最大速度 解得 15. （湘豫名校联考2025学年高三春季学期第二次模拟考试）如图，倾角为的倾斜轨道与半径为0.2m的半圆轨道在B处平滑相接，BC为半圆的竖直直径，一质量，电荷量的带正电的小球置于B处，整个装置处在水平向右的匀强电场中，电场强度，倾斜轨道和半圆轨道均光滑绝缘，现给小球水平向右的速度，从B沿半圆轨道运动，最后从C点飞出，恰好垂直打在倾斜轨道AB上，最后以原速率反弹，当小球再次刚好回到C点时，立即撤去匀强电场和所有轨道并在该平面内加上匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁感应强度大小重力加速度求 （1）小球垂直打在斜面上的点与B的距离； （2）小球从B点出发经过F点（圆心等高点）时对轨道的压力大小（结果保留两位小数）； （3）小球再次回到C点后，小球运动速度的最大值。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）在处对小球进行受力分析如图所示，得 它恰好垂直打在斜面上的点，可以看作从处做类平抛运动，有 ，， 联立解得 解得 （2）小球从到由动能定理可知 小球在点时对轨道压力为，由牛顿第三定理可知，在点有 解得 （3）在处配一个水平向左速度为，则有 故最大速度 16. (2024年3月福建泉州质检)如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里。在离地高为h的O点处建立一直角坐标系xOy，y轴竖直向上。一个带正电小球A从O点以速率沿x轴负方向射出，恰好可以垂直打到地面。已知重力加速度大小为g，A受到的电场力恰好等于重力，运动过程中带电量不变，忽略空气阻力。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小B； （2）若大量与A相同的小球仍从O点以速率在xOy平面内沿各个方向先后射出，小球间的相互作用均不计，落地后均不反弹，求小球落地点区间的长度； （3）若撤去电场，小球仍从O点以某一速率沿y轴正方向射出，恰好不会打到地面。 i.求小球从O点射出时的速率； ii.已知小球的速率v与时间t的关系如图乙所示，求小球速率达到最小时两个位置之间的距离。 【参考答案】（1）；（2）；（3）i.，ii.（n=1，2，3…） 【名师解析】（1）由于小球所受电场力大小等于重力，则有 可知，电场力与重力平衡，小球做匀速圆周运动，则有 根据几何关系有 解得 （2）结合上述可知，当小球在第二象限与y轴正方向夹角射出时，可运动到左侧最远落地点，此时落地与O点连线为轨迹直径，则其水平位移 当小球沿方向射出时，可运动到右侧最远落地点，此时轨迹与地面相切，则其水平位移 则落地点区间的长度为 结合上述解得 （3）i.将小球的运动分解为圆周运动与匀速运动，如图所示 则匀速运动的速度为 圆周运动的速度 圆周运动的半径 根据几何关系有 ， 解得 ii.小球速度达到最小时的位置之间的距离 （n=1，2，3…） 其中周期 解得 17. （2024河北衡水名校协作体期末联考）如图所示，竖直面内的三个区域中分别存在电场和磁场。在区域内匀强电场方向沿轴正方向，在轴右侧分布着相邻的匀强电场和匀强磁场，电场方向沿轴正向，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。一质量为、带电量为的油滴从轴上的点无初速释放，到达轴上的点时，速度与轴负方向夹角；到达竖直电场右边界的点时，速度与轴正方向夹角仍为。两点间距离两点的竖直高度差。已知重力加速度取，带电油滴的运动均在真空中。求： （1）水平电场的大小及油滴到达到点时的速度； （2）竖直电场的大小及油滴到达点时的速度； （3）油滴在磁场中运动的速度的最大值。 【参考答案】（1），；（2），；（3） 【名师解析】 （1）由题可知，油滴从P到Q做匀加速直线运动，即 解得 根据可知 （2）由题可知，油滴在电场内做类抛体运动，可将其分解为沿x方向的匀速直线运动和沿y方向的匀加速直线运动，故 ， 到达M点时的速度为 由动能定理可知 代入数据解得 （3）如图所示将速度进行分解 其中 故油滴的运动可分解为沿水平方向的匀速直线运动和一个匀速圆周运动 由余弦定理可得 联立解得 当两速度方向相同时，油滴的速度最大 18.（10分）（2024山西太原期末）如图所示，竖直平面直角坐标系xOy第一象限内，存在水平向右的电场、垂直纸面向里的磁场。质量m=1kg、电荷量q=+0.1C的小球由O到A恰好做直线运动，当小球运动到A（0.1m，0.1m）点时，电场方向瞬间变为竖直向上，小球继续运动一段时间后，垂直于y轴射出第一象限。不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2。求： （1）电场强度E的大小，磁感应强度B的大小； （2）小球在第一象限内运动的时间。 【名师解析】.（10分） （1）小球在到达A点之前做匀速直线运动 电场方向变化后，小球所受重力与电场力平衡，小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 由几何关系得 （2）小球做匀速直线运动的时间 小球做匀速圆周运动的周期 小球做匀速圆周运动转过的圆心角 小球做匀速圆周运动的时间 19. (2024山西吕梁和孝义期末) 如图所示，某足够宽的空间有垂直纸面向外的磁感应强度为的匀强磁场，质量为且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为、带电荷量的滑块，滑块与绝缘木板之间动摩擦因数为，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加方向水平向左、大小为的恒力，g取。求： （1）刚开始滑块的加速度大小以及滑块受到的摩擦力大小； （2）滑块匀加速所达到的最大速度以及绝缘木板运动的最大加速度。 【参考答案】（1），；（2）， 【名师解析】 （1）整体为对象 小滑块为对象 得 匀加速结束时，滑块 得 又有 所以 当滑块与绝缘木板之间弹力为零时，二者间滑动摩擦力也为零。绝缘木板加速度达到最大，有 得 20. （2024广西桂林质检）如图所示，在光滑绝缘水平桌面上，有两个直径相同的小球，a小球不带电，质型，b小球所带电荷量，质量，空间存在竖直向下的匀强电场E及垂直纸面向外、磁感应强度大小为1T的匀强磁场B，刚开始b小球固定，a小球以速度向右运动，碰前瞬间释放b小球，取重力加速度大小。 （1）若两球碰后粘在一起，碰撞时间极短，碰撞过程中电荷量不损失，小球在离开桌面后做匀速圆周运动，求碰后瞬间小球的速度大小和匀强电场的电场强度E的大小； （2）若碰后瞬间电荷量均分，且两小球不粘在一起，b小球竖直方向的加速度恰好为0，电场强度的大小为，分析说明小球a和小球b之间的碰撞是否为弹性碰撞。 【答案】（1）2m/s，7.5N/C；（2）见解析 【解析】 (1) 设碰后瞬间小球的速度为v’，对a、b球系统，根据动量守恒定律 解得 v’=2m/s 小球在离开桌面后做匀速圆周运动，竖直方向合力为零 解得 (2)设小球a碰后的速率为，小球b碰后的速率为， a小球与b小球碰撞时，以水平向右为正方向： b小球竖直方向的加速度恰好为0 解得 ， 碰撞前两物体的机械能 碰撞后两物体的机械能 碰撞前后机械能守恒，所以a、b两小球碰撞属于弹性碰撞。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027高考物理一轮复习100考点精练 第十三章 磁场 考点13.12 带电小球在复合场中的运动 【考点精练】 1.（2026陕西西安模拟） 如图所示，质量为的带正电小球，套在粗糙水平细杆上，空间中存在水平向右的匀强电场和垂直平面向里的匀强磁场，给小球一初速度，关于小球的加速度和速度大小的变化图像可能正确的是（　　） A. B. C. D. 2 . （2025届江苏泰州高三年级二模联考）如图所示，竖直平面内有一固定的光滑绝缘大圆环，直径AC水平、直径ED竖直。轻弹簧一端固定在大环的E点处，另一端连接一个可视为质点的带正电的小环，小环刚好套在大环上，整个装置处在一个水平向里的匀强磁场中，将小环从A点由静止释放，已知小环在A、D两点时弹簧的形变量大小相等。则（　　） A. 小环不可能滑到C点 B. 刚释放时，小环的加速度为g C. 弹簧原长时，小环的速度最大 D. 小环滑到D点时的速度与其质量无关 3 (2024·安徽卷，10)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示;当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则(　　) A.油滴a带负电，所带电量的大小为 B.油滴a做圆周运动的速度大小为 C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 4 .如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度大小为E、方向竖直向下;该磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则(　　) A.液滴带正电 B.液滴比荷 C.液滴沿顺时针方向运动 D.液滴运动速度大小v＝ 5. （2025年5月山东省模拟演练）如图所示，竖直虚线MN将真空空间分割成I、II两个区域，I、II区域内存在范围足够大、大小为、垂直纸面且方向相反的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为+q的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为μ。现使圆环从杆的底部以初速度向上运动，经时间后圆环回到出发位置，杆的底部有个光滑的拐角，长度忽略不计，其能够使圆环无能量损失的水平向左脱离杆，并在一段时间后恰好能够进入II区域。已知重力加速度为g，圆环完成周期性运动的个数为n。下列说法正确的是（　　） A. 当圆环回到出发位置时速度v的大小为 B. 第一次通过MN边界时的速度大小 C. 在圆环未离开I区域内达到最高点前的位移大小为 D. 在圆环第二次通过MN边界前，从O点脱离杆后回到最高点的位移大小 6. （2025年4月东北三省部分高中联盟第二次模拟联合调研）如图所示，倾角为37°的光滑斜面ABC固定在水平地面上，一个质量为m，电荷量为的小球从斜面底端A点以初速度v沿斜面向上运动。整个装置处于水平向右的匀强电场中，场强，斜面竖直边BC所在直线右侧空间中充满垂直于纸面向里的磁感应强度为的匀强磁场，重力加速度为g，则小球运动过程中与AC所在直线的最大距离为（　　） A. B. C. D. 7. （深圳市高级中学高中园2025届高三下学期第三次模拟考试）如图所示，已知匀强电场方向向下，边界为矩形ABGH，匀强磁场方向垂直纸面向里，边界为矩形BCDG，GD长为L，磁感应强度为B。电量为q，质量为m的粒子，从AH中点以垂直电场的速度（未知量）进入电场，然后从边界BG进入磁场，轨迹恰好和磁场另外三个边界相切，运动个圆周后返回电场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A. 粒子一定带正电 B. AB长为2L C. D. 若电场强度减弱，粒子在磁场中运动时间将变长 8. (2025高考宝鸡三模)如图所示，光滑水平面上有一足够长绝缘木板b，木板中间放一带正电物块a，电荷量为q，物块与木板接触面间动摩擦因数为μ。木板与物块的质量均为m，整个空间存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B。现给木板一水平初速度，重力加速度为g。在以后的运动过程中，下列分析正确的是（ ） A. 当向左时，最终a、b一定共速 B. 当向左时，最终a在b上划痕的长度为 C. 当向右时，最终a、b一定共速 D. 当向右时，若，全过程摩擦生热为 9 （山西大同2025学年高三5月质量检测卷）如图所示，在平面直角坐标系中，虚线垂直于x轴，在y轴和虚线之间的区域空间有沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小未知，磁感应强度大小；在虚线的右侧区域空间有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于坐标平面向外的匀强磁场，电场强度，磁感应强度。将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从坐标原点以与x轴正方向成角斜向上的速度射入第一象限，粒子刚好在第一次过x轴时进入虚线右侧区域，且速度方向与x轴正方向的夹角为37°，不计粒子的重力，，．求： （1）粒子在y轴和虚线之间运动的时间； （2）电场强度的大小； （3）粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离。 10. （2025年5月成都三诊）如图所示，空间直角坐标系Oxyz中，Oz方向竖直向上，M点坐标为，N点坐标为，H点坐标为。已知质量为m、电荷量为q的带正电小球以初速度从N点沿y轴正方向分别射入三种不同情况的复合场（均未画出）。小球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 （1）情况Ⅰ：在原点O固定一电荷量未知的负点电荷，小球能运动到M点，求小球到达M点的动能； （2）情况Ⅱ：空间同时存在沿z轴正方向、场强大小的匀强电场和沿x轴正方向的匀强磁场，小球能运动到H点，求小球从N到H的运动时间t； （3）情况Ⅲ：空间同时存在沿z轴正方向、场强大小的匀强电场和从N指向M方向的匀强磁场，小球能运动到M点，求磁感应强度的最小值。 11. （天津市九校联考高三年级模拟考试2）如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） （1）求电场强度的大小； （2）求磁感应强度的大小； （3）求斜面的长度。 12. (山东德州2025年5月冲刺模拟)如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量，电荷量，绝缘管长为。在管口所在水平面的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，上下的整个区域还存在着竖直向上、场强的匀强电场。现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面的距离为。取，不计其它阻力。求： （1）小圆柱体刚进入磁场时的加速度大小； （2）小圆柱体的加速度为时的速度大小； （3）小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量； （4）小圆柱体第二次经过水平面时的速度大小。 13. (四川雅安市高2025年4月第二次诊断)如图所示，水平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；水平面下方有竖直放置的半径为R的圆筒，圆筒上下表面圆心、处各开有一个小孔，其内部有竖直向上的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度B未知。处于水平面内的粒子源O沿与水平方向成30°角发出的带电粒子，从处进入圆筒，恰好与筒壁不碰撞，最后从处射出。已知粒子质量为m，电荷量为q（q<0），粒子源O到圆心的水平距离为L。忽略粒子重力，不考虑边界效应。求 （1）粒子从粒子源射出时的速度大小； （2）粒子在圆筒内旋转周期T； （3）圆筒高度H满足的条件。 14．（2026河北保定质检）光滑绝缘水平桌面上存在着竖直向下、磁感应强度大小B=0.1T的匀强磁场，俯视图如图所示。在桌面上建立直角坐标系xOy，长L=3m的光滑绝缘空心细管初始时平行于y轴且底端与坐标原点O重合，细管底端处静止有带电小球甲（视为点电荷）。现使细管以大小v0=4m/s、沿x轴正方向的速度匀速平移，小球甲离开细管顶端时的速度大小v=8m/s，小球甲离开细管顶端时另一不带电小球乙（图中未画出，可视为质点）从坐标原点处以方向未知的速度做匀速直线运动，小球甲、乙恰能迎面相撞（即相撞时二者速度方向相反）。取求： (1)小球甲电荷量与质量的比值k； (2)小球甲第一次穿过y轴时的坐标； (3)小球乙的最大初速度vmax（计算结果可保留分数及π）。 15. （湘豫名校联考2025学年高三春季学期第二次模拟考试）如图，倾角为的倾斜轨道与半径为0.2m的半圆轨道在B处平滑相接，BC为半圆的竖直直径，一质量，电荷量的带正电的小球置于B处，整个装置处在水平向右的匀强电场中，电场强度，倾斜轨道和半圆轨道均光滑绝缘，现给小球水平向右的速度，从B沿半圆轨道运动，最后从C点飞出，恰好垂直打在倾斜轨道AB上，最后以原速率反弹，当小球再次刚好回到C点时，立即撤去匀强电场和所有轨道并在该平面内加上匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁感应强度大小重力加速度求 （1）小球垂直打在斜面上的点与B的距离； （2）小球从B点出发经过F点（圆心等高点）时对轨道的压力大小（结果保留两位小数）； （3）小球再次回到C点后，小球运动速度的最大值。 16. (2024年3月福建泉州质检)如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里。在离地高为h的O点处建立一直角坐标系xOy，y轴竖直向上。一个带正电小球A从O点以速率沿x轴负方向射出，恰好可以垂直打到地面。已知重力加速度大小为g，A受到的电场力恰好等于重力，运动过程中带电量不变，忽略空气阻力。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小B； （2）若大量与A相同的小球仍从O点以速率在xOy平面内沿各个方向先后射出，小球间的相互作用均不计，落地后均不反弹，求小球落地点区间的长度； （3）若撤去电场，小球仍从O点以某一速率沿y轴正方向射出，恰好不会打到地面。 i.求小球从O点射出时的速率； ii.已知小球的速率v与时间t的关系如图乙所示，求小球速率达到最小时两个位置之间的距离。 17. （2024河北衡水名校协作体期末联考）如图所示，竖直面内的三个区域中分别存在电场和磁场。在区域内匀强电场方向沿轴正方向，在轴右侧分布着相邻的匀强电场和匀强磁场，电场方向沿轴正向，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。一质量为、带电量为的油滴从轴上的点无初速释放，到达轴上的点时，速度与轴负方向夹角；到达竖直电场右边界的点时，速度与轴正方向夹角仍为。两点间距离两点的竖直高度差。已知重力加速度取，带电油滴的运动均在真空中。求： （1）水平电场的大小及油滴到达到点时的速度； （2）竖直电场的大小及油滴到达点时的速度； （3）油滴在磁场中运动的速度的最大值。 18.（10分）（2024山西太原期末）如图所示，竖直平面直角坐标系xOy第一象限内，存在水平向右的电场、垂直纸面向里的磁场。质量m=1kg、电荷量q=+0.1C的小球由O到A恰好做直线运动，当小球运动到A（0.1m，0.1m）点时，电场方向瞬间变为竖直向上，小球继续运动一段时间后，垂直于y轴射出第一象限。不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2。求： （1）电场强度E的大小，磁感应强度B的大小； （2）小球在第一象限内运动的时间。 19. (2024山西吕梁和孝义期末) 如图所示，某足够宽的空间有垂直纸面向外的磁感应强度为的匀强磁场，质量为且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为、带电荷量的滑块，滑块与绝缘木板之间动摩擦因数为，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加方向水平向左、大小为的恒力，g取。求： （1）刚开始滑块的加速度大小以及滑块受到的摩擦力大小； （2）滑块匀加速所达到的最大速度以及绝缘木板运动的最大加速度。 20. （2024广西桂林质检）如图所示，在光滑绝缘水平桌面上，有两个直径相同的小球，a小球不带电，质型，b小球所带电荷量，质量，空间存在竖直向下的匀强电场E及垂直纸面向外、磁感应强度大小为1T的匀强磁场B，刚开始b小球固定，a小球以速度向右运动，碰前瞬间释放b小球，取重力加速度大小。 （1）若两球碰后粘在一起，碰撞时间极短，碰撞过程中电荷量不损失，小球在离开桌面后做匀速圆周运动，求碰后瞬间小球的速度大小和匀强电场的电场强度E的大小； （2）若碰后瞬间电荷量均分，且两小球不粘在一起，b小球竖直方向的加速度恰好为0，电场强度的大小为，分析说明小球a和小球b之间的碰撞是否为弹性碰撞。 1 学科网（北京）股份有限公司 $