精品解析：辽宁省盘锦市油田八校2025-2026学年度第二学期毕业班学情诊断练习 数学试卷

2025-2026学年度第二学期毕业班学情诊断练习 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中位于原点左侧的是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，若将①号小正方体挪到②号小正方体的正前方，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图不变 B. 主视图和俯视图不变 C. 左视图和俯视图不变 D. 三视图都不改变 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 华电西藏才朋光储电站是全球海拔最高的光储一体化项目，其最高海拔达到了5228米，总装机容量达15万千瓦．数据15万千瓦用科学记数法表示为（ ） A. 千瓦 B. 千瓦 C. 千瓦 D. 千瓦 6. 某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 牙膏品牌 合计 售出支数 下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是（ ）． A. 频数是 B. 频率是 C. 品牌的销售量占总销售量的 D. 每卖出支牙膏，估计有支是品牌 7. 将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点，并与交于点，直尺的另一边分别交，于点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是边上的中线，在中，是边上的中线，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图为一款跳方格游戏的路线图，游戏规则规定：按照路线图所示线路，每次只能随机跳一格至相邻的方格（可返回上一个方格，但不能原地跳），则小宇从方格出发，连续跳两次后回到方格的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 已知正实数满足，若为整数，则所有可能的值之和是（ ）． A. B. 3 C. D. 4 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：_____________． 12. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 14. 每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为_____厘米． 15. 如图，中，，按照以下步骤作图：①在和上取，分别以M、N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点O，作射线交于点D．②以点C、点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P和点Q，作直线分别交、于点E和点F．③连接． 根据作图，若，则________． 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算与化简． （1）计算：； （2）化简：． 17. 某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满4杯按折销售．小明第一次买了A，B饮料各1杯；第二次买了3杯A饮料和4杯B饮料，A饮料x元/杯，B饮料y元/杯． （1）填表： A饮料 B饮料 实际支付金额（元） 第一次 1 1 ______ 第二次 3 4 ______ （2）如果两次放在一起购买，小明能少支付3元，求B饮料原价是多少？ 18. 【阅读材料】 在计算机绘图软件中，选中图形后会出现一个矩形边框，如图1所示，这个矩形边框的边分别平行于水平方向和铅垂方向，且至少每一条边都与图形有公共点，我们称这个矩形边框为图形的“隐形框”，“隐形框”的水平方向的边长称为它的“宽度”，铅垂方向的边长称为它的“高度”． 【解决问题】 如图2，平行四边形的边水平放置，，，． （1）求平行四边形的“隐形框”的“宽度”与“高度”的比值； （2）在绘图软件中，选中了平行四边形，并拖动顶点，可以改变的大小，并保持和长度不变，且始终水平，随着的大小的变化，平行四边形的形状变了，其“隐形框”的面积也在变化．当时，求此时它的“隐形框”的面积； （3）在绘图软件中，选中了平行四边形，执行了一个“水平拉伸”操作：保持边固定不动，将的对边向右平移，形成了一个新的平行四边形，如果这个新形成的平行四边形的“隐形框”的“宽度”恰好是其“高度”的4倍，求边向右平移的距离． 19. 某水果店销售榴莲，成本价为40元/千克，经市场调查，每周销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于成本价且不得高于成本价的倍． （1）求出与之间的函数关系式； （2）设每周的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该水果店每周的利润最大？最大利润是多少元？ 20. 如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 为培育玉米新品种，研究人员从试验田和对照田中各随机抽取20株玉米测量株高，将株高（用h表示，单位：cm）划分为A，B，C，D四个等级，株高h≥90为长势优秀，对数据整理分析后得到如下信息： 【信息整理】 ①等级划分： 等级 A B C D 株高h（cm） ②试验田株高的条形统计图、对照田株高的扇形统计图如下： ③试验田B，C两组株高分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 对照田C组株高为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】两块田地玉米株高的统计量统计表（部分数据缺失）： 田地类型 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 试验田 88 a 95 18.25 对照田 88 88 b 32.10 （1）填空： ______， ______， ______； （2）请根据题中提供的信息，评估试验田的玉米生长情况； （3）为评估试验田和对照田的玉米综合品质，研究人员从株高、产量、抗倒伏、抗病性四个维度进行百分制评分，综合得分由株高、产量各占30%，抗倒伏、抗病性各占20%计算加权平均分．两块田地玉米的评分如下表： 田地类型 株高 产量 抗倒伏 抗病性 试验田 80 a 90 95 对照田 90 80 85 90 若试验田玉米的综合得分不低于对照田，则整数a的最小值为______． 22. 如图1，抛物线经过点，，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，Q在射线上，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当点Q也在抛物线上时，求点Q的坐标； （3）如图2，设点P的横坐标为m，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 23. 综合与实践． （1）如图1，和中，，请从条件①、②中选取一个条件添加，求证：； （2）如图2，点F为等边的边上一点，将线段绕点B逆时针方向旋转，得到线段，连接交于点F，延长交于点E，若．求证：； （3）如图3，在中，，，点G为AH边上的一点，，，射线AP上是否存在点F，使？如果存在，请直接写出的长；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期毕业班学情诊断练习 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中位于原点左侧的是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】数轴上，原点左侧的点表示的数是负数，原点表示，原点右侧的点表示正数，据此逐项判断即可． 【详解】解： A、是负数，对应点在原点左侧，故此选项符合题意； B、对应点在原点，不在原点左侧，故此选项不符合题意； C、是正数，对应点在原点右侧，故此选项不符合题意； D、是正数，对应点在原点右侧，故此选项不符合题意． 2. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，若将①号小正方体挪到②号小正方体的正前方，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图不变 B. 主视图和俯视图不变 C. 左视图和俯视图不变 D. 三视图都不改变 【答案】A 【解析】 【分析】画出移动前后该几何体的主视图，左视图，俯视图，再判断即可． 【详解】解：移动前后该几何体的主视图，左视图，俯视图如下所示， 可知主视图和左视图不变． 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断. 轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形. 【详解】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意 ． 5. 华电西藏才朋光储电站是全球海拔最高的光储一体化项目，其最高海拔达到了5228米，总装机容量达15万千瓦．数据15万千瓦用科学记数法表示为（ ） A. 千瓦 B. 千瓦 C. 千瓦 D. 千瓦 【答案】B 【解析】 【分析】将得到的科学记数法形式与选项对比，匹配出正确答案． 【详解】解：15万． 6. 某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 牙膏品牌 合计 售出支数 下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是（ ）． A. 频数是 B. 频率是 C. 品牌的销售量占总销售量的 D. 每卖出支牙膏，估计有支是品牌 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率频数总数量计算，再逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，牙膏的频数是，故A选项说法正确，不符合题意； B选项，牙膏的频数是，总销售量为，频率为，故B选项说法正确，不符合题意； C选项，牙膏的频率为，即销售量占总销售量的，故C选项说法错误，符合题意； D选项，牙膏的频率为，可得每卖出支牙膏，估计有支，故D选项说法正确，不符合题意． 7. 将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点，并与交于点，直尺的另一边分别交，于点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质，得的度数，由，利用三角形外角的性质，即可计算出的度数． 【详解】由题可得， ， ， ， ． 8. 如图，在中，是边上的中线，在中，是边上的中线，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得是的中位线，可得． 【详解】解：在中，是边上的中线，在中，是边上的中线， ，分别是，的中点， 是的中位线， ． 所以，选项 C正确，选项A，B，D不正确． 9. 如图为一款跳方格游戏的路线图，游戏规则规定：按照路线图所示线路，每次只能随机跳一格至相邻的方格（可返回上一个方格，但不能原地跳），则小宇从方格出发，连续跳两次后回到方格的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中连续跳两次后回到方格的结果有4种， （连续跳两次后回到方格）． 10. 已知正实数满足，若为整数，则所有可能的值之和是（ ）． A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的整数解问题，解题关键是通过已知条件用含的式子表示，结合 为正实数确定的取值范围，再根据为整数，求出所有符合条件的值，最后求和． 【详解】解：已知正实数满足，即， 又为整数，代入得；， 为正实数，，且， ， ， 故的可能值为－1，0，1， 当时，； 当时，； 当时，， 所有可能的值之和为：． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，由与位似，，得与的相似比为，再根据位似变换的性质即可求解，正确求出相似比是解题的关键． 【详解】， ， ∴与的位似比为， 点的坐标为， 点的坐标为． 14. 每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为_____厘米． 【答案】 【解析】 【分析】设与之间的函数表达式为，利用待定系数法求出与之间的函数表达式为，把代入，求出的值即可． 【详解】解：∵组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为7厘米， ∴， 解得： ， ∴与之间的函数表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为厘米． 15. 如图，中，，按照以下步骤作图：①在和上取，分别以M、N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点O，作射线交于点D．②以点C、点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P和点Q，作直线分别交、于点E和点F．