5 6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦解三角形的实际应用，通过灯塔方向、隧道长度测量等现实问题导入，衔接正弦定理、余弦定理等前置知识，以基础达标、能力提升、素养拓展的层级设计搭建学习支架，引导学生逐步掌握距离、高度、方向角的计算方法。 其特色在于以沪苏通长江公铁大桥、智能扫地机器人等真实情境为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过推理计算（如台风影响时间的余弦定理应用）发展数学思维，以三角形模型表达实际问题强化数学语言。学生能提升应用意识，教师可借助分层题目优化教学效果。

6．4.3　第4课时　课后达标检测 1 1．已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 11 1 课后达标检测 解析：作出图形，由条件及图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°， 又∠BCD＝60°， 所以∠CBD＝30°， 所以∠DBA＝10°， 因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上或西偏南10°方向上．故选D. 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 11 1 课后达标检测 2．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据(　　) A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 解析：根据实际情况α，β都是不易测量的数据，在△ABC中，a，b可以测得，角γ也可测得，利用余弦定理AB2＝a2＋b2－2ab cos γ，可求解AB的长度． √ 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 1 2 课后达标检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 2 12 11 1 3 课后达标检测 √ 3 5 6 7 8 9 10 2 12 11 1 4 课后达标检测 3 5 6 7 8 9 10 2 12 11 1 4 课后达标检测 √ 3 4 6 7 8 9 10 2 12 11 1 5 √ √ 课后达标检测 3 4 6 7 8 9 10 2 12 11 1 5 课后达标检测 3 4 6 7 8 9 10 2 12 11 1 5 课后达标检测 6．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为__________m. 3 4 5 7 8 9 10 2 12 11 1 6 课后达标检测 7．如图所示，在地面上有一旗杆OP，测得它的高度为10 m，在地面上取一基线AB，AB＝20m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，则∠AOB＝________． 3 4 5 6 8 9 10 2 12 11 1 7 90° 课后达标检测 3 4 5 6 7 9 10 2 12 11 1 8 15 课后达标检测 3 4 5 6 7 9 10 2 12 11 1 8 课后达标检测 3 4 5 6 7 9 10 2 12 11 1 8 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 10 2 12 11 1 9 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 10 2 12 11 1 9 课后达标检测 10．如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动．当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处．设连杆AB长100 mm，曲柄CB长35 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)约为(参考数据：sin 53.2°≈0.8，结果保留整数)(　　) A．17 mm B．18 mm C．19 mm D．20 mm √ 3 4 5 6 7 8 9 2 12 11 1 10 课后达标检测 解析：在△ABC中，AB＝100，CB＝35，∠ACB＝53.2°， 因为sin 53.2°≈0.8， 所以cos 53.2°≈0.6. 由余弦定理得 AB2＝CB2＋CA2－2CA·CB·cos 53.2°， 所以1002＝352＋CA2－2CA×35×0.6， 整理得CA2－42CA－8 775＝0， 解得CA＝117或CA＝－75(舍去). 所以A0A＝AB＋CB－CA＝100＋35－117＝18，即A0A约为18 mm. 3 4 5 6 7 8 9 2 12 11 1 10 课后达标检测 11．(15分)如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m，于是选择沿A→B→C路线清扫．已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处转向所用时间，10 s完成了清扫任务． 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 1 11 课后达标检测 (1)求B，C两处垃圾之间的距离；(精确到0.1 m)(8分) 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 1 11 课后达标检测 (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值．(7分) 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 1 11 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11 1 12 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11 1 12 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11 1 12 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11 1 12 课后达标检测 (2)台风对气象台A的影响从开始到结束，线段AB扫过的面积大约是多少？(6分) 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11 1 12 课后达标检测 解析：由题设，如图所示，该塔第三层地面到第三层顶的距离l＝AB＝ eq \f(1,cos 60°)＝2(m). 3．某塔的塔身已经倾斜且与地面的夹角为60°，若将塔身看作直线，从塔的第三层地面到第三层顶可看作线段，且在地面的射影为1 m，则该塔第三层地面到第三层顶的距离是(　　) A． eq \f(\r(3),2) m B． eq \r(2) m C． eq \r(3) m D．2 m 4．沪苏通长江公铁大桥(如图1)是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔AB垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶A的仰角分别为∠ADE＝30°，∠ACE＝45°(如图2)，设乘客眼睛离地面的距离为DM＝CN＝h，CD＝a(h>0，a>0).若D，C，E在同一水平高度，且AD，AC，AB在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔AB高为(　　) A． eq \f(\r(3)＋1,2)a＋h B． eq \f(\r(3)－1,2)a＋h C．( eq \r(3)＋1)a＋h D．( eq \r(3)－1)a＋h 解析：在Rt△ADE中，AE＝DE tan 30°＝ eq \f(\r(3),3)DE，则DE＝ eq \r(3)AE，在Rt△ACE中，AE＝CEtan 45°＝CE，CD＝DE－CE＝ eq \r(3)AE－AE＝( eq \r(3)－1)AE＝a，解得AE＝ eq \f(a,\r(3)－1)＝ eq \f(\r(3)＋1,2)a，所以主塔AB＝AE＋BE＝ eq \f(\r(3)＋1,2)a＋h. 5．(多选)如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，5 min后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则(　　) A．当天10：00，该船位于观测点C的北偏西15°方向 B．当天10：00，该船距离观测点C的距离为 eq \r(2) km C．当船行驶至B处时，该船距观测点C的距离为 eq \r(2) km D．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了 eq \r(6) km 对于B选项，在△ACD中，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，则∠CAD＝45°.由正弦定理，得AC＝ eq \f(CD sin ∠ADC,sin ∠CAD)＝ eq \r(2)，故B正确； 解析：对于A选项，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝60°＋45°＝105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确； 对于D选项，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－ 2AC·BC cos ∠ACB＝2＋8－2× eq \r(2)×2 eq \r(2)× eq \f(1,2)＝6，即AB＝ eq \r(6)，故D正确．故选ABD. 对于C选项，在△BCD中，∠BCD＝45°，∠CDB＝∠ADC＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，则∠CBD＝45°，则BD＝CD＝2，于是BC＝2 eq \r(2)，故C不正确； 30 eq \r(2) 解析：由题意可得B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝ eq \f(AC·sin ∠BAC,sin B)＝ eq \f(60sin 30°,sin 45°)＝30 eq \r(2)(m). 解析：在Rt△AOP中，得OA＝ eq \f(OP,tan 30°)＝10 eq \r(3).在Rt△BOP中，得OB＝OP＝10，在△AOB中，400＝(10 eq \r(3))2＋102，即AB2＝OA2＋OB2，所以∠AOB＝90°. 8．如图，某直径为5 eq \r(5) 海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距5海里，cos ∠BAD＝－ eq \f(4,5)，则小岛B，C，D所形成的三角形海域的面积为____________平方海里． 解析：由圆的内接四边形的对角互补，得∠BAD＋∠BCD＝π，cos ∠BCD＝cos (π－∠BAD)＝－cos ∠BAD＝ eq \f(4,5)， 所以sin ∠BCD＝ eq \r(1－cos2∠BCD)＝ eq \f(3,5). 在△BCD中，由正弦定理得 eq \f(BD,sin∠BCD)＝ eq \f(BD,\f(3,5))＝2r＝5 eq \r(5)(r为圆形海域的半径)，得BD＝3 eq \r(5)海里， 在△BCD中，由余弦定理得(3 eq \r(5))2＝CD2＋52－2×CD×5× eq \f(4,5)，整理得CD2－8CD－20＝0，解得CD＝10(负值已舍去).所以S△BCD＝ eq \f(1,2)×10×5× eq \f(3,5)＝15(平方海里)，即小岛B，C，D所形成的三角形海域的面积为15平方海里． 9．(13分)如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图△ABC，其中∠ACB为直角，由于实际情况，它的可测量数据如下： ①BD＝1；②∠BDC＝ eq \f(π,6)；③∠BCD＝ eq \f(π,4) . 请根据以上数据求出△ABC的面积． 解：在△BCD中，由正弦定理得 eq \f(BC,sin ∠BDC)＝ eq \f(BD,sin ∠BCD)，所以BC＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,\f(\r(2),2))＝ eq \f(\r(2),2)， 因为tan ∠ABC＝tan ( eq \f(π,6)＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(\f(\r(3),3)＋1,1－\f(\r(3),3))＝2＋ eq \r(3)， ∠ACB＝ eq \f(π,2)，所以AC＝BC·tan ∠ABC＝ eq \r(2)＋ eq \f(\r(6),2)，故S△ABC＝ eq \f(1,2)AC·BC＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),4). 解：由题意得AB＋BC＝0.2×10＝2， 设BC＝x，0<x<2， 则AB＝2－x，AC＝2－x＋0.4＝2.4－x， 由题意得A＝90°＋30°＝120°. 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos A＝ eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB×AC)＝ eq \f((2－x)2＋(2.4－x)2－x2,2×(2－x)×(2.4－x))＝－ eq \f(1,2)， 解得x＝1.4或x＝5.2(舍去)， 所以BC＝1.4，即B，C两处垃圾之间的距离为1.4 m. 解：由(1)知AB＝2－1.4＝0.6，AC＝2.4－1.4＝1，BC＝1.4， 所以cos B＝ eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝ eq \f(0.62＋1.42－12,2×0.6×1.4)＝ eq \f(11,14). 12．(15分)在气象台A正西方向300 eq \r(2) km处有一台风中心B，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心不超过350 km的地区都将受到影响． (1)若台风中心的这种移动趋势不变，气象台A所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(参考数据： eq \r(13)≈3.6)(9分) 解：如图，因为AB＝300 eq \r(2)，∠ABB1＝45°，所以点A到直线BB1的距离为300 km， 因为300 km<350 km，所以气象台A所在地会受到台风的影响． 假设台风中心到达B1和B2时，气象台A刚好受到台风影响， 则AB1＝AB2＝350 km，台风中心在B1和B2之间运动时，气象台A持续受到影响． 设台风中心距离B点a km气象台A刚好受到台风影响， 在△ABB1中，由余弦定理得AB eq \o\al(2,1)＝BB eq \o\al(2,1)＋AB2－2AB×BB1cos 45°， 即3502＝a2＋(300 eq \r(2))2－2×300 eq \r(2)×a× eq \f(\r(2),2)， 即a2－600a＋57 500＝0， 得a＝300±50 eq \r(13)， 即a≈120或a≈480. 则BB1≈120 km，BB2≈480 km，B1B2≈360 km， 所以气象台大约会在 eq \f(BB1,40)≈ eq \f(120,40)＝3小时后受到影响，影响持续 eq \f(B1B2,40)≈ eq \f(360,40)＝9小时． 解：由题可知台风影响从开始到结束，线段AB扫过的面积为 S△AB1B2＝S△ABB2－S△ABB1＝ eq \f(1,2)AB×(BB2－BB1)×sin 45°≈ eq \f(1,2)×300 eq \r(2)×360× eq \f(\r(2),2)＝54 000(km2). $