5.1 认识二元一次方程组（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程、方程组及其解的定义与特点，通过寄信、买门票等实际情境导入，结合旧识回顾方程和一元一次方程，搭建新旧知识支架，帮助学生直观理解概念形成过程。 其亮点在于融合情境教学与分层练习，通过中考考点、跟踪训练及“二果问价”等实际问题，培养数学眼光（抽象能力）、思维（推理意识）和语言（模型意识）。课堂小结系统梳理核心内容，助力学生构建知识体系，教师可借此高效教学，提升学生解题与实际应用能力。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 5.1 认识二元一次方程组 第五章 二元一次方程组 5.1 认识二元一次方程组 同步知识点+练习题 【核心知识点精讲】 一、二元一次方程的定义（必考） 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 三大判定条件（缺一不可）： 1. 含2个未知数（x、y，不能多、不能少）； 2. 未知数的最高次数为1（无平方、无倒数、无乘积）； 3. 是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）。 举例辨析： ✅ 二元一次方程：$$2x+y=5$$、$$x-y=0$$ ❌ 不是：$$x^2+y=3$$（二次）、$$\dfrac{1}{x}+y=2$$（分式）、$$x+z=1$$（未知数不符）、$$xy=4$$（次数为2） 二、二元一次方程的解 定义：使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 书写格式：$$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$$ 重要特点： 1. 二元一次方程有无数组解； 2. 单独一个x值，无法确定唯一y值，必须成对出现。 三、二元一次方程组的定义 由两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 要求：方程组中一共含有两个未知数，每个方程都是一次整式方程。 四、二元一次方程组的解 定义：同时满足方程组中两个方程的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 核心区别： 1. 二元一次方程：无数组解； 2. 二元一次方程组：一般只有唯一一组解。 检验解的方法：将未知数的值分别代入两个方程，两个方程都成立才是方程组的解。 五、高频易错点（考试扣分点） 1. 误认为含两个未知数就是二元一次方程，忽略“次数为1、整式方程”； 2. $$xy=3$$、$$x^2+y=1$$ 不是一次方程（次数为2）； 3. 分式型、根式型方程不属于二元一次方程； 4. 只满足一个方程的解，不是方程组的解； 5. 书写解时格式不规范，未写成大括号形式。 --- 【同步基础练习题】 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程是二元一次方程的是（） A. $$x+2y=5$$ B. $$x^2+y=1$$ C.$$\dfrac{1}{x}+y=2$$ D. $$xy=4$$ 2. 方程组 $$\begin{cases} x+y=3 \\ x-y=1 \end{cases}$$ 的解是（） A. $$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$$ 3. 关于二元一次方程的解，说法正确的是（） A. 只有一组解 B. 无数组解 C. 无解 D. 有限几组解 4. 下列属于二元一次方程组的是（） A. $$\begin{cases}x+y=3\\z+x=5\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y=4\\xy=2\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x^2=1\\y=x\end{cases}$$ 5. 若 $$\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}$$ 是方程 $$ax-y=3$$ 的解，则a的值为（） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 含有______个未知数，并且未知数的次数都是______的整式方程，叫做二元一次方程。 2. 二元一次方程的解是一组______的值，书写时要用______括起来。 3. 方程 $$3x+2y=6$$有______组解。 4. 若 $$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$$ 是方程 $$kx+y=5$$ 的解，则$$k=$$______。 5. 二元一次方程组的解需要同时满足方程组中的______方程。 三、解答题（共60分） 1.（20分）判断下列各式是否为二元一次方程，说明理由： （1）$$2x-3y=0$$ （2）$$x+xy=1$$ （3）$$\dfrac{x}{2}+y=5$$ （4）$$x+\dfrac{1}{y}=2$$ 2.（20分）检验 $$\begin{cases}x=3\\y=-1\end{cases}$$ 是否是方程组 $$\begin{cases}x+y=2\\x-y=4\end{cases}$$ 的解。 3.（20分）已知 $$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$$ 是二元一次方程 $$ax+by=7$$ 的一组解，求 $$2a+b$$ 的值。 --- 【参考答案与详细解析】 一、选择题答案 1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 二、填空题答案 1. 两、1 2. 未知数、大括号 3. 无数 4. 3 5. 所有（两个） 三、解答题解析 1. 解： （1）是，含2个未知数，次数均为1，是整式方程； （2）不是，$$xy$$项次数为2，不是一次； （3）是，符合二元一次方程三个条件； （4）不是，分母含未知数，是分式方程。 2. 解： 把 $$x=3,y=-1$$ 代入： 方程1：$$3+(-1)=2$$，成立； 方程2：$$3-(-1)=4$$，成立； ∴ 是该方程组的解。 3. 解： 将 $$x=2,y=1$$ 代入方程得：$$2a+b=7$$ ∴ $$2a+b=7$$。 【本节满分总结】 1. 二元一次方程三要素：两个未知数、次数为1、整式方程； 2. 单个二元一次方程无数解，方程组有唯一公共解； 3. 验解必代两个方程，全部成立才是方程组的解； 4. 杜绝次数为2、分式、多未知数的混淆题型。 理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义. 会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解. 能根据问题情境列二元一次方程组. 旧识回顾 1．什么是方程？ 2．什么是一元一次方程？ 含有未知数的等式 只含有一个未知数，未知数的次数是1，且等号两边都为整式的等式 情境导入 小红到邮局寄信，需要邮资3元8角.小红有6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种邮票？ 这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？如果设需要6角的邮票x张，8角的邮票y张，你能列出方程吗？ 一级标题：黑体， 4 知识点1 二元一次方程 思考 周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共8人，买门票花了34元.已知每张成人票5元，每张学生票3元. (1) 这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (1) 涉及的量：总人数、门票总钱数、每张成人票的价钱、每张学生票的价钱、成人数、学生数. 等量关系：成人数+学生数=总人数， 每张成人票的价钱×成人数+每张学生票的价钱×学生数=门票总钱数. 知识点1 二元一次方程 思考 周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共8人，买门票花了34元.已知每张成人票5元，每张学生票3元. (2) 设他们中有成人x人、学生y人，由此你能得到怎样的方程? (2) x+y=8， 5x+3y=34. x-y=2和x+1=2(y-1)， x+y=8和5x+3y=34. 观察这些方程，它们有什么共同特征? 知识点1 二元一次方程 两组方程都含有两个未知数， 并且含未知数的项的次数都是1. 知识点1 二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程. “含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1. 例如2xy+1=0，不是二元一次方程. 跟踪训练 下列方程： ① x+y=1； ② 2x- =1；③ x2+y2=1； ④ 5(x+y) =7(x-y)；⑤ x2=1；⑥ x+ =4. 其中是二元一次方程的是( ) A. ① B. ①③ C. ①②④ D. ①②④⑥ 知识点1 二元一次方程 解析：③ x2 和 y2 的次数不是 1，故③不是二元一次方程； ⑤ x2 的次数不是 1，故⑤不是二元一次方程； ⑥ 是一元一次方程． C 在上面的方程x+y=8和 5x+3y=34中，x所表示的对象相同吗?y呢?与同伴进行交流. 知识点2 二元一次方程组 方程x+y=8和5x+3y=34中，x，y所表示的对象分别相同. 因此，x，y必须同时满足方程x+y=8和5x+3y=34. 把它们联立起来，得 知识点2 二元一次方程组 像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组. 二元一次方程组应满足的条件： 共含有两个未知数； 两个方程是整式方程； 含未知数的项的次数都是1. 跟踪训练 有下列方程组：① 其中二元一次方程组有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 知识点2 二元一次方程组 B 解析：① 方程组中第一个方程含未知数的项 xy 的次数不是 1； ② 方程组中第二个方程不是整式方程； ③ 方程组中共有 3个未知数 . 思考 (1) x=6，y=2满足方程x+y=8吗?x=5，y=3呢?x=4，y=4呢? 你还能找到其他x，y的值满足方程x+y=8吗? (2) x=5，y=3满足方程5x+3y=34吗?x=2，y=8呢? 知识点3 二元一次方程组的解 满足 满足 满足 满足 满足 能.如x=1，y=7. (3) 你能找到一组x，y的值，同时满足方程x+y=8和吗? 能.x=5，y=3. 知识点3 二元一次方程组的解 知识点3 二元一次方程组的解 使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解. 例如，x=6，y=2是方程x+y=8的一个解，记作 同样，也是方程x+y=8的一个解. 知识点3 二元一次方程组的解 (1) 一般地，二元一次方程的解有无数个，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能有有限个解. (2) 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解. 例如， 就是二元一次方程组的解. 知识点3 二元一次方程组的解 知识点1 二元一次方程(组)的概念 1.下列式子中，属于二元一次方程的有(　　) ①xy＝1；②2x＝3y；③x－＝2；④x2＋y＝3；⑤＝3y－1；⑥x＋y＋z＝1. A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 B 中考考法 2.若方程组是二元一次方程组，则“…”可以是(　　) A.4x＝y　　 B.xy＝1 C.＋＝2　　 D.x2－1＝0 返回 A 中考考法 3. 如果(a－2)x｜a｜－1＋3y＝100是关于x，y的二元一次方程，则a的值为　　　. 返回 －2 中考考法 知识点2 二元一次方程(组)的解 4.［2026太原模拟］已知是关于x，y的方程3x－ky＝1的一个解，则k的值为(　　) A.－2　　 B.1　　 C.2　　 D.7 返回 B 中考考法 5. 写出二元一次方程2x＋3y＝8的一组整数 解：　　　 　　. 返回 (答案不唯一) 中考考法 6.如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别为　　　　. 返回 10，4 中考考法 【点拨】将代入2x＋y＝16，得2×6＋■＝16，解得■＝4，即y＝4.将代入x＋y＝★，得6＋4＝★，所以★＝10.所以被“★”“■”遮住的两个数分别为10，4. 返回 中考考法 7. 已知方程组 (1)x分别取－3，－1，0，2，填写下表： 返回 方程3x＋y＝－1 x －3 －1 0 2 y         方程2x－3y＝－8 x －3 －1 0 2 y         8 2 －1 －7 2 4 中考考法 (2)根据(1)中的数据写出方程组的解. 返回 方程3x＋y＝－1 x －3 －1 0 2 y         方程2x－3y＝－8 x －3 －1 0 2 y         8 2 －1 －7 2 4 【解】方程组的解为 中考考法 知识点3 根据实际问题列二元一次方程(组) 8. 嫦娥六号成功着陆在月球背面南极－艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1 935克，表取比钻取的4倍还多310克.若设钻取样品x克，表取样品y克，则可列方程组为(　　) A.　　 B. C.　　 D. 返回 B 中考考法 9. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为(　　) A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 返回 D 中考考法 10. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买).其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有购买方案(　　) A.5种 B.4种　　 C.3种　　 D.2种 返回 B 中考考法 【点拨】设购买笔记本x本，碳素笔y支，根据题意，得3x＋2y＝28，所以y＝14－x.又因为x，y均为正整数，所以或或或所以共有4种购买方案. 返回 中考考法 11. 已知方程组的解为则方程组 的解是　　　　　. 返回 中考考法 12. 若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a＋b＋c的值是　　　　　. 返回 －2或－3 中考考法 二元一次方程组中各个方程的公共解 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 二元一次方程组 二元一次方程 二元一次方程组的解 二元一次方程组 课堂小结 $