③连接． 根据作图，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本作图，作的平分线和的垂直平分线，如图，则，设，则可计算出，再在中计算出，所以，，接着计算出，然后利用三角形面积公式分别计算出和，最后计算它们的比值即可． 【详解】解：如图，由作法得平分，垂直平分， ∴， 设， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算与化简． （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 原式    ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满4杯按折销售．小明第一次买了A，B饮料各1杯；第二次买了3杯A饮料和4杯B饮料，A饮料x元/杯，B饮料y元/杯． （1）填表： A饮料 B饮料 实际支付金额（元） 第一次 1 1 ______ 第二次 3 4 ______ （2）如果两次放在一起购买，小明能少支付3元，求B饮料原价是多少？ 【答案】（1）， （2）B饮料原价是12元/杯 【解析】 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一起买的支付金额，再列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 第一次实际支付金额为元， 第二次实际支付金额为元； 【小问2详解】 解：如果一起买，两次共购买了4杯A饮料，5杯B饮料， ∴实际支付金额为， ∴， 解得． 答：B饮料原价是12元/杯． 18. 【阅读材料】 在计算机绘图软件中，选中图形后会出现一个矩形边框，如图1所示，这个矩形边框的边分别平行于水平方向和铅垂方向，且至少每一条边都与图形有公共点，我们称这个矩形边框为图形的“隐形框”，“隐形框”的水平方向的边长称为它的“宽度”，铅垂方向的边长称为它的“高度”． 【解决问题】 如图2，平行四边形的边水平放置，，，． （1）求平行四边形的“隐形框”的“宽度”与“高度”的比值； （2）在绘图软件中，选中了平行四边形，并拖动顶点，可以改变的大小，并保持和长度不变，且始终水平，随着的大小的变化，平行四边形的形状变了，其“隐形框”的面积也在变化．当时，求此时它的“隐形框”的面积； （3）在绘图软件中，选中了平行四边形，执行了一个“水平拉伸”操作：保持边固定不动，将的对边向右平移，形成了一个新的平行四边形，如果这个新形成的平行四边形的“隐形框”的“宽度”恰好是其“高度”的4倍，求边向右平移的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点，则即为所求，先解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可； （2）过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点，先根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出，的长，进而求出的长即可； （3）设向右平移到的位置，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点，参考（1）的方法，先求出的长，则可得的长，再根据题意建立方程，解方程求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴矩形是平行四边形的“隐形框”， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平行四边形的“隐形框”的“宽度”与“高度”的比值为． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， 同理可得：，，矩形是平行四边形的“隐形框”， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为， 即此时它的“隐形框”的面积为． 【小问3详解】 解：如图，设向右平移到的位置，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， 同理可得：，，矩形是平行四边形的“隐形框”， 由平移的性质得：，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平移后，这个新形成的平行四边形的“隐形框”的“宽度”恰好是其“高度”的4倍， ∴，即， 解得， ∴边向右平移的距离为． 19. 某水果店销售榴莲，成本价为40元/千克，经市场调查，每周销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于成本价且不得高于成本价的倍． （1）求出与之间的函数关系式； （2）设每周的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该水果店每周的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为100元时，该水果店每周的利润最大，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．确定变量，建立函数模型，注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为，将点代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得：，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将分别代入，得： ， 解得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解： 当时，随的增大而增大， ， 当时，最大，为4800元． 答：当销售单价定为100元时，该水果店每周的利润最大，最大利润是4800元． 20. 如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）BE＝ 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质和等腰三角形的性质． （1）由垂直关系得出，再由为的中点得出，从而，故； （2）由结合，可得出的长． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 为的中点， ， ，‘ ， ； 【小问2详解】 解：为的中点，， ， ． ，由（1）知， 在中，． 在中，由等面积法，得， ， ． 21. 为培育玉米新品种，研究人员从试验田和对照田中各随机抽取20株玉米测量株高，将株高（用h表示，单位：cm）划分为A，B，C，D四个等级，株高h≥90为长势优秀，对数据整理分析后得到如下信息： 【信息整理】 ①等级划分： 等级 A B C D 株高h（cm） ②试验田株高的条形统计图、对照田株高的扇形统计图如下： ③试验田B，C两组株高分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 对照田C组株高为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】两块田地玉米株高的统计量统计表（部分数据缺失）： 田地类型 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 试验田 88 a 95 18.25 对照田 88 88 b 32.10 （1）填空： ______， ______， ______； （2）请根据题中提供的信息，评估试验田的玉米生长情况； （3）为评估试验田和对照田的玉米综合品质，研究人员从株高、产量、抗倒伏、抗病性四个维度进行百分制评分，综合得分由株高、产量各占30%，抗倒伏、抗病性各占20%计算加权平均分．两块田地玉米的评分如下表： 田地类型 株高 产量 抗倒伏 抗病性 试验田 80 a 90 95 对照田 90 80 85 90 若试验田玉米的综合得分不低于对照田，则整数a的最小值为______． 【答案】（1），88，40 （2）见解析 （3）84 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行计算即可． （2）根据优秀率，方差，中位数，平均数进行判断即可； （3）分别求出试验田和对照田的综合得分，根据试验田玉米的综合得分不低于对照田，得到，再根据a为整数得到答案即可． 【小问1详解】 解：试验田抽取玉米共20株，中位数为第10，11个数的平均数．将株高按从小到大排序后，第10位为88，第11位为89，故； 对照田C组株高数据中，88出现5次，比其他各组的数据还多，即对照田抽取的株高数据中，88出现次数最多，故； 试验田优秀株（A，B等级）共（株）， ， 故； 【小问2详解】 解：试验田的玉米生长状况更优，优秀率：优秀率（）高于对照田（），说明长势优秀的株数更多． 株高整齐度：方差（）小于对照田（），株高分布更均匀、波动更小． 集中趋势：中位数（）和众数（）均高于对照田，整体株高水平更优； 【小问3详解】 解：试验田：， 对照田：， 若试验田综合得分不低于对照田，则，， 因为a为整数，故a的最小值为． 22. 如图1，抛物线经过点，，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，Q在射线上，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当点Q也在抛物线上时，求点Q的坐标； （3）如图2，设点P的横坐标为m，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点，代入列方程计算即可； （2）设，根据Q在射线上，且，可得，再把代入解方程即可； （3）二次函数与y轴交于点，对称轴为直线，顶点，当时y随x的增大而减小，再根据，，，分情况讨论，分别画出以为对角线作矩形，结合图形分析即可． 【小问1详解】 解：把点，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：设， ∵Q在射线上，且， ∴点横纵坐标分别乘以得到点横纵坐标，即， ∵点Q也在抛物线上， ∴， 整理得， 解得， 当时，，，此时； 当时，，，此时； ∴或； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为m，则，， ∵以为对角线作矩形，且轴， ∴，， 二次函数与y轴交于点，对称轴为直线，顶点， ∴当时y随x的增大而减小， 当时，以为对角线作矩形如图所示： ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小， ∴， 解得， 此时； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部没有点，不合题意； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，即； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标既有随x的增大而减小也有随x的增大而增大，都不合题意； 综上所述，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，m的取值范围为或． 23. 综合与实践． （1）如图1，和中，，请从条件①、②中选取一个条件添加，求证：； （2）如图2，点F为等边的边上一点，将线段绕点B逆时针方向旋转，得到线段，连接交于点F，延长交于点E，若．求证：； （3）如图3，在中，，，点G为AH边上的一点，，，射线AP上是否存在点F，使？如果存在，请直接写出的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：选择条件②， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵等边，将线段绕点B逆时针方向旋转，得到线段， ∴， ∴， 以为边向下作等边，交于点N，连接并延长交于点M，如图所示： ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）的长为2或4 【解析】 【分析】（1）选择条件②，根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据等边三角形的性质及旋转的性质得出，，以为边向下作等边，交于点N，连接并延长交于点M，设，再由全等三角形的判定和性质得出，，，，，，利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出，得出，，再由三角形内角和定理及等角对等边得出，结合图形即可证明； （3）过点B作，根据题意得出，，再由勾股定理得出，确定，，得出，，再由平行线及角平分线的性质确定，，结合图形，分两种情况分析：当点F位于点N下方时，当点F位于点N上方位置时，结合图形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点B作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 延长交于点N， ∵， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点F位于点N下方时， ， 解得：， ∴； 当点F位于点N上方位置时， 同理得， ∴； 综上：的长为2或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $