精品解析：2026年辽宁省盘锦市兴隆台区辽河中学九年级中考第三次学情自测数学试题

盘锦市兴隆台区辽河中学2025－2026学年度第二学期 九年级第三次模拟考试 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上．每小题3分，共30分） 1. 的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 海草房为胶东半岛特有民居，也是威海极具代表性的生态古建．其以石为墙、海草为顶，冬暖夏凉、百年不腐．如图是其立体示意图，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 研究表明，某种甲型流感球形病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数据为（ ） A. B. C. D. 4. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下面纹样的示意图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点F在上且平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C. 方程没有实数根 D. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 8. 如图，有一个公园有两个入口、三个出口，从入口A进入，从出口E离开的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，在正方形中，，点，分别为，上的点，，交于点，．若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________． 12. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 13. 如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 14. 如图，反比例函数y＝（x＜0），△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若S△OAB﹣S△BCD＝10，则k＝_____． 15. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点．若点将矩形所在边分为了两部分，则的长为___________． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等． （1）问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？ 18. 2025年成都世界运动会是中国大陆首次承办的非奥项目国际综合性赛事，多种小众比赛项目走红，市民积极参与新兴潮流项目，形成健康的生活方式．某校七年级开设了课外社团选修课，有飞盘、啦啦操、定向越野、武术4个项目，小明想了解全年级同学选修课的选择情况，对每个班随机抽取部分学生选择的选修课项目进行了调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人；在扇形统计图中，“定向越野”项目对应的圆心角度数为________； （2）该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； （3）为庆祝端午节，学校从“武术”选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名参加汇演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加汇演的概率． 19. “复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点到地面距离，旗杆底部到的距离，．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：，，） 20. 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 4 刹车后行驶的距离s 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系 ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； （2）当汽车刹车后行驶了时，求的值； （3）当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 21. 如图，在中，，为上一点，以为圆心，为半径作交于点，点在上，且． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的面积． 22. 综合与实践： 【问题情境】龙实社团叠纸社为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，陈老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，． 【探究实践】 陈老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交于点M，G．陈老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”．请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，请你帮小慧求出的长． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盘锦市兴隆台区辽河中学2025－2026学年度第二学期 九年级第三次模拟考试 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上．每小题3分，共30分） 1. 的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴求的算术平方根即求4的算术平方根， ∵， ∴的算术平方根是2． 2. 海草房为胶东半岛特有民居，也是威海极具代表性的生态古建．其以石为墙、海草为顶，冬暖夏凉、百年不腐．如图是其立体示意图，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图的定义和画法进行判断即可，注意：能看到的线用实线，看不到但存在的线用虚线． 【详解】解：图中立体图的俯视图为： 3. 研究表明，某种甲型流感球形病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数据为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键． 4. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下面纹样的示意图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形是指一个图形绕着一个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 选项B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 选项C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意； 选项D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 5. 如图，，点F在上且平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C. 方程没有实数根 D. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理、相似三角形的判定、一元二次方程的根的判别式、平行线的性质及判定进行判断即可. 【详解】解：对于选项A， ∵当被平分的弦是直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，∴A错误； 对于选项B， ∵必须是两边成比例且夹角对应相等才能判定两个三角形相似，不能判定三角形相似，∴B错误； 对于选项C， 对于一元二次方程，计算得判别式，∴方程没有实数根，C正确； 对于选项D， ∵一个角的两边分别平行于另一个角的两边时，这两个角相等或互补，不是一定相等，∴D错误. 8. 如图，有一个公园有两个入口、三个出口，从入口A进入，从出口E离开的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得从入口A进入，从出口E离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：如图，画树状图得， 由树状图可知所有可能的结果有6种，其中选择从入口A进入，从出口E离开的只有1种结果， ∴选择从入口A进入，从出口E离开的概率为． 9. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】取格点，连接，则三点共线，，那么，则，再由勾股定理以及逆定理可得，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由正方形网格可得，三点共线，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在正方形中，，点，分别为，上的点，，交于点，．若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】分别用含的代数式表示出、，作差即可得到与的函数关系． 【详解】解：正方形中，， ， ， ，， 由图可知，， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数关系式的判断，找出与的函数关系式是解题关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 12. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是掌握要使得分式有意义，必须满足分母不等于0． 根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，求解即可． 【详解】∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入解析式，求解得到的值． 【详解】解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为 平移后的抛物线经过原点， ， 解得，． 14. 如图，反比例函数y＝（x＜0），△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若S△OAB﹣S△BCD＝10，则k＝_____． 【答案】﹣20 【解析】 【分析】根据题意列式表示出D点的坐标，然后在根据k的几何意义即可求出答案． 【详解】解：设AO＝a，CD＝b， ∵△OAB和△BCD均为等腰直角三角形， ∴AO＝AB＝a，BO＝a，CD＝BC＝b，DB＝b， ∴D(﹣a﹣b，a﹣b)， ∵点D在反比例函数图象上， ∴（﹣a﹣b）（a﹣b）＝k，即b2﹣a2＝k， 又∵S△OAB﹣S△BCD＝10，即， ∴﹣k＝20， ∴k＝﹣20 故答案为：-20． 【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题，掌握反比例函数中比例系数的几何意义是解决此题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点．若点将矩形所在边分为了两部分，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点将矩形所在边分为两部分进行分类讨论：①，先延长交的延长线于点，根据题意判断出，是的角平分线，结合矩形的性质证明和为等腰三角形，接着设，得到，，根据进行勾股定理进行列方程即可；②，同理可得，设，，根据通过勾股定理列方程即可． 【详解】分类讨论：①， 如图，延长交的延长线于点， ， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴． ∴设，则， ∵根据题意得：， ∴ ∵据题意得：是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在中， ∴由勾股定理得：， 即：． 解得． 当时，此时；不合题意，舍去． ∴． ∴， ②， 同理可得， ∴设，则 ∴． ∵在中， ∴由勾股定理得： 即： 解得， ，即， 又∵， ∴此种情况不成立． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值，计算立方根，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂，然后从左到右进行计算即可； （2）先进行括号内的通分，然后将除法转化成乘法，对分子分母进行因式分解后，进行约分化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等． （1）问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？ 【答案】（1）A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是万元 （2）安装购买A型慢充桩最少个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找出等量关系式和不等关系式是解题的关键 （1）等量关系式：B型快充桩的单价A型慢充桩的单价1.1万元，6.4万元购买A型慢充桩的数量用24万元购买B型快充桩的数量，列出分式方程，即可求解； （2）不等关系式：购买A型慢充桩的费用购买B型快充桩的费用充电桩的场地费，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是（）万元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， （万元）， 答：A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是万元； 【小问2详解】 解：设安装购买A型慢充桩个，由题意得 ， 解得：， 是整数， 取， 故安装购买A型慢充桩最少个． 18. 2025年成都世界运动会是中国大陆首次承办的非奥项目国际综合性赛事，多种小众比赛项目走红，市民积极参与新兴潮流项目，形成健康的生活方式．某校七年级开设了课外社团选修课，有飞盘、啦啦操、定向越野、武术4个项目，小明想了解全年级同学选修课的选择情况，对每个班随机抽取部分学生选择的选修课项目进行了调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人；在扇形统计图中，“定向越野”项目对应的圆心角度数为________； （2）该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； （3）为庆祝端午节，学校从“武术”选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名参加汇演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加汇演的概率． 【答案】（1）50， （2）180人 （3） 【解析】 【分析】（1）用“啦啦操”的学生人数及占比可求总数，求出“定向越野”的人数，再用“定向越野”的人数除以总数乘以即可； （2）用总人数乘以“啦啦操”的学生占比即可； （3）列出表格，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：选择“啦啦操”的学生有10人，占， 本次调查的学生共有（人）； 选择“飞盘”的学生人数所占百分比为， 选择“飞盘”的学生共有（人）， 选择“定向越野”的学生共有（人）， 在扇形统计图中，“定向越野”项目对应的圆心角度数为． 【小问2详解】 解：（人）， 估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数有180人； 【小问3详解】 解：将这4名学生分别记作：男1、男2、男3、女，根据题意，列表如下： 第一次 第二次 男1 男2 男3 女 男1 − （男2，男1） （男3，男1） （女，男1） 男2 （男1，男2） − （男3，男2） （女，男2） 男3 （男1，男3） （男2，男3） − （女，男3） 女 （男1，女） （男2，女） （男3，女） − 由列表知，共有12种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况有6种， （恰好抽到2名男生参加汇演）． 19. “复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点到地面距离，旗杆底部到的距离，．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，过点作于，先得到，在中，根据正切的定义列式求出，进而得到．掌握锐角三角函数的定义，数形结合列式求解是解题的关键． 【详解】解：过点作于，如图所示： 则四边形为矩形，，， ，， ，， ， 在中，，， ，则， ， 答：旗杆的高度约为． 20. 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 4 刹车后行驶的距离s 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系 ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； （2）当汽车刹车后行驶了时，求的值； （3）当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 【答案】（1） （2）当汽车刹车后行驶了时， （3）该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可； （2）求出时，t的值即可得到答案； （3）利用二次函数的性质求出s的最大值即可得到结论． 【小问1详解】 解：设， 则， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：由题意可得，， 解得， ∵， ∴， ∴． 答：当汽车刹车后行驶了时，． 【小问3详解】 解：该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车，理由如下： ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车． 21. 如图，在中，，为上一点，以为圆心，为半径作交于点，点在上，且． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：连接， 在中，， ， ， ． ， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质证得，则可得出结论； （2）根据题意先求出，利用勾股定理求出，过作于点，利用正切的定义结合勾股定理求出，由垂径定理得到，进而求出，过作于点，证明，推出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． ，， ， ． 过作于点， ． 设，， ， ， ， ， ． 过作于点， ， ． ，， ， ， ， ， 的面积． 22. 综合与实践： 【问题情境】龙实社团叠纸社为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，陈老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，． 【探究实践】 陈老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交于点M，G．陈老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”．请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，请你帮小慧求出的长． 【答案】（1）小莹的结论正确，见解析；（2）小明的结论正确，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质推出，进而证明，结合，即可证明四边形是平行四边形； （2）连接，由折叠得：，，进而得出，再根据平行线的性质和对顶角相等得，根据中点定义得到，结合中位线定理推出，利用等角的余角相等得，进而可得，即可证明N是的中点； （3）根据折叠的性质和线段中点定义得到，利用勾股定理推出，进而得到，设，则，利用勾股定理求出，再同理可求出． 【详解】解：（1）小莹的结论正确； 理由如下：∵将沿翻折，点C的对应点为H， ∴， ∴． ∵折痕与夹角为， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）小明的结论正确； 理由如下： 如图，连接，由折叠得：，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴N是的中点； （3）解：∵，， ∴． 由折叠得， ∴， ∵点E是的中点，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，解得， ∴． 在中，，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，中位线性质，勾股定理，熟练运用相关知识是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点作轴交于，过点作轴交于，利用待定系数法可得到直线的解析式为，设，且，则，由，得，可得，即取最大值，结合，即可求得答案； （3）当点绕着点顺时针旋转得到点时，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，设点，则，，可得；当点绕着点逆时针旋转得到点时，则，代入抛物线解析式即可求得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：， 解得， 故抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴交于，过点作轴交于， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设，且，则， ， 将代入，得到 ， ，， 轴，轴， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 的最大值为， ； 【小问3详解】 当点绕着点顺时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ，， ， ， ， ， ，， 点在直线：上，设点， 则，， ，， 点的坐标为， 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或 当点绕着点逆时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得点的坐标为 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或； 综上所述点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，同角的余角相等,全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $