第1讲 集合·综合【测】试-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦集合核心概念与综合应用，通过基础题型到新定义问题的层级设计，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择2、3|真子集个数、集合关系判断|从集合定义到子集、补集概念生成| |集合运算|选择4、5、7|交并补运算、参数求解|运算性质与集合间关系的推导应用| |应用与新定义|选择6、9、14，解答15-19|容斥原理、集合模、Steiner三元系等|从实际应用到抽象定义，体现数学语言表达现实世界的逻辑链条|

第1讲 集合·综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 B C D D B 6 7 8 9 10 B B D AC ABD 11 12 13 14 15 BC 或 （1）①是，②是，③不是 （2）（i）证明见解析 （ii）证明见解析 16 17 18 19 （1） （2）证明见解析 （3）当时，和为；当时，和为 （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 （1）不能，理由见解析 （2）不能，理由见解析 （3）①，；②， （1） （2） 逐题详解 1.（2026·安徽临泉·二模）已知复数，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】虚数不能比较大小，，，故. 【点拨】复数比较大小的陷阱.虚数不能比较大小，只能比较模长. 2.（2026·泰山教育·4月模拟）集合的真子集的个数为（ 　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】，，且，. ，可取. 当时，； 当时，； 当时，. 集合. 集合中含有3个元素，其真子集的个数为. 【点拨】求集合的真子集个数时，需先通过列举法确定集合中的元素，注意不要遗漏的情况. 3.（2026·广东梅州·一模）已知全集，，则下列结论不一定成立的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，，，故A正确； 对于任意，则，又，，，故B正确； 若，则，又，则，则，与矛盾，，同理，故，故C正确； 若时，可得不成立，故D错误. 【点拨】利用集合的交、并、补运算性质进行推理，可借助韦恩图辅助分析，直观判断各区域的元素归属. 4.（2026·广东湛江·模拟）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解可得，， . 【点拨】解对数不等式时，务必注意对数函数的定义域，即真数大于0这一隐含条件. 5.（2025·河北·联考）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，由，得， 集合， 易知， . 【点拨】集合求的是函数的定义域，集合求的是函数的值域，明确集合元素的属性是解题的关键. 6.（2026·强基联盟·3月联考）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（ 　　） A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位 【答案】B 【解析】参加竞赛的总人数：（位）， 根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：（位）. 【点拨】利用容斥原理解决集合的基数问题，公式为. 7.（2026·襄阳五中·一模）已知全集，，，，，那么为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，， . 【点拨】理清数系之间的包含关系，实数集与虚数集互为复数集中的补集，有理数集与无理数集互为实数集中的补集. 8.（2026·湖北·5月模拟）已知集合，且，则实数（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或（舍）， 时，，满足题意， 故. 【点拨】处理集合包含关系时，分类讨论后必须代入原集合检验，确保满足集合元素的互异性. 9.（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（ 　　） A. 若集合，则 B. 若集合，则 C. 若集合，则 D. 记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为, 的最大值为，则 【答案】AC（全部选对得6分，部分选对得部分分） 【解析】选项A，，A正确； 选项B，解方程得：，二次方程判别式，无实根，故集合，模，B错误； C选项，设，求导得， 时，递增；时，递减； 最大值，且，一个零点； 又，另一个零点， 则，C正确； 选项D，集合元素差为3或8，均小于11，因此可将按每11个数分为一组，组间不产生符合条件的差，只需每组取最大和即可， 时，中，要使元素和最大，选，满足条件，最大和； 每组（第组，）的和为，时总和： ， ，D错误. 【点拨】本题是集合新定义与数列、导数、组合最值的综合.处理新定义问题需紧扣“模”的定义，将其转化为求和问题. 10.（2025·广东六校·5月联考）设有有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（ 　　） A. 集合不是“可拆等和集” B. 若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个 C. 存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集” D. 若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集” 【答案】ABD（全部选对得6分，部分选对得部分分） 【解析】对于A项，构成了一个以1为首项，2为公比的等比数列， 且. 所以，当时，中所有元素之和也小于，不满足要求； 当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求. 综上，集合不是“可拆等和集”，故A正确； 对于B项，若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得， 此时因集合已含有元素2，故舍去； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有. 综上可知：可取，，，，，共6个值，故B正确； 对于C项，将中所有元素同时除以后可得， 根据等比数列前项和公式，可得. ，，，有. 当时，中所有元素之和也小于， 不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足； 当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足. 综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”，故C错误； 对于D项，易知集合中的元素个数为，， 根据等差数列的性质可知，，， 共有组（剩余元素为），从中剔除之后，剩余组. 从这组相同的数据中任意选出组，将对应的元素分到集合中； 又，则， 而， 不妨将这两个元素也分到集合中，则可满足中的元素之和相等.故D正确. 【点拨】理解“可拆等和集”的本质是集合元素能平分为和相等的两部分.对于等比数列，最大项大于其余所有项之和，故不可能平分. 11.（2024·山东潍坊·一模）若非空集合满足：，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BC（全部选对得6分，部分选对得部分分） 【解析】由可得：， 由，可得，则推不出，故选项A错误； 由可得，故选项B正确； 且，，则，故选项C正确； 由可得：不一定为空集，故选项D错误； 故选BC. 【点拨】将集合的交并运算转化为子集关系是解题关键，即，. 12.（2024·吉林延边·二模）已知集合的元素只有一个，则实数的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】或 【解析】集合有一个元素，即方程有一解， 当时，，符合题意， 当时，有一解， 则，解得：， 综上可得：或. 【点拨】对于一元二次方程形式的集合元素个数问题，切忌忽略二次项系数为0的情况. 13. 2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召. 现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人. 其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为，依题意，作出韦恩图，如图， 观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)， 因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)， 因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)， 因此，至少看了一支短视频的有(人)， 所以没有观看任何一支短视频的人数为. 【点拨】利用韦恩图解决集合基数问题，从三个集合的交集开始，由内向外逐层推算各区域的人数. 14.（2024·湖北· 二模）已知为包含个元素的集合．设为由的一些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合，使得中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合中元素的个数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意，集合中共有7个元素，从中任取两个不同的元素共有对. 集合中的每一个三元子集包含对不同的元素. 中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中， 集合中三元子集的个数为. 【点拨】将集合问题转化为组合计数问题，通过计算元素对的总数与每个子集包含的元素对数，利用除法即可求得子集个数. 15.（13分）（2026·山东·5月联考）对于集合 ,定义 ,若 ,则称为理想集.例如,不是理想集,而是理想集. （1）判断下列集合是否为理想集,不需要说明理由; ① ;② ;③ . （2）若存在个非空理想集 ,且,使得,则称是可分的,记. （i）证明:; （ii）证明:. 【答案】（1）①是，②是，③不是 （2）（i）证明见解析 （ii）证明见解析 【解析】（1） ① 是理想集；② 是理想集；③ 不是理想集. 3 分 （2） （i） 证明：. 取， 则， 故. 6 分 （ii） 证明：. 集合①②是理想集，③不是理想集. （i）构造集合， 或者构造. 8 分 （ii） 若存在个非空理想集，且，使得， 则对于，取，其中表示将集合中每个数都加上后所得的新集合. 取，此时存在个非空理想集， 且，使得. 10 分 设，则有，则， ，于是， 即. 11 分 于是， 当时，成立； 12 分 当时，. 综上所述，. 13 分 【点拨】本题考查集合新定义与数列不等式证明的综合.