精品解析：2024年辽宁省盘锦市双台子区第一中学中考第三次模拟数学试卷

2024年中考模拟考试（三） 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每题3分，共30分） 1. 4的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，需明确算术平方根为非负数，根据定义即可求解． 【详解】解：依题意，4的算术平方根是2， 故选：A 2. 研究表明，某种甲型流感球形病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数据为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键． 3. 实数0，，，3中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据，即可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个数中最大的数是3， 故选D． 4. 某物体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据从物体的正面看到的图形是物体的主视图进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，该物体的主视图是， 故选：B． 5. 函数中自变量的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，在数轴上表示不等式的解集，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示出来即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴自变量的取值范围在数轴上可表示为， 故选：． 6. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方的运算方法，合并同类项的方法，同底数幂的乘法的运算方法．根据幂的乘方的运算方法，合并同类项的方法，同底数幂的乘法的运算方法，逐项判断即可． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C符合题意； ， 选项D不符合题意． 故选：C． 7. 关于x的一元二次方程 的根的情况说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可解答． 【详解】解：∵ 在 中， ． ∴这个一元二次方程无实数根． 故选D． 8. 有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物画像的卡片，卡片正面人物如下图．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图像恰好属于同一部名著的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出树状图，然后根据概率公式求出两张图片的人物恰好属于同一部名著的概率． 【详解】解：将孙悟空记为，猪八戒记为，诸葛亮记为，关羽记为，张飞记为，画树状图如下： ∵一共有20种等可能的情况， 其中、、、、、、、共有8种可能的情况的两张图片的人物恰好属于同一部名著， （两张图片的人物恰好属于同一部名著）． 9. 如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于，延长，交于，先求出，，得出，根据等边三角形的性质得出，进而求出平移距离，即可求出平移后的点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于，延长，交于， ∵直线交坐标轴于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴ ∵将沿y轴竖直向上平移，点落在直线上， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴平移距离为， ∴平移后，点的坐标为． 10. 如图，点A，B依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F，若，阴影部分面积为12，则k的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，正确理解反比例函数中k的几何意义得到四边形的面积都是k是解题的关键． 延长交y轴于H，根据题意得四边形都是矩形，利用比例系数的几何意义得到四边形的面积都是k，由得到四边形的面积为，列得，即可求出k． 【详解】解：延长交y轴于H， ∵，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F， ∴，， ∴四边形都是矩形， 同理得四边形是矩形， ∵点A，依次在反比例函数（常数，）的图象上， ∴四边形的面积都是k， ∵， ∴四边形的面积为， ∵阴影部分面积为12， ∴， 解得， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式和公式法进行分解因式，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 12. 《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出10元，则多了6元；如果每人出8元，则少了8元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，请列出方程组_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到等量关系是解决问题的关键．根据等量关系“每人出10元，则多了6元；每人出8元，则少了8元”列出方程组即可． 【详解】解：设x人参与组团，物价为y元，由题意可得， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，连接并延长，交于点，连接，恰好有，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知，平分，进而证明，易得，进一步可知，再在中，利用勾股定理解得的长度，然后在中利用勾股定理解得的长度即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵ ∴， ∴在中，． 14. 如图，正八边形和正六边形的边长均为2，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先求出正八边形和正六边形的内角度数，分别为。，然后求得，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形，六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点．动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动．过点P作直线，垂足为Q，再将绕点P旋转，设点P的运动时间为t秒．若旋转后的点Q落在该抛物线上，则t的值为______． 【答案】或5 【解析】 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点坐标的特点得、，，，由和得是等腰直角三角形，根据动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动，得出，再进行分类讨论，然后根据等腰三角形的判定与性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，当时，解得：， ， ， 当时，， 解得：，， ，， ，， ，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ∴， ∵动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动． ∴运动t秒后，， 则点的坐标为， 当将绕点P按逆时针方向旋转后，记点的对应点为， ∴， ∵旋转后的点Q落在该抛物线上， ∴点在抛物线上 过点作轴，垂足为W，过点作轴，垂足为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∵点的坐标为， ∴， 则， 把代入， 得， 整理得 解得或（此时与点重合，不符合题意，舍去）； 当将绕点P按顺时针方向旋转后，记点的对应点为， 同理得，，是等腰三角形， 则， 即平分， 连接，与轴交于点 故，（等腰三角形的三线合一） 即点与点关于轴对称 ∵ ∴ 把代入， 得， 整理得 解得或（此时与点重合，不符合题意，舍去）； 综上：或5． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，旋转性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先运算乘方，零次幂，特殊角三角函数值，负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时， ∴是原分式方程的解， 17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元 （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 【答案】（1）该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 （2）最多可购买电脑8台 【解析】 【分析】（1）根据一月份投入经费三月份投入经费，列出方程，求解即可作答； （2）根据购买电脑和实物投影仪的总费用不超过四月份投入经费的，建立一元一次不等式，求解即可作答． 【小问1详解】 解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； 【小问2详解】 解：四月份投入图书购置经费为（万元）， 设购买电脑m台，则购买实物投影仪台， 根据题意得：， 解得：． 答：最多可购买电脑8台． 【点睛】连续两次增长率一般用公式，列方程求解，注意结合题意与实际情况，取舍方程的解． 18. 创建全国文明城市，是每位居民的荣誉和责任．为调查某乡村学校学生对创建文明城市知识的了解，该校组织七、八年级学生全员参加了“文明城市我先行”的知识竞赛．已知七年级有100名学生，八年级有150名学生，现从这两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，分数用x表示，分为四组，合格，中等，良好，优秀）相关数据统计整理如下： 【收集数据】： 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，76，85，75，74，89，79，74，69，95； 八年级10名同学测试成绩统计如下：90，80，71，84，80，72，92，74，75，82． 【整理数据】两组数据各分数段如表所示： 成绩 七年级 1 5 3 a 八年级 0 4 4 2 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 74 58.2 八年级 80 80 c 47 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． （3）请估算出该校七、八年级学生在“文明城市我先行”知识竞赛中，成绩优秀的学生一共多少人？ 【答案】（1）1，77.5，80 （2） 解：八年级的学生知识竞赛成绩更好，理由如下： 虽然样本中七、八年级的知识竞赛平均数相同，但八年级的样本中知识竞赛成绩的中位数80分高于七年级的样本中知识竞赛的中位数77.5分，所以八年级的学生知识竞赛成绩更好；（答案不唯一）； （3）估计这两个年级约有40人达到优秀 【解析】 【分析】（1）根据七年级10名同学测试成绩求出a的值，根据中位数和众数的概念分别求出b、c的值； （2）两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一，合理均可）； （3）用各年级人数乘以成绩优秀对应的比例，然后相加即可． 【小问1详解】 解：将七年级抽样成绩重新排列为：69，74，74，75，76，79，84，85，89，95，其中在范围内的数据有1个， 故， 中位数， 在八年级抽样成绩中，数据80出现的次数最多， 所以众数， 故答案为：1，77.5，80； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：估计这两个年级约有40人达到优秀． 19. 如图1是一个装有橙汁的杯子放置在水平桌面上，一根吸管斜插在杯子中，如图2四边形是其杯子的轴截面，折线为吸管．其中，，，，，．如图3，将水平放置杯子沿着点C倾斜，使与水平线平行由图2到图3的变化过程中，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少毫米？（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】点A的位置升高了，升高了约 【解析】 【分析】在图2中，过点B作于点H．在图3中，过点B作于点N，作，过点A作于点K．分别解直角三角形求出，，再求出，即可求，进而可得杯子倾斜后点A到桌面的距离约为，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点B作于点H． ∵， ∴， 在中，∵， ∴； 如图，过点B作于点N，作，过点A作于点K． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴杯子倾斜后点A到桌面的距离约为， ∴， 答：点A的位置升高了，升高了约． 【点睛】解题的关键是添加合适的辅助线构造直角三角形，通过解直角三角形求出杯子倾斜前后点A到桌面的距离． 20. 图1是甲、乙两种品牌共享电单车的车费（元），（元）与骑行路程之间的函数关系图象，图2是小明骑共享电单车从A地出发到B，C两地送货的路线示意图． （1）当时，求关于x的函数表达式； （2）①若小明选择甲品牌共享电单车到B地送货，求车费； ②若小明到C地送货，选择哪种品牌的共享电单车节省车费？节省多少元？ 【答案】（1） （2）①车费为元；②选择甲品牌比选择乙品牌节省元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式以及求函数值等知识． （1）根据函数图象上的数据，利用待定系数法求函数表达式即可； （2）①将代入（1）中的函数表达式计算即可． ②利用待定系数法求出关于x的函数表达式，将分别代入，中计算并比较大小，求其差值即可． 【小问1详解】 解：当时，设，将和代入表达式， 则有， 解得， 【小问2详解】 ①∵小明选择甲品牌共享电单车到B地， ∴当时，， ∴车费为4.5元； ②小明到C地的路程为， ，由图象可得，选择甲品牌更省车费， 此时，， 设，代入， 得， ， ， ∴当时， ； （元） ∴选择甲品牌比选择乙品牌节省元． 21. 如图，已知是的直径，是上一点，，垂足为，连接，过点作的切线与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，垂足为， ∴， ∵过点作的切线与的延长线相交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到； （2）利用相似三角形的判定与性质得到的长，再利用勾股定理即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴在中，， ∴在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的内角和，垂径定理等相关的知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 小明在学习了矩形与旋转的知识后，对矩形的一条边进行旋转探究，下面是他的探究过程，请你对下列问题进行解答： 如图，在矩形中，，，边绕点A顺时针旋转得到，作平分交于点，连接． （1）初步探究 如图1，将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，当落在上时，求的值． （2）深入探究 如图2，当落在对角线上时，求点到的距离． （3）拓展探究 若与矩形的对角线垂直，求的长． 【答案】（1）的值为； （2）点到的距离为； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，由折叠可得，，根据特殊角的三角函数值即可求解； （2）由矩形的性质，可得，过点作于点，可得，证明，可得，即可得点到的距离； （3）按照和进行分类讨论，由三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，结合勾股定理，即可得的长． 【小问1详解】 解：∵边绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 则， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 如图1，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：如图3，当交于点时， 设． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，． ∵，平分， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得，则； 如图4，当时，． ∵， ∴， ∴． 延长交于点，过点作于点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，的长为或． 23. 在平面直角坐标系中，把函数（a、b为常数）的图象记为G． （1）当时，G与x轴只有一个交点，求a的值． （2）①设，若点在G上，则点必在G上，且G过点，求G的函数表达式． ②点、是①中函数图象上的两点，若，求m的取值范围． （3）矩形四个顶点的坐标分别为、、、，当时，函数的图象在矩形内部的部分均为自左向右下降时，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）或 （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）分类讨论及两种情况，其中时，方程满足题意； （2）①由A，B两点坐标可得对称轴为直线，即可得出a，b的关系，再将点C坐标代入求解； ②图象开口向上，根据抛物线上距离对称轴距离越远的点的y值越大求解，再由得，解方程即可； （3）b从小到大结合图象与图形交点情况画图求解． 【小问1详解】 解：当时，， ①当时，一次函数与x轴只有一个交点． ②若，由抛物线与x轴只有一个交点可得： 中，即， 解得． ∴或； 【小问2详解】 解：①∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 将点代入得：， 解得， ∴； ②∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上距离对称轴距离越远的点的y值越大， 若，则， 解得； 【小问3详解】 解：图象，开口向下， 对称轴为直线，与所在直线交点坐标为，与所在直线交点坐标为， 当时，如图1，抛物线经过点时， 解得； b增大满足题意，时抛物线顶点落在上，如图2， ∴满足题意； b增大，抛物线对称轴在右侧，当抛物线过点时，， 解得； 如图3， b增大，抛物线经过点时，， 解得， 如图4， ∴满足题意． 综上所述，或． 【点睛】注意通过数形结合方法求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中考模拟考试（三） 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每题3分，共30分） 1. 4的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. 16 D. 2. 研究表明，某种甲型流感球形病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数据为（ ） A. B. C. D. 3. 实数0，，，3中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 3 4. 某物体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 函数中自变量的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 6. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程 的根的情况说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 8. 有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物画像的卡片，卡片正面人物如下图．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图像恰好属于同一部名著的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A，B依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F，若，阴影部分面积为12，则k的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：_________________． 12. 《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出10元，则多了6元；如果每人出8元，则少了8元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，请列出方程组_______． 13. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，连接并延长，交于点，连接，恰好有，则的长为_____． 14. 如图，正八边形和正六边形的边长均为2，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点．动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动．过点P作直线，垂足为Q，再将绕点P旋转，设点P的运动时间为t秒．若旋转后的点Q落在该抛物线上，则t的值为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元 （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 18. 创建全国文明城市，是每位居民的荣誉和责任．为调查某乡村学校学生对创建文明城市知识的了解，该校组织七、八年级学生全员参加了“文明城市我先行”的知识竞赛．已知七年级有100名学生，八年级有150名学生，现从这两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，分数用x表示，分为四组，合格，中等，良好，优秀）相关数据统计整理如下： 【收集数据】： 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，76，85，75，74，89，79，74，69，95； 八年级10名同学测试成绩统计如下：90，80，71，84，80，72，92，74，75，82． 【整理数据】两组数据各分数段如表所示： 成绩 七年级 1 5 3 a 八年级 0 4 4 2 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 74 58.2 八年级 80 80 c 47 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． （3）请估算出该校七、八年级学生在“文明城市我先行”知识竞赛中，成绩优秀的学生一共多少人？ 19. 如图1是一个装有橙汁的杯子放置在水平桌面上，一根吸管斜插在杯子中，如图2四边形是其杯子的轴截面，折线为吸管．其中，，，，，．如图3，将水平放置杯子沿着点C倾斜，使与水平线平行由图2到图3的变化过程中，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少毫米？（结果精确到．参考数据：，，，） 20. 图1是甲、乙两种品牌共享电单车的车费（元），（元）与骑行路程之间的函数关系图象，图2是小明骑共享电单车从A地出发到B，C两地送货的路线示意图． （1）当时，求关于x的函数表达式； （2）①若小明选择甲品牌共享电单车到B地送货，求车费； ②若小明到C地送货，选择哪种品牌的共享电单车节省车费？节省多少元？ 21. 如图，已知是的直径，是上一点，，垂足为，连接，过点作的切线与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 22. 小明在学习了矩形与旋转的知识后，对矩形的一条边进行旋转探究，下面是他的探究过程，请你对下列问题进行解答： 如图，在矩形中，，，边绕点A顺时针旋转得到，作平分交于点，连接． （1）初步探究 如图1，将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，当落在上时，求的值． （2）深入探究 如图2，当落在对角线上时，求点到的距离． （3）拓展探究 若与矩形的对角线垂直，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，把函数（a、b为常数）的图象记为G． （1）当时，G与x轴只有一个交点，求a的值． （2）①设，若点在G上，则点必在G上，且G过点，求G的函数表达式． ②点、是①中函数图象上的两点，若，求m的取值范围． （3）矩形四个顶点的坐标分别为、、、，当时，函数的图象在矩形内部的部分均为自左向右下降时，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $