第2章相交线与平行线 期末综合复习训练题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以相交线与平行线核心概念为载体，通过概念辨析、性质应用、综合证明及探究迁移，系统构建“定义-判定-性质-应用”逻辑链条，渗透等角转化思想，培养推理意识与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-2、填空10-11|结合定义辨析（如对顶角、垂直公理）|从相交线基本概念（对顶角、垂直）生成判定依据| |性质应用|填空9、13、15，单选3-5|垂线段最短、平行性质（同位角/内错角转化）|由平行线性质推导角的数量关系，强化几何直观| |综合证明|解答17-22|判定与性质互推（如角平分线+平行→等角）|整合角平分线、垂直等知识，构建推理链条| |探究迁移|解答23|作辅助线实现等角转化（如证三角形内角和）|从平行线迁移至三角形，培养创新意识与迁移能力|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第2章相交线与平行线》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角叫对顶角 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 2．如果，那么．证明它的依据是（   ） A．等量代换 B．同角的余角相等 C．余角的定义 D．同角的补角相等 3．如图，直线，相交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 5．将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 7．如图，已知，平分，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 8．已知，于点E，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．如图，要把河中的水引到村庄，小凡先作，垂足为点，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是 ． 10．一个角的补角是这个角的5倍，则这个角的度数是 ． 11．如图，直线相交于点O，若，则的度数为 ． 12．如图，，所以O、M、N三点共线，理由是 ． 13．如图，已知，若，则 ． 14．如图，点，，在同一条直线上，，且，，则 （用含的代数式表示）． 15．探照灯是一种具有强大的光源以及一面能将光线集中投射于特定方向的凹面镜的设备，如图，其灯罩部分可看作抛物线的一部分，为中轴线，光源O发射光束，光束，经凹面镜反射后平行于射出，若，，则等于 ． 16．如图，在四边形中，平分交于点，连接，点为上方一点，连接，点分别是延长线上的点，已知．下列结论：①与为内错角；②；③；④平分．其中所有正确结论的序号为 ． 三、解答题（满分72分） 17．（10分）如图，直线、相交于点，过点作，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． (3)若，则 （含α的式子） 18．（10分）如图，，平分，．与平行吗？为什么？ 19．如图所示，于点F，于点M，． 求证：． 证明：∵，（已知） ∴（__________________）， ∴（__________________）， ∴（___________________）， ∵，（已知） ∴（___________________）， ∴（________________________） ∵，（已知） ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（_____________________）． 20．（10分）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)试说明：； (2)若与互余，试说明：． 21．（10分）如图，点，分别在，上，点，都在上，交于点，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．（10分）如图，点，分别在直线，上．已知，垂足为，，垂足为，，平分，平分． (1)证明：； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 23．（12分）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， （      ） （      ） （      ） 即三角形的内角和为． 【解题反思】 平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 （2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢自行车的示意图如图2，其中．若，，请你求的度数． 解：过点作． ∵， （      ）， ，（两直线平行，内错角相等）， （      ） 参考答案 1．解：A. 一条直线的平行线有无数条，该选项说法错误，不符合题意； B. 该选项说法正确，符合题意； C. 相等的角不一定是对顶角，该选项说法错误，不符合题意； D. 过直线上一点能作无数条直线和这条直线相交，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．解：∵， ∴根据同角的余角相等，可得． 故选：B． 3．解：∵，且，即， ∴， ∵，即， ∴， 故选：B． 4．解：A、和是同位角，当时，根据“同位角相等，两直线平行”，可以判定； B、和，无法依据平行线判定定理得出； C、和是内错角，当时，根据“内错角相等，两直线平行”，能够判定； D、和是同旁内角，当时，依据“同旁内角互补，两直线平行”，可以判定． 故选：B． 5．解：如图所示，∵有刻度的两条边互相平行， ∴， ∴， 故选：B． 6．解：∵平分， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， 故选项A正确． ∴， ∴． 故选项B正确． ∵， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项C正确． 而从已知条件无法判定． 故选D． 7．解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8．解：如图，过作，延长交于点， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ． 故选：C． 9．解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短． 故答案为：垂线段最短． 10．解：设这个角的度数为，则这个角的补角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为；． 11．解：∵直线相交于点O，， ∴． 故答案为：． 12．解：∵， ∴， 则点三点共线，理由是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 13．解：根据题意， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．解：如图，延长到， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．解：由题意得，， ∴，， ∴， 故答案为：99． 16．解：根据图示，与为内错角，故①正确； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，平分， ∴， ∴，且， ∴， ∴平分，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 17．（1）证明：∵平分， ∴ ∵ ∴， 即； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∴ （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∴ 18．解：，理由： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） ∵，（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 20．（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 21．（1）证明：， ． ． 平分， ． ． ， ，即． ． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， ，     ． 22．（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 设， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（1）证明：∵， （两直线平行，内错角相等） （平角的定义） （等量代换） 即三角形的内角和为． （2）解：过点作． ∵， （平行于同一直线的两直线平行）， ，（两直线平行，内错角相等）， （等量代换） 学科网（北京）股份有限公司 $