6.4.3　余弦定理、正弦定理（第3课时　正弦定理和余弦定理的综合应用（1））课件 2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

这是一份高中数学同步教学课件，聚焦第六章平面向量及其应用中6.4.3节正弦定理和余弦定理的综合应用（1），包含重难探究、三个核心探究点（解三角形、多解问题、边角互换）、规律方法总结、变式训练及本节要点归纳，为学生提供系统的学习支架。 资料特色突出，以例题解析和变式训练为载体，融合数学核心素养，如通过例2几何直观分析三角形多解问题培养数学眼光，例3边角互化训练逻辑推理提升数学思维，规律方法总结帮助学生构建知识体系。能助力学生掌握定理应用，提升解题能力，也为教师教学提供清晰的重难点突破思路。

第六章　平面向量及其应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第3课时　正弦定理和余弦定理的综合应用（1） 重难探究•能力素养全提升 探究点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 【例1】 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若bsin A=3csin B,a=3,cos B=,则b=(　　) A.14 B.6 C.D. D　 解析 由bsin A=3csin B及正弦定理,得ab=3bc,即a=3c.因为a=3,所以c=1.由余弦定理,得b=. 规律方法　正弦定理、余弦定理解三角形的求解策略 应用正弦定理、余弦定理解三角形,关键是根据已知条件对边和角进行相互转化,化简表达式,通过代数变形或三角恒等变换解决问题. 变式训练1△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csin C-bsin B=2asin A,c=2b,则sin A=(　　) A. B. C. D. A 解析 在△ABC中,csin C-bsin B=2asin A,整理得c2-b2=2a2,因为c=2b,所以b=a,a=.故根据余弦定理,得cos A=.因为0<A<π,所以sin A=.故选A. 探究点二　三角形的多解问题 【例2】 在△ABC中,∠A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则BC边长度的取值范围为(　　) A.(2,4) B.(2,4) C.(4,+∞) D.(2,2) B 解析 作∠A=30°,在∠A的一条边上取AB=c=4, 过点B作BH垂直于∠A的另一边,垂足为H(图略). 则|BH|=4sin 30°=2,以点B为圆心,BC的长为半径画圆弧,因为2<BC<AB,即2<BC<4,所以圆弧与∠A的另一边有两个交点C1,C2 所以△BAC1,△BAC2均满足条件,所以满足条件的三角形有两个. 规律方法　已知a,b和A,用正弦定理求B时的情况: (1)当A为锐角时,①若a<bsin A,三角形无解;②若a=bsin A,三角形一解;③若bsin A<a≤b,三角形两解;④若a≥b,三角形一解; (2)当A为钝角时,①若a≤b,三角形无解;②若a>b,三角形一解. 变式训练2(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则满足下列条件的三角形,有唯一解的是(　　 ) A.b=9,B=90°,C=30° B.b=5,c=4,B=45° C.a=6,b=3,B=60° D.a=20,b=30,A=30° ABC 解析 对于A,若b=9,B=90°,C=30°,则由正弦定理得 ,得c=,由勾股定理可得a=,所以三角形有唯一解,故A正确; 对于B,若b=5,c=4,B=45°,因为B为锐角,且b>c,所以三角形有唯一解,故B正确; 对于C,若a=6,b=3,B=60°,因为B为锐角,且asin B=3=b,所以三角形有唯一解,故C正确; 对于D,若a=20,b=30,A=30°,因为A为锐角,且bsin A=15<a<b,所以三角形有两个解,故D错误.故选ABC. 探究点三　正余弦的边角互换 【例3】 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=1, 则A=　　　　.  解析 在△ABC中,由=1及正弦定理得=1,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,所以=1,整理得sin Acos B-sin Bcos A+sin B=sin Acos B+sin Bcos A,即2sin Bcos A=sin B, 又sin B≠0,因此cos A=,而0<A<π,所以A=. 规律方法　围绕三角形的边角关系,利用正弦或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑. 变式训练3在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C. (1)求角A的大小; (2)若cos B=,a=3,求c值. 解 (1)由正弦定理可得b2+c2=a2+bc,由余弦定理得cos A=, ∵A∈(0,π),∴A=; (2)由(1)可知,sin A=,∵cos B=,B为三角形的内角,∴sin B=, ∴sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,由正弦定理, 得c=. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)利用正弦定理、余弦定理解三角形. (2)利用正弦定理、余弦定理进行边角互化. 2.方法归纳:转化与化归. 3.常见误区:三角形两解问题易忽视. $