处理递推关系时，通过构造等比数列式求出通项下界，再利用裂项放缩法证明不等式. 16.（15分）（2026·山东济南·二模）给定正整数,集合满足对于任意,都存在,使得. （1）若,且,求; （2）证明:对于任意,都有; （3）若,且,求集合中所有元素的和.(用含有的式子表示) 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）当时，和为；当时，和为 【解析】（1） 对于或或时命题显然成立， 又，解得或或， 结合题意可得. 3 分 （2） 当时，命题显然成立. 当时，若既不是中最大的元素，也不是中最小的元素， 不妨设为中的最大元素，为中最小的元素， 则且，，等号成立当且仅当， 故矛盾！ 故为中的最大元素或最小元素. 6 分 若为最大元素，则，有，故， 同理可得，若为最小元素，. 命题得证. 8 分 （3） 若，，，故是中最小元素， 下证成等差数列. ，故成立时， 有，成等差数列. 10 分 若，对于成立， ， 即， 故成立时，， 而中，两个元素的最大差值为， ，故， 即，从而有. 从而，对于成立. 故时，中元素之和为. 13 分 当时，为最大元素，同理可证为等差数列， 其中，故此时中元素之和为. 综上所述，当时，中元素之和为；当，中元素之和为. 15 分 【点拨】处理集合元素的距离问题，关键在于利用最值元素的性质.通过反证法确定是最值，再利用数学归纳法证明集合元素构成等差数列. 17.（15分）（2025·燕博园·3月联考）已知，.设集合，集合.若集合中的元素，满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”. （1）当，时，直接写出的“相邻元”； （2）当，时，求证：是“好数”； （3）当时，若整数满足，且，，求证：是“好数”. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】（1） 的“相邻元”为：. 3 分 （2） ，. 设，显然中每一个元素恰有9个“相邻元”. 设，构造，则集合中的元素个数为. 6 分 对集合中的任意元素，在集合中至多存在一个， 满足，从而在集合中至少有8个“相邻元”， 所以是“好数”. 9 分 （3） 设，. ①当时，集合中的每一个元素均有2025个“相邻元”. 设，则中含有个元素. 设，. 则中含有个元素，. 并且两两交集为空集. 设，则共有：个元素. 12 分 ②对于，有在每一个 ()中，至多有一个“相邻元”. 下面证明该结论：设，，且均是的“相邻元”. 由于，则与，不同元素在前位，且后位相同，即，，后位相同. 设与不同位置为，即；与不同位置为，即. 当相同时，又中与差为1的只有一个数，则. 当时，，. 在每一个中，至多有一个“相邻元”. 14 分 ③不能在，中均有“相邻元”，. 下面证明该结论： 元素中第，，，都是中元素. 中第，，都是中元素. 故，中至少有3个元素属于不同的和. 所以不存在，，均是的“相邻元”. 由①②③知在中至少有2024个“相邻元”，故： 是“好数”. 15 分 【点拨】理解“相邻元”即为曼哈顿距离为1的向量.通过构造特定集合的补集，计算补集中元素相邻元的个数，运用容斥原理和抽屉原理进行证明. 18.（17分）（2024·安阳一中·模拟）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. （1）判断集合，是否构成一个戴德金分割，并说明理由； （2）在一个戴德金分割中，能否出现“有一个最大元素，有一个最小元素”的情况？请说明理由； （3）请分别举出一个戴德金分割的具体例子，使得：①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素. 【答案】（1）不能，理由见解析 （2）不能，理由见解析 （3）①，；②， 【解析】（1） 集合，不能构成一个戴德金分割. 理由：，但且，，不满足戴德金分割的定义. 5 分 （2） 在一个戴德金分割中，不能出现“有一个最大元素，有一个最小元素”的情况. 理由：假设有一个最大元素，有一个最小元素， 中的每一个元素都小于中的每一个元素，. ，，且. ，或. 若，则与是的最大元素矛盾； 若，则与是的最小元素矛盾. 故假设不成立. 10 分 （3） ①令，. 此时，，且中任意元素小于中任意元素. 没有最大元素，有最小元素1. 13 分 ②令，. 此时，，且中任意元素小于中任意元素. 是无理数，没有最大元素，也没有最小元素. 17 分 【点拨】深刻理解戴德金分割的定义，即利用有理数集的划分来定义实数.有理数的稠密性决定了不可能同时存在最大和最小元素. 19.（17分）对于集合，定义．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列. （1）写出集合中的元素组成的集合（用描述法表示）； （2）求与的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 集合表示所有正奇数，即. 集合表示被3除余1的非负整数，即. 设，则存在，使得，即. 和互质，必须是的倍数，设 (). 则 (). 集合中的元素组成的集合为. 6 分 （2） 集合表示在集合中但不在集合中的元素，即正奇数中剔除被3除余1的数. ，即. 集合中的元素依次为. 剔除中的元素后，得到的元素依次为：. 10 分 观察发现，数列的项可以分组，每组2个元素，第组的元素为 (). ，是第组的第个元素，即时的. . 13 分 ，是第组的第个元素，即时的. . 17 分 【点拨】处理集合差集与数列结合的问题，关键是找出集合元素的周期性规律.通过列举前几项，发现每6个连续整数中包含2个目标元素. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 集合·综合测试 注意事项 1. 本卷为综合测试卷，建议用时120分钟，满分150分. 答题前请先通览全卷，合理分配时间. 2. 答题时注意审清题意，挖掘隐含条件，避免因审题不清导致失分. 遇到卡壳的题目先跳过，完成会做的题目后再回头思考. 3. 完成试卷后务必检查：选择题是否漏选、错位，填空题答案是否化简到最简形式，解答题关键步骤是否完整. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·安徽临泉·二模）已知复数，，则（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·泰山教育·4月模拟）集合的真子集的个数为（ 　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 3.（2026·广东梅州·一模）已知全集，，则下列结论不一定成立的是（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·广东湛江·模拟）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 5.（2025·河北·联考）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 6.（2026·强基联盟·3月联考）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（ 　　） A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位 7.（2026·襄阳五中·一模）已知全集，，，，，那么为（ 　　） A. B. C. D. 8.（2026·湖北·5月模拟）已知集合，且，则实数（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（ 　　） A. 若集合，则 B. 若集合，则 C. 若集合，则 D. 记集合，且中任意两个数的差的绝对值 不等于3，也不等于8，若的最大值为, 的最大值为，则 10.（2025·广东六校·5月联考）设有有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（ 　　） A. 集合不是“可拆等和集” B. 若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个 C. 存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等 和集” D. 若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集” 11.（2024·山东潍坊·一模）若非空集合满足：，则（ 　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2024·吉林延边·二模）已知集合的元素只有一个，则实数的值为＿＿＿＿＿＿. 13. 2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召. 现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人. 其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为＿＿＿＿＿＿. 14.（2024·湖北·二模）已知为包含个元素的集合．设为由的一些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合，使得中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合中元素的个数为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（2026·山东·5月联考）对于集合 ,定义 ,若 ,则称为理想集.例如,不是理想集,而是理想集. （1）判断下列集合是否为理想集,不需要说明理由; ① ;② ;③ . （2）若存在个非空理想集 ,且,使得,则称是可分的,记. （i）证明:; （ii）证明:. 16.（15分）（2026·山东济南·二模）给定正整数,集合满足对于任意,都存在,使得. （1）若,且,求; （2）证明:对于任意,都有; （3）若,且,求集合中所有元素的和.(用含有的式子表示) 17.（15分）（2025·燕博园·3月联考）已知，.设集合，集合.若集合中的元素，满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”. （1）当，时，直接写出的“相邻元”； （2）当，时，求证：是“好数”； （3）当时，若整数满足，且，，求证：是“好数”. 18.（17分）（2024·安阳一中·模拟）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. （1）判断集合，是否构成一个戴德金分割，并说明理由； （2）在一个戴德金分割中，能否出现“有一个最大元素，有一个最小元素”的情况？请说明理由； （3）请分别举出一个戴德金分割的具体例子，使得：①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素. 19.（17分）对于集合，定义．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列. （1）写出集合中的元素组成的集合（用描述法表示）； （2）求与的值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $