精品解析：湖北省天门中学2025-2026学年高二下学期6月学科素养测评数学试卷

高二6月数学学科素养测评 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知等比数列满足，，则等于（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 6或 【答案】C 【解析】 【详解】由等比中项的性质，解得或， 经验证均满足题设，故或. 2. 从50名学生（含甲）中随机选出5名学生，则甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】从50名学生随机选出5名学生有种方法， 其中“甲学生被选中”有种方法， 所以甲学生被选中的概率是. 3. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布关于对称的性质，结合已知概率推导所求区间的概率. 【详解】因为随机变量，因此正态曲线的对称轴为， 由对称性可知，， 已知，可得， 对称性知， 所以. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 20 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式进行计算即可. 【详解】， 其展开式的通项公式为， 令，则， 而的展开式的通项公式为： ， 令，则的展开式中的系数为: , 故选：A. 5. 甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”， 则，且， 所以. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为恒成立问题，然后参变分离，构造函数，利用导数即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 因为，所以必有，故转化为在区间上恒成立， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即，即. 7. 已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式定义，可得答案. 【详解】设，，，由，则， 显然，则整理可得，由， 则， 解得，由双曲线的定义可知：， 则，整理可得， 化简可得，由，且， 则，可得或， 解得或，所以，解得. 故选：C. 8. 已知，若对任意，恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把原不等式变形为，将问题转化为找一条直线恒位于函数上方，求的最小值，通过研究的单调性，发现当直线与在处相切时，横截距最大，对应最小，得到切线方程，再对比直线方程，即可得解. 【详解】任意，恒成立， 恒成立，即. 令，直线，为直线的横截距， ，在上单调递增，在上单调递减，且， 时，；时，， ∴当直线与在处相切时横截距最大，有最小值，此时，， 即此时. 下证： 令，则，, 在上为正数，在上负数， 所以即在上单调递增，上单调递减， 因为，， 时，；时，， 所以在上为负数，在上为正数， 在单调递减：上单调递增，. 综上所述，当最小时，，此时. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，A错误； 对于B，令，则，故B正确； 对于C，，，所以，C正确； 对于D，， 令，则，D错误. 10. 3名女生和4名男生随机站成一排，下列计算正确的是（ ） A. 3名女生站在一起，4名男生也站在一起的站法有144种 B. 3名女生互不相邻，4名男生也互不相邻的站法有144种 C. 3名女生的顺序一定（可以相邻也可以不相邻）的站法有840种 D. 每名女生旁边都有男生的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据排列、组合知识，结合捆绑法、插空法及古典概型的概率公式求解判断即可. 【详解】对于A，将3名女生捆为1个整体，4名男生捆为1个整体，共2个整体全排列，再分别内部全排列， 总站法：，A错误. 对于B，要让3名女生、4名男生都互不相邻，总人数为7，只能是“男女男女男女男”的排列结构， 总站法：，B正确. 对于C，3名女生顺序固定，可用总排列数除以女生的全排列，站法总数，C正确. 对于D，总排列数为， 若女生都不相邻，首先将4个男生全排列，再将3个女生插入所形成的5个空中的3个空，则有种排法， 若有两个女生相邻，首先从3个女生中选出2个作为一个整体，将4个男生全排列，再将整体插入中间3个空中的1个，再将另一个女生插入不与该女生整体相邻的4个空中的1个空，则有种排法， 故每名女生旁边都有男生的概率为，D正确. 11. 将函数的所有极值点按照从小到大的顺序排列，得到数列，则对于任意的正整数，有（ ） A. B. 是极小值点 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合导数的性质与零点存在性定理得到，，利用不等式的基本性质可判断A；由题意可得为极大值点，为极小值点可判断B；由题意得，，进而结合正弦函数性质可判断C，利用在上单调递减，计算可判断D. 【详解】由，得，令，得，即， 作出函数及在上的图象，则数列从左往右如图所示， 根据图象可知，，，A正确 当时，，，即在上单调递增； 当时，，，即在上单调递减， 为极大值点，为极小值点，B错误； ，存在，有 此时，关于对称， 又 由在上单调递增， ，，C正确． 在上单调递减， ，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知双曲线C：的渐近线方程为，则C的离心率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，然后由可求得结果. 【详解】因为双曲线C：的渐近线方程为， 所以， 所以离心率， 故答案为： 13. 现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为________．（用数字作答） 【答案】114 【解析】 【分析】根据排列组合知识，结合部分平均分组法、捆绑法求解即可. 【详解】先将5人分为3组，有两种分法（3,1,1；2,2,1）：， 再将3组进行全排列，方案数 ：， 把甲乙看作1个整体，相当于4个元素分到3组，共有（1种分法：2,1,1）：， 再将3组进行全排列，方案数：， 所以满足上述要求的不同安排方案数为：. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望________． 【答案】## 【解析】 【分析】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以，根据题意可求出，因为每一次传球后球在甲手中的次数都服从两点分布，根据期望的线性性质可求得. 【详解】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以， 根据题意第一次由甲传出，所以第一次传球后球肯定不在甲手中，所以， 又共传5次结束， 所以. 记为示性变量，当第次传球后球在甲手中时，否则，即每次传球后球在甲手中的次数服从两点分布， 所以， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%． （1）现从该校学生中任选一名学生，求该名学生每天玩手机超过1小时且近视的概率． （2）现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用条件概率的乘法公式求交事件的概率即可； （2）应用全概率公式求解. 【小问1详解】 记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”， ，， 每天玩手机超过1小时的学生近视率约为50%，即， 根据条件概率公式， 可得 【小问2详解】 ， 由全概率公式 ，，代入得： 16. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟． （1）求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率． （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望和方差． 