精品解析：河南南阳市第二十一学校2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

2026年春期第二次月考八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当分式有意义时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 2. 若把分式中的a，b都缩小为原来的，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∵， 将分式中的与的值都缩小为原来的，则这个分式的值将扩大为原来的3倍， 故选：D． 3. 河南南阳丹江口水库是南水北调的水源地．丹江口水库水中含有的某种矿物质，该矿物质的质量约为．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 在平面直角坐标系中，点的位置所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】记住各象限点的坐标符号规律即可解题，四个象限的坐标符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴符合第二象限点的坐标符号特征， ∴点位于第二象限． 5. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的不等式的解集是． 7. 有下列四个命题：其中正确的个数为（ ） （1）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）两条对角线相等的四边形是菱形； （3）两条对角线互相垂直的四边形是正方形； （4）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）正确； 两条对角线垂直平分的四边形是菱形，故（2）错误； 两条对角线互相垂直、相等且互相平分的四边形是正方形，故（3）（4）错误； 综上，正确的只有（1），共1个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形和正方形的判定定理，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． 8. 如图，延长正方形边至点E，使，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 连接，根据题意可得，则，由外角的性质可得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，且， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 10. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知正比例函数经过点，请写出一个平行于图象的一次函数表达式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先求出正比例函数表达式的k值，再由一次函数图象平行，相同，不同求解即可． 【详解】解：正比例函数经过点 则， 解得 则一个平行于图象的一次函数表达式可以是（答案不唯一）． 12. 若点，在反比例函数的图象上，则____________（填“”或“”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合两点横坐标的大小关系比较纵坐标和的大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数 ， ， ， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点，的横坐标都小于，两点都在第二象限，且， ． 13. 若关于x的分式方程有增根，则k的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，化成整式方程，再根据增根为使得分母为0的值，将其代入变形后的整式方程即可解出k． 【详解】解：在方程两边同时乘以得， ∵方程有增根，即 满足方程， 将代入得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，正确理解增根的含义是解题的关键． 14. 如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，是线段的中点，过点作，，垂足分别为，，连接，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，利用矩形的性质及勾股定理可得，根据矩形的判定可得四边形是矩形，进而得到，当点B、P、D三点共线时，最小，进而可求解． 【详解】解：连接，，如图所示： 四边形是矩形， ∴， ， ，P是线段的中点， ， ∵，， ， ∵， 四边形是矩形， ， 当点B、P、D三点共线时，最小， 此时， 的最小值为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴（SAS）； （2）证明：∵， ∴ ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 18. 如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，． （1）求证：和互相平分； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：，分别为边，的中点， ∴是的中位线， 且， 同理且， 且， 四边形是平行四边形， 与互相平分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可证且，且，从而得出且，进而可证结论成立； （2）由，分别为边，的中点，可得，，由是斜边的中点，可得，根据勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：为等边三角形，， ∴， ∵，分别为边，的中点， ∴，， 由（1）可知，， 在中，是斜边的中点， ， 在中，， 由（1）可知边形是平行四边形， ∴， ， 四边形的周长为． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例的解析式； （2）求的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入求出反比例函数的表达式，把点代入反比例函数的表达式求出，把点，分别代入求解即可； （2）设直线与轴的交点为，求出，即，根据三角形面积公式计算即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：把点代入得， 反比例函数的表达式为． 把点代入，得， 把点，分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与轴的交点为， 在中，令，得， ， ， ； 【小问3详解】 解：由图可知，不等式的解集为或． 20. 【问题背景】年4月日是第个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用元购买A种书架的数量比用元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出A，B两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； 【答案】（1）B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元 （2），最少值为元，购买方案为：购买A种书架8个，B种书架个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可； （2）购买a个A种书架，则购买个B种书架，由题意知，，可求得；，即，由，可知当时，最少，最少值为元，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足要求； ∴B种书架的单价为元，A种书架的单价为元； 【小问2详解】 解：购买a个A种书架，则购买个B种书架， 由题意知，， 解得，； ，即， ∵， ∴当时，最少，最少值为元， ∴费用最少时的购买方案为：购买A种书架8个，B种书架个． 21. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … （1）在图1中描出表中数据对应的点； （2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ 【小问3详解】 解：将代入得： ∴估计这个人身高 22. 如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析； （2）四边形是菱形，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 23. 综合与实践： 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． （1）如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度是 ； （2）如图2，当点与点 重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积； （3）是否存在点，使得点到矩形的两条较长边的距离之比为，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，最后根据线段的和差即可求解； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）过点作交于点，交于点，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 四边形是矩形， ， ， 由折叠得：， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； 【小问3详解】 如图所示，过点作交于点，交于点， ， ， 四边形是矩形， ， 当时，，， 由折叠得：， ， ， 点的坐标为； 当时，，， 由折叠得：， ， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期第二次月考八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当分式有意义时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 若把分式中的a，b都缩小为原来的，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 3. 河南南阳丹江口水库是南水北调的水源地．丹江口水库水中含有的某种矿物质，该矿物质的质量约为．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点的位置所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 有下列四个命题：其中正确的个数为（ ） （1）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）两条对角线相等的四边形是菱形； （3）两条对角线互相垂直的四边形是正方形； （4）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，延长正方形边至点E，使，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知正比例函数经过点，请写出一个平行于图象的一次函数表达式_____________． 12. 若点，在反比例函数的图象上，则____________（填“”或“”或“=”） 13. 若关于x的分式方程有增根，则k的值是__________． 14. 如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． 15. 如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，是线段的中点，过点作，，垂足分别为，，连接，则的最小值为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算或化简： （1）； （2）． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 18. 如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，． （1）求证：和互相平分； （2）若，求四边形的周长． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例的解析式； （2）求的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 20. 【问题背景】年4月日是第个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用元购买A种书架的数量比用元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出A，B两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； 21. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … （1）在图1中描出表中数据对应的点； （2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 22. 如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 23. 综合与实践： 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． （1）如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度是 ； （2）如图2，当点与点 重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积； （3）是否存在点，使得点到矩形的两条较长边的距离之比为，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $