5.1 认识二元一次方程组（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程（组）的定义、判定、解及列方程组，通过复习一元一次方程导入，结合种植实践、公园门票等情景探究，引导学生从“一元”过渡到“二元”，构建新旧知识的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情景提炼等量关系，用三大判定条件和典型例题培养推理意识，通过“设找列”步骤与万能口诀强化数学语言表达。帮助学生提升抽象能力与应用意识，为教师提供系统教学流程与易错点指导，提升教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 5.1 认识二元一次方程组 第五章 二元一次方程组 5.1 认识二元一次方程组 精讲复习（北师大版八年级上册） --- 一、二元一次方程（核心基础） 1. 定义 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 2. 三大判定条件（缺一不可） ① 只有两个未知数（x、y，不能多、不能少）； ② 未知数次数全为1（无平方、无倒数、无乘积）； ③ 是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）。 3. 常见非二元一次方程（快速排除） $$xy=2$$（次数为2）、$$x^2+y=1$$（二次）、$$\dfrac{1}{x}+y=3$$（分式）、$$x+z=5$$（未知数不是xy不影响判定，核心是仅两个未知数）。 4. 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 表示形式：$$\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}$$ 重要结论：一个二元一次方程有无数组解。 --- 二、二元一次方程组 1. 定义 由两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 补充：方程组中一共含有两个未知数即可，允许其中单个方程为一元一次方程。 2. 二元一次方程组的解 方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 核心区别： ① 二元一次方程：无数组解； ② 二元一次方程组：一般只有唯一一组公共解。 3. 解的检验方法（必考选择） 将未知数的值同时代入两个方程，左右两边都相等，才是方程组的解；只满足一个不是解。 --- 三、列二元一次方程组（本节应用题核心） 1. 适用场景 题目存在两个未知量、两个等量关系，适合列二元一次方程组求解，比一元一次方程更直观。 2. 列方程标准步骤 ① 设：设两个未知数（通常设x、y）； ② 找：找出题目中两组不同的等量关系； ③ 列：根据等量关系列出两个二元一次方程，组成方程组。 3. 常见等量关系模型 和差问题：$$x+y=和，x-y=差$$； 倍数问题：$$x=ky、x\pm a=y$$； 配套问题、行程问题、购物计费问题双等量关系。 --- 四、典型例题精讲 例1 方程判定 下列是二元一次方程的是：$$2x+y=5、xy=4、x^2+y=2、\dfrac{x}{3}+y=1$$ 解：$$2x+y=5$$、$$\dfrac{x}{3}+y=1$$ 是二元一次方程，其余次数不为1或为二次方程。 例2 解的检验 判断 $$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$$ 是否为方程组 $$\begin{cases}x+y=3\\2x-y=3\end{cases}$$ 的解。 解：代入两个方程均成立，是方程组的解。 例3 简单列式 两数和为10，差为2，列方程组。 解：设两数为x、y，$$\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$$。 --- 五、高频易错点 1. 误将$$xy$$乘积项、平方项当成一次项（实际为二次）； 2. 分式方程、带根号方程判定为二元一次方程； 3. 检验方程组的解时，只代入一个方程就判定成立； 4. 混淆概念：单个二元一次方程无数解，方程组唯一解； 5. 列式时找错等量关系，两个方程重复使用同一条件。 --- 六、本节万能口诀 两元一次三条件，两未知、次数一、整式牢； 单方程解无数套，方程组解唯一妙； 检验双式都相等，双量双式列方程。 通过提炼实际问题中的数量关系，了解二元一次方程(组)及其解的定义，形成良好的数学思维习惯，锻炼抽象能力. 能够检验一组数是不是某个二元一次方程组的解，提高综合应用能力，培养严谨的解题习惯. 能根据简单的实际问题列出二元一次方程组，加强用数学语言描述现实世界的能力 复习导入 1. 我们已经学习了一元一次方程，你能举出一个一元一次方程的例子吗？ 只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1的方程. 2. 为什么它叫一元一次方程? 2x+5=0 情景探究一： 小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多2 株，如果将小颖栽种的绿植减少 1 株，将小明栽种的绿植增加 1 株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的 2 倍。 分析：你能找出其中的等量关系吗? ①小明栽种的绿植比小颖多 2 株. ②小颖栽种的绿植减少 1 株，小明栽种的绿植增加 1 株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的 2 倍. 分析：你能设出适当的未知数列出相应的方程吗？ ①小明栽种的绿植比小颖多 2 株. ②小颖栽种的绿植减少 1 株，小明栽种的绿植增加 1 株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的 2 倍. 设小明栽种了 x 株绿植，小颖栽种了 y 株绿植. x － y = 2 x + 1 = 2 （ y － 1 ） 情景探究二： 找出等量关系 x + y = 8 5x + 3y = 34 成人数+儿童数=8 成人总票价+儿童总票价=34 周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共 8 人，买门票花了 34 元。已知每张成人票 5 元，每张学生票 3 元。 设他们中有成人 x 人，学生 y 人，由此你能得到怎样的方程？ x － y = 2 x + 1 = 2 （ y － 1 ） x + y = 8 5x + 3y = 34 观察·思考 思考1 上述方程有什么共同特点？ 思考2 它们与你学过的一元一次方程比较有什么区别？ 思考3 你能给它们起个名字吗？ 都是整式 含有两个未知数 未知数的次数都是1 二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫作二元一次方程. 条件 二元 所含未知数的项的次数都是1 方程两边都是整式 下列方程中哪些是二元一次方程，哪些不是？ （1）x+y=5z （2）-5x=4z+2 （4）2y2-6x=1 （5）xy=1 （6）7x+2=3 （3） 三个未知数 不是整式 此项的次数是2次 此项的次数是2次 只含有一个未知数 （1）在上面的方程 x + y = 8 和 5x + 3y = 34 中，x 所表示的对象相同吗？ y 呢？ 二元一次 （2）当 x，y 同时满足方程 x + y = 8 和 5x + 3y = 34，把它们联立起来，得 ，称这个方程组为___________方程组. 思考·交流 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组. 请你判断：下列方程组中，哪些是二元一次方程组，哪些不是？为什么？ 请你找出符合下列二元一次方程实际意义的值填入表格： x + y = 8 5x + 3y = 34 x 1 2 3 4 5 6 y 7 6 5 4 3 2 x 2 5 y 8 3 二元一次方程的一个解：使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值. 尝试·思考 x + y = 8 5x + 3y = 34 x 1 2 3 4 5 6 y 7 6 5 4 3 2 x 2 5 y 8 3 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解. 的解是 分析：你能找到一组x，y值，同时适合方程x+y=8和5x+ 3y =34吗? 注意： 1. 二元一次方程的解是成对出现的； 2. 二元一次方程的解有无数多个，与一元一次方程有显著区别.而二元一次方程组的解一般只有一个. 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是(　A　) A. B. C. D. A 随堂练习 2. 方程组 的解是(　B　) A. B. B C. D. 3. 若3xm＋3＋yn－2＝8是关于x，y的二元一次方程，则m＝ ，n＝ ⁠. 4. 若 是方程ax＋y＝1的解，则a＝ ⁠. －2　 3　 2　 随堂练习 5. 根据题意列二元一次方程组： (1)两批货物，第一批360t，用5节火车皮和12辆 汽车正好装完；第二批500t，用7节火车皮和16 辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装 货物多少吨？ 解：(1)设每节火车皮平均装货物xt， 每辆汽车平均装货物yt， 则 解：设每节火车皮平均装货物xt， 每辆汽车平均装货物yt， 则 随堂练习 (2)某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每组 7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人.问 这个课外小组分成了几组？共有多少人？ 解：(2)设这个课外小组分成了x组，共有y人， 则 解：设这个课外小组分成了x组，共有y人， 则 随堂练习 知识点1 二元一次方程(组)的概念 1.下列式子中，属于二元一次方程的有(　　) ①xy＝1；②2x＝3y；③x－＝2；④x2＋y＝3；⑤＝3y－1；⑥x＋y＋z＝1. A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 B 基础提优题 2.若方程组是二元一次方程组，则“…”可以是(　　) A.4x＝y　　 B.xy＝1 C.＋＝2　　 D.x2－1＝0 返回 A 基础提优题 3. 如果(a－2)x｜a｜－1＋3y＝100是关于x，y的二元一次方程，则a的值为　　　. 返回 －2 基础提优题 知识点2 二元一次方程(组)的解 4.［2026太原模拟］已知是关于x，y的方程3x－ky＝1的一个解，则k的值为(　　) A.－2　　 B.1　　 C.2　　 D.7 返回 B 基础提优题 5. 写出二元一次方程2x＋3y＝8的一组整数 解：　　　 　　. 返回 (答案不唯一) 基础提优题 6.如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别为　　　　. 返回 10，4 基础提优题 课堂小结 二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程. 二元一次方程组 两个成组 二元一次方程的解 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解. $