【答案】（1） （2） 0 2 4 6 8 ， 【解析】 【分析】（1）根据概率乘法公式求解即可； （2）利用二项分布概率公式求概率分布，结合期望和方差的性质计算可得. 【小问1详解】 记“学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯”， 则. 【小问2详解】 记为遇到红灯数，则服从二项分布， ，， ，， ， ，所以的分布列为： 0 2 4 6 8 ，， ，. 17. 设离散型随机变量的取值为且，（）． （1）当数列为等差数列时，求． （2）若数列的通项公式为，求实数的值． （3）当数列满足时，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用离散型随机变量的概率和为，结合等差数列求和，即可求得； （2）利用离散型随机变量的概率和为，结合裂项相消法求和，即可求得； （3）利用离散型随机变量的概率和为，结合数列的递推关系和累乘法，即可求得. 【小问1详解】 离散型随机变量的概率和满足， 因为为等差数列，所以前99项和为，由，得； 【小问2详解】 离散型随机变量的概率和满足， 由， 则， 所以； 【小问3详解】 离散型随机变量的概率和满足， 令，， 则，整理得，， 由累乘法可得：， 即可得， 又，即， 故. 18. 已知椭圆的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的标准方程． （2）过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴于点，连结并延长，交于点． （i）证明：是直角三角形． （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）设直线的斜率为，则其方程为， 由得． 记，则，，， 于是直线的斜率为，方程为． 由得．① 设，则和是方程①的解，故，由此得， 从而直线的斜率为，． ，即是直角三角形． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆几何性质即可求出椭圆方程； （2）（i）利用椭圆关于原点对称性质得到点坐标与点P坐标互为相反数快速写出E点坐标，求出的斜率和直线方程，再利用韦达定理跳过复杂求根，直接得到点和一直点坐标关系.计算直线和直线的斜率乘积，完成证明.（ii）设斜率，利用三角形面积公式，将面积表达式简化为只含的分式，再做换元处理即可. 【小问1详解】 （1）由题意得：焦距得，离心率得， 所以得，椭圆方程为：； 【小问2详解】 （2）（ⅰ）略； （ⅱ）由（ⅰ）得，， 的面积， 设，则，由，得，当且仅当时取等号， ，在上单调递减， ∴当，即时，取得最大值，最大值为． 因此面积的最大值为. 19. 设函数． （1）当时，讨论在上的极值点情况． （2）当时，在上恒成立，求的取值范围． （3）若，在上存在零点，求的取值范围． 【答案】（1）在区间内存在一个极小值点和一个极大值点 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论思想，结合导数的正负，可判断函数单调性，从而可确定极值点的个数； （2）利用分类讨论思想，结合导数的正负，判断单调性，来证明不等式是否成立即可； （3）利用分离参变量法，构造函数求导研究最值，从而可确定参数范围. 【小问1详解】 当时，，则， ①当时， 由指数函数在上单调递增，余弦函数在上单调递减， 可知在单调递增， 又，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增； ②当时，由，，则， 所以在单调递增， ③当时，设， 则 由指数函数在上单调递增，正弦函数在上单调递减， 所以在单调递增， 又，， 所以存在使得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，，， 所以必存在，使得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 综上所述，当，单调递增，当，单调递减， 当，单调递增， 所以在区间内存在一个极小值点和一个极大值点． 【小问2详解】 当时，，由在上恒成立， 可得在上恒成立， 令，则， 若时，则在上恒成立，则在上单调递增， 所以，符合题意； 若时，令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，，当时，， 则，使得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，不合题意； 综上所述，实数的取值范围是． 【小问3详解】 由，，令，得， 设，，则， 令，解得，， 当时，， 所以在上单调递减， 当，时，， 所以在，上单调递增， 当，时，取得极小值， 即当，，，…时，取得极小值， 又，， 所以，即， 当，时，取得极大值， 即当，，，…时，取得极大值， 又，， 所以，即 即当时，， 所以，又， 即时，在上存在零点， 故实数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二6月数学学科素养测评 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知等比数列满足，，则等于（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 6或 2. 从50名学生（含甲）中随机选出5名学生，则甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 20 D. 30 5. 甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若对任意，恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 3名女生和4名男生随机站成一排，下列计算正确的是（ ） A. 3名女生站在一起，4名男生也站在一起的站法有144种 B. 3名女生互不相邻，4名男生也互不相邻的站法有144种 C. 3名女生的顺序一定（可以相邻也可以不相邻）的站法有840种 D. 每名女生旁边都有男生的概率为 11. 将函数的所有极值点按照从小到大的顺序排列，得到数列，则对于任意的正整数，有（ ） A. B. 是极小值点 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知双曲线C：的渐近线方程为，则C的离心率为_____________. 13. 现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为________．（用数字作答） 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%． （1）现从该校学生中任选一名学生，求该名学生每天玩手机超过1小时且近视的概率． （2）现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率． 16. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟． （1）求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率． （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望和方差． 17. 设离散型随机变量的取值为且，（）． （1）当数列为等差数列时，求． （2）若数列的通项公式为，求实数的值． （3）当数列满足时，求． 18. 已知椭圆的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的标准方程． （2）过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴于点，连结并延长，交于点． （i）证明：是直角三角形． （ii）求面积的最大值． 19. 设函数． （1）当时，讨论在上的极值点情况． （2）当时，在上恒成立，求的取值范围． （3）若，在上存在零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $