精品解析：黑龙江哈尔滨市哈三中2025-2026学年度下学期 高二学年 六月 月考 数学试题

哈三中2025—2026学年度下学期 高二学年6月月考数学试题 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 8 4. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是( ) A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8. 如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，，则 C. 若，，，则的最小值为9 D. 若，，则的最大值为18 10. 已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 11. 已知函数有三个极值点，，（），则（ ） A. B. C. 若，，成等差数列，则，，成等比数列 D. 若，，成等差数列，则数列，，的公差为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 已知数列满足，且，则_________． 13. 已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为_________． 14. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，当时，有极小值0. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 已知数列满足，且，． （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值． 18. 已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求整数的最大值； （3）设有两个极值点，求的范围． 19. 已知函数． （1）求证：； （2）求证：（）； （3）设是函数的两个零点，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2025—2026学年度下学期 高二学年6月月考数学试题 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，即，所以， 所以. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】命题“”的否定是， 故选：C 3. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】设数列的公差为， 因为，且， 所以，解得， 因此. 4. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，​成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有 ，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 5. 若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数存在减区间的问题转化为导数小于0的存在性问题，通过分离参数法，结合反比例函数的值域求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 函数在区间上存在减区间， 等价于存在，使得成立， 即在上有解. 当时，， 故，即实数的取值范围是. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对适当变形，构造函数，求导分析函数的单调性，进而判断的大小. 【详解】已知，，， 令，有， 当时，，则在上单调递减. 因为，所以，即. 7. 近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得利润，利用导数可求利润的最大值. 【详解】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 8. 如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象规律，归纳各项，通过数列放缩结合等比数列求和公式可算范围. 【详解】由图可知，，即，所以B错误； 所以， 所以数列是以为首项，8为公比的等比数列， 所以，所以，所以，所以A错误； ，所以C正确； 因为，所以， 所以 ， 所以，所以D错误. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，，则 C. 若，，，则的最小值为9 D. 若，，则的最大值为18 【答案】AC 【解析】 【分析】A将分式不等式转化为整式不等式求解；B通过举反例或根据不等式乘法性质判断命题是否成立；C采用“1的代换”方法，结合基本不等式求目标式的最小值，再验证等号是否能取到；D设求出系数，再根据已知的两个区间范围，结合不等式的同向可加性求出的范围. 【详解】A，分式不等式等价于，整理得，解得或， A正确； B，举反例：若，满足，但，不等式不成立，B错误； C，已知，则， 等号成立当且仅当，最小值为9，C正确； D，设，解得，即， 已知，则，最大值为16， D错误. 10. 已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过递推式推导数列的隔项差，判断奇数项数列的等差性，再利用分组求和法计算前项和，逐一验证各选项的正确性. 【详解】由，， 令，得，故； 令，得，故，因此选项A错误. 由，当时，， 两式相减得， 故数列是首项为，公差为的等差数列，选项B正确. ， 其中，，， 由的通项公式， 得，故，选项C正确. 对于，， 每一组的和为（）， 故，选项D正确. 11. 已知函数有三个极值点，，（），则（ ） A. B. C. 若，，成等差数列，则，，成等比数列 D. 若，，成等差数列，则数列，，的公差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A导函数零点个数转化为方程的实根个数，由在取最小值且时有一根；B由和得，利用对数平均不等式得到；C等差条件代入相乘得，即成等比；D设公差，由C得，再对得到的等式取对数得. 【详解】函数有三个极值点，等价于导函数有三个不同零点， 即有三个不同实根，令，即与有三个不同的交点. 由于， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 在处取最小值，要使有三个不同解，需，A正确. 已知，​，取对数相减得， 由对数平均不等式得​​，得，B错误. 若​成等差数列，则​. 因为​，​，​， 两式相乘得， 代入得， 满足等比中项性质，故成等比数列，C正确. 设等差数列公差为，则，， 由C的结论得，舍去得. 又，代入，​得， 两边取对数得，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 已知数列满足，且，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，，，，， 以此类推，可知. 13. 已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【详解】可知， 当时，可知，在上恒成立，函数在上单调递增，无极小值； 当时，令，解得， 所以时，，函数在上单调递减， 时，，函数在上单调递增， 在处取得极小值，极小值为， 可得，因为，所以，解得， 即实数的取值范围是. 14. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题化为能成立，应用导数研究右侧的最大值，即可得范围. 【详解】要使得存在满足， 先将不等式进行等价变形为， 两边同乘得， 整理为关于的不等式，即， 令，问题转化为存在使得，即， 对求导，​令，则，即， 由、、在上单调递增，且，， 根据函数的单调性知在上单调递增，而， 所以，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 观察到时，代入得，恰与等价，此时， 故极值点满足，即，故， 因此，存在使成立，当且仅当，则实数的取值范围是. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，当时，有极小值0. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用函数在极值点处的两个核心条件 —— 函数值为0、导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极小值点； （2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解. 【小问1详解】 ，， 当时，有极小值0，， ，，，， 的解为或，在上是单调递增函数； 的解为，在上是单调递减函数， 在处取得极小值，满足题意，故. 【小问2详解】 由（1），，， 又，在上的解为，在上是单调递增函数； 在上的解为，在上是单调递减函数； 在上的最小值为， 又，， 在上的最大值为， 综上可知，在上的最小值为，最大值为. 16. 已知数列满足，且，． （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为，， 所以，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. （2） 【解析】 【分析】（1）递推公式可变形为，再根据等比数列的定义和通项公式求解即可； （2）利用等差数列和等比数列的前项和公式，分组求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，的前项和 . 17. 已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值． 【答案】（1） （2）如图，设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立，消去可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和. 【小问1详解】 双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 略. 18. 已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求整数的最大值； （3）设有两个极值点，求的范围． 【答案】（1）； （2）3； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）对给定不等式分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最小值即可. （3）利用极值点的意义求出，再构造函数并利用导数求出值域即可. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 对任意的，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以整数的最大值是3. 【小问3详解】 函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得方程有两个不等的正根， 则，即，且， ，令函数， 求导得，函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 19. 已知函数． （1）求证：； （2）求证：（）； （3）设是函数的两个零点，当时，求的取值范围． 【答案】（1）令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，因此， 所以. （2）由（1）得，当且仅当时取等号，取，得， 因此，， 则，于是， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，构造函数，利用导数求出最小值，再利用不等式性质推理得证. （2）由（1）中信息，利用赋值法，结合放缩法、裂项相消法求和即可推理得证. （3）利用函数零点的意义变形得，令，把表示为的函数，利用导数确定单调性，结合给定范围求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，函数的定义域为R，由，得，令函数， 求导得，当或时，，当时，， 函数在上单调递减，；函数在上单调递减，， 函数在上单调递增，，由是函数的两个零点， 得，，则， 令，则，即， 则，由， 得，令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，则当时，，即， 函数在上单调递增，又，不等式， 因此，令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即，不等式恒成立， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $