6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 1 课时学习素养目标：能够用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解与 距离、高度、角度有关的实际应用问题，培养数学建模和数学运算的 核心素养. 高 中 同 步 课 堂 学 案 2 任务学习一 测量距离问题 任务学习二 测量高度问题 任务学习三 测量角度问题 素养评价·课堂达标 3 任务学习一 测量距离问题 4 新知梳理 基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为 使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来 说,基线越长,测量的精确度越高. 高 中 同 步 课 堂 学 案 5 能力提升 例1 （链接教材P49例9）（2025广东深圳期中）如图，在海面上有两 个观测点，，点在的正北方向，两点相距 ，在某天10：00 观察到某商船在处，此时测得 ，5分钟后该船行驶至 处， 此时测得 ， ， ，求该船行驶的 距离 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 6 [解析] ， ， 在中， ， ，则 ， 因为，所以 . 在中， ， ，则 . 由正弦定理得 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 7 在中， ， 由余弦定理得 ， 即 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 8 解题感悟 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤 （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三 角形）； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集 中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解. 高 中 同 步 课 堂 学 案 9 迁移应用1 已知，，三座小岛的位置如图所示，其中岛在 岛的 南偏西 的方向上，岛在岛的正东方向上，， 两岛相隔4千海 里，一货轮由岛出发沿着方向航行了的路程后，到达 岛进行补 给后再前往岛，若岛到岛的距离与岛到岛的距离相同，求 ， 两岛的距离. 高 中 同 步 课 堂 学 案 10 [解析] 依题意得 ，，则 ， ， ， 记 ，则 ， 在中，由正弦定理得，即 ， 在 中，由余弦定理得 ， 故 ，解得 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 11 因为，所以，所以 . 所以，两岛的距离为 千海里. 高 中 同 步 课 堂 学 案 任务学习二 测量高度问题 13 例2 （链接教材P49例10）如图，在测量河对岸的塔高 时，可以选 与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得 ， ， 米，并在处测得塔顶的仰角为 ，则 塔高 ____米. 20 高 中 同 步 课 堂 学 案 14 [解析] 在中， ， ， 米， 由正弦定理得 ， 得 ， 解得 米. 在中， ， 塔高 米. 高 中 同 步 课 堂 学 案 15 解题感悟 求高度时的注意点 （1）要清楚仰角与俯角的区别，测量时，以水平线 （2）测量底部不能到达的建筑物的高度时，一般是将题目转化为直角 三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正弦定理、余弦定理来解决. 为基准，视线在水平线上方时，与水平线所成的角叫做仰角；视线在 水平线下方时，与水平线所成的角叫做俯角. 高 中 同 步 课 堂 学 案 16 迁移应用2 如图，为测量自由式滑雪大跳台最高处 点的高度，小王在 场馆内的，两点测得处的仰角分别为 ， ， ，且 ，求大跳台最高处点的高度 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 17 [解析] 在中， ， 在中， ， 在中，由余弦定理得 ， 即 ， 所以 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 18 任务学习三 测量角度问题 19 例3 （链接教材P50例11）甲船在处发现乙船在北偏东 的 处，并 且乙船正以海里/时的速度向正北方向行驶.已知甲船的速度是 海 里/时，问：甲船应沿着什么方向前进才能最快与乙船相遇？ [解析] 如图，设经过小时两船在 点相遇， 则在中，， ， ， 由正弦定理得 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 20 得 ， ， ， ， 即甲船应沿北偏东 方向前进才能最快与乙船相遇. 高 中 同 步 课 堂 学 案 21 解题感悟 求角度时的解题思路 （1）认真审题，结合已知条件画出示意图. （2）确定所求角在示意图中对应的可解三角形. 高 中 同 步 课 堂 学 案 22 图1 （3）把已知条件中的方向角、方位角、距离等借助平面 几何和立体几何的相关知识，转化成该三角形中的边和角 （至少有一边）. ①方向角：目标方向线与正北或正南方向线所成的锐角， 表示为北（南）偏东（西） 度（如图1）. 图2 ②方位角：指北的方向线顺时针转到目标方向线之间的水 平角（如图2）. （4）利用正弦定理或余弦定理求解. 高 中 同 步 课 堂 学 案 23 迁移应用3 在海岸处发现北偏东 的方向上距离处 的处有一艘走私船，在处北偏西 的方向上距离处的 处的缉私船奉命以 的速度追截走私船.此时，走私船正以 的速度从处向北偏东 的方向逃窜，问：缉私船沿什么 方向前进能最快追上走私船？ 高 中 同 步 课 堂 学 案 24 [解析] 设缉私船用在 处追上走私船，画出示意图， 如图， 则， ， 在 中， ，， ， 由余弦定理，得， ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 25 由正弦定理，得 ， 又 ， ，与正北方向成 角， ， 在 中，由正弦定理，得 ， 又在中， 为锐角， ，即缉私船沿北偏东 方向前进能最快追上走私船. 高 中 同 步 课 堂 学 案 素养评价·课堂达标 27 1.如图，设， 两点在河的两岸，要测量两点之 间的距离，测量者在 的同侧所在的河岸边选定一 点，测出的距离为, ， ， 则， 两点间的距离为( ) C A. B. C. D. [解析] ， 由正弦定理得，则 .故选C. 高 中 同 步 课 堂 学 案 28 2.如图，已知某景区两座主峰的高度都是，某测量团队在 点测 得左侧主峰顶端点的仰角为 ，右侧主峰顶端点的仰角为 ， 以及 ，则两座主峰顶端之间的距离 ( ) C A. B. C. D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 29 [解析] 由题意得， . 在 中，由余弦定理可得 ， 即两座主峰顶端之间的距离为 .故选C. 高 中 同 步 课 堂 学 案 30 3.在一次抗洪抢险中，某救生艇的发动机突然发生故障停止转动，失去 动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 ，风速的大小 是，水的流向是正东，流速的大小是 ，若不考虑其他 因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_____，速度大小为______ . 高 中 同 步 课 堂 学 案 31 [解析] 设为风速， 为水的流速，如图，作平行 四边形，则 为救生艇的漂行速度，由题知， ，，在 中， ， ， 由余弦定理知 ，故 ， 又 ，所以救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东 ，速度 大小为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 32 4.（2025重庆万州期末）“文翁千载一时珍，醉卧襟花 听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹. 李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家.他历经 27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著《本草 30 纲目》，被后世尊称为“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独 山修建了一座雕像，如图所示，某数学学习小组为测量雕像的高度， 在地面上选取共线的三点，，，分别测得雕像顶的仰角为 ， ， ，且，则雕像的高度为____ . 高 中 同 步 课 堂 学 案 33 [解析] 设雕像的高度为，雕像最高点向地面的投影为点 ， 则,, , 由余弦定理的推论得 ， ， 因为 ， 所以 ， 即，解得 （舍负）， 即雕像的高度为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 34 $