6.4.3　余弦定理、正弦定理（第4课时　正弦定理和余弦定理的综合应用（2））-课件 2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

这是一份高中数学同步教学课件，聚焦“正弦定理和余弦定理的综合应用（2）”，以三个探究点为学习支架，涵盖与平面向量综合、三角形面积计算及最值范围问题，包含例题解析、变式训练和规律方法总结。 资料特色突出，注重数学思维培养，通过例1向量点积与余弦定理结合、例3三角恒等变换求面积最值等实例，引导学生用数学思维解决综合问题，规律方法总结助力知识结构化，能帮助学生深化理解，为教师提供系统教学资源。

第六章　平面向量及其应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第4课时　正弦定理和余弦定理的综合应用（2） 重难探究•能力素养全提升 探究点一　正弦定理、余弦定理与平面向量的综合 【例1】 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,cos B=,a=7,且=-21,求角C的大小. 解 ∵=-21,∴=21, ∴=||||cos B=accos B=21. 又cos B=,∴sin B=,ac=35,且B为锐角. 又a=7,∴c=5.∴b2=a2+c2-2accos B=72+52-2×7×5×=32,∴b=4. 由正弦定理,得sin C=sin B=.∵c<b,∴C一定是锐角,∴C=45°. 规律方法　求解平面向量与三角形集合问题时的注意点 利用正弦定理、余弦定理解决三角形中与平面向量有关的问题时,注意数量积定义的应用,其中特别注意向量的夹角与三角形内角之间的关系,例如的夹角等于内角A,但的夹角等于内角A的补角. 变式训练1在△ABC中,AB=2,AC=3,=3,则BC=(　　) A. B. C. D. B 解析 由AB=2,AC=3,=3,得cos A=.又BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=22+32-2×2×3×=7.故BC=,故选B. 探究点二　与三角形面积相关的计算 【例2】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bcos C=acos C+ccos A. (1)求角C的大小; (2)若b=2,c=,求a及△ABC的面积. 解 (1)因为2bcos C=acos C+ccos A,所以由正弦定理可得2sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C, 可得2sin Bcos C=sin(A+C)=sin B, 因为sin B>0,所以cos C=,因为C∈(0,π),所以C=. (2)因为b=2,c=,C=, 所以由余弦定理可得7=a2+4-2·a·2×, 整理可得a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1(舍去),所以△ABC的面积S=absin C=×3×2×. 规律方法 变式训练2设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cos B=,b=2. (1)当A=30°时,求a的值; (2)当△ABC的面积为3时,求a+c的值. 解 (1)在△ABC中,因为cos B=,所以sin B=.又A=30°,利用正弦定理,得a=. (2)因为S△ABC=acsin B,所以ac=3,即ac=,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,所以4=a2+c2-ac=a2+c2-9,故a2+c2=13,则(a+c)2-2ac=13, 所以(a+c)2=28,故a+c=2. 探究点三　三角形中的最值与范围问题 【例3】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos(B-C)-1=4cos Bcos C. (1)求cos A的值; (2)若a=3,求△ABC面积的最大值. 解 (1)由已知,得2cos Bcos C+2sin Bsin C-1=4cos Bcos C,所以2cos Bcos C-2sin Bsin C=-1,即2cos(B+C)=-1,因此-2cos A=-1,故cos A=. (2)由(1)得A=.因为a=3,所以由正弦定理,得=2, 从而b=2sin B,c=2sin C,于是△ABC的面积S=bcsin A=×2sin B·2sin C·sin=3sin Bsin C.因为A=,所以B+C=,于是C=-B,且0<B <,因此S=3sin Bsin=3sin B·(cos B+sin B)=sin 2B+sin2B=sin 2B+cos 2B=sin.因为0<B<,所以-<2B-,故当2B-,即B=时,△ABC的面积S取最大值. 变式探究在本例(2)中,若条件不变,求△ABC的周长的取值范围. 解 由本例(1)得A=.因为a=3,所以由正弦定理,得=2,从而b=2sin B,c=2sin C,于是△ABC的周长L=a+b+c=3+2sin B+2sin C=2(sin B+sin C)+3. 因为A=,所以B+C=,于是C=-B,且0<B <. 因此L=2+3=2(sin B+cos B+sin B)+3=6+cos B·+3=6sin+3.因为0<B<,所以<B+,可得<sin(B+)≤1,所以6<6sin+3≤9,即△ABC的周长的取值范围是(6,9]. 规律方法　三角形中最值(范围)问题的求解策略 解决与三角形的面积有关的最值或范围问题时,应选取适当的面积公式,结合正弦定理、余弦定理及三角恒等变换的知识,将问题转化为求函数的最值或范围,进而予以解决. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)正弦定理、余弦定理与平面向量的综合应用. (2)三角形面积公式的相关计算. (3)三角形中的最值与范围问题. 2.方法归纳:转化与化归、数形结合. 3.常见误区:运用正弦定理、余弦定理在转化过程中统一化边或是化角. $